55.棱台及应用
一．基本原理
1.斜高：空间几何体的顶点到其底边的距离，即为斜高。就棱锥而言，斜高是指其侧面三
角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离，就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的
高，它也是该梯形上下底边的距离.
2.正棱台的性质：
（1）正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台
的斜高；
（2）正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；
（3）正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连
线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，
分别为上，下底面中心，作O1E1⊥B1C1 于E1，
O
O ,
1
OE⊥BC 于E，则E1E 为斜高，
①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1．
②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1．
（4）棱台各棱的反向延长线交于一点，故可以通过补成棱锥来处理.
二．典例分析
★1．考察棱台的基本公式
例1．（2021 年新高考2 卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
20 12 3
28 2
56
3
28 2
3
解析：因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高
，下底面面积
，上底面面积
，所以该棱台的体积
2
2
2
2 2
2
2
h
1
16
S
2
4
S
.故选：D.
1
2
1
2
1
1
28
2
16
4
64
2
3
3
3
V
h S
S
S S
例2.（2022 新高考1 卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分
水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为
；水位为海
148 5m
．
2
140 0km
．
拔
时，相应水面的面积为
，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱
157 5m
．
2
180 0km
．
台，则该水库水位从海拔
上升到
时，增加的水量约为（
）（ ）
148 5m
．
157 5m
．
7
2.65
A．
B．
C．
D．
9
3
1.0 10 m
9
3
1.2 10 m
9
3
1.4 10 m
9
3
1.6 10 m
例3．（2023 年新高考2 卷）底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去
一个底面边长为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为_________.
解析：方法1：由于
，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
2
1
4
2
3
6
所以正四棱锥的体积为
，截去的正四棱锥的体积为
，
1
4 4
6
32
3
1
2 2
3
4
3
所以棱台的体积为
.
32
4
28
方法2：棱台的体积为
.故答案为：
.
1
3
16
4
16 4
28
3
28
例4．（2023 年新高考1 卷）在正四棱台
中，
，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
1
2,
1,
2
AB
A B
AA
则该棱台的体积为________.
解析：如图，过
作
，垂足为
，易知
为四棱台
的高，
1A
1A M
AC
M
1A M
1
1
1
1
ABCD
A B C D
因为
，
1
1
1
2,
1,
2
AB
A B
AA
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
,
2
2
2
2
2
2
2
2
AO
AC
A B
AO
AC
AB
故
，则
，
1
1
1
2
2
2
AM
AC
AC
2
2
1
1
1
6
2
2
2
A M
A A
AM
所以所求体积为
.故答案为：
.
1
6
7 6
(4 1
4 1)
3
2
6
V
7 6
6
★2．考察棱台的外接球
例5．（2022 年全国新高考2 卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
3 3
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
4 3
A．
B．
C．
D．
100π
128π
144π
192π
解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径
，所以
，即
1
2
,
r r
1
2
3 3
4 3
2
,2
sin 60
sin 60
r
r
，设球心到上下底面的距离分别为
，球的半径为
，所以
，
1
2
3,
4
r
r
1
2
,
d d
R
2
1
9
d
R
，故
或
，即
或
2
2
16
d
R
1
2
1
d
d
1
2
1
d
d
2
2
9
16
1
R
R
，解得
符合题意，所以球的表面积为
．故
2
2
9
16
1
R
R
2
25
R
2
4π
100π
S
R
选：A．
★3.以棱台为模型考察空间角
例6．（2024 年新高考2 卷）已知正三棱台
的体积为
，
，
，
1
1
1
ABC
A B C
-
52
3
6
AB
1
1
2
A B
则
与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
1A A
A．
B．1
C．2
D．3
1
2
解析：解法1：分别取
的中点
，则
，可知
1
1
,
BC B C
1
,
D D
1
1
3 3
3
AD
,A D
=
=
，设正三棱台
的为，
1 1 1
1
3
1
6 6
9 3,
2
3
3
2
2
2
ABC
A B C
S
S
A
A
1
1
1
ABC
A B C
-
h
则
，解得
，如图，分别过
作底面
1 1 1
1
52
9 3
3
9 3
3
3
3
ABC
A B C
V
h
4 3
3
h
1
1
,
A D
垂线，垂足为
，设
，（凌晨讲数学）
,
M N
AM
x
则
，
，可得
2
2
2
1
1
16
3
AA
AM
A M
x
=
+
=
+
2 3
DN
AD
AM
MN
x
=
-
-
=
-
，结合等腰梯形
可得
,
2
2
2
1
1
16
2 3
3
DD
DN
D N
x
1
1
BCC B
2
2
2
1
1
6
2
2
BB
DD
即
，解得
，所以
与平面ABC 所成角的正切值为
2
2
16
16
2 3
4
3
3
x
x
4 3
3
x
1A A
；
1
1
tan
1
A M
A AD
AM
Ð
=
=
解法2：将正三棱台
补成正三棱锥
，
1
1
1
ABC
A B C
-
P
ABC
则
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，因为
，则
1A A
PA
1
1
1
1
3
PA
A B
PA
AB
，
1 1 1
1
27
P A B C
P ABC
V
V
可知
，则
，设正三棱锥
的高为
，则
1 1 1
26
52
27
3
ABC A B C
P ABC
V
V
18
P
ABC
V
P
ABC
d
，解得
，取底面ABC 的中心为
，则
底面
1
1
3
6 6
18
3
2
2
P ABC
V
d
2 3
d
O
PO
ABC，且
，所以
与平面ABC 所成角的正切值
.故选：B.
2 3
AO
PA
tan
1
PO
PAO
AO
三．习题演练（凌晨讲数学）
未来还会怎么考？内切球，二面角？都有可能！还有可能不考了...
1．已知正三棱台
的上､下底面的边长分别为2 和4，且棱台的侧面与底面所
1
1
1
ABC
A B C
-
成的二面角为
，则此三棱台的表面积为（
）
60
A．
B．
C．
D．
7 3
10 3
11 3
12 3
解析：设
分别是
的中点，连接
，设
分别是正三角形
和正三
1
,
D D
1
1
,
BC B C
1
1
,
AD A D
1
,
O O
ABC
角形
的中心，则
，且
，
1
1
1
A B C
1
1
1
,
O
AD O
A D
1
1
1
1
1
3
1
2 3
,
3
3
3
3
B D
A D
BD
AD
由于
平面
平面
，所以
，由于
1
OO
,
ABC BC
ABC
1
OO
BC
平面
，所以
平面
，由于
平
1
1
,
,
,
AD
BC AD
OO
O AD OO
1
1
ADD A
BC
1
1
ADD A
1
DD
面
，所以
，所以
是棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，所
1
1
ADD A
1
BC
DD
1
D DA
以
，过
作
，垂足为
，则
，所以
1
60
D DA
1
O
1
O E
AD
E
1
1
3
3
DE
OD
O D
，所以三棱台的表面积为
.
1
2 3
3
DD
2
2
1
1
2
4
2 3
2
sin 60
4
sin 60
3
11 3
2
2
2
3
故选：C
2．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为
，则该正四棱台内半
3 5
径最大的球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12π
27π
64π
9
64π
3
解析：作出如图所示正四棱台，其中
为正四棱台的高，
为其斜高，
1
OO
1
EE
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为
，则
，
，
3 5
1
1
2
B O
4 2
BO
，因为
，故半径最大的球不与上下
2
2
1
3 5
4 2
2
3 3
OO
1
2
8
3 3
5
2
OO
底面同时相切，
，则
，则
，
2
2
1
8
2
3 5
6
2
EE
1
1
1
3
sin
2
OO
OEE
EE
1
π
3
OEE
过
作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则
1
1
,
,
,
O E E O
，则
，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相
2
6
O EO
1
2
4
4 3
3 3
3
2
2
3
OO
OO
切，
即该正四棱台内半径最大的球半径
，球的表面积为
.故选：D.
4 3
3
r
2
64
4π
π
3
S
r
3．在正四棱台
中，
，若球
与上底面
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
1
4,
2,
3
AB
A B
AA
O
1
1
1
1
D
C
B
A
以及棱
均相切，则球
的表面积为（ ）（凌晨讲数学）
,
,
,
AB BC CD DA
O
A．
B．
C．
D．
9π
16π
25π
36π
解析：设棱台上下底面的中心为
,连接
，则
，所以棱台
,
N M
1
1,
D B DB
1
1
2 2,
4 2
D B
DB
的高
，设球半径为
,根据正四棱台的
2
2
2
2
1
1
3
2 2
2
1
MN
B B
MB
NB
R
结构特征可知：球
与上底面
相切于
,与棱
均相切于各边中点处，
O
1
1
1
1
D
C
B
A
N
,
,
,
AB BC CD DA
设
中点为
，连接
，所以
，解得
BC
E
,
,
OE OM ME
2
2
2
2
2
2
1
2
OE
OM
ME
R
R
，
5
2
R
所以球
的表面积为
，故选：C
O
2
4π
25π
R
4．（多选题）已知正四棱台
，上底面
边长为2，下底面
边
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
长为4，高为1，则（ ）
A．该四棱台的侧棱长为
3
B．二面角
的大小为
1
A
BC
B
4
C．该四棱台的体积为
14
2
3
D．
与
所成角的余弦值为
1
AA
BC
1
3
解析：如图，
平面
于
，
于
，则
是的高，
是斜高，显然
1
B F
ABCD
F
1
B E
BC
E
1B F
1B E
在对角线
中，
，
，则
，所以
F
BD
1
1
B F
1
1
4,
2
AB
A B
1 (4 2
2 2)
2
2
BF
，A 正确，
2
2
1
1
3
BB
BF
B F
直角
中
是二面角
的平面角，
，所以
1B EF
A
1
B EF
1
A
BC
B
1
(4
2)
1
2
EF
1
B F
，B 正确；
1
4
B EF
，C 错；
2
2
1
28
1 (2
2 4
4 )
3
3
V
，所以
与
所成的角为
或其补角．又
，
/ /
BC
AD
BC
1
AA
1A AD
1
2
B E
，正四棱台中
，D 错．故选：AB．
1
1
3
cos
3
3
B BC
1
1
A AD
B BC
5．在正四棱台
内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的
1
1
1
1
ABCD
A B C D
内切球），若
，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球
1
1
2,
4
A B
AB
的半径之比为________.
解析：根据题意，该正棱台的轴截面，如图：（凌晨讲数学）
由题意，由
知
，由圆的切线长性质可知
1
1
2,
4
A B
AB
1,
2
HM
KF
，所以
，所以
1,
2
MQ
HM
FQ
KF
3
MF
2
2
9 1
2 2
HK
MF
KF
HM
，
所以该四棱台的内切球的半径为
，下面画出正四棱台
，连
2
2
1
r
HK
=
=
1
1
1
1
ABCD
A B C D
接
,
，交于点
,连接
,
，交于点
，如图，
1
1
AC
1
1
B D
1
O
AC BD
2
O
由
可得
,
，
，设外接球的半径为
，
1
1
2,
4
A B
AB
1
1
2
AO
1
2
2 2
O O
HK
2
2 2
AO
R
，则
，由
得（凌晨讲数学）
1
0
2 2
OO
t
t
2
2 2
OO
t
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
R
AO
OO
R
AO
OO
，解得
，于是
，则
2
2
2
2
2
2 2
2 2
t
t
7
2 2
t
2
2
2
49
65
2
2
8
8
R
t
.
65
2 2
R
所以
.故答案为：
65
65
2 2
4
2
R
r
65
4
