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双守恒在碰撞问题中的应用
碰撞
双守恒在碰撞问题中的应用
一、碰撞特点
⑴①直接作用
①直接作用
②时间短
③
般来说内力远大于外力
③一般来说内力远大于外力。
⑵系统内力远大于外力时，近似守恒。
⑶系统动能不可能增加。
二、弹性碰撞
系统动量守恒、系统动能守恒
即：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
即：m1v1＋m2v2
m1v1 ＋m2v2
2
2
2
2
1
1
1
1
m v
m v
m v
m v
1 1
2
2
1 1
2
2
2
2
2
2
m v
m v
m v
m v
动量守恒：
……①
1 1
2
2
1 1
2
2
m v
m v
m v
m v
动量守恒：
…②
2
2
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
m v
m v
m v
m v
1 1
2
2
1 1
2
2
2
2
2
2
由得：
……③
1
1
1
2
2
2
m
v
v
m
v
v
由得
③
1
1
1
2
2
2
由②得：
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
m
v
v
m
v
v
1
1
1
2
2
2
即：
…④
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
m
v
v
v
v
m
v
v
v
v
即
④
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
④÷③得：
……⑤
1
1
2
2
v
v
v
v
1
解①⑤得：
1
2
1
2
2
1
2
m
m
v
m v
v
m
m
1
2
m
m
2
1
2
1 1
2
m
m
v
m v
2
1
2
1 1
2
1
2
v
v
v
m
m
1 1
2
2
1 1
2
2
m v
m v
m v
m v
2
2
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
m v
m v
m v
m v
1
2
1
2
2
2
m
m
v
m v
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
v
m
m
2
1
2
1 1
2
2
m
m
v
m v
v
2
1
2
m
m
碰撞模型：
碰撞模型：
①弹性碰撞：(规律：系统动量守恒、系统
动能守恒)
动能守恒)
即：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v1
2 ＋
m2v2
2 ＝
m1v1′2 ＋
m2v2′2
1
1
1
1
m1v1 ＋
m2v2
m1v1 ＋
m2v2
2
2
2
2
特例：完全弹性碰撞：(规律：系统动量守恒、
特例：完全弹性碰撞：(规律：系统动量守恒、
系统动能守恒)m1＝m2
m v ＋m v ＝m v ′＋m v ′
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
1
1
1
1
m1v1
2 ＋
m2v2
2 ＝
m1v1′2 ＋m2v2′2
1
2
1
2
1
2
1
2
v1′＝v2
v2′＝v1 交换速度
2
特例：一动一静碰撞
特例：
动
静碰撞
v1≠0
v2＝0
m1＝m2
v1′＝0
v2′＝v1
交换速度
1
2
1
交换速度
1
2
1
2
2
1
2
m
m
v
m v
v
1
2
1
1
m
m
v
v
1
1
2
v
m
m
1
1
2
v
m
m
2
1
2
1 1
2
1
2
2
m
m
v
m v
v
m
m
1 1
2
1
2
2m v
v
m
m
1
2
m
m
1
2
m
m
特例：一动一静碰撞
特例：
动
静碰撞
v1≠0
v2=0
m1>m2
v1′>0
v2′>0
v1′<v2′
1
2
1
2
1
2
1
1
m
m
v
v
1
1
2
v
m
m
1 1
2
1
2
2m v
v
m
m
1
2
m
m
特例：一动一静碰撞
特例：
动
静碰撞
v1≠0
v2=0
m1<m2
v1′<0
v2′>0
碰后反弹
1
2
1
2
1
1
m
m
v
v
1
1
2
v
m
m
1 1
2
1
2
2m v
v
m
m
1
2
m
m
特例：一动一静碰撞
特例：
动
静碰撞
v1≠0
v2=0
m1 << m2
1
1
V
V
1
2
1
1
m
m
v
v
2
0
V
1
1
2
v
m
m
1 1
2
1
2
2m v
v
m
m
1
2
m
m
3
特例：一动一静碰撞
特例：
动
静碰撞
v1≠0
v2=0
若m1 >>m2
1
2
1
1
m
m
v
v
1
0
V
V
1
1
2
v
m
m
2
0
2
V
V
1 1
2
1
2
2m v
v
m
m
1
2
m
m
三、非弹性碰撞
系统动量守恒、系统动能减小
即：m1v1＋m2v2＝m1v1
/＋m2v2
/
即：m1v1＋m2v2
m1v1 ＋m2v2
2
2
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
m v
m v
m v
m v
2
2
2
2
1
1
1
1
E
1 1
2
2
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2
2
2
2
2
m v
m v
m v
m v
E
特例：完全非弹性碰撞：(规律：系统动量守
恒
系统动能损失最大)
恒、系统动能损失最大)
即：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2 )v/
1 1
2 2
1
2
ΔE＝
m1v1
2 ＋m2v2
2－
(m1＋m2 )v′2
1
2
1
2
1
2
1 1
2 2
1
2
2
2
2
现象：碰后两物体粘和在一起，共同运动
2
2
2
1 1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
＝
E
m v
m v
m
m
v
2
1
1
2
2
2
m m
v
v
1
2
1
2
2
v
v
m
m
4
追及中的碰撞问题分类
1．碰撞过程动量守恒
追及中的碰撞问题分类
m1v1＋m2v2=m1v1′＋m2v2′或ΔP1＝-ΔP2
2．碰撞类型中最理想的碰撞是弹性碰撞，
没有机械能的损失
故碰撞过程机械能
没有机械能的损失，故碰撞过程机械能
不可能增加，即
2
2
'2
'2
1
1
2
2
1 1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
m v
m v
m v
m v
2
2
2
2
3．碰撞结果必须与实际情况相符合，如不可能出现两球
3．碰撞结果必须与实际情况相符合，如不可能出现两球
相碰后同向运动时，在后运动的物体的速度比在前运
动的物体的速度大；也不可能出现两球相向碰撞后
动的物体的速度大；也不可能出现两球相向碰撞后，
速度方向都没有发生变化等。
解决碰撞问题只要灵活掌握这三个原则，问题一般都
可迎刃而解。
【例1】两球A、B在光滑的水平面上沿同一直线、同一方
向运动，mA＝1kg，mB＝2kg，vA=6 m/s，vB＝2
m/s，当球A追上球B并发生碰撞后A、B两球的速度
，
发
度
的可能值是(取两球碰撞前的运动方向为正)：( )
A
v ′＝5m/s
v ′＝2 5m/s
A．vA′＝5m/s vB′＝2.5m/s
B．vA′＝2m/s vB′＝4m/s
C．vA′＝-4m/s vB′＝7m/s
D
v ′＝7m/s
v ′＝1 5m/s
D．vA ＝7m/s vB ＝1.5m/s
【变式1】A、B两小球在光滑水平面上沿同一直线向同一
方向运动，A球的动量为5 kg·m/s，B球的动量
是7kg·m/s，当A球追上B球发生碰撞，则碰撞后
g
，
发
，则
A、B两球动量的可能值为：(
)
A
p ′＝6 kg·m/s p ′＝6 kg·m/s
A．pA′＝6 kg·m/s pB′＝6 kg·m/s
B．pA′＝3 kg·m/s pB′＝9kg·m/s
C．pA′＝－2 kg·m/s pB′＝14 kg·m/s
D
p ′＝－5 kg·m/s p ′＝17kg·m
D．pA ＝
5 kg·m/s pB ＝17kg·m
5
【变式2】质量为M的物块以速度V运动，与质量为m的静
止物块发生正撞，碰撞后两者的动量正好相等，
两者质量之比M/m可能为(
)
可
(
)
A．1/2
B．2
C．3
D．4
如图所示，B、C、D、E、F5个球并排放置在
光滑的水平面上
B
C
D
E4个球质量相等
【例2】
光滑的水平面上，B、C、D、E4个球质量相等，
而F球质量小于B球质量，A球的质量等于F球
质量
A球以速度向B运动
所发生的碰撞均
质量。A球以速度v0向B运动，所发生的碰撞均
为弹性碰撞，则碰撞之后( )
A
5个小球静止
1个小球运动
A．5个小球静止，1个小球运动
B．4个小球静止，2个小球运动
C
3个小球静止
3个小球运动
C．3个小球静止，3个小球运动
D．6个小球都运动
【变式1】小球A和B的质量分别为mA 和mB 且mA＞mB 在
A
B
A
B
某高度处将A和B先后从静止释放。小球A与水平
地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放初
地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放初
距离为H的地方恰好与正在下落的小球B发生正
碰
设所有碰撞都是弹性的
碰撞时间极短
求
碰，设所有碰撞都是弹性的，碰撞时间极短。求
小球A、B碰撞后B上升的最大高度。
【变式2】质量为m2的小球B静止在光滑的水平面上，质量
为
球
速度
并
碰撞
为m1的小球A以速度v0靠近B，并与B发生碰撞，
碰撞前后两个小球的速度始终在同一条直线上。A
、B两球的半径相等，且碰撞过程没有机械能损失
。当m1、v0一定时，若m2越大，则(
)
1
0
，
2
，
(
)
A．碰撞后A的速度越小
B
碰撞后A的速度越大
B．碰撞后A的速度越大
C．碰撞过程中B受到的冲量越小
D．碰撞过程中A受到的冲量越大
6
【变式3】一个物体静置于光滑水平面上，外面扣一个质量
为M的盒子，如图1所示。现给盒子一初速度，
此后，盒子运动的图像呈周期性变化，如图2所
，
动
像
变
，
示。请根据此求盒内物体的质量。
图
图1
图2
图1
【变式4】在水平桌面上固定着一个水平放置的光滑圆轨道，
在轨道
静
着
个
为
弹
球
在轨道的B点静止着一个质量为m2的弹性小球乙，
另一个质量为m1的弹性小球甲以初速度V0运动，与
乙球发生第一次碰撞后，恰在C点发生第二次碰撞
。若碰撞过程中没有动能损失，则甲、乙两球的质
若碰撞过程中没有动能损失，则甲
球的质
量之比m1∶m2可能等于(
)
A
3∶5
B
1∶9
A．3∶5
B．1∶9
C．1∶7
D．2∶3
【例3】在核反应堆中，常用减速剂使快中子减速。假设减
速剂的原子核质量是中子的k倍。中子与原子核的
每次碰撞都可看成是弹性正碰。设每次碰撞前原子
每次碰撞都可看成是弹性正碰
设每次碰撞前原子
核可认为是静止的，求N次碰撞后中子速率与原速
率之比。
率之比。
如图所示，在同一竖直平面上，质量为2m的小球A静止在光
滑斜面的底部
斜面高度为H＝2L
小球受到弹簧的弹性力
【变式1】
滑斜面的底部，斜面高度为H＝2L。小球受到弹簧的弹性力
作用后，沿斜面向上运动。离开斜面后，达到最高点时与
静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞
碰撞后球B刚好能
静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能
摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C
上的P点
O点的投影O′与P的距离为L/2
已知球B的质量
上的P点，O点的投影O 与P的距离为L/2。已知球B的质量
为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，不计空气
阻力
求
阻力。求：
7
⑴球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；
⑵球在两球碰撞前
瞬间的速度大小
⑵球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小；
⑶弹簧的弹性力对球A所做的功。
【变式2】如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道
接
为
，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为m的
小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨
道BC段上质量为km的小球发生碰撞，碰撞前后两
小球的运动方向处于同一水平线上。
(1)若两小球碰撞后粘连在一起，求碰后它们的共同
速度；
速度；
(2)若两小球在碰撞过程中无机械能损失，
a．为使两小球能发生第二次碰撞，求k应满足的条件；
碰
应
条
b．为使两小球仅能发生两次碰撞，求k应满足的条件
8
