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第2 课时 菱形的判定
一、选择题（共10 小题）
1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2
，0），C（0，﹣2），D（2
，0），则以这四个点为顶点的四
边形ABCD 是（ ）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、梯形
2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、等腰梯形
3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）
AC BD
①
⊥
；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③
B、②③
C、③④
D、①②③
4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在
胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形
B、等腰梯形
C、菱形
D、矩形
5、（在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、梯形
6、用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形
B、正方形
C、矩形
D、菱形
7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．
人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（
）
A、正方形
B、等腰梯形
C、菱形
D、矩形
8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
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A、对角线相等且互相垂直
B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直
D、对角线互相垂直平分
9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
二、填空题（共8 小题）
11、（如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
_________
（只填一
个你认为正确的即可）．
12、如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是
_________
．
13、（如图，平行四边形ABCD 中，AF、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一
个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是
_________
．（只需写出一个即可，图中不能
再添加别的“点”和“线”）
14、在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB CD
∥
；（3）OA=OC；（4）OB=OD；
（5）AC BD
⊥
；（6）AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）=＞
ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：
_________
=＞ABCD 是菱形；
_________
=＞ABCD 是菱形．
15、若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件
_________
（写一个即可），使四边形ABCD 是菱形．
16、在四边形ABCD 中，给出四个条件：①AB=CD，②AD BC
∥
，③AC BD
⊥
，④AC 平分∠BAD，由其中三
个条件推出四边形ABCD 是菱形，你认为这三个条件是
_________
．（写四个条件的不给分，只填序号）
17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是
_________
形，再说明
_________
（只需填
写一种方法）
18、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC、BD 相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD
是菱形，则还需添加一个条件是
_________
（只需填写一个条件即可）．
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三、解答题（共11 小题）
19、（如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是BC 的中点，连接AD，在AD 的延长线上取一点E，连接BE， CE．
（1）求证：△ABE
ACE
△
≌
；
（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．
20、如图，在▱ABCD 中，E，F 分别为边AB，CD 的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE
CBF
≌△
．
（2）若AD BD
⊥
，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
21、如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE AC
∥
交AB 于E，DF AB
∥
交AC 于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD 平分∠BAC，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
22、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB CD
∥
，BC=CD，AD BD
⊥
，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．
23、如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC，AC=DB，AC 与DB 交于点M．
（1）求证：△ABC
DCB
≌△
；
（2）过点C 作CN BD
∥
，过点B 作BN AC
∥
，CN 与BN 交于点N，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明
你的结论．
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24、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D，交AC 于点O，CE AB
∥
交MN 于E，连接AE、
CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）填空：四边形ADCE 的形状是
_________
．
25、如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E、F 分别在AC、BC 上，且EF AB
∥
（1）求证：四边形EFCD 是菱形；
（2）设CD=4，求D、F 两点间的距离．
26、如图，在梯形纸片ABCD 中，AD BC
∥
，AD＞CD，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C
处，折痕DE 交BC 于点E，连接C′E．
求证：四边形CDC′E 是菱形．
27、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD、BC 分别相交于点E、F．
求证：四边形AFCE 是菱形．
28、如图，等边△ABC 的边长为2，E 是边BC 上的动点，EF AC
∥
交边AB 于点F，在边AC 上取一点P，使
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PE=EB，连接FP．
（1）请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
（2）探究：当点E 在什么位置时，四边形EFPC 是平行四边形？并判断四边形EFPC 是什么特殊的平行四边
形，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，以点E 为圆心，r 为半径作圆，根据⊙E 与平行四边形EFPC 四条边交点的总个数，求相
应的r 的取值范围．
29、如图，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA．
（1）求△ABC 所扫过的图形的面积；
（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC 的长．
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答案与评分标准
一、选择题（共10 小题）
1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2
，0），C（0，﹣2），D（2
，0），则以这四个点为顶点的四
边形ABCD 是（ ）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、梯形
考点：坐标与图形性质；菱形的判定。
分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．
解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对
角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
故选B．
点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．
2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、等腰梯形
考点：等边三角形的性质；菱形的判定。
专题：操作型。
分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．
解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，
即是菱形．
故选B．
点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
3、（如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）
AC BD
①
⊥
；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③
B、②③
C、③④
D、①②③
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂
直平分的四边形是菱形．
解答：解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可
知：①，③正确．
故选A．
点评：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在
胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
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A、正方形
B、等腰梯形
C、菱形
D、矩形
考点：菱形的判定。
专题：应用题。
分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则
重叠部分为菱形．
解答：解：过点A 作AE BC
⊥
于E，AF CD
⊥
于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB CD
∥
，AD BC
∥
，AE=AF．
∴四边形ABCD 是平行四边形．
S
∵
ABCD
▱
=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
BC=CD
∴
，
∴四边形ABCD 是菱形．
故选C．
点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
5、在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、梯形
考点：菱形的判定；等边三角形的性质。
专题：操作型。
分析：用两个边长为a 的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边
形是菱形．
解答：解：根据题意得，拼成的四边形四边相等，
则是菱形．
故选B．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．
6、用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形
B、正方形
C、矩形
D、菱形
考点：菱形的判定；等边三角形的性质。
分析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．
解答：解：由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．
故选D．
点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．
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人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（
）
A、正方形
B、等腰梯形
C、菱形
D、矩形
考点：菱形的判定。
专题：应用题。
分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则
重叠部分为菱形．
解答：解：过点A 作AE BC
⊥
于E，AF CD
⊥
于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB CD
∥
，AD BC
∥
，AE=AF．
∴四边形ABCD 是平行四边形．
S
∵
ABCD
▱
=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
BC=CD
∴
，
∴四边形ABCD 是菱形．
故选C．
点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直
B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直
D、对角线互相垂直平分
考点：菱形的判定。
分析：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．
解答：解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D 能判定为是菱形，
故选D．
点评：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．
9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
考点：菱形的判定；非负数的性质：偶次方。
分析：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad 得到（a
b
﹣）2+（b
c
﹣）2+（c
d
﹣）2+（a
d
﹣）2=0，从
而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形．
解答：解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a
b
﹣）2+（b
c
﹣）2+（c
d
﹣）2+（a
d
﹣）2=0，
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由非负数的性质可知：（a
b
﹣）=0，（b
c
﹣）=0，（c
d
﹣）=0，（a
d
﹣）=0，
a=b=c=d
∴
，
∴四边形一定是菱形，
故选C．
点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．
二、填空题（共8 小题）
11、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
AC BD
⊥
或
AB=BC
或
BC=CD
或
AB=AD
（只填一个你认为正确的即可）．
考点：菱形的判定。
专题：开放型。
分析：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC BD
⊥
或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或
AB=AD．
解答：解：四边形ABCD 的对角线互相平分，则四边形ABCD 为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC BD
⊥
或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
点评：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是
菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
12、如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是
AB=AD
或
AC BD
⊥
．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
∴可添加：AB=AD 或AC BD
⊥
．
解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条
件是：AB=AD 或AC BD
⊥
．
点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．
13、如图，平行四边形ABCD 中，AF、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一
个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是
AC EF
⊥
或
AF=CF
等
．（只需写出一个即可，
图中不能再添加别的“点”和“线”）
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考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂
直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF 是平行四边形，由平行四边形的性质知，
对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC EF
⊥
时，四边形AECF 是菱形．
解答：解：则添加的一个条件可以是：AC EF
⊥
．
证明：∵AD BC
∥
，
FAD= AFB
∴∠
∠
，
AF
∵
是∠BAD 的平分线，
BAF=FAD
∴∠
，
BAF= AFB
∴∠
∠
，
AB=BF
∴
，
同理ED=CD，
AD=BC
∵
，AB=CD，
AE=CF
∴
，
又∵AE CF
∥
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC EF
⊥
．
点评：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．
14、在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB CD
∥
；（3）OA=OC；（4）OB=OD；
（5）AC BD
⊥
；（6）AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）=＞
ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个： （
1 ）
（
2 ）
（
6 ）
=＞ABCD 是菱形； （
3 ）
（
4 ）
（
5 ）
@
（ 3 ）
（
4 ）
（
6 ）
=
＞ABCD 是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解答：解：（1）（2）（6）⇒ABCD 是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出∠DAC= DCA
∠
，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
（3）（4）（5）=＞ABCD 是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．
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（3）（4）（6）=＞ABCD 是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出∠DAC= DCA
∠
，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
点评：本题考查菱形的判定．
15、若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件
AB=BC@AC BD
⊥
（写一个即可），使四边形ABCD 是
菱形．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂
直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：
AB=BC 或AC BD
⊥
．
点评：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条
对角线平分一组对角．
16、在四边形ABCD 中，给出四个条件：①AB=CD，②AD BC
∥
，③AC BD
⊥
，④AC 平分∠BAD，由其中三
个条件推出四边形ABCD 是菱形，你认为这三个条件是 ①③④或②③④ ．（写四个条件的不给分，只填
序号）
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂
直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解答：解：设AC 与BD 交于点E，由③AC BD
⊥
，④AC 平分∠BAD 可证得，Rt
AEB Rt
AED
△
△
≌
，
AB=AD
∴
，BE=DE，
再由∠BEC= DEC=90°
∠
，CE=CE，证得Rt
BCE Rt
DCE
△
△
≌
，
BC=CD
∴
，
再由①AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形；
或者再由②AD BC
∥
，证得：Rt
AED Rt
BCE
△
△
≌
，
AE=EC
∴
，
由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形．
故填写①③④或②③④．
点评：本题考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性质来证明．
17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 平行四边 形，再说明 有一组邻边相等 （只
需填写一种方法）
考点：菱形的判定。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂
直平分的四边形是菱形．所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有
一组邻边相等．
解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边
形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．
点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．
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优
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18、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC、BD 相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD
是菱形，则还需添加一个条件是
AB=BC
（答案不唯一）
（只需填写一个条件即可）．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
所以可添加AB=BC．
解答：解：AB=BC 或AC BD
⊥
等．
点评：本题考查了菱形的判定，答案不唯一．
三、解答题（共11 小题）
19、如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是BC 的中点，连接AD，在AD 的延长线上取一点E，连接BE， CE．
（1）求证：△ABE
ACE
≌△
；
（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．
考点：全等三角形的判定；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：由题意可知三角形三线合一，结合SAS 可得△ABE
ACE
≌△
．四边形ABEC 相邻两边AB=AC，只需要
证明四边形ABEC 是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE 或DE= AE）时，根据对角线互相平分，可
得四边形是平行四边形．
解答：（1）证明：∵AB=AC，点D 为BC 的中点，
BAE= CAE
∴∠
∠
，
AE=AE
∵
ABE
ACE
∴△
△
≌
（SAS）．
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE 或DE= AE）时，四边形ABEC 是菱形
理由如下：
AE=2AD
∵
，∴AD=DE，
又∵点D 为BC 中点，
BD=CD
∴
，
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领
飞
∴四边形ABEC 为平行四边形，
AB=AC
∵
，
∴四边形ABEC 为菱形．
点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
20、如图，在▱ABCD 中，E，F 分别为边AB，CD 的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE
CBF
≌△
．
（2）若AD BD
⊥
，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：
（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A= C
∠，E、F 分别为边AB、CD 的中点，那么AE=CF，这
样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED
CFB
≌△
．
（2）直角三角形ADB 中，DE 是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD BE
∥
那么可得出四边形BFDE
是个菱形．
解答：（1）证明：在平行四边形ABCD 中，∠A= C
∠，AD=BC，
E
∵、F 分别为AB、CD 的中点，
AE=CF
∴
．
在△AED 和△CFB 中，
AED
CFB
∴△
△
≌
（SAS）；
（2）解：若AD BD
⊥
，则四边形BFDE 是菱形．
证明：∵AD BD
⊥
，
ABD
∴△
是直角三角形，且∠ADB=90°．
E
∵
是AB 的中点，
DE=
∴
AB=BE．
由题意可知EB DF
∥
且EB=DF，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
∴四边形BFDE 是菱形．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．
21、如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE AC
∥
交AB 于E，DF AB
∥
交AC 于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD 平分∠BAC，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
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考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）利用AAS 推出△ADE
DAF
≌△
，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA 是
，再利用
▱
AD 是角平分线，结合AE DF
∥
，易证
∠DAF= FDA
∠
，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF 实菱形．
解答：证明：（1）∵DE AC
∥
，∠ADE= DAF
∠
，
同理∠DAE= FDA
∠
，
AD=DA
∵
，
ADE
DAF
∴△
△
≌
，
AE=DF
∴
；
（2）若AD 平分∠BAC，四边形AEDF 是菱形，
DE AC
∵
∥
，DF AB
∥
，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
DAF= FDA
∴∠
∠
．
AF=DF
∴
．
∴平行四边形AEDF 为菱形．
点评：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
22、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB CD
∥
，BC=CD，AD BD
⊥
，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：证明题。
分析：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE 是平行四边形，即证四边形BCDE 是菱形．
解答：证明：∵AD BD
⊥
，
ABD
∴△
是Rt△
E
∵
是AB 的中点，
BE=
∴
AB，DE= AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
BE=DE
∴
，
EDB= EBD
∴∠
∠
，
CB=CD
∵
，
CDB= CBD
∴∠
∠
，
AB CD
∵
∥
，
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EBD= CDB
∴∠
∠
，
EDB= EBD= CDB= CBD
∴∠
∠
∠
∠
，
BD=BD
∵
，
EBD
CBD
∴△
△
≌
（ASA ），
BE=BC
∴
，
CB=CD=BE=DE
∴
，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．
23、如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC，AC=DB，AC 与DB 交于点M．
（1）求证：△ABC
DCB
≌△
；
（2）过点C 作CN BD
∥
，过点B 作BN AC
∥
，CN 与BN 交于点N，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明
你的结论．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）由SSS 可证△ABC
DCB
≌△
；
（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN 是平行四边形，由（1）知，∠MBC= MCB
∠
，可得BM=CM，于是就有四
边形BMCN 是菱形，则BN=CN．
解答：（1）证明：如图，在△ABC 和△DCB 中，
AB=DC
∵
，AC=DB，BC=CB，
ABC
DCB
∴△
△
≌
；（4 分）
（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：
CN BD
∵
∥
，BN AC
∥
，
∴四边形BMCN 是平行四边形，（6 分）
由（1）知，∠MBC= MCB
∠
，
BM=CM
∴
（等角对等边），
∴四边形BMCN 是菱形，
BN=CN
∴
．（9 分）
点评：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．
24、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D，交AC 于点O，CE AB
∥
交MN 于E，连接AE、
CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．
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考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质。
专题：证明题。
分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，∴AE=CE ，AD=CD ，
OA=OC AOD= EOC=90°
∠
∠
，
CE AB
∵
∥
，
DAO= ECO
∴∠
∠
，∴△ADO
CEO
≌△
，∴AD=CE，OD=OE，
由一组对边平行且相等知，四边形ADCE 是平行四边形，
OD=OE
∵
，OA=OC AOD=90°
∠
根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得．平行四边形ADCE 是菱形．
解答：（1）证明：∵MN 是AC 的垂直平分线，（1 分）
OA=OC AOD= EOC=90°
∴
∠
∠
．（3 分）
CE AB
∵
∥
，
DAO= ECO
∴∠
∠
．（4 分）
ADO
CEO
∴△
△
≌
．（5 分）
AD=CE
∴
．（6 分）
（2）解：四边形ADCE 是菱形．（8 分）
（填写平行四边形给1 分）
点评：本题利用了：1、中垂线的性质，2、全等三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定．
25、如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E、F 分别在AC、BC 上，且EF AB
∥
（1）求证：四边形EFCD 是菱形；
（2）设CD=4，求D、F 两点间的距离．
考点：菱形的判定；等边三角形的性质；勾股定理。
专题：计算题；证明题。
分析：
（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由△ABC 与△CDE 都是等边三角形，
可得出角之间的等量关系，从而证明四边形EFCD 是菱形；
（2）连接DF，与CE 相交于点G，由（1）知DF 就是菱形EFCD 的一条对角线，根据菱形的性质及30°特殊角
的值可计算出结果．
解答：（1）证明：∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，
ED=CD
∴
．
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A= DCE= BCA= DEC=60°
∴∠
∠
∠
∠
．（1 分）
AB CD
∴
∥
，DE CF
∥
．（2 分）
又∵EF AB
∥
，
EF CD
∴
∥
，（3 分）
∴四边形EFCD 是菱形．（4 分）
（2）解：连接DF，与CE 相交于点G，（5 分）
由CD=4，可知CG=2，（6 分）
∴
，（7 分）
∴
．（8 分）
点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角
线互相垂直平分．
26、如图，在梯形纸片ABCD 中，AD BC
∥
，AD＞CD，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C
处，折痕DE 交BC 于点E，连接C′E．
求证：四边形CDC′E 是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：证明题。
分析：根据题意可知△CDE
C′DE
≌△
，则CD=C′D，CE=C′E，要证四边形CDC′E 为菱形，证明CD=CE 即可．
解答：证明：根据题意可知△CDE
C′DE
≌△
，
则CD=C′D，∠C′DE= CDE
∠
，CE=C′E，
AD BC
∵
∥
，∴∠C′DE= CED
∠
，
CDE= CED
∴∠
∠
，∴CD=CE，
CD=C′D=C′E=CE
∴
，
∴四边形CDC′E 为菱形．
点评：本题利用了：1、全等三角形的性质；2、两直线平行，内错角相等；3、等边对等角；4、菱形的判定．
27、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD、BC 分别相交于点E、F．
求证：四边形AFCE 是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：证明题。
分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
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解答：证明：方法一：∵AE FC
∥
．
EAC= FCA
∴∠
∠
．（2 分）
又∵∠AOE= COF
∠
，AO=CO，
AOE
COF
∴△
△
≌
．（5 分）
EO=FO
∴
．
又EF AC
⊥
，
AC
∴
是EF 的垂直平分线．（8 分）
AF=AE
∴
，CF=CE，
又∵EA=EC，
AF=AE=CE=CF
∴
．
∴四边形AFCE 为菱形；（10 分）
方法二：同方法一，证得△AOE
COF
≌△
．（5 分）
AE=CF
∴
．
∴四边形AFCE 是平行四边形．（8 分）
又∵EF 是AC 的垂直平分线，
EA=EC
∴
，
∴四边形AFCE 是菱形；（10 分）
方法三：同方法二，证得四边形AFCE 是平行四边形．（8 分）
又EF AC
⊥
，（9 分）
∴四边形AFCE 为菱形．
点评：本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
28、如图，等边△ABC 的边长为2，E 是边BC 上的动点，EF AC
∥
交边AB 于点F，在边AC 上取一点P，使
PE=EB，连接FP．
（1）请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
（2）探究：当点E 在什么位置时，四边形EFPC 是平行四边形？并判断四边形EFPC 是什么特殊的平行四边
形，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，以点E 为圆心，r 为半径作圆，根据⊙E 与平行四边形EFPC 四条边交点的总个数，求相
应的r 的取值范围．
考点：点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。
专题：探究型。
分析：（1）由平行易得△BFE 是等边三角形，那么各边是相等的；
（2）当点E 是BC 的中点时，△PEC 为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC 是平行
四边形，再有EF=EC 可证为菱形；
（3）根据各点到圆心的距离作答即可．
解答：解：（1）易得△BFE 是等边三角形，PE=EB，
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EF=BE=PE=BF
∴
；
（2）当点E 是BC 的中点时，四边形是菱形；
E
∵
是BC 的中点，
EC=BE
∴
，
PE=BE
∵
，
PE=EC
∴
，
C=60°
∵∠
，
PEC
∴△
是等边三角形，
PC=EC=PE
∴
，
EF=BE
∵
，
EF=PC
∴
，
又∵EF CP
∥
，
∴四边形EFPC 是平行四边形，
EC=PC=EF
∵
，
∴平行四边形EFPC 是菱形；
（3）当0＜r＜
时，有两个交点；
当r=
时，有四个交点；
当
＜r＜1 时，有六个交点；
当r=1 时，有三个交点；
当r＞1 时，有0 个交点．
点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点．注意圆和线段
有交点，应根据半径作答．
29、如图，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA．
（1）求△ABC 所扫过的图形的面积；
（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC 的长．
考点：平移的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。
专题：计算题；探究型。
分析：（1）根据题意：易得△ABC
EFA
≌△
，BA EF
∥
，且BA=EF，进而得出S 平行四边形ABFE=2S
EAF
△
，故可求出
△ABC 扫过图形的面积为S
ABC
△
+S 平行四边形ABFE；
（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE 为菱形，故AF 与BE 互相垂直且平分；
（3）根据题意易得：所以∠AEB= ABE=15°
∠
，BD•AC=3，
AC•AC=3，进而可得AC 的长度．
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解答：解：（1）连接BF，由题意知△ABC
EFA
≌△
，BA EF
∥
，且BA=EF
∴四边形ABFE 为平行四边形，
S
∴
平行四边形ABFE=2S
EAF
△
ABC
∴△
扫过图形的面积为S
ABC
△
+S 平行四边形ABFE=3+6=9；
（2）由（1）知四边形ABFE 为平行四边形，且AB=AE，
∴四边形ABFE 为菱形，
AF
∴
与BE 互相垂直且平分．
（3）过点B 作BD CA
⊥
于点D，
AB=AE
∵
，
AEB= ABE=15°
∴∠
∠
．
BAD=30°BD=
∴∠
AB= AC．
∴BD•AC=3，
AC•AC=3．
AC
∴
2=12．
AC=2
∴
．
点评：本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解．考查了学生综合运用数学的能
力．
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