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第 39 讲 圆的方程
1.圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
圆心C：
标准方程
半径：
圆心：
一般方程
半径：
2.点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程 ，点 ．
① 点在圆上；
② 点在圆外；
③ 点在圆内．
3.点与圆上点的距离
圆 的标准方程 ，点 ，
则点 到圆上任一点的最大距离为 ；最小距离为 .
4.圆上点到直线的距离
圆 的标准方程 ，直线 ，圆心 到直线 的距离为 ，
则圆 上任一点到直线 的最大距离为 ；最小距离为 （直线与圆相离时）.
5.求与圆有关的轨迹方程问题时，有以下方法：
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式,进而求出轨迹方程.
考点一 几何法求圆的方程
考点二 待定系数法求圆方程
考点三 点、直线到圆上点的距离问题
考点四 圆相关轨迹方程
考点一：几何法求圆的方程
例1．已知圆的圆心为 ，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.
【详解】设直径的两个端点分别 ，
圆心C为点 由中点坐标公式，得 ，解得
∴半径 ，
∴圆的方程是 即
故选：A.
考点二：待定系数法求圆方程
例2．（2023·广东湛江·统考二模）若与 轴相切的圆 与直线 也相切，且圆 经过点 ，
则圆 的直径为（ ）
A．2 B．2或 C． D． 或
【答案】B
【分析】根据题意设出圆的方程，代入点的坐标可求圆的方程，从而可得圆的直径.【详解】因为直线 的倾斜角为 ，
所以圆 的圆心在两切线所成角的角平分线 上．
设圆心 ，则圆 的方程为 ，
将点 的坐标代入，得 ，
整理得 ，解得 或 ；
所以圆 的直径为2或 ．
故选：B.
考点三：点、直线到圆上点的距离问题
例3．（2023·四川遂宁·统考二模）过直线 ： 上的点作圆 ： 的切线，则
切线段长的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何关系表示出切线段长度，根据几何关系即可求出其最小值．
【详解】设直线上任意一点为P，过P作圆的切线，切点为M，圆C圆心C为 ，半径 ，
则 ，
要使 最小，则 最小，易知 最小值为圆心C到直线l的距离．
即 ，
∴ ．
故选：B．考点四：圆相关轨迹方程
例4．已知半径为 的圆经过点 ，其圆心到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求得圆心的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，由此可知所求最大值为 到直线的距
离加上半径 ，结合点到直线距离公式可得结果.
【详解】设圆的圆心为 ，则 ，
则圆的圆心的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
圆心到直线 的距离的最大值为 .
故选：D.
一、单选题
1．已知圆 和直线 .若圆 与圆 关于直线l对称，则圆 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据对称性求得圆 的圆心和半径，进而求得圆 的方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
关于直线 的对称点是 ，
所以圆 的圆心是 ，半径是 ，
所以圆 的方程为 .
故选：B
2．若圆C与y轴相切，则圆C的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出圆的圆心和半径，判断是否符合题意，即得答案.
【详解】依题意可得圆C的圆心到y轴的距离应等于圆心横坐标的绝对值，
的圆心为原点，不符合题意，A错误；
的圆心为 ，不符合题意，B错误；
的圆心为 ，半径为1，符合题意，C正确；
圆心为 ，半径为 ，不符合题意，D错误，
故选：C
3．（2023·吉林·统考三模）已知圆C： ，直线l： ，则圆心C到直线l的距
离为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据给定条件，求出圆C的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】依题意，圆C： 的圆心 ，
所以圆心C到直线l的距离 .
故选：D
4．（2022·河南·校联考一模）过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线 与抛物线 交于 两
点，则以 为直径的圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将直线 方程与抛物线方程联立可得 ，结合中点坐标公式可得圆心坐标，利用抛物线焦
点弦长公式可求得半径 ，由此可得圆的方程.
【详解】由抛物线方程知： ，则 ，
由 得： ，
设 ， ，则 ，
， 中点为 ，即 ，
又所求圆的半径 ，
以 为直径的圆的方程为： .
故选：C.
5．若不同的四点 ， ， ， 共圆，则a的值为（ ）A．1 B．3 C． D．7
【答案】D
【分析】设圆的方程为 ，解方程组 即得解.
【详解】解：设圆的方程为 ，分别代入A，B，C三点坐标，得
，
解得 ，
所以A，B，C三点确定的圆的方程为 ．
因为 也在此圆上，所以 ，
所以 ，
解得a＝7或 （舍去）．
故选：D．
6． 三个顶点的坐标分别是 ， ， ，则 外接圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.
【详解】设所求圆方程为 ,
因为 ， ， 三点都在圆上，所以 ，解得 ，
即所求圆方程为： .
故选：C.
7．圆 上的点到直线 的最大距离是（ ）．
A．36 B． C．18 D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，利用点到直线的距离公式计算，判断直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】因为圆 ，即 ，
所以圆心坐标为 ，半径 ，
因为圆心到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相离，
所以圆 上的点到直线 的最大距离为
.
故选：B.
8．若点C到 的距离之比为 ，则点C到直线 的距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可知点 的轨迹为以 为圆心， 的圆，再求出圆心 到直线的距离即可求得答案.
【详解】设 ，则 ，即 ，化简得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心， 的圆，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以点C到直线 的距离的最小值为 ；
故选：A.
9．已知圆C的方程为 ，点P在直线 上，线段AB为圆C的直径，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】将 转化为 ，利用圆心到直线的距离求得 的最小值.
【详解】因为 为 的中点，
所以 ，
从而 ，
可知 的最小值为点 到直线 的距离，
，
所以 .
故选：B.10．（2021·贵州·统考二模）已知圆 ，过直线 上的一点 作圆 的
两条切线 ， ，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题中条件，得到 ，为使 取得最小值，只需 最大，即
最大，因此只需 取得最大值，即只需 最小即可；由点到直线距离公式求出 的最小值，
进而可求出结果.
【详解】由题意可得， ， ， ，
所以 ，因此 ，则 ；
为使 取得最小值，只需 最大，即只需 最大，因此只需 取得最大值；
又 ，所以当且仅当 取得最小值时， 最大；
而 的最小值为 ，所以此时 ，则
即 的最小值为 ；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中条件，得到 取得最大值时， 最小；再利用点到直线
距离公式，即可求解.
11．若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可
【详解】圆 ，
则圆 ，圆心 ，半径 ，
点 在圆 的外部，
，即 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
12．已知过点 有且仅有一条直线与圆 相切，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．1或2 D．-1或-2
【答案】A
【解析】由 为圆的方程可得 ，又过点 有
且仅有一条直线与圆 ： 相切，则点 在圆上，联立即可得解.
【详解】解：过点 有且仅有一条直线与圆 ： 相切，
则点 在圆上，
则 ，解得 或 ，
又 为圆的方程，
则 ，即 ，
即 ，
故选：A
13．（甘肃省酒泉市2023届高三三模文科数学试题）点 在圆 上，点 ，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】可判断 在圆外，则 ，计算即可．
【详解】圆 的圆心 ，半径为 ，
由于 在圆外，
．
故选：D.
14．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内， 是两个定点， 是动点，若
，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【分析】由平行四边形法则易得 ，可知 ，可判断点 的轨迹为以线段 为直径的圆.
【详解】设 为线段 的中点， .因为 ，所以 ，所以
，所以 ，当点 在点 或 时也满足 ，所以点 的轨迹为以线段
为直径的圆.
故选: A.
15．当点 在圆 上运动时，它与定点 的连线 的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】设点 ， 的中点 的坐标为 ，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化
简即可.
【详解】设点 ， 的中点 的坐标为 ，
，由中点坐标公式可得 ，可得 ，
又点 在圆 ，则 ，即 .
因此，线段 的中点的轨迹方程为 .
故选：C.
16．（2023·江西·校联考一模）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（ ，公元3世
纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直
线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线 ， ， ，且 ， 均与
垂直.若动点M到 的距离的乘积与到 的距离的平方相等，则动点M在直线 之间的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设记 为 ，直线 为 ， 为 ，进而可根据条件
表示出动点M的轨迹方程，从而得出结论.
【详解】因为在平面内三条给定的直线 ， ， ，且 ， 均与 垂直，所以 ， 平行，记 为 ，
直线 为 ， 为 ，
又因为动点M到 的距离的乘积与到 的距离的平方相等，
设 ，且动点M在直线 之间，所以M到 的距离为 ，M到 的距离为 ，M到 的距离为， 所以 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，
所以 ，即 ，故动点M的轨迹为圆.
故选：A.
二、填空题
17．若圆 被直线 平分，则 _________．
【答案】
【分析】根据圆的性质，结合配方法、代入法进行求解即可.
【详解】由 ，
所以该圆的圆心坐标为 ，
因为圆 被直线 平分，
所以圆心 在直线 上，
因此有 ，
故答案为：
18．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－
5)，则圆的一般方程为________________.
【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；
【详解】设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得: ,解得：
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
19．（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在 轴，半径为1，且过点 的圆的标准方程是_____.
【答案】
【分析】设圆心坐标为 ，进而结合题意得 ，再求圆的标准方程即可.
【详解】由题，可设圆心坐标为 ，
因为所求圆的圆心在 轴，半径为1，且过点 ，
所以， ，解得 ，
所以，圆心坐标为 ，半径为1，
所以，所求圆的标准方程为
故答案为：
20．（2023·河北邯郸·统考二模）已知直线 与圆 交于A， 两点，若
是圆上的一动点，则 面积的最大值是___________.
【答案】 /
【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，
根据三角形面积公式即可求出答案．
【详解】 ，则圆C的圆心为 ，半径为 ，圆心C到直线l（弦AB）的距离为 ，
则 ，
则 到弦AB的距离的最大值为 ，
则 面积的最大值是 .
故答案为：
21．点 在圆 的内部，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用点在圆内列不等式，解出 的取值范围．
【详解】 点 在圆 的内部， ，即 ，解得
故答案为：
