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第十八题 空间向量与立体几何
高考真题
18. 如 图 ， 在 正 四 棱 柱 中 ， ． 点 分 别 在 棱
, 上， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【思路分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设 ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解.
【解析】【小问1详解】以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.【小问2详解】设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
知识点总结
1. 空间向量中的有关定理
(1) 共线向量定理
空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得 a ＝ λ b .
(2) 共面向量定理
共面向量定理的向量表达式： p ＝ x a ＋ y b ，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．
(3) 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间中任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ，{a，b，c}叫做空间中的 一组基底 .
2. 空间向量的数量积
(1) 两向量的夹角：若两个非零向量 a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB叫做向量a，b的夹角，记做〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π.若〈a，b〉＝，则
称a与b互相垂直，记做a⊥b.
(2) 两向量的数量积：若空间中两个非零向量a，b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的
数量积，记做a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
3. 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a ，a ，a )，b＝(b ，b ，b )．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a b ＋ a b ＋ a b
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b
1 1 2 2 3 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a b ＋ a b ＋ a b ＝ 0
1 1 2 2 3 3
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4. 两个重要向量
直线的方向 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向
向量 向量有 无数 个
平面的法向 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显
量 然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量
5. 空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
l ∥l n ∥n ⇔n ＝λn
1 2 1 2 1 2
直线l ，l 的方向向量分别为n ，n
1 2 1 2
l ⊥l n ⊥n ⇔n ·n ＝0
1 2 1 2 1 2
l∥α n⊥m⇔m·n＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l⊥α n∥m⇔n＝λm
α∥β n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
6. 常用结论
(1) 在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z
＝1)，O为空间中任意一点．
(2) 在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
题型展示
空间向量的线性运算
如图，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c.点M在OA上，OM＝2MA，N
是BC的中点，则MN＝ － a ＋ b ＋ c (用a，b，c表示)．
【解析】 因为ON＝c＋b，所以MN＝ON＋MO＝－a＋b＋c.
用已知向量表示未知向量的解题策略：
(1) 要结合图形，以图形为指导是解题的关键；
(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义；
(3) 三角形法则、向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
空间向量的数量积的运算及应用
如图，在平行六面体 ABCD－A B C D 中，AB＝AD＝1，AA ＝，∠BAA ＝∠DAA ＝
1 1 1 1 1 1 1
45°，∠BAD＝60°，则|AC1|＝__3__.
【解析】 AC1＝AC＋AA1＝AB＋AD＋AA1，由题知，|AB|＝|AD|＝1，|AA1|＝，AB与
AD的夹角为∠BAD＝60°，AB与AA1的夹角为∠BAA ＝45°，AD与AA1的夹角为∠A AD＝
1 1
45°，所以|AC1|2＝(AB＋AD＋AA1)2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA1|2＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1
＝1＋1＋2＋2×1×1×cos60°＋2×1××cos45°＋2×1××cos45°＝9，所以|AC1|＝3.
利用向量解决立体几何问题时，也可以将几何问题转化成向量问题，或通过建立空间直
角坐标系利用向量的坐标进行求解，然后代入向量数量积公式进行相关计算和证明．
利用空间向量证明平行问题(2022·江苏百校联考)已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB
上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图(1)．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接
AC，AB，如图(2)．已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF.
图(1) 图(2)
【解答】 因为平面AEF⊥平面BCEF，AE⊥EF，所以AE⊥EC，又CE⊥EF，所以建
立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0,1)，B(3,4,0)，C(3，0,0)，F(0，1,0)，所以AC＝
(3,0，－1)．设AM＝λAC，EM＝EA＋AM＝EA＋λAC＝(3λ，0,1－λ)．设n＝(x，y，z)为平面
ABF的法向量，则即因此可取n＝(1，－1，－1)，所以n·EM＝(1，－1，－1)·(3λ，0,1－λ)＝
4λ－1.因为EM∥平面ABF，所以n·EM＝0，即λ＝，所以当AM＝AC时，EM∥平面ABF.
证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直
线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方
向向量平行，然后说明直线在平面外即可．
利用空间向量证明垂直问题
如图，已知四棱锥P －ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC
＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
(1) 求证：PA⊥BD；
【解答】 如图，取BC的中点O，连接PO，因为△PBC为等边三角形，所以 PO⊥BC.因
为平面 PBC⊥底面 ABCD，平面 PBC∩底面 ABCD＝BC，PO⊂平面 PBC，所以 PO⊥底面
ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y
轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设 CD＝1，则AB＝BC＝
2，PO＝，所以 A(1，－2,0)，B(1，0,0)，D(－1，－1,0)，P(0，0，)，所以BD＝(－2，－1,0)，PA＝(1，－2，－)．因为BD·PA＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，所以PA⊥BD，
所以PA⊥BD.
(2) 求证：平面PAD⊥平面PAB.
【解答】 如图，取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M.因为DM＝，PB＝(1,0，－)，所以
DM·PB＝×1＋0×0＋×(－)＝0，所以DM⊥PB，即DM⊥PB.因为DM·PA＝×1＋0×(－2)＋
×(－)＝0，所以DM⊥PA，即DM⊥PA.又因为PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以DM⊥
平面PAB.因为DM⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB.
用向量证明垂直的方法：(1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直；(2) 线面
垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线；(3) 面面垂直：证明两个平面的法向量互
相垂直．
真题演练
一、单选题
1．在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ,且 ，则直线 与直线 夹角的
余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
3．已知向量 ，则下列向量中与 成 的是
A． B． C． D．
【答案】B
4．设 是空间中给定的5个不同的点，则使 成立的点 的
个数为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．10
【答案】B
二、填空题
5．如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成角
的大小是____________．【答案】
6．如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为
【答案】
7．在正四面体O－ABC中， ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝
(用 表示)．
【答案】
8．若向量 ＝(1，1，x)， ＝(1，2，1)， ＝(1，1，1)满足条件 ，则x＝ ．
【答案】
三、解答题
9．如图，已知长方体 ，直线 与平面 所成的角为 ， 垂直于E，F为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成的角；
(2)求平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小；
(3)求点A到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，表示出 ，结合向量的夹
角公式可求异面直线 与 所成的角；
（2）分别求出平面 与平面 对应法向量，结合向量夹角余弦公式即可求解；
（3）结合向量法可知点A到平面 的距离 ，代值计算即可．
【详解】（1）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，因为直线 与平面 所成的角为 ，即 ，又因为 ，所以 ，
设 ， ，
因为 ，设 ，即 ， ，
，解得 ， ，
，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，所以异面直线 与 所成的角为 ；
（2）显然平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 得 ， ，即 ，
所以 ，所以平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小为；
（3）由向量法可知，点A到平面 的距离 ，即点A到
平面 的距离为 .
10．如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知
， ， ， ， ．
(1)设点 是 的中点，证明： ∥平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的大小；
(3)求此几何体的体积．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）利用空间向量法求 与平面 所成的角；
（3）构造出三棱柱，运用等量代换即可；【详解】（1）（1）如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
易知， 是平面 的一个法向量，
由 ，且 不在平面 内，
所以 ∥平面 ·
（2）设 与面 所成的角为 ，
求得 ，
设 是平面 的一个法向量，
则由 得 ，取 ，
得
又因为 ，
所以， ，
则 ，所以 与面 所成的角为 ；
（3）分别延长 至 ，使 ，
则 .
11．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，
D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出
答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方体
，如图所示，
过E作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ，
因为E，F分别为 和 的中点，所以 是BC的中点，
易证 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以 两两垂直．以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
， ．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
[方法三]：因为 ， ，所以 ，故 ， ，所以
，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，此时 ．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长 交 的延长线于点S，联结 交 于点T，则平面 平面 ．
作 ，垂足为H，因为 平面 ，联结 ，则 为平面 与平面 所成
二面角的平面角．
设 ，过 作 交 于点G．
由 得 ．又 ，即 ，所以 ．
又 ，即 ，所以 ．
所以 ．
则 ，
所以，当 时， ．
[方法三]：投影法
如图，联结 ，
在平面 的投影为 ，记面 与面 所成的二面角的平面角为 ，则
．
设 ，在 中， ．在 中， ，过D作 的平行线交 于点Q．
在 中， ．
在 中，由余弦定理得 ， ，
，
， ，
当 ，即 ，面 与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ．
【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐
标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行
证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；
方法二：利用空间线面关系找到，面 与面 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很
容易找到；方法三：利用面 在面 上的投影三角形的面积与 面积之比即为面 与面
所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔
学生的思维．
12．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 的中点分
别为 ，点 在 上， ．(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）作出并证明 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 垂直 的延长线交于点 ，
因为 是 中点，所以 ，
在 中， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
即三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
13．如图，在长方体 中，E、P分别是 的中点， 分别是 的中点，
．
(1)求证： 面 ；
(2)求二面角 的大小．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定定理可知找到线线平行，从而得到结论．
（2）建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，运用向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小.
【详解】（1）以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标系，
则：
∵ 分别是 的中点
∴
取 ，显然 面
，∴
又 面 ∴ 面
（2）过 作 ，交 于 ，取 的中点 ，则
设 ，则
又由 ，及 在直线 上，可得:
解得 ，
∴ ∴ 即
∴ 与 所夹的角等于二面角 的大小.
，故二面角 的大小为 .
A B C D
14．如图，在六面体 中，四边形 是边长为2的正方形，四边形 1 1 1 1是边长为1
A B C D
1 1 1 1
的正方形， 平面 ， 平面 ．
(1)求证： 与 共面， 与 共面；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求二面角 的大小．（用反三角函数值表示）
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
(3)【分析】（1）先建立空间直角坐标系，证明两直线的方向向量共线即可证明两直线共面.
（2）利用面面垂直的判定定理即可证明.
（3）利用坐标先求出两个平面的法向量，再求出两个法向量所成角的余弦值，判断二面角为锐二面角还
是钝二面角，即可得到二面角的余弦值，最后即可求出二面角的平面角.
【详解】（1）如图所示，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 , ， ，
，
，且 四点不共线， 四点也不共线，
所以 与 共面， 与 共面.
（2） 因为四边形 是边长为2的正方形，
平面 ， 平面 ，
又 ， 平面
又 平面 ， 平面 平面
（3）设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 .
则
由题可知二面角 为钝二面角，所以二面角的余弦值为 .
故二面角 的平面角为 .
模拟训练
一、单选题
1．如图，在长方体 中， ， ，对角线 与平面 交于 点．则
与面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D2．在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
3．如图，在三棱柱 中，底面边长和侧棱长均相等， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．在正方体 中，M是线段 （不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A． B．平面 平面
C． 平面 D． 平面
【答案】B
二、多选题
5．如图，已知 平面 ， ， ， 为 的中点， ，则（ ）A． B．
C． 平面 D．直线 与 所成角的余弦值为
【答案】BD
6．如图，在正方体 中， 为棱 上的动点（不含端点），下列选项正确的是（ ）
A．当 时， 平面
B．平面 与平面 的交线垂直于
C．直线 ， 与平面 所成角相等
D．点 在平面 内的射影在正方体 的内部
【答案】BC
三、填空题
7．表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且 为等边三角形，空间中的动点P满足 ，
当点P在 所在的平面内运动时，点P的轨迹是 ；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长
度为 .
【答案】 圆
8．在正方体 中，点 是棱 的中点， 是侧面 上的动点，满足 //平面 ，若该正方体的棱长为 ，则点 到直线 的距离的最小值为 .
【答案】
四、解答题
9．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， ， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，证明 ，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.
（2）由（1）中信息，以点A作原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.
【详解】（1）在四边形 中， ，取 中点 ，连接 ，
由 ，得 ，则四边形 是平行四边形，又 ，
因此 是矩形，即有 ，有 ， ，
从而 ，即 ，而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，
所以 .（2）由（1）知 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标
系，
依题意， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，得 ，
因此 ，显然二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
10．图，已知正方形 是圆柱 的轴截面（经过旋转轴的截面），点E在底面圆周上， ，
，点 是 的中点.
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的余弦值.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 平面 ，证得 ， ，进而证得 平面 ，得到 ，
设点 到平面 的距离为 ，结合 ，即可求得点 到平面 的距离；
（2）以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面 的一个法向量
和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为线段 是圆 的直径，所以 ，可得 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则由 ，可得 ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 .
（2）解：由（1）可知 ，
以点 为坐标原点， ， 所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ， ，
可得 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
由（1）可知，平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，由图可知 为锐角，
则 ，
即二面角 的余弦值为 .
11．如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形，
是棱 上的动点，且 ．
(1)证明: 平面 ．(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 .
【分析】（1）由题设 ，根据线面垂直的判定得 平面 ，再由线面垂直的性质有
，并由勾股定理证 ，最后应用线面垂直的判定证结论；
（2）取棱 的中点 ，连接 ，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余
弦值，结合已知列方程求参数 ，即可判断存在性.
【详解】（1）
因为四边形 是菱形，所以 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .（2）
取棱 的中点 ，连接 ，易证 两两垂直，
故以 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，
故 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ．
平面 的一个法向量为 ,设面 与面 所成的锐二面角为 ，
则 ，整理得 ，解得 (舍去)．
故存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 ．
12．如图，在三棱柱 中，平面 平面ABC， ， ，
， ， ， ．(1)求证：B，D，E， 四点共面；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）由题设 ， ，进而有 ，易得四边形 为平行四边形，再结
合 ，即可证结论；
（2）连接 ，取AC的中点O，连接 ，BO，根据已知证明线面、线线垂直并构建空间直角坐标系，
应用向量法求二面角的余弦值.
【详解】（1）在三棱柱 中， ， ，
因为 ， ，即 ， ，
所以 ，则四边形 为平行四边形，故 ，又 ，
所以 ，故B，D，E， 四点共面．
（2）连接 ，取AC的中点O，连接 ，BO，如图所示．
三棱柱 中，四边形 为平行四边形， ， ，所以 为等边三角形，又O为AC的中点，所以 ．
因为平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABC，又 ，O为AC的中点，所以 ．
因为 ， ，所以 ．
以O为原点，OB，OC， 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ．
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ．
因为 ，
由图可知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．
