压轴24 概率与统计中创新与融合的3 大核心题型
参考答案
压轴题型精讲
题型01 概率、统计与数列的融合问题
1.【解】（1）X 的可能取值为1 和2，且
1
1
1
1
1
1
2
4
2
4
4
P X =
=
´
+
´
=
；
1
3
2
1
4
4
P X =
= -
=
，则X 的分布列如下：
X
1
2
P
1
4
3
4
则X 的期望为
1
3
7
1
2
4
4
4
E X = ´
+ ´
=
.
（2）（ⅰ）
1
1
1
1
2
4
n
n
n
P B
P A
P C
-
-
=
+
①
1
1
1
1
2
4
n
n
n
P C
P A
P B
-
-
=
+
②
①-②得：
1
1
1
4
n
n
n
n
P B
P C
P B
P C
-
-
-
= -
-
.
又
1
1
1
1
0
2
2
P B
P C
-
=
-
=
，则
0
n
n
P B
P C
-
=
，即
n
n
P B
P C
=
.
（ⅱ）
1
1
3
3
4
4
n
n
n
P A
P B
P C
-
-
=
+
③，
①+②得：
1
1
1
1
4
n
n
n
n
n
P B
P C
P A
P B
P C
-
-
-
+
=
+
+
.
由③知
1
1
4
3
n
n
n
P B
P C
P A
-
-
+
=
又
1
1
1
3
n
n
n
n
n
P A
P B
P C
P A
P A
-
-
=
+
=
+
；
则有
1
3
3
3
7
4
7
n
n
P A
P A -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø ，其中
1
1
3
3
0,
7
7
P A
P A
=
-
= -
；
则
3
7
n
P A
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是以
3
7
-
为首项，
3
4
-
为公比的等比数列.
可得：
1
3
3
3
7
7
4
n
n
P A
-
æ
ö
=
-
´ -
ç
÷
è
ø
；所以
6 1
6
3
3
3
543
7
7
4
1024
P A
-
æ
ö
=
-
´ -
=
ç
÷
è
ø
2.【解】（1）X 可能取值为2，3，4，
1
1
1
2
3
3
9
P X =
=
´
=
，
1
2
1
2
4
3
C
3
3
9
P X =
=
´
´
=
，
2
2
4
4
3
3
9
P X =
=
´
=
.
X
\
的分布列为
X
2
3
4
P
1
9
4
9
4
9
数学期望
1
4
4
10
2
3
4
9
9
9
3
E X =
´
+ ´
+ ´
=
.
（2）根据题意，投掷n 次，得分为
1
n + 分，则只有一次投掷得2 分，
所以
1
1
2
1
2
C
3
3
3
n
n
n
n
n
P
-
æ
ö
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
则
1
2
1
1
2
4
2
2
2
3
3
3
3
n
i
n
n
i
n
n
P
-
=
-
=
+
+
+
+
å
L
，
则有
2
3
1
1
1
2
4
2
2
2
3
3
3
3
3
n
i
n
n
i
n
n
P
+
=
-
=
+
+
+
+
å
L
，
两式相减，得
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
2
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
i
i
n
n
n
n
P
+
+
+
+
=
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
+
ê
ú
æ
ö
ë
û
=
+
+
+
-
=
´
-
= -
-
= -
ç
÷
è
ø
-
å
L
，
所以
1
3
2
3
1
2
2
3
n
n
i
i
n
P
=
+
æ
ö
=
-
´ç
÷
è
ø
å
.
题型02 统计与函数的融合问题
3.【解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为
1a ，
2a ，
所以所求概率为
1
2
1
2
1
2
2,
3
3,
2
3,
3
P
P a
a
P a
a
P a
a
=
=
=
+
=
=
+
=
=
2
3
3
2
3
3
2
2
3
3
4
1
3
4
3
1
4
3
297
C
C
5
5
4
5
4
4
5
4
500
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
´
+
´
´
+
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以他们在一轮竞赛中获得1 个积分的概率为297
500 ；
（2）由（1）可知
1
2
1
2
1
2
2,
3
3,
2
3,
3
P
P a
a
P a
a
P a
a
=
=
=
+
=
=
+
=
=
2
2
3
3
2
2
3
3
3
1
1
2
1
3
2
2
1
2
C
1
C
1
p
p
p
p
p
p
p
p
=
´
´
-
´
+
´
´
´
-
+
´
，
整理可得
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
5
4
5
P
p p
p
p
p p
p p
p p
=
+
-
=
-
é
ù
ë
û
，
因为
1
0
1
p
£
£ ，
2
0
1
p
£
£ ，且
1
2
4
3
p
p
+
=
，
所以
1
1
1
3
p
£
£ ，
1
2
1
1
4
1 4
,
3
3 9
p p
p
p
æ
ö
é
ù
\
=
-
Î
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ，
令
1
2
t
p p
=
，则
1 4
,
3 9
t
é
ù
Îê
ú
ë
û
，
所以
3
2
( )
5
4
P t
t
t
= -
+
，
1 4
,
3 9
t
é
ù
Îê
ú
ë
û
，则
2
( )
15
8
P t
t
t
¢
= -
+
，
当
1 4
,
3 9
t
é
ù
Îê
ú
ë
û
时，
( )
0
P t
¢
> 恒成立，
( )
P t 在1 4
,
3 9
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以当
1
3
t =
时，
( )
P t 取得最小值7
27 ，
设在n 轮比赛中，甲、乙两同学获得1 个积分的轮数为Y ，则Y 服从
~
( ,
)
Y
B n P ，
又X
Y
=
，所以
E X
E Y
nP
=
=
，则由
5
nP ³
，
即
7
5
27
n×
≥，解得
135
19.3
7
n ³
»
，
因为n 为正整数，所以n 的最小值为20 ．
4.【解】（1）甲三次投篮都命中的概率为
1
3
2
1
1
4
3
2
4
P =
´
´
=
，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于4 分的概率为
2
3
2
1
3
2
1
5
1
1
4
3
2
4
3
2
24
P
æ
ö
æ
ö
=
-
´
´
+
´
-
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以甲未获得奖品的概率为
1
2
13
1
24
P
P
P
= -
-
=
.
（2）设甲的投篮次数为X，则X 的分布列为
X
n
200
2n
-
P
1
2n
1
1
2n
-
则
1
3
200
(
)
(200
2 )
1
2
200
2
2
2
n
n
n
n
n
E X
n
n
-
æ
ö
=
+
-
´
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
令
*
3
200
( )
2
200
2n
n
f n
n
n
-
=
-
+
ÎN
，则
1
3
197
(
1)
2
198
2n
n
f n
n
+
-
+
=
-
+
，
所以
2
1
203
3
2
(
1)
( )
2
n
n
n
f n
f n
+
+
-
-
+
-
=
，其中
2
203
3
2n
n
+
-
-
随n 的增大而减小.
当
5
n £
时，
2
0
203
3
2n
n
+
-
>
-
，
(
1)
( )
f n
f n
+
>
，当
6
n ³
时，
2
0
203
3
2n
n
+
-
<
-
(
1)
( )
f n
f n
+
<
，
所以
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
f
f
f
f
f
f
f
f
f
<
<
<
<
<
>
>
>
>L，
故当
6
n =
时，甲投篮次数的期望最大．
题型03 概率、统计中的新定义问题
5.【解】（1）由题意可得X 满足二项分布
,
X
B N p
:
，
由
E aX
b
aE X
b
+
=
+
知，
2
N
N
E
f
X
K
X
E
pN
N
K
p
K
K
=
+
=
+
×
³
é
ù
ë
×
×
û
，当且仅当1
Kp
K =
时取等号；
（2）记P
P
=
（混管中恰有1 例阳性|混管检测结果为阳性），
iP
P
=
（混管中恰有i 例阳性）=
C
1
K i
i
i
K p
p
-
-
，
0,1,
,
i
K
=
L
，
令
e
1
x
h x
x
=
-
- ，
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，
则
e
1
x
h x
¢
=
- ，
当
3 0
2 1
,
0
x
-
´
Î -
时，
0
h x
¢
<
，
h x 为单调递减，
当
3
0
0,2 1
x
-
Î
´
时，
0
h x
¢
>
，
h x 为单调递增，所以
0
0
h x
h
³
=
，
且
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
- ´
-
- ´
=
- - ´
- »
，
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
´
-
´
=
-
´
- »
，
所以当
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，e
1
0
x
x
-
- »
即e
1
x
x
»
+ ，两边取自然对数可得
ln
1
x
x
»
+
，
所以当
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
时，
所以
ln 1
1
e
e
1
K
K
p
Kp
p
Kp
-
-
-
=
»
» -
，
则
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
K
Kp
K
p
Kp
p
P
P
K
p
P
Kp
p
-
-
-
é
ù
-
ë
û
=
=
»
= -
-
»
-
-
-
．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
6.【解】（1）由题意有
1,
0
X
Y
=
=
的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
所以
1
2
1
2
1
1,
0
1
2
3
2
3
18
P X
Y
æ
ö
=
=
=
´
´
´
-
=
ç
÷
è
ø
，
因为
2,
1
X
Y
= -
= 是不可能事件，
所以
2,
1
0
P X
Y
= -
=
=
；
（2）
1
X = 表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以
1
2
1
2
1
1
1
1
2
3
2
3
2
3
P X
æ
ö
=
=
´
-
+
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1,
0
1
18
0
1 =
1
1
6
3
P X
Y
P Y
X
P X
=
=
=
=
=
=
=
；
（3）
1
X = - 表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以
1
2
1
2
1
5
1
1
1
1
2
3
2
3
2
12
P X
æ
ö
æ
ö æ
ö
= -
=
-
´
+
-
´
-
´
=
ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø è
ø
，
又Y 的可能取值为2,0,1
-
，
所以
1
2
1
2
1
1,
2
1
1
1
2
3
2
3
36
P X
Y
æ
ö æ
ö
æ
ö
= -
= -
=
-
´
-
´
´
-
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø
，
1
1,
0
1
36
2
1
5
1
15
12
P X
Y
P Y
X
P X
= -
=
= -
= -
=
=
=
= -
，
1
2
1
2
1
1,
0
1
1
2
3
2
3
18
P X
Y
æ
ö æ
ö
= -
=
=
-
´
-
´
´
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
所以
1
1,
0
2
18
0
1
5
1
15
12
P X
Y
P Y
X
P X
= -
=
=
= -
=
=
=
= -
，
1
2
1
1,
1
1
2
3
3
P X
Y
æ
ö
= -
=
=
-
´
=
ç
÷
è
ø
，
1
1,
1
4
3
1
1
5
1
5
12
P X
Y
P Y
X
P X
= -
=
=
= -
=
=
=
= -
，
所以Y 的分布列为
Y
2
-
0
1
P
1
15
2
15
4
5
所以
1
2
4
2
2
0
1
15
15
5
3
E Y = - ´
+ ´
+ ´
=
1.【详解】（1）由题知随机变量
1
10,
X
B
p
~
，所以
2
2
8
1
10
C
(1
)
P A
p
p
=
-
.
（2）设事件
1
2
3
4
5
A
A A A A A
=
，由题图可知
1
2
3
4
5
2,
1,
1,
3,
3
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
，
则
2
2
2
2
8
1
9
3
3
7
10
10
10
C
(1
)
C
(1
)
C
(1
)
P A
p
p
p
p
p
p
é
ù é
ù
é
ù
=
-
×
-
×
-
ë
û ë
û
ë
û ，
即
2
2
1
2
3
10
40
10
10
10
C
C
C
(1
)
P A
p
p
=
-
.
设
2
2
1
2
3
10
10
10
ln
ln
C
C
C
10ln
40ln 1
,
0,1
g p
P A
p
p
p
é
ù
=
=
+
+
-
Î
ê
ú
ë
û
，则
10
40
10
50
1
1
p
g
p
p
p
p
p
-
=
-
=
-
-
¢
，
所以当
1
0
5
p
<
<
时，
0
g
p
¢
>
，所以
g p 在
1
0, 5
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增；
当1
1
5
p
<
< 时，
0
g
p
¢
<
，所以
g p 在1 ,1
5
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减；
所以当
1
5
p =
时，
g p 取得最大值，即
P A 取得最大值，
所以
2
0
0
1
5
19
1
2
6
45
5
q
q
-
+
=
，即
2
0
0
9
15
4
0
q
q
-
+
=
，
解得
0
1
3
q =
或
0
4
3
q =
，
因为
0
0
1
q
<
< ，所以
0
1
3
q =
.
2.【解】（1）由题意可得X 满足二项分布
,
X
B N p
:
，
由
E aX
b
aE X
b
+
=
+
知，
2
N
N
E
f
X
K
X
E
pN
N
K
p
K
K
=
+
=
+
×
³
é
ù
ë
×
×
û
，当且仅当1
Kp
K =
时取等号；
（2）记P
P
=
（混管中恰有1 例阳性|混管检测结果为阳性），
iP
P
=
（混管中恰有i 例阳性）=
C
1
K i
i
i
K p
p
-
-
，
0,1,
,
i
K
=
L
，
令
e
1
x
h x
x
=
-
- ，
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，
则
e
1
x
h x
¢
=
- ，
当
3 0
2 1
,
0
x
-
´
Î -
时，
0
h x
¢
<
，
h x 为单调递减，
当
3
0
0,2 1
x
-
Î
´
时，
0
h x
¢
>
，
h x 为单调递增，所以
0
0
h x
h
³
=
，
且
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
- ´
-
- ´
=
- - ´
- »
，
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
´
-
´
=
-
´
- »
，
所以当
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，e
1
0
x
x
-
- »
即e
1
x
x
»
+ ，两边取自然对数可得
ln
1
x
x
»
+
，
所以当
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
时，
所以
ln 1
1
e
e
1
K
K
p
Kp
p
Kp
-
-
-
=
»
» -
，
则
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
K
Kp
K
p
Kp
p
P
P
K
p
P
Kp
p
-
-
-
é
ù
-
ë
û
=
=
»
= -
-
»
-
-
-
．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
3.【解】（1）由题意
1,2
n
X
，第2 周开始时商品A 不同供给量的概率为
2
1
1
2
P X =
=
，
2
2
1
2
1
1
2
P X
P X
=
= -
=
=
，
第3 周开始时商品A 供给量的概率为
3
3
2
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
2
2
8
2
8
4
8
2
16
P X
P X
X
P X
P X
X
P X
æ
ö
=
=
=
=
=
+
=
=
=
=
´
+
+
+
´
=
ç
÷
è
ø
∣
∣
，
3
3
11
2
1
1
16
P X
P X
=
= -
=
=
.
第3 周开始时商品A 的供给量分布列为
3
X
1
2
P
5
16
11
16
（2）（i）记
n
D 为商品A 第n 周内的的需求量，由题意，
n
X 与
n
D 的状态有关，
当
1
n ³ 时，若
n
n
D
X
<
，则
1
n
n
n
X
X
D
+ =
-
；若
n
n
D
X
³
，则
1
2
n
X + =
，
设
,1
n
x
x
j =
-
uur
，即
1
,
2
1
n
n
P X
x P X
x
=
=
=
= -
，
由全概率公式可得
1
1
1
1
1
1
1
2
8
2
8
2
n
n
n
x
P X
P X
P X
x
+
-
=
=
=
+
=
=
+
，
1
1
7
1
2
1
1
8
2
n
n
x
P X
P X
x
+
+
-
=
= -
=
=
+
，
由
1
n
n
j
j +
=
uur
uuur
，得1
1
7
1
,
1
8
2
8
2
x
x
x
x
x
x
-
-
+
=
+
= -
，解得
11
4
x =
，故
4
7
,
11 11
j
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
.
（ii）由（i）可知，定常态分布
4
7
,
11 11
j
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
，所以从长远来看，
4
7
1
,
2
11
11
n
n
P X
P X
=
=
=
=
，
记商品A 需求大于供给的概率为
n
n
P D
X
>
，由全概率公式得
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P D
X
P D
X
X
P X
P D
X
X
P X
>
=
>
=
=
+
>
=
=
∣
∣
3
4
1
7
19
8
11
8
11
88
=
´
+
´
=
.
4.【解】（1）当
3
n =
时，恰有2 次成功即恰有1次失败，
由于
1
x 必成功，因此失收只能发生在
2x 或
3x 上，
当
2x 失败，
3x 成功时，概率为
1
1
1
1
1 1 1
1 1
4
æ
ö
´
-
´
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
当
2x 成功，
3x 失败时，概率为
1
1
1
1
1
1 1
2 1
3
æ
ö
´
´
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以恰有2 次成功的概率
1
1
7
3,1
3
4
12
P
=
+
=
．
（2）当
2
N ³
时，恰有1次失败，假设失败发生在第k 次
2
k
n
£
£
，其余成功．
则前
1
k - 次均成功的概率为
1
1
1
1
1 1 1
2 1
2 1
1 !
k
k
´
´
´
´
=
+
+
-
+
-
L
．
第k 次失败的概为
1
1
1
1 1
k
k
k
-
-
=
- +
，
后续n
k
-
次成功的概率为
1 !
1
1
1
1 1
1
2 1
1 !
k
k
k
n
n
-
´
´
´
=
- +
+
-
+
-
L
，
所以失败发生在第k 次的概率为
1 !
1
1
1
1 !
1 !
1 !
k
k
k
k
k
n
k n
-
-
-
´
´
=
-
-
-
，
则
2
2
1
1
1
,1
1
1 !
1 !
1 !
n
n
k
k
n
H n
k
P n
k n
n
k
n
=
=
-
-
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
-
-
-
è
ø
å
å
.
（3）
,1
, 0
P n
P n
>
，理由如下：
所有试验均成功的概率为
1
1
1
1
, 0
1 1 1
2 1
1 1
!
P n
n
n
= ´
´
´
´
=
+
+
- +
L
，
即证
1
1 !
!
n
H n
n
n
-
>
-
，即
1
H n
n
n
<
-
．①
因为当
3
n ³
时1
1
1
1
1
1
n
n
n
+
<
+
- ，即1
1
1
1
1
n
n
n
æ
ö
< -
-
ç
÷
-
è
ø，
所以1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
3
2
4
3
1
n
n
n
n
æ
ö
+
+
+
<
-
-
-
+
-
+
+
-
ç
÷
-
è
ø
L
L
．
即
1
1
1
1
1
2
3
n
n
n
+
+
+
+
<
-
L
，
所以①式成立，即
,1
, 0
P n
P n
>
．
5.【解】（1）①该二维离散型随机变量( , )
x h 的所有可能取值为：
(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0) .
②依题意，0
3
m
n
£
+
£
，
(
,
)
(
|
)
(
)
P
m
n
P
m
n
P
n
x
h
x
h
h
=
=
=
=
=
×
=
，
显然
3
3
1
2
(
)
C ( ) ( )
3
3
n
n
n
P
n
h
-
=
=
，则
3
3
3
3
1
1
1
(
|
)
C
( ) ( )
C
( )
2
2
2
m
m
n m
m
n
n
n
P
m
n
x
h
- -
-
-
-
=
=
=
=
，
所以
3
3
3
3
1
1
2
(
,
)
C
( )
C ( ) ( )
2
3
3
m
n
n
n
n
n
P
m
n
x
h
-
-
-
=
=
=
×
3
3
1 C C
27
9
! !(3
)!
2
n
m
n
m n
m
n
-
=
=
×
-
-
.
（2）由定义及全概率公式知，
1
2
(
{(
[(
]}
)
)
)
(
)
(
)
i
i
j
P
a
P
a
b
b
b
x
x
h
h
h
=
=
=
=
=
=
I
U
ULU
UL
1
2
{[(
[(
(
[(
}
)
(
)]
)
)]
)
(
)]
i
i
i
j
P
a
b
a
b
a
b
x
h
x
h
x
h
=
=
=
=
=
=
=
I
U
I
ULU
I
UL
1
2
[(
[(
(
)
(
)]
)
)]
)
)]
[(
(
i
i
i
j
P
a
b
P
a
b
P
a
b
x
h
x
h
x
h
=
=
=
+
=
=
+
+
=
=
+
I
I
L
I
L
1
1
[
)
)]
(
(
(
,
)
i
j
i
j
j
j
P
a
b
P
a
b
x
h
x
h
+¥
+¥
=
=
=
=
=
=
=
=
å
å
I
1
ij
j
p
+¥
=
=å
.
6.【解】（1）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，且每个小球都有4 种放法，故3 个小球共有
3
4
64
=
种放法，
33
27
(
0)
64
64
P X =
=
=
，
1
2
3
C
3
27
(
1)
64
64
P X
×
=
=
=
，
2
3
C
3
9
(
2)
64
64
P X
×
=
=
=
，
3
3
C
1
(
3)
64
64
P X =
=
=
，
所以X 的分布列如下，
X
0
1
2
3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
所以
27
27
9
1
3
0
1
2
3
64
64
64
64
4
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
；
（2）（i）由
,
0
M N
r
>
，则
0
P MN
P M P N
-
>
，
所以
|
(
)
P MN
P M N
P M
P N
=
>
，故M 与N 正相关，得证；
（ii）由题意
27
(
)
(
1)
64
P M
P X
=
=
=
，
2
3
1 4
1
4
4
P N
´
=
=
，
2
3
1 3
9
4
64
P MN
´
=
=
，
所以
9
27
1
9
37
64
64
4
256
,
0
37
27
27
1
1
27
37
1
3
(1
)
(1
)
64
64
4
4
64
64
4
4
M N
r
-
´
=
=
=
>
´
-
´
´
-
´
´
´
，
结合（i）结论，故M 与N 正相关.
7.【解】（1）由题可知当
101
n =
时，
101
9
90 2
2 3
195
F
=
+
´ + ´ =
，
即这个数中共有195个数字，其中数字0 的个数为9
2 1 12
+
+ =
，
则恰好取到0 的概率为
12
4
101
195
65
p
=
=
；
（2）由题当1
9
n
≤≤时，这个数由1位数组成，
F n
n
=
；
当10
99
n
£
£
时，这个数由9个一位数和
9
n - 个两位数组成，
则
1 9
2
9
2
9
F n
n
n
= ´ +
-
=
- ；
当100
999
n
£
£
时，这个数由9个一位数、90个两位数和
99
n -
个三位数组成，
则
1 9
2 90
3
99
3
108
F n
n
n
= ´ + ´
+
-
=
-
；
当1000
2025
n
£
£
时，这个数由9个一位数、90个两位数、900个三位数和
999
n -
个四位数组成，
则
1 9
2 90
3 900
4
999
4
1107
F n
n
n
= ´ + ´
+ ´
+
-
=
-
；
综上所述
,1
9
2
9,10
99
3
108,100
999
4
1107,1000
2025
n
n
n
n
F n
n
n
n
n
£
£
ì
ï
-
£
£
ï
= í
-
£
£
ï
ï
-
£
£
î
；
（3）当
*
1
9,
N
n
b
b
b
=
<
£
Î
时，
0
f n =
，
当
*
10
1
9,0
9,
N ,
N
n
k
b
k
b
k
b
=
+
£
£
£
£
Î
Î
时，
f n
k
=
；
当
100
n =
时，
11
f n =
，
即
*
0,1
9
,
10
,1
9,0
9,
N ,
N
11,
100
n
f n
k n
k
b
k
b
k
b
n
£
£
ì
ï
=
=
+
£
£
£
£
Î
Î
í
ï
=
î
，
同理有
*
0,1
8
,
10
1,1
8,0
9,
N ,
N
80,89
98
20,
99,100
n
k n
k
b
k
b
k
b
g n
n
n
n
£
£
ì
ï
=
+
-
£
£
£
£
Î
Î
ï
= í -
£
£
ï
ï
=
î
，
由
1
h n
g n
f n
=
-
= 可知
9,19,29,39,49,59,69,79,89,90
n =
，
所以当
100
n £
时，
9,19,29,39,49,59,69,79,89,90
S =
，
当
9
n =
时，
9
0
p
=
；当
90
n =
时，
9
1
90
1 9
2 90
9
19
p
=
=
´ +
-
；
当
*
10
9 1
8,
N
n
k
k
k
=
+
£
£
Î
时，
2
9
20
9
f n
k
k
p n
F n
n
k
=
=
=
-
+
，
由函数
1
9
1
20
9
20
20
20
9
k
y
k
k
=
=
-
´
+
+
是关于k 单调递增的，
得当
*
10
9 1
8,
N
n
k
k
k
=
+
£
£
Î
时，有
p n 的最大值为
8
89
169
p
=
，
又8
1
169
19
<
，所以当n
S
Î
时，
p n 的最大值为1
19 ．
8.【解】（1）甲第2 次射击且获胜，即甲第1 次未命中，乙第1 次未命中，甲第2 次命中.
所以
1
1
p
a
b a
=
-
-
.
（2）设乙先射击并获胜的概率为P乙，甲获胜的概率为P甲.
乙获胜的情况为：
乙第1 次射击并命中，概率为b ；
第1 轮甲乙均未命中，乙第2 次射击并命中，概率为
1
1
b
a b
-
-
；
第2 轮甲乙均未命中，乙第3 次射击并命中，概率为
2
1
1
b
b
a
é
ù
-
-
ë
û
；
L
第n 轮甲乙均未命中，乙第
1
n + 次射击并命中，概率为
1
1
n b
b
a
é
ù
-
-
ë
û
；
这是一个首项为b ，公比为
1
1
b
a
-
-
的无穷等比数列，所以
1
1
1
P
b
b
a
= -
-
-
乙
.
甲获胜的情况为：
第1 轮乙未命中，甲命中，概率为
1
b a
-
；
第2 轮乙未命中，甲命中，概率为
1
1
1
b
a
b a
-
-
×
-
；
第3 轮乙未命中，甲命中，概率为
2
1
1
1
b
a
b a
é
ù
-
-
×
-
ë
û
；
L
第n 轮乙未命中，甲命中，概率为
1
1
1
1
n
b
a
b a
-
é
ù
-
-
×
-
ë
û
；
这是一个首项为
1
b a
-
，公比为
1
1
b
a
-
-
的无穷等比数列，所以
1
1
1
1
P
b a
b
a
-
= -
-
-
甲
.
由题意知，P
P
>
乙
甲恒成立，即
1
1
1
1
1
1
1
b a
b
b
a
b
a
-
>
-
-
-
-
-
-
恒成立，
因为0
1
a
<
< ，0
1
b
<
< ，所以
1
1
1
0
b
a
-
-
-
>
，
所以
1
b
b a
>
-
恒成立，即
1
1
1
1
a
b
a
a
>
= -
+
+
.
因为0
1
a
<
< ，所以1 1
2
a
< +
<
，
1
1
0
1 1
2
a
< -
<
+
，所以
1
2
b ³
.
所以b 的最小值为
1
2 .
9.【解】（1）由题意可知经过3 局比赛，甲获得训练赛胜利，需3 局连胜，则
3
3
1
1
3
27
p
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
；
（2）由题意，
kq 为事件“ X
k
=
时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率，
由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X ，
故X 即为甲的净胜局数，所以
3, 2, 1,0,1,2,3
X = -
-
-
.
经过若干局后，假定当前X
k
=
，
①当
3
k =
时，即甲的净胜局数
3
X =
，
则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以
3
1
q = ；
②当
3
k = - 时，即甲的净胜局数
3
X = - ，乙的净胜局数
3
X
-
=
，
则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则
3
0
q- =
；
③当2
2,
Z
k
k
- £
£
Î
时，
由甲的净胜局数2
2
X
- £
£
，则乙的净胜局数为
X
-
，且2
2
X
- £ -
£
，
故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局.
记事件
kA =“ X
k
=
时，甲最终获得训练赛胜利”（2
2,
Z
k
k
- £
£
Î
），
事件B = “下一局比赛甲获胜”，
下一局若甲赢（即事件B 发生），则
1
X
k
=
+ ；若乙赢（即事件B 发生），则
1
X
k
=
- ；
因为
(
)
k
k
q
P A
=
，
1
1
(
)
k
k
q
P A
+
+
=
，
1
1
(
)
k
k
q
P A
-
-
=
，
且
1
2
( )
,
1
( )
3
3
P B
P B
P B
=
= -
=
，
所以由全概率公式得，
(
)
|
( )
|
k
k
k
P A
P A
B P B
P A
B P B
=
+
，
即
1
1
(
)
( )
k
k
k
P A
P A
P B
P A
P B
+
-
=
+
，
因此
1
1
1
2
3
3
k
k
k
q
q
q
+
-
=
+
，整理得
1
1
3
2
k
k
k
q
q
q
+
-
=
-
，
两边都减去
kq ，则可得
1
1
2
k
k
k
k
q
q
q
q
+
-
-
=
-
，
又当
2
k = - 时，
2
3
2
0
q
q
q
-
-
-
-
=
¹
，
故数列：
2
3
1
2
0
1
1
0
2
1
3
2
,
,
,
,
,
q
q
q
q
q
q
q
q q
q q
q
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
是公比为2 的等比数列．
即数列
1
k
k
q
q
+ -
( 3
2,
Z)
k
k
- £
£
Î
是公比为2 的等比数列．
（3）由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为
0q .
记
1
( 3
2,
Z)
k
k
k
a
q
q
k
k
+
=
-
- £
£
Î
，
则
3
3
2
1
0
1
2
3
1 0
1
q
q
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
+
+
+
+
+
= -
= ，
由（2）知，数列
1
k
k
q
q
+ -
( 3
2,
Z)
k
k
- £
£
Î
是公比为2 的等比数列，
则
2
3
4
5
3
3
3(1
2
2
2
2
2 )
1
q
q
a
-
-
-
=
+
+
+
+
+
= ，解得
3
1
63
a- =
，
所以
2
3
2
1
3
1
1
(1
2
2 )
7
63
9
a
a
a
a
-
-
-
-
+
+
=
+
+
=
´
=
，
又
3
2
1
2
3
1
2
0
1
0
3
0
(
)
(
)
(
)
a
a
a
q
q
q
q
q
q
q
q
q
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
=
-
+
-
+
-
=
-
=
，
所以
0
1
9
q =
，
故甲最终获得训练赛胜利的概率为1
9 .
10.【解】（1）当
2
n =
时，从A 出发，第1 秒只能移动到相邻的3 个顶点（B，D，C），
第2 秒要回到A，必须从这3 个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3 条棱，返回A 的概率是1
3 .
所以
2
1
1
1
1
1
1
3
1
3
3
3
3
3
3
9
3
a =
´
+
´
+
´
=
=
.
当
3
n =
时，第2 秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为1
3 .
从这三点出发，第3 秒无法回到A（因为它们与A 距离为1，第3 秒移动后距离为2），所以
3
0
a =
.
故
2
1
3
a =
，
3
0
a =
.
（2）（i）由对称性可知第n 秒
*
nÎN
后质点恰好走到
,
,
B C D 三点的概率相同，都为
nb ；
第n 秒
*
nÎN
后质点恰好走到
,
,
E F G 三点的概率也相同，都为
nc ；
第n 秒
*
nÎN
后质点恰好走到点H 的概率为
n
d ．记第n 秒
*
nÎN
后质点的位置为
n
X ，
则
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
B
P X
A
P X
G
P X
F
+ =
=
=
+
=
+
=
，
即
1
1
1
1
1
2
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
b
a
c
c
a
c
+ =
+
=
+
+
，
再由
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
E
P X
C
P X
D
P X
H
+ =
=
=
+
=
+
=
，即
1
1
1
1
2
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
c
b
b
d
b
d
+ =
+
+
=
+
．
于是存在常数
1
3
x =
，使得
1
1
1
,
1
n
n
n
n
n
n
b
xa
x c c
x b
xd
+
+
=
+
-
=
-
+
．
（ii）由
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
A
P X
B
P X
C
P X
D
+ =
=
=
+
=
+
=
可知
1
1
3
3
+ =
´
´ =
n
n
n
a
b
b ，
由
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
H
P X
E
P X
F
P X
G
+ =
=
=
+
=
+
=
可知
1
1
3
3
+ =
´
´ =
n
n
n
d
c
c ，
于是
1
n
n
a
b
+ =
——①，
1
1
2
3
3
+ =
+
n
n
n
b
a
c ——②，
1
2
1
3
3
+ =
+
n
n
n
c
b
d ——③，
1
n
n
d
c
+ =
——④.
由①②得
2
1
2
3
3
n
n
n
a
a
c
+ =
+
，即
2
3
1
2
2
n
n
n
c
a
a
+
=
-
——⑤，
再由①③④得
1
1
1
2
1
3
3
n
n
n
c
a
c
+
+
-
=
+
——⑥，由⑤得
1
3
1
3
1
2
2
n
n
n
c
a
a
+
+
+
=
-
，
1
1
1
3
1
2
2
n
n
n
c
a
a
-
+
-
=
-
代入⑥
3
1
1
1
1
3
1
2
1 3
1
2
2
3
3 2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
+
+
-
æ
ö
-
=
+
-
ç
÷
è
ø，化简得
3
1
1
10
1
9
9
+
+
-
=
-
n
n
n
a
a
a
.
因为
1
1
1
1
2
3
1
1
0,
,
0,
,
0
3
3
a
b
c
d
a
a
=
=
=
=
=
=
，
则
2
1
1
4
3
2
2
2
1
2
1
2
1
4
7
3
3
9
3
3
9
27
27
=
+
=
=
=
+
=
+
=
c
b
d
a
b
a
c
，
．
由
3
1
1
10
1
9
9
+
+
-
=
-
n
n
n
a
a
a
，于是
3
1
1
1
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
-
=
-
．所以
1
1
1
3
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
-
=
-
.
所以当n 为奇数时，
1
1
1
3
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
-
=
-
，
1
3
3
5
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
-
，……，
6
4
4
2
1
9
a
a
a
a
-
=
-
，上述
3
2
n -
个式子相乘得
1
1
4
2
3
3
2
1
7
1
1
2
27
3
3
3
9
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
æ
ö
-
=
-
×
=
-
×
= -
ç
÷
è
ø
．
又由
3
1
1
10
1
9
9
+
+
-
=
-
n
n
n
a
a
a
，即
3
1
1
1
1
1
9
9
+
+
+
-
-
=
-
n
n
n
n
a
a
a
a
可知
1
1
4
2
1
1
2
9
9
9
+
-
-
=
-
=
n
n
a
a
a
a
．
所以
1
1
2
2
(9
3
)
n
n
n
a
a
+
+ -
-
= -
，解得
1
1
1
1
1
1
4
4 3
4
3
n
n
n
a +
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
´
è
ø，
即当n 为奇数时，
1
1
1
1
4
3
n
n
a +
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，所以当n 为偶数时，
1
1
1
1
4
3
n
n
a
-
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
．
当n 为偶数时，
1
1
1
3
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
-
=
-
，
1
3
3
5
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
-
，
5
3
3
1
1
9
a
a
a
a
-
=
-
，上述
2
2
n -
个式子相乘得
1
1
3
1
2
2
1
0
9
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
=
-
×
=
,即
1
1
n
n
a
a
+
-
=
.
又由
3
1
1
1
1
1
9
9
+
+
+
-
-
=
-
n
n
n
n
a
a
a
a
可知
1
1
3
1
1
1
0
9
9
+
-
-
=
-
=
n
n
a
a
a
a
．解得
1
0
na + = ，即当n 为奇数时，
0
na =
．
因此，当n 为奇数时，
0
na =
；当n 为偶数时，
1
1
1
1
4
3
n
n
a
-
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ．
当
*
2
n
k k
=
ÎN
时，
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
12
9
1
1
1
4
3
4
4
32
9
4
32
1
9
k
k
n
k
m
k
m
k
k
k
S
S
-
=
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
=
=
+
=
+
=
+
-
<
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
å
，
则
3
8
32
<
+
n
n
S
．
当
*
2
1
n
k
k
=
-
ÎN
时，
2
1
2
2
2
1
3
1
1
1
1
3
27
1
1
4
32
9
4
3
4
32
32 9
n
k
k
k
k
k
k
k
k
S
S
S
a
-
-
-
æ
ö
æ
ö
=
=
-
=
+
-
-
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
´
è
ø
è
ø
，
即
1
27
1
8
32
32 9
8
32
=
-
-
<
-
´
n
k
n
n
S
．
所以存在常数
3
32
=
A
，使得
8
<
+
n
n
S
A．
11.【解】（1）小球3 次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B 袋中，
此概率P（B）＝
3
3
0
3
3
3
1
1
1
C
C
2
2
4
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则小球落入A 袋中的概率P（A）＝1－P（B）＝
1
3
1
4
4
-
=
，
故
1
3
4
p
P A
=
=
，
2
2
3
1
13
4
4
16
p
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
3
2
3
1
3
51
C
4
4
4
64
p
æ
ö
=
+
´
´
=
ç
÷
è
ø
．
（2）游戏过程中累计得n 分可以分为两种情况：得到（n－2）分后的一次游戏中小球落入B 袋中，或得到
（n－1）分后的一次游戏中小球落入A 袋中，
故
1
2
3
1
4
4
n
n
n
p
p
p
-
-
=
+
*
3,
n
n
³
ÎN
，
即
1
1
2
1
1
4
4
n
n
n
n
p
p
p
p
-
-
-
+
=
+
*
3,
n
n
³
ÎN
，
故
1
1
4
n
n
p
p -
ì
ü
+
í
ý
î
þ
*
2,
n
n
³
ÎN
为常数列，且
2
1
1
1
4
p
p
+
= ，
故
1
1
1
4
n
n
p
p -
+
=
*
2,
n
n
³
ÎN
，
即
1
1
1
4
n
n
p
p -
= -
*
2,
n
n
³
ÎN
，得
1
4
1
4
5
4
5
n
n
p
p -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø
*
2,
n
n
³
ÎN
，
故
4
5
np
ì
ü
-
í
ý
î
þ为等比数列，且首项为
1
4
3
4
1
5
4
5
20
p -
=
-
= -
，公比为
1
4
-
，
故
1
4
1
1
1
1
5
20
4
5
4
n
n
np
-
æ
ö
æ
ö
-
= -
´ -
=
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
1
1
4
5
4
5
n
np
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
*
nÎN
．
12.【解】（1）甲从A 盒中摸到红球的概率为1
3 ，摸到黄球的概率为2
3 ，乙从B 盒中摸到黄球的概率为3
4 ，
红球的概率为1
4 ，乙从C 盒中摸到黄球的概率为3
8 ，红球的概率为5
8 ，
故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为1
3
2
5
2
3
4
3
8
3
´
+
´
=
.
（2）（i）
3
2
1
1
1
1
2
1
11
3
3
3
3
3
3
3
27
P =
´
+
´
+
´
´
=
,
4
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
7
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
27
P =
´
´
+
´
´
´
+
´
´
+
´
´
´
+
´
´
=
,
（ii）设事件
n
C 表示甲乙两人在第n 轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片，
则
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
3
3
3
9
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P C
P C
P
P C
P
P
P
P
P
n
+
+
-
+
-
-
=
=
´
´
+
´
=
´
+
+
³
，
，
则
1
1
2
2
1
2
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P
n
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
-
= -
-
³
，
，或
1
1
2
1
2
1
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
n
P
+
-
æ
ö
+
ç
+
÷
è
ø
=
³
，
又
2
1
1
2
5
3
3
3
9
P
+
´
=
=
，
当
1
1
2
2
1
2
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P
n
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
-
= -
-
³
，
时，
2
1
2
5
2
1
3
9
3
9
P
P =
-
= -
-
，
所以
1
1
2
2
1
9
3
3
1
n
n
n
P
n
P
-
+
æ
ö
-
= -
-
³
ç
÷
è
ø
，
，
1
1
1
3
1
2
2
1
1
3
3
9
n
n
n
n
P
n
P
-
+
+
æ
ö
æ
ö
-
= -
-
- -
³
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
，
，
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
3
3
3
2
1
1
1
3
3
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
P
n
n
P
+
+
+
+
+
é
ù
ê
ú
ê
ú
-
= -
³
Þ
+
= -
³
ê
ú
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
+
û
，
，
，
故
3
3
1
1
n
n
P
ì
ü
ï
ï
ï
ï
í
ý
æ
ö
ï
ï
-
ç
ïî
+
÷
ï
è
ø
þ
为等比数列，且公比为2
- ，首项为
8
3
-
，
则
1
1
8
2
3
3
1
3
n
n
n
P
-
= -
´ -
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
，故
1
1
1
2
1
8
1
2
2
1
3
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
P
+
-
+
+
é
ùæ
ö
æ
ö
é
ù
= -
´ -
-
-
=
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
ë
ûè
ø
è
ø
，
而
1
1
P = 满足上式，因此
1
1
2
2
1
1
3
n
n
n
nP
+
+
+
æ
ö
é
ù
=
+ -
ç
÷
ë
û
è
ø
；
当
1
1
2
1
2
1
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
n
P
+
-
æ
ö
+
ç
+
÷
è
ø
=
³
，
时，
2
1
1
5
1
8
3
9
3
9
P
P =
+
=
+
，
则
1
1
1
1
2
2
3
3
3
8
2
9
n
n
n
n
P
P
-
+
+
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
，则
1
1
4
1
2
2
2
3
4
3
3
3
n
n
n
n
P
P
+
+
é
ù
ê
ú
ê
ú
-
= -
-
ê
ú
æ
ö
æ
ö
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ë
û
，
故
4
3
2
3
n
n
P
ì
ü
ï
ï
ï
ï
-
í
ý
æ
ö
ï
ï
ç
÷
ï
ï
è
ø
î
þ
为等比数列，且公比为
1
2
-
，首项为1
6 ，
故
1
1
1
2
4
1
1
2
1
1
4
1
2
1
3
6
2
3
3
2
3
3
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
-
+
+
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
-
=
´ -
Þ
=
-
´ -
+
=
+ -
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
æ
ö
ê
ú
ë
û
ç
÷
è
ø
，
而
1
1
P = 满足上式，因此
1
1
2
2
1
1
3
n
n
n
nP
+
+
+
æ
ö
é
ù
=
+ -
ç
÷
ë
û
è
ø
，
2
2
3
2
2
3
1
1
2
2
1
1
2
1
1
3
3
1
2
1
2
(
)
2
1
1
2
1
3
2
1
1 (
1
2
3
)
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
æ
ö
é
ù
+ -
+ -
ç
÷
ë
û
+ -
è
ø
=
=
=
×
+ -
æ
ö
- -
é
ù
+ -
ç
×
÷
ë
û
è
ø
，
当n ® +¥ 时，则
1
2
2
3
1
2
(
)
1
2
1
3 1 ( 2
2
)
n
n
n
n
P
P
+
+
+
+ -
=
×
®
- -
.
综上可得：故当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 无限趋近于一个常数2
3 ，即
2
3
a =
.
