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一、开普勒三定律
1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都
是椭圆，太阳处在所在椭圆的一个焦点上。
万有引力和重力的问题分析
2．开普勒第二定律：对于每一个行星，太阳
和行星的联线在相等的时间内扫过的面积
相等。
离太阳近时速度快，离太阳远时速度慢。
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴
的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
比值k是与行星无关而
只与太阳有关的恒量。
3
2 ＝
a
k
T
3
2 ＝
R
k
T
需要注意：
⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此
时比值k是由行星质量所决定的另一恒量。
⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做
匀速圆周运动。
⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来
的规律，它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运
动所取得的资料中总结出来的。
1
【例1】宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其
轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太
阳运行的周期是
A．3年
B．9年
C．27年
D．81年
【变式1】一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地球位于
椭圆轨道的一个焦点上，如图所示，卫星距离地
球的近地点a的距离为L，距离地球的远地点b的
距离为s，求卫星在a点和b点的速率之比。
【变式2】如图所示，飞船沿半径为R的圆周绕着地球运
动，其运动周期为T。如果飞船沿椭圆轨道运
动直至要下落返回地面，可在轨道的某一点A
处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以
地心O为焦点的椭圆轨道运动，轨道与地球表
面相切于B点。求飞船由A点运动到B点的时
间。(图中R0是地球半径)
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互
吸引的，引力的大小跟这两个物
体的质量的乘积成正比，跟它们
的距离的二次方成反比。
1
2
2
＝
m m
F
G
r
2 ．公式：
2
各物理量的意义及单位
引力常量G(gravitational constant)的物理意义
是：在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距
1m时的相互作用力。G＝6.67×10-11N·m2/kg2
3．适用条件：任何两个质点或者两个均匀
球体之间的相互作用。(两物体为均匀球
体时，r为两球心间的距离)
卡文迪许扭秤实验
卡文迪许扭秤的主要部分是
一个轻而坚固的T型架，倒
挂在一根金属丝的下端。T
形架水平部分的两端各装一
个质量是m的小球，T形架
的竖直部分装一面小平面镜
M，它能把射来的光线反射
到刻度尺上，这样就能比较
精确地测量金属丝的扭转。
【例2】两个质量分布均匀且大小相同的实心小铁球紧靠在
一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小
铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之
间的万有引力为
A．2F
B．4F
C．8F
D．16F
【变式1】两个质量均为m的星体，其连线的垂直平分线为
MN，Q为两星体连线的中点，如图所示，一个质
量也为m的物体从O沿OM方向运动，则它受到的
万有引力大小变化情况是
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
3
【变式2】如图所示，阴影区域是质量为M、半
径为R的球体挖去一个小圆球后的剩
余部分，所挖去的小圆球的球心和大
球体球心间的距离是
，小球的半径
是
，求球体剩余部
分对球体外离球心O
距离为2R、质量为m
的质点P的引力。
2
R
2
R
三、重力和万有引力的关系
1．正常情况
2
mM
G R
mg
2
m
R
在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，
设计了一个简单的实验：他先利用手表，记下一昼
夜的时间T，然后用弹簧秤测一个钩码的重力，发现
在赤道上的重力为两极的90%。试写出星球平均密
度的估算表达式。
【例3】
2．忽略自传
2
Mm
mg
G R
＝
2
gR
M
G
＝
2
GM
gR
＝
黄金代换式
4
【例4】宇航员在某星球表面完成下面实验：如图所示，在
半径为r的竖直光滑圆弧轨道内部，有一质量为m
的小球(可视为质点)，在最低点给小球某一水平初
速度，使小球在竖直面内做圆周运动，测得轨道在
最高点和最低点时所受压力大小分别为F1、F2；已
知该星球的半径为R，引力常量G，试求：该星球
的质量。
宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛
出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测
得抛出点与落地点之间的距离为l。若抛出时初速
度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
，已知两落地点在同一水平面上，该星球的
半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量
M。
【变式】
3l
3．自传太快(星球瓦解)
2
2 ＝
Mm
G
m
R
R
【例5】一物体静置在平均密度为的球形天体表面的
赤道上。已知万有引力常量G，若由于天体自
转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体
自转周期为( )
A．
B．
C．
D．
G
1
2
4
3
G
1
2
3
G
1
2
G
1
2
3
4
5
【变式】地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上
随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体
“飘”起来，则地球的转速应为原来的
四、万有引力产生的重力加速度
【例6】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一
矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物
体的引力为0。矿井底部和地面处的重力加速度大
小之比为
【变式】火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动
后，以加速度g/2竖直向上匀加速运动，升到某
一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力
的17/18。已知地球半径为R，求火箭此时离地
面的高度。(g为地面附近的重力加速度)
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