文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题10 复数及其应用
一、知识速览
二、考点速览
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
2、复数的分类：
3、复数的有关概念
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi 与c＋di 共轭⇔a＝c 且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi 的模，
记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除
原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi
复平面内的点Z(a，b)
平面向量
知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设
，
(a，b，c，d∈R)，则：
（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4）
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．
（2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z 为虚数，则|z|2≠z2.
（4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg z
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辅角是任意的。
2、复数的三角形式
定义：任何一个复数都可以表示成z =r(cosθ+i sinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
3、复数的代数式与三角式互化
将复数z =a+bi(a,b∈R)化为三角形式z =r(cosθ+i sinθ)时，要注意以下两点：
（1）r =√a
2+b
2，
（2）cosθ = a
r ，sinθ = b
r ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z = π
2
【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
则z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。
（2）复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量⃗O Z1，⃗O Z2，
然后把向量⃗O Z1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把⃗O Z1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），
再把它的模变成原来的r2倍，得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是积z1 z2，这就是复数乘法的几何意义。
（3）复数乘法运算三角表示推广：
z1 z2… zn=r1(cosθ1+isinθ1)∙r2(cosθ2+isinθ2)∙…∙rn(cosθn+isinθn)
=r1r2…rn[cos (θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]
特别的，当z1= z2=…= zn=r(cosθ+i sinθ)时，[r(cosθ+i sinθ)]
n=r
n(cosnθ+i sinnθ)
5、复数除法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)
则
z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.
（2）两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量⃗O Z1，⃗O Z2，然后把向量⃗O Z1绕O点按顺
时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把⃗O Z1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变成原来的1
r2
倍，
得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是商
z1
z2
，这就是复数除法的几何意义。
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
一、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0 时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0 时，它是实数0；
（3）当b≠0 时，叫做虚数；
（4）当a＝0 且b≠0 时，叫做纯虚数．
【典例1】（2023 秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）若复数
（为虚数单位，
且
）为实数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，若
为实数，则实数
（ ）
A．
B．4 C．2 D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知复数
是虚数，则实数m 的取值范围是（
）
A．R B．
C．
D．
二、求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部
的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
【典例1】（2023 秋·山东泰安·高三统考阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【典例2】（2023·河南·统考模拟预测）已知复数
的共轭复数为
，且
，
则
（ ）
A．
B．1 C．2 D．3
三、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
【典例1】（2023·河南驻马店·统考模拟预测）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（2023 秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知复数z 满足
（其中为虚数单位），
则复数z 在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
四、虚数单位i 的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知i 为虚数单位，则
= .
【典例2】（2023 秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）若
，其中是虚数单位，则
．
五、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
①当∆≥0时，x = −b±√b
2−4 ac
2a
②当∆<0时，x = −b±√−(b
2−4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
【典例1】（2023·重庆·统考三模）设
，
是方程
在复数范围内的两个解，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知
是关于
的方程
的一个根，其中
，
为
实数，则
.
六、复数的代数式与三角式互化
将复数z =a+bi(a,b∈R)化为三角形式z =r(cosθ+i sinθ)时，要注意以下两点：
（1）r =√a
2+b
2，
（2）cosθ = a
r ，sinθ = b
r ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z = π
2
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知为虚数单位，
，则下列选项不是
的三角形式的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）把复数
与
对应的向量
分别按逆时针方向旋转
和
后，重合于向量
且模相等，已知
，则复数
的代数形式和它的辐角分别是（
）
A．
B．
C．
D．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）复数
的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点1 忽视复数
是纯虚数的充要条件
点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数
为纯虚数
，往往容易忽略虚部不等于
0.
【典例1】（2023 秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）若
为纯虚数，则复数的虚部为
.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）i 是虚数单位，若复数
为纯虚数，则
．
易错点2 错误的理解复数比大小
点拨：两个复数不能直接比大小，但如果
成立，等价于
。
【典例1】（2022 秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数
（为虚数单位），
若
，则实数
的值为 .
【典例2】（2023 秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数
，则实数
的值为 ．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若
，且
，求实数x 的取值范围．
易错点3 错误的惯性思维理解复数的模
点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用。
【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设复数
，
（为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
8
