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2025-2026 学年广东省广州市白云区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1．（4 分）下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4 分）若分式2m
3m+2有意义，则m 的取值应满足（ ）
A．m≠0
B．m＞−2
3
C．m≠−2
3
D．m＞−2
3
m
且
≠0
3．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5
B．a2•a3＝a5
C．（a3）2＝a5
D．a（a+1）＝a2+1
4．（4 分）下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x
B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2+4x+5＝x（x+4）+5
5．（4 分）如图，电信部门要在A，B，C 三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，
按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC 的（ ）
A．三条中线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处
D．三条垂直平分线的交点处
6．（4 分）若把分式x + y
xy 中的x 和y 都扩大到原来的2 倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2 倍
B．不变
2
C．缩小为原来的1
2
D．缩小为原来的1
4
7．（4 分）现有7 根木棍，长度（单位：dm）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三
角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm．这样的三角形一共有（ ）个．
A．2
B．4
C．6
D．8
8．（4 分）如图，点A，D，C，F 在同一条直线上，AB∥EF，且AB＝EF，从下列条件中补充一个条件
后，仍不能证明△ABC≌△FED 的是（ ）
A．∠ACB＝∠FDE
B．BC＝DE
C．AD＝CF
D．∠B＝∠E
9．（4 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，若AC = BC =5√2，AB＝10，根据作图痕迹可知，△BDE 的
周长是（ ）
A．5√2
B．10√2
C．10
D．12
10．（4 分）如图，在等边△ABC 中，AD⊥BC，E 为AD 上一点，连接BE，CE，∠ABE＝15°，将△ABE
沿BE 折叠，使点A 落在点F 处，连接AF，BF，CF．下列结论：①BE⊥AF；②△AEC≌△FEB；
③AF＝CF；④△AEF 是等腰直角三角形；⑤S△ABF＝2S△EFC．其中，正确的结论个数是（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分.）
11．（4 分）点P（﹣5，﹣4）关于x 轴对称的点的坐标是 ．
12．（4 分）流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103 米，该直径
用科学记数法表示为 米．
3
13．（4 分）因式分解：x2+xy＝ ．
14．（4 分）用长度为20cm 的细绳围成一个有一边长为6cm 的等腰三角形，三角形的三边长分别为
．
15．（4 分）已知1
a −1
b =3，则
3ab
a−b+7ab
的值为 ．
16．（4 分）如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，连接BD，∠ABD＝30°，AC＝AE，且满足∠CAE＝
∠ABD，若S△ABC＝25，则AB＝ ．
三、解答题（本大题共9 小题，满分86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6 分）分解因式：3y2﹣6y+3＝ ．
18．（6 分）已知：如图，HM＝FG，EG＝NH，HM∥FG，求证：∠E＝∠N．
19．（8 分）如图，∠B＝42°，∠A 比∠ACB 小20°，∠ACD＝59°．求证：AB∥CD．
20．（8 分）已知：A = x
2−2 x +1
x
2−1
⋅1−x
1+ x ÷ x−1
x +1
．
（1）化简A；
（2）从﹣1≤x≤1 中选一个合适的整数作为x 的值，求A 的值．
21．（8 分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣
3，2）．
（1）若△ABC 关于y 轴对称的图形为△A1B1C1，在直角坐标系中画出△A1B1C1；
（2）在x 轴上是否存在点P，能使PA+PC1有最小值，如存在，请在图中找出点P 的位置，如不存在，
4
请说明理由；
（3）△A1B1C1的面积为 ．
22．（10 分）用电脑程序控制小型赛车进行100 米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决
赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1 米，并且“畅想号”跑80 米的时间
刚好与“和谐号”跑70 米的时间相等．假设两车一直都是匀速行驶．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2 秒，最终哪辆赛车能赢得比赛？请说明理由．
23．（12 分）观察下列等式：
①32﹣12＝9﹣1＝8＝8×1；
②52﹣32＝25﹣9＝16＝8×2；
③72﹣52＝49﹣25＝24＝8×3；
④92﹣72＝81﹣49＝32＝8×4．
请解答下列问题：
（1 ）按照上述规律，第⑤个等式为 ；第⑩个等式为
；
（2）猜想32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的结果，并证明你的猜想；
（3）若对于用正整数n、k（k≥1）表示的两个奇数2n+2k﹣1 和2n﹣1，它们的平方差结果为120．请
求出所有满足条件的（n，k）．
24．（14 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，与线段CD 的延长线交于点E．
①证明：∠ACD＝∠EBD；
②试探究线段BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，若点M 是线段BC 上的动点（不与点B、C 重合），且∠BMN = 1
2 ∠ACB，BN⊥MN，
5
MN 交AB 于点G，在点M 运动的过程中，BN
MG
是否为定值？请说明理由．
25．（14 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D 是AC 上一定点．
（1）尺规作图：过点D 作E∥AB，交BC 于点E（不用写作法，保留作图痕迹）；
（2）证明：△CDE 是等边三角形；
（3）F 是射线BC 上的一动点（不与点B，C 重合），以DF 为一边，在DF 的右侧作等边△DFG．
①当点F 在线段BE 上（不与点E 重合）时，求证：CF＝CD+CG；
②当点F 在射线EC 上（不与点C 重合）时，直接写出线段CF，CD，CG 之间满足的数量关系．
6
2025-2026 学年广东省广州市白云区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
C
D
C
A
B
C
B
11.（﹣5，4） 12.1.03×10﹣8 13.x（x+y） 14.6cm，6cm，8cm 或7cm，7cm，
6cm 15.3
4 16.10
选择题、填空题解法提示
10．解：①由折叠性质得：FB＝AB，AE＝FE，∠FBE＝∠ABE，∠FEB＝∠AEB，
∴△ABF 是等腰三角形，BE 是∠FBA 的平分线，
根据等腰三角形的性质得：BE⊥AF，
故结论①正确；
②∵△ABC 是等边三角形，且AD⊥BC，
∴AB＝CB＝AC＝FB，BD＝CD，∠ABC＝60°，∠BAD= 1
2
∠BAC＝30°，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴EC＝EB，
在△AEC 和△FEB 中，
{
AE = FE
AC = FB
AE = FE
，
∴△AEC≌△FEB（SSS），
故结论②正确；
③∵∠ABE＝15°，
∴∠FBE＝∠ABE＝15°，
∴∠ABF＝∠FBE+∠ABE＝30°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝30°，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
在△ABF 和△CBF 中，
{
AB =CB
∠ABF =∠CBF
BF = BF
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
7
∴AF＝CF，
故结论③正确；
④∵AE＝FE，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
故结论④正确；
⑤在△ABE 中，∠ABE＝15°，∠BAD＝30°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAD）＝135°，
∴∠FEB＝∠AEB＝135°，
∴∠AEF＝360°﹣（∠FEB+∠AEB）＝90°，
∴FE⊥AD，
∵AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴△EFC 和△EFB 等底同高，
∴S△EFC＝S△EFB，
由折叠性质得：△EFB≌△EAB，
∴S△EFB＝S△EAB，
∴S△EFB+S△EAB＝2S△EFB＝2S△EFC，
∵S△ABF＞S△EFB+S△EAB，
∴S△ABF＞2S△EFC，
故结论⑤不正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4 个．
故选：B．
16．解：过点A 和点C 分别作BD 及AB 的垂线，垂足分别为M 和N，
∵∠AEM＝∠ABD+∠BAE，∠CAN＝∠CAE+∠BAE，且∠CAE＝∠ABD，
∴∠AEM＝∠CAN．
在△AEM 和△CAN 中，
8
{
∠AEM =∠CAN
AC = AE
∠AME =∠CNA
，
∴△AEM≌△CAN（ASA），
∴AM＝CN．
又∵∠ABD＝30°，
∴AM= 1
2
AB，
∴CN= 1
2 AB．
∵S△ABC＝25，
∴1
2 ⋅AB⋅CN =25，
则AB2＝100，
∴AB＝10．
故答案为：10．
解答题参考答案
17．解：3y2﹣6y+3
＝3（y2﹣2y+1）
＝3（y﹣1）2．
故答案为：3（y﹣1）2．
18．证明：∵HM∥FG，
∴∠FGE＝∠MHN，
在△FGE 和△MHN 中，
{
FG = HM
∠FGE =∠MHN
EG = NH
，
∴△FGE≌△MHN（SAS），
∴∠E＝∠N．
19．证明：∵∠B＝42°，
∴∠A+∠ACB＝180°﹣42°＝138°．
∵∠A＝∠ACB﹣20°，
∴∠ACB﹣20°+∠ACB＝138°，
∴∠ACB＝79°．
9
又∵∠ACD＝59°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝59°+79°＝138°，
∴∠BCD+∠B＝138°+42°＝180°，
∴AB∥CD．
20．解：（1）原式=
( x−1)
2
( x +1)( x−1) ⋅−( x−1)
x +1
⋅x +1
x−1
= 1−x
x +1
；
（2）∵x+1≠0 且x﹣1≠0，
∴x≠±1，
∵x 为﹣1≤x≤1 中的整数，
∴x＝0，
则A= 1−0
0+1 =1．
21．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，取点A 关于x 轴的对称点A'，连接A'C1，交x 轴于点P，连接AP，
此时PA+PC1＝PA'+PC1＝A'C1，为最小值，
则点P 即为所求．
（3）△A1B1C1的面积为1
2 ×(1+3)×3−1
2 ×1×1−1
2 ×3×2= 5
2
．
故答案为：5
2
．
22．解：（1）设“和谐号”的平均速度为x 米/秒，则“畅想号”的平均速度为（x+1）米/秒，
由题意得：80
x +1 = 70
x
，
解得：x＝7，
经检验，x＝7 是原方程的解，且符合题意，
10
答：“和谐号”的平均速度为7 米/秒；
（2）“和谐号”赛车能赢得比赛，理由如下：
设“畅想号”需m 秒到达终点，
由题意得：（7+1）m＝100，
解得：m＝12.5，
即“畅想号”需12.5 秒到达终点，
“和谐号”先跑2 秒，再跑12.5 秒，路程为7×（2+12.5）＝101.5（米），
∵101.5＞100，
∴若“畅想号”让“和谐号”先跑2 秒，最终“和谐号”赛车能赢得比赛．
23．解：（1）由题意可得：第⑤个等式为112﹣92＝121﹣81＝40＝8×5；
第⑩个等式为212﹣192＝441﹣361＝80＝8×10，
故答案为：112﹣92＝121﹣81＝40＝8×5；212﹣192＝441﹣361＝80＝8×10；
（2）猜想：32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n，
证明：32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝﹣12+（2n+1）2
＝（2n+1）2﹣12
＝4n2+4n+1﹣1
＝4n2+4n；
（3）由题意可得：（2n+2k﹣1）2﹣（2n﹣1）2＝120，
∴（2n+2k﹣1+2n﹣1）（2n+2k﹣1﹣2n+1）＝120，
∴（4n+2k﹣2）2k＝120，
∴k（2n+k﹣1）＝30，
∵n、k（k≥1）都为正整数，
当k＝1 时，2n+1﹣1＝30，此时n＝15，
当k＝2 时，2n+2﹣1＝15，此时n＝7，
当k＝3 时，2n+3﹣1＝10，此时n＝4，
当k＝4 时，2n+4﹣1＝7.5，此时n＝2.25（不合题意，舍去），
当k＝5 时，2n+5﹣1＝6，此时n＝1，
当k＝6 时，2n+6﹣1＝5，此时n＝0（不合题意，舍去），
此后当k 越大n 会越小，n 都为负数，都不合题意，
综上所述，符合题意的（n，k）有：（15，1），（7，2），（4，3），（1，5）．
11
24．（1）①证明：∵BE⊥CD，∠BAC＝90°，
∴∠E＝∠A＝90°，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠EBD＝180°﹣∠E﹣∠BDE＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝∠ACD，
即∠ACD＝∠EBD；
②解：BE= 1
2
CD，理由如下：
延长BE、CA 交于点F，如图，
则∠BAF＝180°﹣∠BAC＝90°，
∵BE⊥CD，
∴90°＝∠BED＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠ABF+∠BED＝∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD＝∠ABF，
又∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACD（ASA），
∴BF＝CD，
由问题情境可知，△BEC≌△FEC（ASA），
∴BE＝EF= 1
2
BF，
∴BE= 1
2
CD；
（2）BN
MG
为定值，
理由：过点M 作MD∥AC，交BN 的延长线于点D，与AB 相交于H，如图，
12
∵MD∥AC，
∴∠BHM＝∠A＝90°，∠DMB＝∠C，
∵∠NMB= 1
2
∠C，
∴∠NMB＝∠NMD= 1
2
∠C，
∵BN⊥MN，
∴∠BNM＝90°，
∴∠BHM＝∠BNM，
∵∠HGM＝∠NGB，
∴∠NBG＝∠HMG，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠DMB＝45°，
则BH＝MH，
在△BDH 和△MGH 中，
{
∠HBD =∠HMG
BH = MH
∠BHD =∠GHM
，
∴△BDH≌△MGH（ASA），
∴BD＝GM，
根据解析（1）可知：△BNM≌△DNM，
∴BN＝DN，
∴BD＝GM＝2BN＝GM，
∴BN
MG = 1
2
．
25．（1）解：以点D 为顶点，DC 为一边在AC 的左侧作∠CDN＝∠A，DN 的延长线交BC 于点E，
则DE∥AB，如图（1）所示：
13
（2）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
由作图可知：∠CQE＝∠A＝60°，
∴∠C＝∠CQE＝60°，
∴△CDE 是等边三角形；
（3）①证明：当点F 在线段BE 上（不与点E 重合）时，如图2 所示：
∵△DFG 是等边三角形，
∴DF＝DG，∠FDG＝60°，
由（2）可知：△CDE 是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠EDC＝60°，
∴∠FDG＝∠EDC＝60°，
∴∠FDG﹣∠EDG＝∠EDC﹣∠EDG，
∴∠FDE＝∠GDC，
在△FDE 和△GDC 中，
{
DF = DG
∠FDE =∠GDC
DE =CD
，
∴△FDE≌△GDC（SAS），
∴FE＝GC，
∵CF＝CE+FE，CE＝CD，
14
∴CF＝CD+CG；
②解：当点F 在射线EC 上（不与点C 重合）时，有以下两种情况：
（ⅰ）当点F 在线段EC 上时，如图3 所示：
∵△DFG 是等边三角形，
∴DF＝DG，∠FDG＝60°，
由（2）可知：△CDE 是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠EDC＝60°，
∴∠FDG＝∠EDC＝60°，
∴∠FDG﹣∠CDF＝∠EDC﹣∠CDF，
∴∠CDG＝∠EDF，
在△CDG 和△EDF 中，
{
DF = DG
∠CDG =∠EDF
DE =CD
，
∴△CDG≌△EDF（SAS），
∴CG＝FE，
∴CE＝CF+FE，CE＝CD，
∴CD＝CF+CG，
即CF＝CD﹣CG；
（ⅱ）当点F 在EC 的延长线上时，如图4 所示：
15
∵△DFG 是等边三角形，
∴DG＝DF，∠FDG＝60°，
由（2）可知：△CDE 是等边三角形，
∴CD＝DE＝CE，∠EDC＝60°，
∴∠FDG＝∠EDC＝60°，
∴∠FDG+∠CDF＝∠EDC+∠CDF，
∴∠CDG＝∠EDF，
在△CDG 和△EDF 中，
{
DG = DF
∠CDG =∠EDF
CD = DE
，
∴△CDG≌△EDF（SAS），
∴CG＝FE，
∵FE＝CF+CE，CD＝CE，
∴CG＝CF+CD，
即CF＝CG﹣CD，
综上所述：线段CF，CD，CG 之间满足的数量关系是：CF＝CD﹣CG 或CF＝CG﹣CD．
