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第十章恒定电流
第55 课时 实验十二：测量电源的电动势和内阻
目录
考点一 伏安法.................................................................................................................................2
1.实验原理..........................................................................................................................................2
2.实验器材..........................................................................................................................................2
3.实验步骤..........................................................................................................................................2
4.用实验数据求E、r 的处理方法....................................................................................................2
5.误差分析..........................................................................................................................................3
6.注意事项..........................................................................................................................................4
考点二 伏阻法.................................................................................................................................6
1.实验原理..........................................................................................................................................6
2.实验器材..........................................................................................................................................7
3.数据处理..........................................................................................................................................7
4.误差分析..........................................................................................................................................7
考点三 安阻法.................................................................................................................................9
1.实验原理..........................................................................................................................................9
2.实验器材..........................................................................................................................................9
3.数据处理..........................................................................................................................................9
【考情分析·探规律】
实验：测量电源的
电动势和内阻
2024 北京卷T17
2024 黑吉辽T11
2024 甘肃卷T12
2023 湖北卷T12
2023 浙江6 月选考T16 Ⅱ
试
题
情
境
生活实践类
家用电器、新能源电动汽车、超级电容器、手机充电等
学习探究类
电表改装、导体电阻率的测量、测量电源的电动势和内阻、用
多用电表测量电学中的物理量
【知识梳理】
1
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考点一 伏安法
1.实验原理
闭合电路欧姆定律。
2.实验器材
电源、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3.实验步骤
(1)电流表用0.6 A 的量程，电压表用3 V 的量程，按电路图连接好电路。
(2)把滑动变阻器的滑片移到使阻值最大的一端。
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)。用同样
的方法再测量几组I、U 值，填入表格中。
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材。
4.用实验数据求E、r 的处理方法
(1)列方程求解：由U＝E－Ir 得{
U 1＝E−I 1r
U 2＝E−I 2r，解得E、r。
(2)用作图法处理数据，如图所示。
①图线与纵轴交点为E；
②图线与横轴交点为I 短＝E
r ；
③图线的斜率的绝对值表示r＝| ΔU
Δ I |。
5.误差分析
(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I 图像时描点不准确。
(2)系统误差：
2
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①如图甲所示
方法a 电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表分流越多，对应的I 真与I 测
的差IV越大，IV＝U
RV
。其中U－I 图像如图乙所示。
结论：E 测<E 真，r 测<r 真。
方法b 等效电源法
如图甲所示，E 测＝
RV
RV ＋r E 真<E 真，r 测＝RV r
RV ＋r <r 真。
②如图丙所示
方法a 电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U 真与U 测的
差UA越大，UA＝I·RA。其中U－I 图像如图丁所示。
结论：E 测＝E 真，r 测>r 真。
方法b 等效电源法
如图丙所示，E 测＝E 真，r 测＝r＋RA>r 真。
(3)电路选择：
①电源内阻一般较小，选图甲电路误差较小。
②当
内阻已知时选图丙电路，此时r＝|k|－RA，没有系统误差。
6.注意事项
(1)合理选择电压表、电流表量程。测一节干电池的电动势和内阻时，电压表选3 V 量
程，电流表选0.6 A 量程，滑动变阻器选0~10 Ω。
(2)应使用内阻大些(用过一段时间)的干电池；在实验中不要将I 调得过大；每次读完I
和U 的数据后应立即断开电源，以免干电池在大电流放电时E 和r 明显变化。
3
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(3)在作U－I 图线时，要使较多的点落在这条直线上，不在直线上的点应均匀分布在直
线的两侧，忽略个别偏离直线较远的点，以减小偶然误差。
(4)干电池内阻较小时，U 的变化较慢，此时，坐标轴中数据点将呈现如图甲所示的状
况，为此，可使纵坐标不从零开始，如图乙所示，把坐标的比典例放大，可使结果的
误差减小些，此时图线与横轴交点不表示短路电流。另外，计算内阻要在直线上任取
两个相距较远的点，用r＝| ΔU
Δ I |算出电池的内阻r。
【小试牛刀】
典例1 实验方案对实验测量的精度有直接的影响，某学习小组对“测量电源的电
动势和内阻”的实验方案进行了探究。实验室提供的器材有：
干电池一节(电动势约1.5 V，内阻小于1 Ω)；
电压表V(量程3 V，内阻约3 kΩ)；
电流表A(量程0.6 A，内阻约1 Ω)；
滑动变阻器R(最大阻值为20 Ω)；
定值电阻R1(阻值2 Ω)；
定值电阻R2(阻值5 Ω)；
开关一个，导线若干。
(1)该小组按照图甲所示的电路进行实验，通过调节滑动变阻器阻值使电流表示数逐
渐接近满偏，记录此过程中电压表和电流表的示数，利用实验数据在U－I 坐标纸上
描点，如图乙所示，结果发现电压表示数的变化范围比较小，出现该现象的主要原
因是 。
A.电压表分流
B.干电池内阻较小
C.滑动变阻器最大阻值较小
D.电流表内阻较小
4
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(2)针对电压表示数的变化范围比较小的问题，该小组利用实验室提供的器材改进了
实验方案，重新测量得到的数据如下表所示。
序号
1
2
3
4
5
6
7
I/A
0.08
0.14
0.20
0.26
0.32
0.36
0.40
U/V
1.35
1.20
1.05
0.88
0.73
0.71
0.52
请根据实验数据，回答以下问题：
①图丙中已标出后3 组数据对应的坐标点，请标出前4 组数据对应的坐标点并画出
U－I 图像。
②根据实验数据可知，所选的定值电阻为 (填“R1”或“R2”)。
③用笔画线代替导线，请按照改进后的方案，将图丁所示实物图连接成完整电路。
【答案】(1)B (2)①见解析图(a) ②R1
③见解析图(c)
【解析】(1)电压表示数的变化范围小，原因是外电阻的阻值远大于干电池内阻，选项
B 正确。
(2)①根据数据描点并连成一条直线，如图(a)所示。
②由图像可知E＝1.55 V，U＝0 时I＝0.59 A，
故r'＝E
I ≈2.63 Ω，
由于2 Ω<r'<5 Ω，
又r'＝r＋R(r 为干电池内阻，R 为定值电阻)，
故定值电阻只能是R1。
5
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③先画出原理图，如图(b)，然后依据原理图将各实验器材依次连接起来，如图(c)。
考点二 伏阻法
1.实验原理
闭合电路欧姆定律E ＝
U ＋
U
R r，电路图如图所示。
2.实验器材
电源、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3.数据处理
(1)计算法：由{
E＝U 1＋U 1
R1
r
E＝U 2＋U 2
R2
r
解方程组可求得E 和r。
6
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(2)图像法：由E＝U＋U
R r 得：1
U ＝1
E ＋r
E · 1
R 。故1
U －1
R 图像的斜率k＝r
E ，纵轴截
距为1
E ，如图。
4.误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E 测<E 真，r 测<r 真(均选填“>”“<”或“＝”)。
【小试牛刀】
典例2 (2024·黑吉辽·11)某探究小组要测量电池的电动势和内阻。可利用的器材
有：电压表、电阻丝、定值电阻(阻值为R0)、金属夹、刻度尺、开关S、导线若干。
他们设计了如图所示的实验电路原理图。
(1)实验步骤如下：
①将电阻丝拉直固定，按照图(a)连接电路，金属夹置于电阻丝的 (填“A”
或“B”)端；
②闭合开关S，快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数U，断开开关S，记录
金属夹与B 端的距离L；
③多次重复步骤②，根据记录的若干组U、L 的值，作出图(c)中图线Ⅰ；
④按照图(b)将定值电阻接入电路，多次重复步骤②，再根据记录的若干组U、L 的
值，作出图(c)中图线Ⅱ。
(2)由图线得出纵轴截距为b，则待测电池的电动势E＝ 。
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(3)由图线求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分别为k1、k2，若k2
k1
＝n，则待测电池的内阻r＝
(用n 和R0表示)。
【答案】(1)A (2)1
b (3) R0
n−1
【解析】(1)为了保护电路，闭合开关前，金属夹置于电阻丝的最大阻值处，由题图可
知，应该置于A 端。
(2)对于电路图(a)，根据闭合电路欧姆定律有
U＝E－Ir
设电阻丝的电阻率为ρ，横截面积为S，结合欧姆定律和电阻定律有I＝U
R ，
R＝ρ L
S
联立可得U＝E－US
ρL r
整理可得1
U ＝1
E ＋Sr
Eρ· 1
L
对于电路图(b)，根据闭合电路欧姆定律有
U＝E－I(r＋R0)
结合欧姆定律和电阻定律有I＝U
R
R＝ρ L
S
联立后整理得1
U ＝1
E ＋S(r ＋R0)
Eρ
· 1
L
可知图线的纵轴截距b＝1
E
解得E＝1
b
(3)由题意可知k1＝Sr
Eρ
k2＝S(r ＋R0)
Eρ
又
k2
k1
＝n
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联立解得r＝R0
n−1。
考点三 安阻法
1.实验原理
闭合电路的欧姆定律E ＝
IR
＋
Ir ，电路图如图所示。
2.实验器材
电源、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
3.数据处理
(1)计算法：由{
E＝I 1 R1＋I 1r
E＝I 2 R2＋I 2r
解方程组求得E、r。
(2)图像法：由E＝I(R＋r)可得
①1
I ＝1
E R＋r
E ，可作1
I －R 图像(如图甲)
1
I －R 图像的斜率k＝1
E ，纵轴截距为r
E 。
②R＝E·1
I －r，可作R－1
I 图像(如图乙)
R－1
I 图像的斜率k＝E，纵轴截距为－
r 。
4.误差分析
(1)误差来源：电流表有内阻，导致电源内阻测量不准确；
(2)结论：E 测＝E 真，r 测>r 真(r 测＝r 真＋rA)(均选填“>”“<”或“＝”)。
【小试牛刀】
典例3 一同学测量某干电池的电动势和内阻。
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(1)图甲所示是该同学正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路。请指
出图中在器材操作上存在的两个不妥之处。
① ；
② 。
(2)实验测得的电阻箱阻值R 和电流表示数I，以及计算的1
I 数据见下表：
R/Ω
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
I/A
0.15
0.17
0.19
0.22
0.26
1
I
/A－1
6.7
5.9
5.3
4.5
3.8
根据表中数据，在图乙方格纸上作出R－1
I 关系图像。
由图像可计算出该干电池的电动势为 V；内阻为 Ω。
(3)为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV
的电压表并联在电流表的两端。调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A 时，电压表
的指针位置如图丙所示，则该干电池的电动势应为 V；内阻应为
Ω。
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【答案】(1)①开关未断开 ②电阻箱阻值为零 (2)见解析图 1.38 1.2
(3)1.38[结果与(2)问第一个空格一致] 1.0[结果比(2)问第二个空格少0.2]
【解析】(1)在电学实验中，连接电路时应将开关断开，电阻箱的阻值调为最大，以确
保实验仪器、仪表的安全。
(2)根据闭合电路欧姆定律E＝I(R＋r)，整理可得R＝E
I －r＝E·1
I －r，即R－1
I 图像为
直线。
描点连线后图像如图所示。
根据图像可知r＝1.2 Ω。
图像的斜率表示电动势E，在R－1
I 图像上取两点(2，1.58)、(5，5.71)，则E＝
5.71−1.58
5−2
V≈1.38 V。
(3)根据欧姆定律，得电流表的内阻rA＝U
I ＝66×10
−3
0.33
Ω＝0.2 Ω，由E＝I(R＋r'＋rA)
得R＝E·1
I －(r'＋rA)，R－1
I 图像的斜率仍为电动势E，即E＝1.38 V，而干电池的内阻
应为r'＝r－rA＝1.0 Ω。
典例4 (2021·湖南卷·12)某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节
待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻(阻值为R0)、一个电流表(内阻为
RA)、一根均匀电阻丝(电阻丝总阻值大于R0，并配有可在电阻丝上移动的金属夹)、
导线若干。由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝长度，但发现桌上有一个圆形时钟表
盘。某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度。
主要实验步骤如下：
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甲 乙
丙
(1)将器材如图甲连接。
(2)开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的 端(填“a”或“b”)。
(3)改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角θ 和电
流表示数I，得到多组数据。
(4)整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图乙所示，图线斜率为k，与纵轴
截距为d，设单位角度对应电阻丝的阻值为r0，该电池电动势和内阻可表示为E＝
，r＝ 。(用R0、RA、k、d、r0表示)
(5)为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应电阻丝的阻值r0。利用现有器材设
计实验，在图丙方框中画出实验电路图(电阻丝用滑动变阻器符号表示)。
(6)利用测出的r0，可得该电池的电动势和内阻。
【答案】(2)b (4)r0
k r0d
k －R0－RA
(5)见解析图
【解析】(2)开关闭合前，为了保护电路中的元件，应将电阻丝的最大阻值接入电路，
根据电阻定律R＝ρ l
S 可知电阻丝接入越长，接入电阻越大，金属夹应夹在电阻丝的b
端。
(4)设圆心角为θ 时，电阻丝接入电路中的电阻为θr0，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋
Ir，
可知E＝I(RA＋R0＋θr0)＋Ir
整理得1
I ＝r0
E θ＋R A＋R0＋r
E
结合1
I －θ 图像的斜率和纵轴截距有
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r0
E ＝k，R A＋R0＋r
E
＝d
解得E＝r0
k
r＝r0d
k －R0－RA
(5)实验器材中有定值电阻R0和单刀双掷开关，考虑使用等效法测量电阻丝电阻，如图
原理的简单说明：
①将开关置于R0位置，读出电流表示数I0；
②将开关置于电阻丝处，调节电阻丝对应的圆心角，直到电流表示数为I0，读出此时
的圆心角θ；
③此时θr0＝R0，即可求得r0的数值。
【限时训练】（限时：60 分钟）
(分值：50 分)
1.(10 分)(2022·天津卷·9(2))实验小组测量某型号电池的电动势和内阻。用电流表、电压
表、滑动变阻器、待测电池等器材组成如图甲所示实验电路，由测得的实验数据绘制
成的U－I 图像如图乙所示。
(1)(2 分)图甲的电路图为图中的 (选填“A”或“B”)。
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(2)(4 分)如果实验中所用电表均视为理想电表，根据图乙得到该电池的电动势E＝
V，内阻r＝ Ω。
(3)(4 分)实验后进行反思，发现上述实验方案存在系统误差。若考虑到电表内阻的影响，
对测得的实验数据进行修正，在图乙中重新绘制U－I 图线，与原图线比较，新绘制的
图线与横坐标轴交点的数值将 ，与纵坐标轴交点的数值将 (两空
均选填“变大”“变小”或“不变”)。
【答案】(1)B (2)4.5 1.8 (3)不变 变大
【解析】(1)通过观察实物图可知电流表相对电源外接，故电路图为B；
(2)根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir
有U＝－Ir＋E
则U－I 图线在纵轴上的截距表示电池的电动势E，斜率绝对值是电池的内阻r，根据
题图乙结合上述分析可知电池电动势E＝4.5 V；
内阻r＝4.5
2.5 Ω＝1.8 Ω
(3)分析测量电路可知系统误差的来源是电压表的分流作用，使得电流表的示数小于流
过电池的电流，考虑电压表内阻RV的影响，流过电压表的电流为IV＝
U 测
RV
可知流过电池的电流为I＝I 测＋U 测
RV
，I>I 测
因电压表内阻RV不变，随着电压值U 测减小，电压表电流IV减小，当电压值U 测趋于0
时，I 趋近于I 测，在图乙中重新绘制的U－I 图线如图所示
故新绘制的图线与横坐标轴交点的数值将不变，与纵坐标轴交点的数值将变大。
2.(10 分)用图(a)所示的甲、乙两种方法测量某电源的电动势和内电阻(约为1 Ω)。其中
R 为电阻箱，电流表的内电阻约为0.1 Ω，电压表的内电阻约为3 kΩ。
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(1)(4 分)利用图(a)中甲图实验电路测电源的电动势E 和内电阻r，所测量的实际是图(b)
中虚线框所示“等效电源”的电动势E'和内电阻r'。若电流表内电阻用RA表示，请你
用E、r 和RA表示出E'、r'，并简要说明理由。
(2)(4 分)某同学利用图像分析甲、乙两种方法中由电表内电阻引起的实验误差。在图
(c)中，实线是根据实验数据(图甲：U＝IR，图乙：I＝U
R )描点作图得到的U－I 图像；
虚线是该电源的路端电压U 随电流I 变化的U－I 图像(没有电表内电阻影响的理想情
况)。
在图(c)中，对应图甲电路分析的U－I 图像是 ；对应图乙电路分析的U－I 图
像是 。
(3)(2 分)综合上述分析，为了减小由电表内电阻引起的实验误差，本实验应选择图(a)中
的 (填“甲”或“乙”)。
【答案】(1)E'＝E，r'＝r＋RA 理由见【解析】(2)C A (3)乙
【解析】(1)断路时，“等效电源”路端电压的数值E 等于其电动势，故E'＝E。
电源和电流表串联，则“等效电源”的内电阻r'＝r＋RA。
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(2)题图甲电路中，由于电流表的分压，内电阻的测量值为电源和电流表串联后的总电
阻，比实际电源的内电阻大，对应实线斜率的绝对值比虚线的大。但当电流为零时，
电流表的内电阻对测量没有影响，实线和虚线重合，故C 正确；题图乙电路中，由于
电压表的分流，内电阻的测量值为电源和电压表并联后的总电阻，比实际电源的内电
阻小，对应实线斜率的绝对值比虚线的小。但当电压为零时，电压表的内电阻对测量
没有影响，实线和虚线重合，故A 正确。
(3)由实验数据可知，题图甲电路中，测量值r'＝r＋RA约1.1 Ω，真实值r 约1 Ω，相对
误差在10%左右；题图乙电路中电压表内电阻较大，分流较小，可忽略，故乙电路的
误差较小，应选择乙。
3.(10 分)在测定电源电动势和内阻的实验中，实验室仅提供下列实验器材：
A.干电池两节，每节电动势约为1.5 V，内阻约几欧姆
B.直流电压表V1、V2，量程均为0~3 V，内阻约为3 kΩ
C.定值电阻R0，阻值为5 Ω
D.滑动变阻器R，最大阻值为50 Ω
E.开关和导线若干
(1)(6 分)原理图如图甲所示，实验中移动滑动变阻器触头，读出电压表V1和V2的多组
数据U1、U2，描绘出U1－U2图像如图乙所示，图线斜率为k，与横轴的截距为m，则
电源的电动势E＝ ，内阻r＝ (均用k、m、R0表示)。
(2)(4 分)该实验方法产生的误差是由于
，属于
误差。
【答案】(1) km
k −1 R0
k −1 (2)电压表V2的分流引起的 系统
【解析】(1)根据题图甲结合闭合电路欧姆定律可得
E＝U2＋U 2−U 1
R0
r
整理可得U1＝R0＋r
r
U2－E R0
r
则有k＝R0＋r
r
，0＝R0＋r
r
m－E R0
r
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解得E＝km
k −1，r＝R0
k −1
(2)该实验方法产生的误差是由于电压表V2的分流引起的，属于系统误差。
4.(10 分)(2023·湖北卷·12)某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如图(a)所
示电路，所用器材如下：
电压表(量程0~3 V，内阻很大)；
电流表(量程0~0.6 A)；
电阻箱(阻值0~999.9 Ω)；
干电池一节、开关一个和导线若干。
(1)(2 分)根据图(a)，完成图(b)中的实物图连线。
(2)(4 分)调节电阻箱到最大阻值，闭合开关。逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻值R、
相应的电流表示数I 和电压表示数U。根据记录数据作出的U－I 图像如图(c)所示，则
干电池的电动势为 V(保留3 位有效数字)、内阻为 Ω(保留2 位有效
数字)。
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(3)(2 分)该小组根据记录数据进一步探究，作出1
I －R 图像如图(d)所示。利用图(d)中图
像的纵轴截距，结合(2)问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表内阻为
Ω(保留2 位有效数字)。
(4)(2 分)由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值 (填“偏
大”或“偏小”)。
【答案】(1)见解析图 (2)1.58 0.64 (3)2.5
(4)偏小
【解析】(1)实物连线如图：
(2)由电路图结合闭合电路的欧姆定律可得U＝E－Ir
由题图(c)可知E＝1.58 V
内阻r＝1.58−1.37
0.33
Ω≈0.64 Ω
(3)根据E＝I(R＋RA＋r)
可得1
I ＝1
E ·R＋R A＋r
E
由题图(d)可知R A＋r
E
＝2 A－1，解得RA≈2.5 Ω
(4)由于电压表内阻不是无穷大，则实验测得的是电压表内阻与干电池内阻的并联值，
即实验中测得的干电池内阻偏小。
5.(10 分)(2021·全国乙卷·23)一实验小组利用图(a)所示的电路测量一电池的电动势E(约
1.5 V)和内阻r(小于2 Ω)。图中电压表量程为1 V，内阻RV＝380.0 Ω；定值电阻R0＝
20.0 Ω；电阻箱R，最大阻值为999.9 Ω；S 为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
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(1)(2 分)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选 Ω(填
“5.0”或“15.0”)；
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R 和电压表的相应读数U；
(3)(2 分)根据图(a)所示电路，用R、R0、RV、E 和r 表示1
U ，得1
U ＝
；
(4)利用测量数据，作1
U －R 图像，如图(b)所示；
(5)(4 分)通过图(b)可得E＝ V(保留2 位小数)，r＝ Ω(保留1 位小数)；
(6)(2 分)若将图(a)中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E'，由此产生的误差
为| E
'−E
E
|×100%＝ %(保留1 位有效数字)。
【答案】(1)15.0
(3)R0＋RV
E RV R0
·R＋1
E ＋( RV ＋R0)r
E RV R0
(5)1.55 1.0 (6)5
【解析】(1)为了避免电压表被烧坏，接通电路时电压表两端的电压不能比电压表满偏
电压大，当电压表满偏时有
U m
RV R0
RV ＋R0
＝E−U m
R＋r
代入数据解得R＋r＝9.5 Ω，故R>7.5 Ω
因此电阻箱接入电路的电阻值选15.0 Ω。
(3)由闭合电路欧姆定律可得
E＝U＋
U
RV R0
RV ＋R0
(R＋r)
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化简可得1
U ＝R0＋RV
E RV R0
·R＋1
E ＋RV ＋R0
E RV R0
r
(5)由上面公式可得
R0＋RV
E RV R0
＝k＝1
19 E ，
1
E ＋RV ＋R0
E RV R0
r＝b＝1
E ＋
r
19 E ，
由1
U －R 图像计算可得k≈0.034 V－1·Ω－1
延长图线，得到图线与纵轴的交点为0.85 V－1，则有0.85＝1
E ＋
r
19 E ＋
5
19 E
代入可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω。
(6)如果电压表为理想电表，则可有
1
U ＝1
E ＋
r
E R0
＋
1
E R0
R
则此时E'＝1
20k
因此误差为|
1
20k −1
19k
1
19k
|×100%＝5%。
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