文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7.3 空间角（精讲）
空间角的概念及范围
空间角
解题思路
夹角范围
线线角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为
则
线面角
l 为平面α 的斜线，
为l 的方向向量，
为平面α 的法向
量，
φ 为l 与α 所成的角，则
二面角
平面α 的法向量为
，平面β 的法向量为
，〈
，
〉＝
θ，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设二面角大小为φ，则
一．异面直线所成的角
1.几何法:平移法求异面直线所成的角
(1)作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）证：证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是
钝角，则它的补角才是要求的角．
2.向量法
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
二．直线与平面所成角
1.几何法
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂
足，然后把线面角转化到三角形中求解.
2.向量法
（1）斜线的方向向量
（2）平面的法向量
（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.
三．二面角
1.几何法
方法一：定义法：找出二面角的平面角
方法二：垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条
垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
2.向量法
（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得
到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
考法一 线线角
【例1-1】（2023·河南洛阳）如图四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且各棱长均相等，E 是PB 的
中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接
与
交于点
，连接
，
由题意得，
，且
平面
，
以
点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设四棱锥
各棱长均为2，则
，
，
可得
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
设异面直线
与
所成角为
，
则
．
故选：A．
【例1-2】（2023 秋·陕西汉中）在三棱锥
中，
，
的边长均为6，P 为AB
的中点，则异面直线PC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，取
中点
，连接
，
，
是
中点，
，
，
则
是PC 与BD 所成角的平面角（或补角），
在
中，
，
，
由余弦定理，
，
在
中，
，
，同理，
，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
中，由余弦定理可得，
，
异面直线
与
所成角的余弦为
.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·北京）如图所示，在正方体
中，
，
分别是
，
的中点，则异面直线
与
所成的角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，连接
，
，则
,
，
分别是
，
的中点，
，
是异面直线
与
所成的角，且
是等边三角形，
.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：
.
2．（2023 秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
异面直线
与
所成角即为直线
与
所成角，即
（或其补角）；
，
，
，
，
即异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：C.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
为正方形，
是正三角形，
，平面
平面
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取
的中点
，
的中点
，连接
、
，
因为
是正三角形，所以
，平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，所以
与
所成角的余弦值为
.
故选：A
考法二 线面角
【例2-1】（2023 秋·福建福州）如图，在底面为菱形的四棱锥
中，
，
．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：平面
平面ABCD；
(2)已知
，求直线BN 与平面ACN 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：取AD 的中点为O，连结OM，OB，
因为四边形ABCD 是为菱形，且
，
所以
为正三角形，所以
，且
．
因为
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，
平面ABCD，
平面ABCD
所以
平面ABCD，
又因为
平面MAD，
所以平面
平面ABCD．
（2）由（1）知，OA，OB，OM 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以
，
，
为x，y，z 轴的正
方向建立如图所示的空间直角坐标系
．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面ACN 的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，则
．
因为
，
则
，
所以直线BN 与平面ACN 所成角的正弦值为
．
【例2-2】（2023 秋·湖北）如图，在四棱台
中，
底面
，M 是
中点.底面
为直角梯形，且
，
，
.
(1)求证：直线
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接
，
因为
是
中点，且
，
，则
，
又因为
，则
，可知
四点共面，
由
，
，可得
，
，
则四边形
是平行四边形，故
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为
底面
，
底面
，则
，
且
，
，
平面
，所以
平面
，
由（1）可知：
，则
平面
，且
平面
，
所以平面
平面
，
过点
作
于点
，连
，
平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以
为
与平面
所成角，
因为
，则
，可得
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值
.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【一隅三反】
1．（2022 秋·陕西渭南·高三统考阶段练习）如图，在三棱柱
中，
底面
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【解析】（1）连接
，由于
分别为
，
的中点，
所以
，由于
平面
，
平面
,
所以
平面
.
（2）由于
底面
，
，所以
底面
底面
，所以
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由于
，所以
两两相互垂直，
以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面
，即平面
的法向量为
，
则
，故可设
.
设直线
与平面
所成角为
，
则
.
2．（2023 秋·重庆·高三统考开学考试）如图，
为圆锥的顶点，A，
为底面圆
上两点，
，
为
中点，点
在线段
上，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
【解析】（1）设圆O 的半径为r，
在
中，
，
，
，
故
，又
，故
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，即
；
圆锥中，
底面
，
底面
，故
，
又
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
不妨设
，则
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
有
，即
，解得
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023 春·北大附中校考期中）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等
边三角形，平面
平面
，
，
.
(1)设
分别为
的中点，求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）证明：连接
，根据题意可得
，可得
为
的中点，
又由
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）证明：取棱
的中点
，连接
，
因为
为等边三角形，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，且
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又因为
，
且
平面
，所以
平面
.
（3）解：连接
，由
平面
，可得
是直线
与平面
所成的角，
因为
为等边三角形，
，且
为
的中点，所以
，
又因为
，在直角
中，
，
所以直线
与平面
所成的角的正弦值为
.
考法三 二面角
【例3-1】（2023 秋·广东）如图，在多面体ABCDE 中，
平面BCD，平面
平面BCD，其中
是边长为2 的正三角形，
是以
为直角的等腰三角形，
.
(1)证明：
平面BCD.
(2)求平面ACE 与平面BDE 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取CD 的中点F，连接EF，BF.
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
是边长为2 的正三角形，所以
，且
.
因为平面
平面BCD，且平面
平面
，
平面ECD，
所以
平面BCD.
因为
平面BCD，所以
.
因为
，所以四边形ABFE 为平行四边形，
所以
.
因为
平面BCD，
平面BCD，所以
平面BCD.
（2）过点B 作
，以B 为坐标原点，分别以
，
，
的方向为x，y，z 轴的正方向，建立如
图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
故
，
，
，
.
设平面ACE 的法向量为
，
则
，
令
，得
.
设平面BDE 的法向量为
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
令
，得
.
设平面ACE 与平面BDE 的夹角为
，
则
.
【例3-2】（2023 春·湖南永州·高三统考阶段练习）在正方体
中，E、F 分别是棱AB、CD
的中点.
(1)求证：
面
；
(2)求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由E、F 分别是棱AB、CD 的中点，得
，
又
面
，
面
，
所以
面
；
（2）由
面
，
面
，则
，
又
，则
为二面角
的平面角，
在直角三角形
中
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以二面角
的大小为
.
【一隅三反】
1．（2023 秋·山西吕梁·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，点
是棱
上的一点．
(1)若
，求证：平面
平面
；
(2)若
，
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接
，取
中点F，连接
，如图所示．
因为
，
，所以
，
，所以四边形
为平行四边形．
所以
，则
，所以
，即
．
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
又
，
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
．
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）以
为坐标原点，
，
，
所在的直线分别为
轴，
轴，轴，建立空间直角坐标系，如图
所示．
所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的一个法向量
，
所以
，得
，令
，
，所以平面
的一个法向量
．
因为
，所以
，又
，
所以
，又
，
设平面
的一个法向量
，
所以
，得
，令
，得
，
所以平面
的一个法向量
．
设平面
与平面
的夹角为
，
所以
．
即平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023 秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）在直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为AC 和
的中点，
.
(1)证明：
.
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为侧面
为正方形，所以
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，所以
，
所以在直三棱柱
中，
,
所以
，
因为
，侧面
为正方形，
所以
，
，
因为E，F 分别为AC 和
的中点，所以
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，所以
，
因为
，所以
∽
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，
为
的中点，所以
,
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
（2）解：由（1）可知
两两垂直，所以以
为原点，
所在的直线分别为
轴，
建立空间直角坐标系，则
，
因为E，F 分别为AC 和
的中点，所以
，
所以
，
因为
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
设二面角
的平面角为
，由图可知
为锐角，则
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
所以二面角
的余弦值为
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱
中，已知
平面
，且
.
(1)求
的长；
(2)若
为线段
的中点，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）连接
，
因为
平面
，
平面
，则
，
又因为
，
平面
，
所以
平面
，
且
平面
，可得
，
因为
为平行四边形，且
，则
为矩形，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
正方形，可得
.
（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱
，
取
的中点
，连接
，则
三点共线，且
//
，
因为
//
，可得
//
，
所以平面
即为平面
，
同理平面
即为平面
，
因为
//
，
平面
，则
平面
，
且
平面
，则
，
所以二面角
的平面角为
，
可得
，
在
中，则
，
所以二面角
的余弦值为
.
.
4．（2023 秋·广东深圳·高三校联考开学考试）在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
.
(1)证明：平面
平面ABCD；
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若
，
，求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）∵底面ABCD 为正方形，
∴
，
又∵
，
，AD，
平面PAD，
∴
平面PAD，
∵
平面ABCD，
∴平面
平面ABCD.
（2）（法一）取AD 中点为O，连结PO，
∵在
中，
，
，
∴
，
为等边三角形.
∵平面
平面ABCD，平面
平面
，
平面PAD，
∴
平面ABCD，
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为2，
∴
，
，
，
，
，
∴
，
，
设平面PBC 的一个法向量
，
则
，即
，
令
，则
，
，
∴
，
由（1）可知平面PAD 的一个法向量
，
设平面PAD 与平面PBC 的夹角为
，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
∴平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为
.
（法二）设平面PAD 与平面PBC 的交线为l，
∵
，
平面PAD，
平面PAD，
∴
平面PAD，
又∵
平面PBC，
∴
，
，
∵平面PAD 与平面PBC 有一个交点P，
∴l 为过点P 且与BC 平行的一条直线，如下图，
取AD 中点为O，取BC 中点为M，连结PO，PM，OM，
∵底面四边形ABCD 为正方形，O，M 分别为AD，BC 的中点，
∴
，
又∵
平面PAD，∴
平面PAD，
∵
平面PAD，∴
，
∵在
中，
，O 为AD 的中点，
∴
，
，
又
，PO，
平面PAD，
∴
平面POM，∴
，
又∵
为锐角，∴
为平面PAD 与平面PBC 的夹角，
设底面正方形ABCD 的边长为2，
在
中，
，
，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为
.
考法四 动点问题求角
【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知直角梯形
与
，
，
，
，AD⊥AB，
，G 是线段
上一点.
(1)平面
⊥平面ABF
(2)若平面
⊥平面
，设平面
与平面
所成角为
，是否存在点G，使得
，
若存在确定G 点位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点G 为BF 中点
【解析】（1）因为
，
，
，AF、AB
平面ABF，
所以AD⊥平面ABF，又AD
平面ABCD，
所以平面
⊥平面ABF.
（2）由面
⊥面
，
，面
面
，
面
，
所以
平面
，AB 在面ABCD 内，则
，结合已知建立如下空间直角坐标系，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，设
，得
，
平面
的法向量为
，又
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
，
故
=
，解得
=
，
（舍），
所以点G 的坐标为
，故存在点G 为BF 中点时使得
.
【一隅三反】
1．（2023 春·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥
，底面为菱形
平面
，
为
上一点.
(1)平面
平面
，证明：
；
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)当二面角
的余弦值为
时，试确定点
的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)点
为棱
中点
【解析】（1）证明：因为
平面
平面
，
所以
平面
，
又因为平面
平面
，所以
.
（2）取
中点
，则
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.
所以
，
设
，
所以
，
设平面
的法向量
，则有
，即
令
，则
.
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
平面
的一个法向量为
，
所以
.
解得
，
即当点
为棱
中点时满足条件.
2．（2023 秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图1，在平面图形
中，
，
，
，
，沿
将
折起，使点
到
的位置，且
，
，
如图2.
(1)求证：平面
平面
.
(2)线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
所成角的余弦值为
?若存在，求出
的长；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)线段FG 上存在点M，
【解析】（1）证明：因为
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，且
，所以四边形
为等腰梯形，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，即
，
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，
，
平面AEG，所以
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）解：由
，
，且
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，可得
，所以
平面
，
又由（1）知
，
，所以
两两互相垂直，
以
为原点，
所在的直线分别为
轴、
轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为
，四边形
是矩形，所以
，
则
，
，
.
假设线段
上存在点
满足题意，
令
,则
，可得
，
.
设平面
的一个法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
由
平面
，则平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
所成角为
，
则
，其中
，
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，解得
，即
，
所以线段
上存在点
，使得平面
与平面
所成角的余弦值为
，且
.
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【解析】（1）以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
，
，
又
不在同一条直线上，
.
（2）设
，
则
，
设平面
的法向量
，
则
，
令
，得
，
，
设平面
的法向量
，
则
，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，得
，
，
，
化简可得，
，
解得
或
，
或
，
.
33
