01 二次函数
巩固练习
考点1：二次函数的概念
A组
1
函数f (x) = x2 −6x + 8，x ∈[1, a] (a > 1)，且f (x)的最大值是f (a)，则实数a的取值范围是
．
2
若函数f(x) = −x2 + 4x + a，x ∈[0, 3]，若f(x)的最小值为2，则a =
3
若函数f(x) = x2 −ax + 3（x ∈N）是增函数，则实数a的取值范围是
4
已知函数f (x) = x2 −2ax + 5，其中a > 1，若函数f (x)的定义域和值域均为[1, a]，则实数a的值为
．
考点2：含参最值的分类讨论
B组
1
已知二次函数f(x) = −x2 + 2ax −a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．
1
2
已知二次函数f(x) = ax2 + (2a −1)x + 1在区间[−3
2 , 2]上的最大值为3，求实数a的值．
3
关于x的不等式ax2 −2x + 1 ≤0在(0, 2]上有解，则实数a的取值范围是
.
考点3：一元二次方程根的分布
A组
1
已知一元二次方程x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6 = 0一个根小于0，另一根大于2，求a的取值范围．
2
一元二次方程x2 + (2a −1)x + a −2 = 0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是
．
3
若关于x的一元二次方程2x2 −4x + m + 3 = 0有两个同号实根， 则实数m的取值范围是
.
2
02 幂指对函数
巩固练习
考点1：幂函数的图像及其性质
A组
1
容易
填空题
已知幂函数y = f (x)的图像过点(2, √2
2 )，则f (4) =
.
2
较易
填空题
已知α ∈{−2, −1, −1
2 , 1
3 , 1
2 , 1, 2, 3}.若函数f(x) = xα在(0, +∞)上递减且为偶函数，则α =
.
3
较易
填空题
幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数m的取值集合是
.
B组
1
一般
填空题
函数f (x) = x−1
2 ，则不等式f(2x −1) > f(x + 1)的解集为
．
考点2：对勾函数与飘带函数
A组
1
容易
填空题
已知x < 0，则函数y = x + 1
x 的最大值是
.
2
较易
单选题
关于函数y = x + a
x (a ∈R)单调性的描述正确的是( )
A. (0，√a]上单调递减，[√a，+∞)上单调递增
B. [−√a，0)上单调递减，(−∞，−√a]上单调递增
C. 当a < 0时，在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递减
D. 当a < 0时，在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增
3
较易
单选题
3
函数y = √x −
1
√x
(x > 1)的值域 ( )
A. x ≥2
B. y ≥2
C. y ≥3
D. y > 0
B组
1
一般
其他
已知函数f (x) = x + a
x , a ∈R．函数y = f (x)的定义域为D
(1)
当a = 2, D = (−∞, 0)时，求函数y = f (x)的值域．
(2)
当a = −1, D = (0, +∞)时，判断函数y = f (x)的单调性并说明理由．
考点3：指数函数图像与性质
A组
1
较易
填空题
某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程p = p0er⋅n，实验检测，这种微生物经过一
周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r =
.（精确到1）
2
较易
填空题
函数y = ( 1
2 )
x
+ m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为
．
B组
1
一般
填空题
已知函数f(x) = ax −b(a > 0且a ≠1, b ∈R)，g(x) = x + 1，若对任意实数x均有f(x) ⋅g(x) ≤0，则1
a + 4
b 的最小
值为
.
考点4：对数运算
A组
1
较易
填空题
方程log3 (x2 −1) = 2 + log3(x −1)的解为x =
.
2
容易
填空题
已知 lg ab = 1 ，则 lg a2024 + lg b2024 =
4
3
较易
填空题
若9a = 4b = m，且1
a + 1
b = 2，则m =
．
B组
1
一般
填空题
已知log7 3 = a, 7b = 2，用a、b的代数式表示 log6 14 =
.
2
一般
填空题
记A = 1 × 2 × 3 × ⋯× 100，那么
1
log2A +
1
log3A +
1
log4A + ⋯+
1
log100A =
.
考点5：对数函数图像与性质
A组
1
较易
填空题
已知函数f (x) =
，则不等式f(x) > 1的解集为
.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
( 1
2 )
x
, x ≤0
log2 x, x > 0
2
较易
填空题
函数f(x) = loga(2x + 1)（a＞0且a≠1）必过定点
．
B组
1
一般
填空题
若函数y = log2 (ax2 + 3x + a)的定义域是R，则a的取值范围是
.
2
一般
填空题
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是
.
5
03 函数概念
巩固练习
考点1：函数的定义
A组
1
下列同组的两个函数是相同函数的是（
）
A. y = x, y = √x2
B. y = x, y = eln x
C. y = x, y = ( 1
x )
−1
D. y = x + 1, y = t + 1
2
以下图形中，不是函数图象的是（
）
A.
B.
C.
D.
考点2：函数的定义域
A组
1
设集合A = {x y = lg (x2 −4x + 5)}，则A =
.
∣
2
函数y = √1 −x
x
的定义域为
．
6
3
函数 y = x−2
3 的定义域是
B组
1
已知函数y = f (x)的定义域为[−1, 3]，则函数y = f (2x −1)
lg (x −1) 的定义域为（
）
A. (1, 2]
B. (1, 2)
C. (1, 5]
D. (1, 2) ∪(2, 5]
2
若函数f (x) = lg [(a2 −1)x2 + (a + 1)x + 1]的定义域为R，则实数a的取值范围是
．
考点3：函数解析式的求解
A组
1
求下列函数的解析式.
(1)
已知函数f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3(x ≥1)，求f(x)；
(2)
已知f(x)是一次函数，且f[f(x)] = 9x + 8，求f(x).
7
B组
1
为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中
的含药量y（mg/m3）与时间t（h）成正比（0 < t < 1
2 ）；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y = ( 1
4 )
t−a
（a
为常数，t ≥1
2 ），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5（mg/m3）以下时，学生方可进教室，则学校应
安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作
A. 30
B. 40
C. 60
D. 90
考点4：函数值域的求解
A组
1
下列函数中，值域为[0，+∞）的是（
）
A. y = x
1
2
B. y = 3x
C. y = log2 (x −1)
D. y =
x
x −1
2
若函数y＝
1
x −2 的定义域为A，函数y＝√2x + 6的值域是B，则A∩B＝
.
3
已知f (x) = x + c
x ，若对任意x ∈(0, +∞)，都有f (x) ≥f (3)，则实数c的值是
．
B组
1
记y = log0.7 (1 −16x2)的减区间D，则y = 8x2 −6x + 4
2x −1
在x ∈D上的值域为
．
2
如果|x + 1| + |x + 9| > a对任意实数x总成立，那么a的取值范围是
.
8
04 奇偶性
巩固练习
考点1：函数奇偶性的判定
A组
1
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=√9 −x2 + √x2 −9；
(2)f(x)=(x + 1)√1 −x
1 + x ；
(3)f (x)＝√4 −x2
|x + 3| −3
2
给出下列结论：
①若f (x)的定义域关于原点对称，则f (x)是偶函数；
②若f (x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称；
③若f (−2) = f (2)，则f (x)（x ∈R）是偶函数；
④若f (x)（x ∈R）是偶函数，则f (−2) = f (2)；
⑤若f (2) ≠f (−2)，则f (x)（x ∈R）不是偶函数；
⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x) = 0（x ∈R）；
⑦若f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0) = 0．
其中正确的结论是
（填序号）．
9
3
已知集合A = {−1, −1
2 , 0, 2, 3}，B = {y = f (x)|f (x) = xk, k ∈A且y = f (x)为奇函数}，则集合B的子集个数为
.
B组
1
设函数f (x) = {
，则关于函数f (x)有以下四个命题：
①∀x ∈R, f (f (x)) = 1；②∃x0, y0 ∈R, f (x0 + y0) = f (x0) + f (y0)；③函数f (x)是偶函数；④函数f (x)是周期函
数.
其中真命题的个数是（
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
1, x有理数
0, x为无理数
2
设函数f(x) = 2 sin x sin (x + π
3 + φ)是奇函数，其中φ ∈(0, π)，则φ =
考点2：利用函数奇偶性求值/求参/求解析式
A组
1
若函数f (x) = log2 (4x + 1) + kx (x ∈R)是偶函数，则k的值为
.
2
函数f (x)是[b −1, 2]上的奇函数，则b =
．
B组
1
设a为常数，y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x < 0时，f (x) = a2x + 1
x + 8，若f (x) ≥a + 2对一切x ≥0成
立，则a的取值范围为
．
10
2
定义在R上的函数f (x) = a −
1
2x + 1 是奇函数，则实数a =
.
3
已知函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，且当x > 0时，其表达式为f(x) = x2 + 2x，则当x < 0时，其表达式为
f(x) =
．
4
已知函数y = f (x)的表达式为f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 ，且在[−1, c]上为奇函数，则f (c)的值为
.
11
05 单调性
巩固练习
考点1：函数单调性的判定
A组
练1
1
函数y = lg(x2 −2x + 3)的单调递增区间为
．
练2
1
函数f (x) =
1
x + 1 中，有（
）
A. f (x)在(−1, +∞)上严格增
B. f (x)在(−∞, −1) ∪(−1, +∞)上严格减
C. f (x)在(1, +∞)上严格增
D. f (x)在(−1, +∞)上严格减
B组
练1
1
当x > 0时，函数f (x) = (2a −1)x (a > 0, a ≠1
2 )的函数值总大于1，则函数y = loga (2x −x2)在区间________上
是严格增函数
12
练2
1
已知函数f (x) = 2x −a
2x (a > 0).
（1）判断f (x)在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（2）讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由.
考点2：利用函数单调性求参/解不等式
A组
练1
1
若函数f (x) = {
在R上单调递减，则实数a的取值范围是
.
(3 −2a)x + 4, x ≤1,
−2x + a, x > 1
练2
1
若函数f(x) = |x −a + 1|在区间[1, +∞)上是严格增函数，则实数a的取值范围为
．
B组
练1
1
已知函数f(x) = x−k2+k+2在区间(0, +∞)上是严格增函数，则实数k的取值范围是
．
13
练2
1
已知g (x) = x + b
x ，若对任意的x1, x2 ∈(1, 2)，都有g (x1) −g (x2)
x2 −x1
> 1 (x1 ≠x2)，则实数b的取值范围是
．
练3
1
若f (x)是偶函数，且当x ∈[0, +∞)时，f (x) = x −2，则不等式f
x
1
3 −1
> 1的解集是
．
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
练4
1
已知函数f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2，若f (5a −6) + f (a2) ≤4，则实数a的取值范围是
.
练5
1
设函数f (x) = √x2 + 1 −ax (x > 0)，其中a > 0.
（1）当a = 2时，用定义证明f (x)在区间(0, +∞)上是单调减函数；
（2）若g (x) = √x2 + 1 −1
x −x (x > 0)，G (x) = g (x) −f (x)，若G (x) < 0恒成立，求a的取值范围.
14
06 函数周期性与对称性
巩固练习
考点1：函数对称性的判断
A组
练1
1
已知定义在R上的函数y = f (x)的图像关于点(1, 0)对称，则下列结论成立的是（
）
A. f (x + 1)为偶函数
B. f (1 + x) = f (1 −x)
C. f (2 + x) + f (−x) = 0
D. f (1) = 0
练2
1
已知函数y = −
x −a
x −a −1 的反函数的图像关于点(−1, 3)成中心对称图形．则实数a等于．
A. 2
B. 3
C. −2
D. −3
B组
练1
1
若函数f (x) = 2x + 3 ⋅2−x的图像关于直线x = m成轴对称图形，则m =
.
练2
1
已知函数f(x) =
1
4 −2x 的图象关于点P对称，则点P的坐标是
.
15
练3
1
已知函数f (x)的定义域为R，且y = f (x + 1)的图象关于点(−1, 0)成中心对称.当x > 0时，f (x) =
3
x + 1 ，则
f (−2) =（
）
A. 1
B. 3
C. −1
D. −3
练4
1
下列函数中，其图象与函数y=ln(x+1)的图象关于直线x=1对称的是（
）
A. y=ln(1-x)
B. y=ln(3-x)
C. y=ln(1+x)
D. y=ln(3+x)
考点2：函数对称性的应用
A组
练1
1
已知定义域为R上的偶函数f(x)在[0, +∞)上单调递增，且f ( 1
2 ) = 0，则不等式f(x −2) > 0的解集是
．
B组
练1
1
已知定义域为R的函数y = f (x)是奇函数，在(0, +∞)上是严格增函数，且f (3) = 0，则不等式(x −1)f (x) < 0的解
集是
.
16
练2
1
若函数y = f (x)满足：①f (x)的图象是中心对称图形；②若x ∈D时，f (x)图象上的点到其对称中心的距离不超过
一个正数M，则称f (x)是区间D上的“M对称函数”.若函数f (x) = (x + 1)3 + m (m > 0)是区间[−4, 2]上的“M对称
函数”，则实数M的取值范围是
A. [3√82, +∞)
B. [√82, +∞)
C. (0, 3√82]
D. (3√82, +∞)
练3
1
已知函数f (x) = (x2 −1) (x2 + ax + b)，若对于任意的x ∈R，都有f (x) = f (4 −x)，则f (x)的最小值是
.
考点3：函数周期性的判断
B组
练1
1
函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x + 2) =
1
f (x) ，若f (1) = −5,则f (f (5)) =
．
练2
1
已知函数y = f (x)，对任意x ∈R，都有f (x + 2) ⋅f (x) = k（k为常数），且当x ∈[0, 2]时，f (x) = x2 + 1，则
f (2023) =
.
17
考点4：函数周期性的应用
A组
练1
1
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x + 2) = f(x)且x ∈[0, 1]时，f(x) = x，则方程f(x) = log3|x|的解有（
）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 多于4个
练2
1
函数y = f(x), x ∈R满足f (x + 2) = f (x)，当0 < x ≤2时，f (x) = log2 (x + 1)，则f (−2023) =
.
B组
练1
1
设函数f(x) = √2
2 cos(2x + π
4 ) + sin2x
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）设函数g(x)对任意x ∈R，有g(x + π
2 ) = g(x)，且当x ∈[0, π
2 ]时，g(x) = 1
2 −f(x)；求函数g(x)在[−π, 0]上
的解析式．
练2
1
设函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x + 3) = −f (x)，若f (1) ≥−2，f (2021) = 3
m ，则实数m的取值范
围是
.
18
07 函数图像与函数零点
巩固练习
考点1：函数图像及其变换
A组
练1
1
已知函数f (x) = 1 + |x| −x
2
（−2 < x ⩽2）．
(1)
用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)
请在方格坐标系中画出函数f(x)的图像．
19
B组
练1
1
函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（
）
A.
B.
C.
D.
练2
1
已知曲线C1：y = sin x，曲线C2：y = sin (ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π
2 )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（
）
A. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
B. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
C. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
D. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
1
2
1
2
20
练3
1
设函数f (x)在(−∞, +∞)内有定义，对于给定的正数K，若定义函数fK (x) = {
，取函数f (x) = 2−|x|
，当K = 1
4 时，函数fK (x)的单调递增区间为
．
f(x),f(x)≤K
K, f (x) > K
练4
1
设实数a > 0，且a ≠1，b ∈R，函数f (x) = ax + b (x > 0)．若f (x)的图像与x轴没有交点，则（
）
A. {
或{
B. {
或{
C. {
或{
D. {
或{
a > 1
b ≥−1
0 < a < 1
b ≤−1或b ≥0
a > 1
b < −1
0 < a < 1
−1 < b < 0
a > 1
b ≤−2
0 < a < 1
−0.5 < b < 0
a > 1
−2 < b < −1
0 < a < 1
−1 < b < −0.5
考点2：已知零点个数求参
A组
练1
1
已知函数f (x) = {
，若函数f (x)存在零点，则实数t的取值范围是
.
3x, x ≥t
−x, x < t
练2
1
函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数为
.
B组
练1
1
若函数f(x) = {
有且仅有1个零点，则实数a的取值范围
−(x + 3)(x −1), x ≤a
2x −0.25, x > a
练2
21
1
若存在区间[a, b](a, b ∈R)使得函数f (x) = sin x −1
2 在此区间上仅有两个零点，则b −a的取值范围是
．
练3
1
设min {A, B}表示A，B中的较小数.若函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则实数a的取值
范围是
.
练4
1
设f (x)是定义在R上的偶函数，对任意的x ∈R，都有f (x −2) = f (x + 2)，且当x ∈[−2, 0]时，f (x) = ( 1
2 )
x
−1
.若在区间(−2, 6]内关于x的方程f (x) −loga (x + 2) = 0 (a > 1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
.
考点3：利用函数性质探究零点关系
A组
练1
1
已知函数f(x) = x −2
x (x ≠0)，则该函数的所有零点的和是
.
B组
练1
1
已知定义在R上的奇函数f (x)，满足f(x −4) = −f(x)，且在区间[0, 2]上是增函数，若方程f(x) = m(m > 0)，在
区间[−8, 8]上有四个不同的根x1, x2, x3, x4，则x1 + x2 + x3 + x4 =（
）
A. -12
B. -8
C. -4
D. 4
22
练2
1
已知f (x) = 2 sin πx，g (x) =
3√x −1，则f (x)与g (x)图象交点的横坐标之和为
.
练3
1
已知函数f (x) = {
，若存在x1 < x2 < x3，使得f (x1) = f (x2) = f (x3)，则x1 + x2 + x3的取值范
围是（
）
A. (0, √6)
B. (√3, √6)
C. (0, √6]
D. (√3, √6]
|x + 1|, x ≤2
x2 −4x + 1, x > 2
23
08 三角比
巩固练习
考点1：任意角与弧度制
A组
1
一个扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则圆心角为
弧度．
2
下列说法正确的是（
）
A. 终边在x轴上角的集合是{α α = kπ
2 ，k ∈Z}
B. 若角α的终边在第二象限，则角α是钝角
C. 若角α是钝角，则角α的终边在第二象限
D. 终边在直线y = x上角的集合是{α α = π
4 + kπ，k ∈Z}
∣∣
3
中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面
积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为
√3 −1
2
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的
圆心角的弧度数为（
）
A. (4 −2√3)π
B. (2 −√3)π
C. (√3 −1)π
D. (2√3 −2)π
B组
1
已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数是
A.
B.
C.
D. 2
24
考点2：三角比
A组
1
若角α的终边经过点P(5t, 12t)(t > 0)，则sin α =
．
2
已知 tan α = 2 ，则 sin2 α −sin α cos α 的值是
B组
1
已知集合A = {α| tan α > 0}，集合B = {β| cot β
2 > 0}，则B ∩A =
．
–
考点3：诱导公式
A组
1
已知sin(3π + θ) = 1
4 ，求
cos (π + θ)
cos θ [cos (π + θ) −1] +
cos (θ −2π)
cos (θ + 2π) cos (π + θ) + cos (−θ) =
.
B组
1
若点P(cos θ, sin θ)与点Q (cos (θ + π
2 ), sin (θ + π
2 ))关于直线3x −y = 0对称，则tan θ =
.
考点4：两角的和差公式
A组
1
若 cos (θ + π
3 ) = 1 ，则 cos θ =
2
已知α、β ∈(−π
2 , 0)，且tan α + tan β + √3 tan α tan β = √3，则α + β =
．
25
B组
1
已知点A的坐标为(√3, −1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转5π
6 至OB，则点B的纵坐标为
.
2
设α, β ∈(0, π
2 )，cos (α + π
6 ) = 5
13 ，sin (β −π
3 ) = −3
5 ，则cos(α −β) =（ ）
A. 63
65
B. −63
65
C. 33
65
D. −33
65
考点5：二倍角、半角与辅助角公式
A组
1
已知点P(3, −4)是角α终边上一点，则cos 2α =
．
2
三倍角的正切公式为tan 3α =
.
B组
1
已知α, β为锐角，且1 −cos 2α = sin α cos α, tan (β −α) = 1
3 ，则tan α =
；β =
.
26
09 解三角形
巩固练习
考点1：正弦定理及其应用
A组
1
在△ABC中，若A = 60∘，AB = 2，AC = 2√3，则△ABC的面积是
．
2
在△ABC中，已知BC = 5, AC = 4, A = 2B，则cos B的值为
.
B组
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（
）
A. a = 8，b = 10，A = 45∘
B. a = 60，b = 81，B = 60∘
C. a = 7，b = 5，A = 80∘
D. a = 14，b = 20，A = 45∘
考点2：余弦定理及其应用
A组
1
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 4、b = 5、c = 6，则sin A =
.
2
某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m），且该区域的租金为每天4
元/m ．若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需________元．（结果保留整数）
2
27
3
在△ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c，若a2 −b2 = 3bc, sin C = 2 sin B，则A =
.
B组
已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边，且c cos B + (b −2a) cos C = 0.
(1)
求C；
(2)
若CD为AB边上的中线，cos A = 1
7 ，CD = √129
2
，求△ABC的面积.
考点3：解三角形的实际应用
A组
1
如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B和C，在B点处观测到C的方位角为155∘，B点和C点相距25千
米．某日两个观测站都观测到了A处出现火情，在B点处观测到A的方位角为125∘．在C点处，观测到A的方位角为
80∘，则观测站C与火情A之间的距离为
．
28
2
如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，
已知AB = a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼
与东方明珠塔之间的距离d =
.
B组
某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角
∠ACB = π
3 ，墙AB的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记∠ABC = θ.
(1)
若θ = π
4 ，求三角形的周长（结果精确到0.01）；
(2)
为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室
面积最大？并求出最大面积.
29
10 三角函数的图像与性质
巩固练习
考点1：三类基本三角函数的图像及其性质
A组
1
函数y = 2 cos2 x + 1(x ∈R)的最小正周期为
.
2
“函数f(x) = sin(ωx)（x、ω ∈R，且ω ≠0）的最小正周期为 π
”是“ω = 2”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
3
下列说法正确的是（
）
A. 函数y = sin x在第一象限内是严格增函数
B. 函数y = cos x的图象是中心对称图形
C. 函数y = tan x在其定义域中是严格增函数
D. 函数y = sin x
x
是周期函数
B组
1
求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值.
(1)y = −sin2x + √3 sin x + 5
4 ;
(2)y = cos2x −sin x,x ∈[−π
4 , π
4 ].
30
考点2：正弦型三角函数
A组
1
已知函数f(x) = √3 sin ωx −cos ωx (ω > 0)在[0, π
2 ]内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是
（
）
A. ( 13
3 , 16
3 ]
B. [ 13
3 , 16
3 )
C. ( 14
3 , 17
3 ]
D. [ 14
3 , 17
3 )
2
已知函数f (x) = 2 sin (2x + 2π
3 ).
(1)
求f (x)的单调增区间；
(2)
求函数f (x)在[0, 2π
3 )的值域.
B组
1
已知函数f(x)=2sin(ωx+ π
4 )(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（
）
A. [ 19π
4 , 27π
4 )
B. [ 9π
2 , 13π
2 )
C. [ 17π
4 , 25π
4 )
D. [4π, 6π)
31
考点3：三角方程
A组
1
已知cos x = −1
3 ，x是第二象限的角，那么x =
．
2
方程cos 2x −sin x = 0在区间[0, 2π]上的所有解的和为
.
3
已知tan x = 3，x ∈( π
2 , 3π
2 )，则角x为
.
B组
1
已知sin 2x = 1
2 , x ∈[0, 2π]，则角x的取值集合为
．
2
当sin α + √3 cos α = 1，α =
．
32
11 平面向量
巩固练习
考点1：向量的概念及线性运算
A组
1
若向量→a与→b 方向相反，则下列等式中必定成立的是（
）
A. |→a| + |→b | = |→a −→b |
B. |→a| + |→b | = |→a +→b |
C. |→a| −|→b | = |→a −→b |
D. |→a| −|→b | = |→a +→b |
2
给出下列命题，其中正确的命题是（
）
A. 若|
→a| = |
→
b |，则
→a =
→
b 或
→a = −
→
b
B. 若向量
→a是向量
→
b 的相反向量，则|
→a| = |
→
b |
C. 在正方体ABCD −A1B1C1D1中，AC = A1C1
D. 若平面向量
→m,
→n,
→p满足
→m =
→n,
→n =
→p，则
→m =
→p
−
→
−
→
3
化简下列算式：
（1）2 (3→a +
→
b −4→c ) −3 (→a −2
→
b −→c ) =
.
（2）OB −[OA −(BA −BC)] =
.
−
→
−
→
−
→
−
→
B组
1
已知→a,→b 是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，AB =→a + 2→b , BC = −4→a −→b , CD = −5→a −3→b ，则四边形
ABCD的形状是（ ）
A. 矩形
B. 平行四边形
C. 梯形
D. 以上都不对
−
→
−
→
−
→
33
考点2：数量积
A组
1
已知e1、e2是夹角为60∘的两个单位向量，若e1 + ke2和ke1 + e2垂直，则实数k =
．
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
2
已知
→a = (1, 0)，
→
b = (3, 4)，则向量
→a在向量
→
b 方向上的数量投影为
.
3
已知向量→
m = (1, −2),→
n = (k, 4)，若→
m⊥→
n，则k =
．
B组
1
在直角坐标系中，已知三点A(a, 0)，B(2, b)，C(3, 4)，若向量OA、OB在向量OC方向上的投影相同，则3a −4b的
值是
.
−
→
−
→
−
→
2
如图，设Ai (i = 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, n)是△AOB所在平面内的点，且OAi ⋅OB = OA ⋅OB，给出下列说法：
（1）OA1 = OA2 = OA3 = ⋅⋅⋅= OAn ；
（2）OAi 的最小值是
OA ⋅OB
OB
；
（3）点A和点Ai共线；
（4）向量OA及OAi在向量OB方向上的数量投影必定相等；
其中正确的个数是（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
−
→
−
→
−
→
−
→
∣
−
→
∣
−
→
∣
−
→
∣∣
−
→
∣∣
−
→
∣∣
−
→
−
→
∣∣
−
→
∣
−
→
−
→
−
→
34
考点3：模长问题
A组
1
已知→a，→b 是两两垂直的单位向量，则→a −2→b
=
．
∣∣
2
已知向量→a,→b 满足→a = 3，→b
= 4，→a + 2→b
= 7，则→a与→b 的夹角为
∣∣∣∣
B组
1
已知向量 →a,→b ,→c 满足 →a ⋅→c = |→b −4→c | = |→c | = 2, 则 |→a −→b | 的最小值是 ( )
A. 0
B. 2
C. √2
D. 5
考点4：向量定理及其运用
A组
1
已知向量
→a = (m, 1),
→
b = (2, m −1)，若
→a ∥
→
b ，则实数m =
.
2
设平面向量
→a = (sin θ, 1)，
→
b = (cos θ, √3)，若
→a，
→
b 不能组成平面上的一个基，则tan θ =
.
3
设e1、e2是平面内不共线的向量，已知AB = 2e1 + ke2，CB = e1 + 3e2，CD = 2e1 −e2，若A、B、D三点共线，
则实数k =
．
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
B组
1
已知点O(0, 0)， A(2, 1)， B(1, 2)．若平面区域D由所有满足OP = λOA + μOB（1 ≤λ ≤2, 1 ≤μ ≤2）的点P组
成，则D的面积为（
）
A. 3
2
B. 3
C. 6
D. 12
−
→
−
→
−
→
35
12 复数
巩固练习
考点1：复数的概念
A组
1
已知复数z和–z ，则下列说法正确的是（
）
A. z + –z 一定是实数
B. z −–z 一定是虚数
C. 若z + –z = 0，则z是纯虚数
D. 若z −–z = 0，则z是纯虚数
2
已知复数(m2 −3m −1) + (m2 −5m −6)i = 3（其中i为虚数单位），则实数m =
．
3
设a ∈R.若(a −2i) (1 + i)为纯虚数(i为虚数单位)，则a=
.
B组
1
已知z均为复数，则下列命题不正确的是（
）
A. 若z = ¯z 则z为实数
B. 若z2 < 0，则z为纯虚数
C. 若|z + 1| = |z −1|，则z为纯虚数
D. 若z3 = 1，则¯z = z2
考点2：复数的运算
A组
1
已知复数 Z
i = 1 −2i（ i 为虚数单位），则 z =
2
已知复数z = 2 + i
2 −i ，其中i为虚数单位，则|z| =
.
36
3
设i是虚数单位，则i6 + i7 + i2 =
．
∣∣
B组
1
若z1，z2，z3均为复数，则下列结论中正确的有
.（填所有正确的结论序号）
（1）若z1 −z2 > 0，则z1 > z2.
（2）若(z1 −z2)2 + (z2 −z3)2 = 0，则z1 = z2 = z3.
（3）|z1 −z2| = √(z1 + z2)2 −4z1z2.
（4）若z2
1 = z2
2，则z1 ⋅z1 = z2 ⋅z2.
–
–
考点3：复数的几何意义
A组
1
设复数z = 3 −i，则复数i ⋅z在复平面内对应的点的坐标是
.
2
复数2 −i
1 −3i 在复平面内对应的点在第
象限．
3
在复平面内，O为坐标原点，复数z1 = i (−4 −3i)，z2 = 12 + 5i对应的点分别为Z1、Z2，其中i为虚数单位，则
⟨OZ1, OZ2⟩的大小为
．
−
→
−
→
B组
1
设z1, z2 ∈C且z1 = i ⋅z2，满足|z1 −1| = 1，则|z1 −z2|的取值范围为
．
–
考点4：实系数一元二次方程
A组
1
若 x2 = −2 ，则 x = .
37
2
若关于x的方程x2 −x + m = 0的一个虚根的模为2，则实数m的值为
．
3
已知关于x的一元二次方程x2 + kx + k2 −2k = 0有两个虚根x1, x2，且x2
1 + x2
2 = 3，则实数k的值为
.
B组
1
设m是实数，关于x的方程x2 −(m + 2)x + m2 + 3m + 1 = 0有两根x1, x2，
(1)
若x1 = x2，求m的取值范围；
(2)
若|x1 −x2| = 2，求m的取值范围．
–
考点5：复数的三角形式
A组
1
复数的三角形式cos 2π
5 + i sin 2π
5 （用辐角主值表示）为
．
–
2
设复数z = (1 −√3i)
5
，求复数z的模及辐角主值．
3
38
如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（
）
A. {z |z| = 1, π
6 ≤arg z ≤5π
6 , z ∈C}
B. {z |z| ≤1, π
6 ≤arg z ≤5π
6 , z ∈C}
C. {z |z| = 1, Imz ≥1
2 , z ∈C}
D. {z |z| ≤1, Imz ≥1
2 , z ∈C}
∣
∣
∣
∣
B组
1
设n为正整数.若存在复数z，满足|z| = 1且zn = z −√2，则n的最小值为
.
39
