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梦想 成人成才
2015-2016 学年福建省宁德市霞浦区部分中学九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．
若方程（k+1）x2+x
3=0
﹣
是关于x 的一元二次
方程，则k 的值为( )
A．k=
1
﹣B．k≠
1
﹣C．k=0 D．k≠0
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分
D．对角线平分对角
3．在一个不透明的口袋中，装有5 个红球和2 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出
有一个球，摸到红球的概率是( )
A．
B．C．D．
4．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是( )
A．平行四边形
B．菱形C．矩形D．正方形
5．已知x1、x2是一元二次方程x2
4x+1=0
﹣
的两个根，则x1+x2等于( )
A．﹣4 B．﹣1
C．1 D．4
6．已知
，则
的值为( )
A．
B．C．2 D．
7．某果园2013 年水果产量为100 吨，2015 年水果产量为196 吨，求该果园水果产量的年平
均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )
A．196（1
x
﹣）2 B．100（1
x
﹣）2=196 C．196（1+x）2=100D．100（1+x）2=196
8．我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．已知矩形ABCD 是黄金矩形且长
AB=10，则宽BC 为( )
A．2
2
﹣
B．5
5
﹣
C．15
5
﹣
D．0.618
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9．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ
ABC
△
∽
，那么点R 应
是甲、乙
、丙、丁四点中的( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
10．如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将
△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩
形，那么平移的距离为( )
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
二、填空题（本大题共有8 小题，每小题2 分，共16 分）
11．将一元二次方程2x（x
3
﹣）=1 化成一般形式为__________．
12．两个相似多边形的一组对应边边长分别为3cm 和4.5cm，那么它们的相似比为
__________．
13．质检部门为了检测某
品牌电器的质量，从同
一批次共1000 件产品中随机抽取20 件进行检测，检测出次品2 件，由此估计这一批产品中
的次品件数是_______
___．
14．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O，请你添加一个条件：__________，使得该菱形为
正方形．
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15．若关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0 有实数根，则a 的取值范围是__________．
16．如图，△ABC 中，点D、E 分别在边AB、BC 上，DE AC
∥
，若DB=4，DA=2，DE=3，则
AC=__________．
17．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O、H 为AD 边上的中点，若OH 的长为
2，则菱形ABCD 的周长等于__________．
18．如图，设四边形ABCD 是边长为1 的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二
个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，
记正方形ABCD 的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则
a2=__________，an=__________．
三、解答题（共54 分）
19．解方程：
（1）x2+2x
4=0
﹣
（2）（2x+3）2=4（2x+3）
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20．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC
⊥
于E，AF CD
⊥
于F，BD 与AE、AF 分别相交于G、
H．
（1）求证：△ABE
ADF
∽△
；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD 是菱形．
21．甲、乙两同学为了争得一张3D 电影票，进行了一场游戏：在一个
不透明的口袋中有3 个分别标有数字﹣2、3、4 的
小球，它们除标的数字不同外无其他区别．游戏规则：随机地从口袋中取出一小球，放回后再
取出第二个小球，若两次取出来的数乘积为负数甲同学获胜，若两次取出来的数乘积为正数
乙同学获胜．
（1）请用画树状图或列表的方式表示出所有可能的结果，并求出乙获胜的概率．
（2）游戏规则对甲、乙两位同学公平吗？为什么？
22．已知四边形ABCD 中，AD BC
∥
请使用无刻度直尺画图，使得所画图形每个顶点都在格点
上．
（1）在图1 中画一个与四边形ABCD 面积相等，且以CD 为边的平行四边形．
（2）在图2 中画一个与四边形ABCD 面积相等，且以AB 为对角线的菱形．
23．霞浦县2015 年10 月1 日对城区超标电动车进行管控，某电动车商场为了减少库存，对一
款进价为2700 元/辆，售价为3500 元/辆的超标电动车进行促销活动．促销发现：促销前每天
销售8 辆，而当每辆单价下降50 元时，每天多销售2 辆，请问销售单价为多少时，商场每天可
盈利10000 元（不考虑其它费用）？
24．如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点M 以每秒1cm 的速度从点B 向
点C 移动；同时动点N 以3cm 的速度从点C 向A 移动，当点N 到达点A 时，两点都停止移动，
连接MN，设移动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，S
MNC
△
=S 四边形ABMN？
（2）当t 为何值时，△MNC 与△ABC 相似？
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25．提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE DH
⊥
于点O，求证：
AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F 分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF HG
⊥
于点
O，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF GE
∥
，如图3 所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．
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2015-2016 学年福建省宁德市霞浦区部分中学九年级
（上）期中数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．若方程（k+1）x2+x
3=0
﹣
是关于x 的一元二次方程，则k 的值为( )
A．k=
1
﹣B．k≠
1
﹣C．k=0 D．k≠0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义求出k+1≠0，求出即可．
【解答】解：∵（k+1）x2+x
3=0
﹣
是关于x 的一元二次方程，
k+1≠0
∴
，
解得：k≠
1
﹣．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关
键．
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分
D．对角线平分对角
【考点】多边形．
【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；
B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；
C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；
D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，注意掌握正方形的对角线垂直平分
且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，正方形、矩形、菱形都
具有的特征是对角线互相平分．
3．在一个不透明的口袋中，装有5 个红球和2 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出
有一个球，摸到红球的概率是( )
A．
B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：袋子中球的总数为5+2=7，而红球有5 个，
则摸出红球的概率为．
故选D．
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【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）= ．
4．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是( )
A．平行四边形
B．菱形C．矩形D．正方形
【考点】中点四边形．
【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某
一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
【解答】解：证明：如图，连接AC，
E
∵、F、G、H 分别是四边形ABCD 边的中点，
HG AC
∴
∥
，HG= AC，EF AC
∥
，EF= AC；
EF=HG
∴
且EF HG
∥
；
∴四边形EFGH 是平行四边形．
故选A．
【点评】本题考查了平行四边形的判断及三角形的中位线定理的应用，三角形的中位线平行
于第三边，并且等于第三边的一半．
5．已知x1、x2是一元二次方程x2
4x+1=0
﹣
的两个根，则x1+x2等于( )
A．﹣4 B．﹣1
C．1 D．4
【考点】根与系数的关系．
【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
【解答】解：∵方程x2
4x+1=0
﹣
的两个根是x1，x2，
x
∴1+x2=﹣（﹣4）=4．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是﹣，
两根之积是．
6．已知
，则
的值为( )
A．
B．C．2 D．
【考点】分式的基本性质．
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【专题】计算题．
【分析】设
=k，则a=2k，b=3k，c=4k．将其代入分式进行计算．
【解答】解：设
=k，则a=2k，b=3k，c=4k．
所以
=
= ，
故选B．
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未
知数表示出来，实现消元．
7．某果园2013 年水果产量为100 吨，2015 年水果产量为196 吨，求该果园水果产量的年平
均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )
A．196（1
x
﹣）2 B．100（1
x
﹣）2=196 C．196（1+x）2=100D．100（1+x）2=196
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】2015 年的产量=2013 年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2014 年的产量为100（1+x），
2015 年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=196，
故选：D．
【点评】考查列一元二次方程；得到20
15 年产量
的等量关系是解决本题的关键．
8．我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．已知矩形ABCD 是黄金矩形且长
AB=10，则宽BC 为( )
A．2
2
﹣
B．5
5
﹣
C．15
5
﹣
D．0.618
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金比值是
列出算式，计算即可．
【解答】解：由题意得：
=
，
又∵AB=10，
BC=5
∴
5
﹣，
故选：B．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段
与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值
叫做黄金比．
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9．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ
ABC
∽△
，那么点R 应
是甲、乙、丙、丁四点中的( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【考点】相似三角形的性质．
【专题】网格型．
【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比，代入数值即可求得结果．
【解答】解：∵△RPQ
ABC
∽△
，
∴
，
即
，
RPQ
∴△
的高为6．
故点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比．解题的关键是
数形结合思想的应用．
10．如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将
△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩
形，那么平移的距离为( )
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
【考点】平移的性质；矩形的性质．
【专题】计算题．
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【分析】如图，作AH BC
⊥
于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH= BC=2，则由矩形性质得
∠BAC1=90°，于是可证明Rt
BAH Rt
BC
△
△
∽
1A，利用相似比可计算出BC1=18，然后根据平
移的性质得到BC=B1C1=4，平移的距离等于BB1，再计算BC1
B
﹣
1C1即可．
【解答】解：如图，作AH BC
⊥
于H，
AB=AC
∵
，
BH=CH=
∴
BC=2，
∵四边形ABD1C1是矩形，
BAC
∴∠
1=90°，
ABH= C
∵∠
∠
1BA，
Rt
BAH Rt
BC
∴
△
△
∽
1A，
∴
=
，即
= ，解得BC1=18，
DBC
∵△
沿射线BC 平移一定的距离得到△D1B1C1，
BC=B
∴
1C1=4，平移的距离等于BB1，
BB
∴
1=BC1
B
﹣
1C1=18
4=14
﹣
（cm），
即平移的距离为14cm．
故选A．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，
新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动
后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了矩形的性质和
相似三角形的判定与性质．
二、填空题（本大题共有8 小题，每小题2 分，共16 分）
11．将一元二次方程2x（x
3
﹣）=1 化成一般形式为2x
2
6x
1=0
﹣
﹣
．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题．
【分析】方程左边去括号，移项合并即可得到结果．
【解答】解：方程去括号得：2x2
6x=1
﹣
，即2x2
6x
1=0
﹣
﹣
．
故答案为：2x2
6x
1=0
﹣
﹣
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【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0 的条
件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常
数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．两个相似多边形的一组对应边边长分别为3cm 和4.5cm，那么它们的相似比为．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案．
【解答】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5= ，
∴它们的相似比为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的
关键．
13．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共1000 件产品中随机抽取20 件进行
检测，检测出次品2 件，由此估计这一批产品中的
次品件数是100．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】先求出次品所占的百分比，再根据检测出次品2 件，直接相除得出答案即可．
【解答】解：∵随机抽取1000 件进行检测，检测出次品20 件，
∴次品所占的百分比是：
=
，
∴这一批次产品中的次品件数是：2÷
=100（件），
故答案为100．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解
题关键．
14．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O
，请你
添加一个条件：AC=BD
或
AB BC
⊥
，使得该菱形为正方形．
【考点】正方形的判定；菱形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据正方形判定定理进行分析．
【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
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根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC
⊥
；
故添加的条件为：AC=BD 或AB BC
⊥
．
【点评】本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．
15．若关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0 有实数根，则a 的取值范围是a≤1．
【考点】根的判别式．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根下必须满足△=b2
4ac≥0
﹣
．
【解答】解：因为关于x 的一元二次方程有实根，
所以△=b2
4ac=4
4a≥0
﹣
﹣
，
解之得a≤1．
故答案为a≤1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方
程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
16．如图，△ABC 中，点D、E 分别在边AB、BC 上，DE AC
∥
，若DB=4，DA=2，DE=3，则AC=
．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE AC
∥
，
BED
BCA
∴∠
△
∽
，
∴
=
，
DB=4
∵
，DA=2，DE=3，
∴
=
，
AC=
∴
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的
关键，平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
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17．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O、H 为AD 边上的中点，若OH 的长为
2，则菱形ABCD 的周长等于16．
【考点】菱形的性质．
【分析】先根据直角三角形的性质求出AD 的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，
AC
BD
∵
⊥
．
∵为AD 边上的中点，OH=2，
AD=2OH=4
∴
，
∴菱形ABCD 的周长=4×4=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解答此题的关键．
18．如图，设四边形ABCD 是边长为1 的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二
个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，
记正方形ABCD 的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则a2=
，an=
．
【考点】正方形的性质．
【专题】规律型．
【分析】求a2的长即AC 的长，根据直角△ABC 中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．
由求出的a2=
a1，a3=
a2…，an=
an
1
﹣可以找出规律，得到第n 个正方形边长的表达式．
【解答】解：∵a2=AC，且在直角△ABC 中，AB2+BC2=AC2，
a
∴2=
a1=
，
同理a3=
a2=（
）2a1=2，
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a4=
a3=（
）3a1=2
；
由此可知：
a2=
a1=
，a3=
a2=（
）2a1=2，a4=
a3=（
）3a1=2
；…
故找到规律an=（
）n
1
﹣=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律
的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．
三、解答题（共54 分）
19．解方程：
（1）x2+2x
4=0
﹣
（2）（2x+3）2=4（2x+3）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2=5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形为（2x+3）2
4
﹣（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2+2x=4，
x2+2x+1=5，
（x+1）2=5，
x+1=±
，
所以x1=
1+
﹣
，x2=
1
﹣﹣
；
（2）（2x+3）2
4
﹣（2x+3）=0，
（2x+3）（2x+3
4
﹣）=0，
2x+3=0 或2x+3
4=0
﹣
，
所以x1=﹣，x2= ．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因
式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两
个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次
方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC
⊥
于E，AF CD
⊥
于F，BD 与AE、AF 分别相交于G、
H．
（1）求证：△ABE
ADF
∽△
；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD 是菱形．
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【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形
的判定与性质．
【专题】
证明题．
【分析】（1）利用两角对应相等可证出△ABE
ADF
∽△
；
（2）利用（1）的结论，先证出△ABG
ADH
△
≌
，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD 是菱形．
【解答】证明：（1）∵AE BC
⊥
，AF CD
⊥
，
AEB= AFD=90
∴∠
∠
度．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
ABE= ADF
∴∠
∠
．
ABE
ADF
∴△
△
∽
．
（2）∵△ABE
ADF
∽△
，
BAG= DAH
∴∠
∠
．
AG=AH
∵
，
AGH= AHG
∴∠
∠
，
从而∠AGB= AHD
∠
，
ABG
ADH
∴△
△
≌
，
AB=AD
∴
．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是菱形．
【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定．
21．甲、乙两同学为了争得一张3D 电影票，进行了一场游戏：在一个不透明的口袋中有3 个
分别标有数字﹣2、3、4 的小球，它们除标的数字不同外无其他区别．游戏规则：随机地从口
袋中取出一小球，放回后再取出第二个小球，若两次取出来的数乘积为负数甲同学获胜，若
两次取出来的数乘积为正数乙同学获胜．
（1）请用画树状图或列表的方式表示出所有可能的结果，并求出乙获胜的概率．
（2）游戏规则对甲、乙两位同学公平吗？为什么？
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与乙获胜的情
况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先由（1）求得甲同学获胜的概率，比较概率的大小，即可知游戏规则对甲、乙两位同学
是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
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∵共有9 种等可能的结果，乙获胜的有5 种情况，
∴乙获胜的概率为：；
（2）不公平．
理由：∵甲获胜的有4 种情况，
P
∴（甲获胜）= ，
P
∴（甲获胜）≠P（乙获胜），
∴游戏规则对甲、乙两位同学不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平．
22．已知四边形ABCD 中，AD BC
∥
请使用无刻度直尺画图，使得所画图形每个顶点都在格点
上．
（1）在图1 中画一个与四边形ABCD 面积相等，且以CD 为边的平行四边形．
（2）在图2 中画一个与四边形ABCD 面积相等，且以AB 为对角线的菱形．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）因为四边形ABCD 的上下底之和为2+8=10，找出在A 的左边左数3 个格，B 的
右边右数3 个格，连接两个点即可；
（2）因为四边形ABCD 的面积为×（2+8）×4=20，对角线AB=
=2
，另一条的对角
线为4
=
=
，找出AB 的中点且与AB 垂直即可．
【解答】解：如图，
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【点评】本题主要考查了作图的设计和应用，勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四
边形、菱形的面积以及格点的数字特点．
23．霞浦县2015 年10 月1 日对城区超标电动车进行管控，某电动车商场为了减少库存，对一
款进价为2700 元/辆，售价为3500 元/辆的超标电动车进行促销活动．促销发现：促销前每天
销售8 辆，而当每辆单价下降50 元时，每天多销售2 辆，请问销售单价为多少时，商场每天可
盈利10000 元（不考虑其它费用）？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】设销售单价为x 元，利用每一辆的利润乘销售的辆数等于总利润列出方程解答即可．
【解答】解：设销售单价为x 元，由题意得
（x
2700
﹣
）（8+
×2）=10000，
解得：x1=x2=3200．
答：销售单价为3200 元时，商场每天可盈利10000 元．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键．
24．如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点M 以每秒1cm 的速度从点B 向
点C 移动；同时动点N 以3cm 的速度从点C 向A 移动，当点N 到达点A 时，两点都停止移动，
连接MN，设移动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，S
MNC
△
=S 四边形ABMN？
（2）当t 为何值时，△MNC 与△ABC 相似？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】（1）由题意可知：CM=6
t
﹣，CN=3t，因为S
MNC
△
=S 四边形ABMN，所以S
MNC
△
是△ABC
的面积一半，由此列出方程解答即可；
（2）分两种情况：△MCN
ACB
∽△
，△MCN
BCA
∽△
，得出对应线段的比计算得出答案即可．
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【解答】解：（1）∵AC=8cm，BC=6cm，
S
∴
ABC
△
=24cm2，
CM=6
t
∵
﹣，CN=3t，S
MNC
△
=S 四边形ABMN，
∴×3t（6
t
﹣）=12，
解得：t1=2，t2=4；
∵当点N 到达点A 时，两点都停止移动，
0
∴＜t＜，
∴当t=2 时，S
MNC
△
=S 四边形ABMN．
（2）①当△MCN
ACB
∽△
时，
则
=
，
即
=
，
解得：t= ；
②当△MCN∽
BCA
△
时，
则
=
，
即
=
，
解得：t=
，
答：当t 为，或
时，△MNC 与△ABC 相似．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，相似的性质，掌握三角形的面积和分类探讨是解
决问题的关键．
25．提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE DH
⊥
于点O，求证：
AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F 分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF HG
⊥
于点
O，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF GE
∥
，如图3 所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．
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【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；探究型．
【分析】（1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°= DAH
∠
．所以∠HAO+ OAD=90°
∠
，又
知∠ADO+ OAD=90°
∠
，所以∠HAO= ADO
∠
，于是△ABE
DAH
≌△
，可得AE=DH；
（2）EF=GH．将FE 平移到AM 处，则AM EF
∥
，AM=EF，将GH 平移到DN 处，则DN GH
∥
，
DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）易得△AHF
CGE
∽△
，所以
，由EC=2 得AF=1，过F 作FP BC
⊥
于P，根据勾
股定理得EF=
，因为FH EG
∥
，所以
，根据（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得
三角形FOH 与三角形EOG 的面积相加即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
AB=DA
∴
，∠ABE=90°= DAH
∠
．
HAO+ OAD=90°
∴∠
∠
．
AE
DH
∵
⊥
，
ADO+ OAD=90°
∴∠
∠
．
HAO= ADO
∴∠
∠
．
ABE
DAH
∴△
△
≌
（ASA），
AE=DH
∴
．
（2）EF=GH．
将FE 平移到AM 处，则AM EF
∥
，AM=EF．
将GH 平移到DN 处，则DN GH
∥
，DN=GH．
EF
GH
∵
⊥
，
AM DN
∴
⊥
，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）∵四边形ABCD 是正方形，
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AB CD
∴
∥
AHO= CGO
∴∠
∠
FH EG
∵
∥
FHO= EGO
∴∠
∠
AHF= CGE
∴∠
∠
AHF
CGE
∴△
△
∽
∴
EC=2
∵
AF=1
∴
过F 作FP BC
⊥
于P，
根据勾股定理得EF=
，
FH EG
∵
∥
，
∴
根据（2）知EF=GH，
FO=HO
∴
．
∴
，
，
∴阴影部分面积为
．
【点评】本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．
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