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通州区 2025 年高三年级模拟考试
数学试卷
2025年4月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知全集为R，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则共轭复数
A. B. C. D.
3. 在 的展开式中，x的系数为（ ）
A. B. C. 32 D. 40
4. 已知等差数列 满足： ，且 ，则 （ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
5. 已知点F为抛物线 的焦点，过点F且倾斜角为 的直线与抛物线交于A、B两点，则 等于
（ ）
A. 16 B. 6 C. D. 4
6. 若点 关于直线 的对称点在圆 上，则k、b的一组取值为（ ）A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
9. 经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶
点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体 ，O为正
四面体的中心，如图2所示，则角 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知平面向量 ， ，若 满足 ，设 与 夹角为 ，则 （
）
A. 有最大值为 B. 有最大值为C. 有最小值为 D. 有最小值为
第二部分（非选择题 共110分）
一、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线 的渐近线方程为________.
12. 在 中，已知 ， ， .则 _______.
13. 设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量 （ 为碳14的初始质量）.当
该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质
量与原有质量的比值为 ，则t=_______.
14. 设 ，函数 ，若 为单调函数，则a的一个取值为_______；若
有三个零点，则实数a的取值范围是_______.
15. 已知点 是曲线 上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；② ， ；
③点P到坐标原点距离的最大值为 ；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
的
其中正确结论 序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设函数
（1）若 ，求 的值.（2）已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知，使函数 存在，求 ， 的值.
条件①： 在区间 上单调递减；
条件②： ；
条件③： 为函数 图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分，
17. 如图1，将边长为2的正六边形 沿 翻折，使平面 与平面 垂直，如图2.
点M在线段 上， 平面 .
（1）证明：M为线段 中点；
（2）求二面角 的余弦值.
18. 某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6
.
专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76 1 72.2
（1）从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；（2）现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评
分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望 .
的
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分 影
片的人数，试比较这种情况下数学期望 与（ⅰ）中 的大小关系，（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段 中点为M，射线 交椭圆E
于点N，交直线 于点Q.求证： .
20. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）曲线 在点 处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为 ，求 的最
大值；
（3）若 有两个根 ， ，写出a的范围并证明 .
的
21. 已知数列 （N是大于3 整数）为有穷数列，定义 为“卷积核”数列
满足：
（1）若数列 ，卷积核 ，求数列B.
（2）设 ，已知 且 ， ，若.求证：数列B中最大的项为 ，（ 表示a，b中的最大值）.
（3）已知 且 不全为0，卷积核 ，是否存在数列A，使得
数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
