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1．动能
⑴定义：物体由于运动而具有的能叫动能
⑵表达式为:
理解动能是标量一个物体在运动过程中动能的大小只
与
(速率或速度)有关
2
1
2
k
E
mv
动能定理的理解及应用
2．动能定理
⑴定义：合外力所做的总功等于物体动能
的变化量——这个结论叫做动能定理
⑵表达式：
式中W合是各个外力对物体做功的总和，
ΔEk是做功过程中始末两个状态动能的增量
2
2
2
1
1
1
2
2
K
W
mv
mv
E
合
⑶推导：动能定理实际上是在牛顿第二定律的基础
上对空间累积而得：
在牛顿第二定律F＝ma两端同乘以合外力方向上
的位移s，即可得
2
2
2
1
1
1
2
2
W
Fs
mas
mv
mv
合
对动能定理的理解：
⑴如果物体受到几个力的共同作用，则⑴式中的W表
示各个力做功的代数和，即合外力所做的功W合＝
W1＋W2＋W3＋……
⑵应用动能定理解题的特点：跟过程的细节无关。即
不追究全过程中的运动性质和状态变化细节
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⑶动能定理的研究对象是质点
⑷动能定理对变力做功情况也适用，动能定理尽管是
在恒力作用下利用牛顿第二定律和运动学公式推导
的，但对变力做功情况亦适用。动能定理可用于求
变力的功、曲线运动中的功以及复杂过程中的功能
转换问题
⑸动能定理是标量式，没有分量式
3．应用动能定理解题的步骤
⑴确定研究对象和研究过程。动能定理的研究对
象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的
物体间不能有相对运动。(原因是：而系统内所
有内力做的总功不一定是零)。
⑵对研究对象进行受力分析。(研究对象以外的物
体施于研究对象的力都要分析，含重力)。
⑶写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做
的功(注意功的正负)。如果研究过程中物体受力情况
有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
⑷写出物体的初、末动能。
⑸按照动能定理列式求解。
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【变式1】如图所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳
悬挂于O点。
⑴小球在水平恒力F作用下由P点移动到Q点，
此时悬线与竖直方向的夹角为θ；求这种情
况下拉力所做的功为多大？
⑵小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地移到
Q点，此时悬线与竖直方向的夹角为θ在这种情况下拉
力所做的功为多大。
【变式2】质量为m的小球被系在轻绳绳一端，在竖直平面
内做半径为l的圆周运动，运动的过程中小球受
到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道
的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球
继续做圆周运动，经过半个圆周恰好通过最高
点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功
为( )
A．mgl/4
B．mgl/3
C．mgl/2
D．mgl
【变式3】如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小
孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力
为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减
小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为
2R，则这一过程中外力对物体所做的功的大小
是( )
A．FR/4
B．3FR/4
C．5FR/2
D．0
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【变式4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质
量为m的物体，如图所示。绳的P端拴在车后的
挂钩上，Q端拴在物体上。设绳的总长不变，绳
的质
量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩
擦都忽略不计。开始时，车在A点，左右两侧绳
都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H。
提升物体时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B
驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB
，求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体所
做的功。
【例2】如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为
10m/s的物体从D点出发沿路面DBA恰好可以到顶
点A，如果斜面改为AC，再让该物体从D点出发
沿DCA恰好到达A点，则物体第二次运动具有的
初速度为(物体与路面之间的动摩擦因数处处相同
且不为零)( )
A．可能大于12m/s
B．可能等于8m/s
C．一定等于10m/s
D．可能等于10m/s
【变式1】如图所示，质量为M、长度为L的木板静止在光
滑的水平面上，质量为m的小物体(可视为质点)
放在木板上最左端，现用一水平恒力F作用在小
物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动。
已知物体和木板之间的摩擦力为Ff。当物体滑到
木板的最右端时，木板运动的距离为x，则在此
过程中(
)
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【变式1】A．物体到达木板最右端时具有的动能为(F
－Ff)(L＋x)
B．物体到达木板最右端时，木板具有的动
能为Ffx
C．物体克服摩擦力所做的功为FfL
D．物体和木板增加的机械能为Fx
【变式2】水平传送带长为s，以速度v始终保持匀速运动
，把质量为m的货物放到A点，货物与皮带间的
动摩擦因数为μ，当货物从A点运动到B点的过
程中，摩擦力对货物做的功可能(
)
A．等于mv2/2
B．小于mv2/2
C．大于μmgs
D．小于μmgs
【变式3】将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的
理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由
于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有
该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求
小球落回抛出点时的速度大小v。
【例3】过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山
车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的
三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨
道的最低点，
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B、C间距与C、D间距相等，半径R1＝2.0m、R2＝1.4m
。一个质量为m＝1.0kg的小球(视为质点)，从轨道的左
侧A点以v0＝12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，
A、B间距L1＝6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ
＝0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形
轨道间不相互重叠。(g取10m/s2)，计算结果保留小数点
后一位数字。试求：
⑴小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小
球作用力的大小；
⑵如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是
多少；
⑶在满足⑵的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在
第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小
球最终停留点与起点的距离。
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