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专题12
三角函数压轴题
——任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式
1.角的概念
①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）．
②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是
Z
k
k
S
，
360
．
③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说
这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角．
④象限角的集合表示方法：
2.弧度制的概念
①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数
是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
②角度制和弧度制的互化：
rad
180
,
rad
180
1
,
180
rad
1
．
③扇形的弧长公式：
r
l
，扇形的面积公式：
2
2
1
2
1
r
lr
S
．
3.任意角的三角函数
①定义：任意角α 的终边与单位圆交于点
)
(
y
x
P
，
时，则
y
sin
，
x
cos
，
)
0
(
tan
x
x
y
．
4.同角三角函数基本关系
①平方关系：
1
cos
sin
2
2
．
②商数关系：
)
2
(
tan
cos
sin
k
；
5. 三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
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角
)
(
2
Z
k
k
2
2
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限
题型一
任意角和弧度制
例1．（1）如图放置的边长为1 的正PMN
沿x 轴滚动．设顶点
( , )
P x y 的运动轨迹对应的函数解析式为
( )
y
f x
，给出下列结论，其中正确结论的个数为（
）
①
( )
y
f x
的图象关于点3 ,0
2
对称；
②
( )
y
f x
的图象关于直线
3
2
x
对称；
③
( )
y
f x
在其两个相邻零点间的曲线长度为4π
3 ；
④
( )
y
f x
在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为2π
3 ．
说明：“正PMN
沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点N 为中心
顺时针旋转，当顶点M 落在x 轴上时，再以顶点M 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正PMN
可以
沿x 轴负方向滚动．
A．1
B．2
C．3
D．4
（2）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，
如图，设扇形的面积为
1S ，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为
2
S ，当
1S 与
2
S 的比值为
5
1
2
时，扇
面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（
）（参考数据：
5
2.236
）
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A．
1
2
2
S
S
B．若
1
2
1
2
S
S
，扇形的半径
3
R
，则
1
3π
S
C．若扇面为“美观扇面”，则
138
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径
20
R
，则此时的扇形面积为
200 3
5
（3）如图，在扇形AOB 中，C 是弦AB 的中点，D 在
AB 上，CD
AB
．其中OA
OB
r
，
AB 长为l
l
r
．则
CD 的长度约为（提示：
1
0, 2
x
时，
2
cos
1
2
x
x
）（
）
A．
2
8
l
r
r
B．
2
8
l
r
C．
2
4
l
r
r
D．
2
4
l
r
练习题
（1）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这
三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC 的周长为π，则该勒洛三角形ABC 的面积为（
）
A．
3
4
B．2π
3
4
C．π
3
2
D．2π
3
4
（2）如图，A 、B 是直线l 上的两点，且
2
AB
，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这
两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段AB 围成图形面积S的取值范围是
．
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（3）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文
人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中
20cm
OA
，
120
AOB
，M 为OA
的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是
2
cm ．
（4）已知ABC
是边长为2 的等边三角形.如图，将ABC
的顶点A 与原点重合，AB 在x 轴上，然后将三
角形沿着x 轴正方向滚动，每当顶点A 再次回落到x 轴上时，将相邻两个点A 之间的距离称为“一个周期”，
则完成“一个周期”时，顶点A 的路径长度为
.
（5）（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于(
)
1,0
A
点，
它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
(1)若点B 的横坐标为
1
2
，求sin的值和与角终边相同的角的集合；
(2)若
0, 2
，请写出弓形AB 的面积S 与的函数关系式（注：弓形是指在圆
中由弦及其所对的弧组成的图形）.附：sin
2sin
cos
2
2
.
题型二
三角函数的概念
例2.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角的始边与x 轴的非负半轴重合且与
单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
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(1)若点B 的横坐标为－4
5 ，求sin的值；
(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
(3)若
0, 2
，请写出弓形AB 的面积S 与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成
的图形）．
(2)一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（
）
A．
2
1 2
sin1cos1
2
R
B．
2
1 sin1cos1
2
R
C．
2
1
2 R
D．
2
1 sin1cos1 R
(3)质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1 的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P 的角速度为
3rad/s，起点为射线
3
0
y
x x
与圆的交点；Q 的角速度为5rad/s，起点为圆与x 轴正半轴交点，则当
质点Q 与P 第二次相遇时，Q 的坐标为（
）
A．
3
1
,
2
2
B．
3 ,
2
2
1
C．
3 1
,
2
2
D．
3 ,
2
2
1
练习题
（1）已知角的终边经过点
2
P x，，且
2 5
cos
5
，则x （
）
A．4
B．2
C．2
D．4
(2)若cos
cos
，tan
tan
，则2
的终边在（
）
A．第一、三象限
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B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x 轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x 轴上
(3)若
0.6
a
，
sin0.6
b
，
tan0.6
c
，则（
）
A．c
a
b
B．a
b
c
C．a
c
b
D．b
c
a
(4)设a<0 ，角α的终边与单位圆的交点为
( 3 ,4 )
P
a
a
，那么sin
2cos
的值等于
.
题型三同角三角函数基本关系
例3（1）已知cos
2
1
sin
，则tan（
）
A．4
3
B．3
4
C．
4
3
D．
3
4
（2）（多选）已知
π,0
，
7
sin
cos
13
，则下列结论正确的是（
）
A．
π
π,
2
B．
12
cos
13
C．
5
tan
12
D．
17
sin
cos
13
（3）已知tan
2
，求下列各式的值：
(1) 3sin
5cos
cos
2sin
；
(2)
2
2
2sin
3cos
.
练习题
（1）若
π
(0,
)
2
，
5
sin
cos
5
，则tan（
）
A．
1
2
B．2
C．1
3
D．3
（2）①已知tan
2
x
，求
2
sin
3sin cos
x
x
x
的值；
②已知
2
π π
sin
cos
,
,
3
2 2
，求tan的值．
（3）①已知角θ的终边上有一点
(
)
,3
0
P x
x
，且
10
cos
10 x
，求sin
tan
的值．
②已知角θ是三角形的内角，
1
sin
cos
5
，求sin
cos
的值．
题型四诱导公式
例3：（1）已知
2
3
sin
2
m
m
，
1
cos
2
m
m
，且为第二象限角，则
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sin
2024π
cos
2023π
2021π
cos
2
.
（2）化简：
π
3π
sin
cos
tan(π
)
2
2
tan( π
)sin(π
)
.
（3）已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数
3
3
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）
的定点M.则
3π
sin π
cos
2
=
cos 2π
sin
练习题
（1）求下列三角函数值：
(1)cos135；
(2)
11π
sin
3
；
(3)
cos
1110
；
(4)
16π
sin
3
；
(5)sin870；
(6)
11π
cos 4 ；
(7)
sin
210
；
(8)
83π
cos
6
．
（2）化简：
(1)
2
π
π
sin
2π sin
π
2cos
sin
π
cos
2
2
；
(2)
2
π
sin
2
3π
cos
3π sin
2
．
（3）已知
π
sin 2π
cos 2
3π
cos
tan π
2
a
a
f a
a
a
．
(1)若
1
2
f a
，且
0,π
a
，求a 的值；
(2)若
π
1
3
4
f
a
，求
2
2π
π
sin
sin
3
6
a
a
的值．
题型五创新提升能力题
1．古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）
记为A ，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城
记为B ，测得立杆与太阳光线所成的角约为7.2.他又派人测得A ，B 两地的距离
800
AB
km，平面示意图如
图，则可估算地球的半径约为（
）（π
3.14
）
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A．7260 km
B．6870 km
C．6369 km
D．5669 km
2.某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线m 上取长度为1的线段AB ，并作等边三角形ABC ，
然后以点B 为圆心，BA 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ；再以点C 为圆心，CD 为半径逆
时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ；再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧，交线段BA 的延长
线于点F ；再以点B 为圆心，BF 为半径逆时针画圆弧，；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直
线m 有4 个交点（不含A 点）时，则螺线长度为（
）
A．14π
B．30π
C．100π
3
D．110π
3
3.已知
π π
,
4 2
，
sin
cos
a
，
cos
sin
b
，
cos
cos
c
，则（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
b
c
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为直径为2 的圆O上的一定点，初始时，边长为
2
2
的正六边
形的顶点A ，B 在圆上，且A 在点P 处，将正六边形ABCDEF 沿圆O逆时针滚动，则滚动过程中（
）
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A．点P 与顶点A ，C ，E 重合
B．OP OA
的最小值为1
2
2
C．点A 在圆O上的落点
1,2,
,
iP i
n
满足
1
2
0
n
OP
OP
OP
D．点A 再次与点P 重合时点A 的轨迹长为
4
2 3
2
2
3
5.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，
1
O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，
2
O 为圆弧CD 所在圆的圆心，点A 是圆弧AB 与直线AC 的切点，点B 是圆弧AB 与直线BD 的切点，点C 是
圆弧CD 与直线AC 的切点，点D 是圆弧CD 与直线BD 的切点，
1
2
18cm
OO
，
1
6cm
AO
，
2
15cm
CO
，
圆孔
1
O 的半径为3cm ，则图中阴影部分的的面积为
2
cm ．
1.如图，设扇形的圆心角
x
，半径为r ，弧长为l ，扇形面积记为S．
(1)用r 与x 表示扇形的面积S；
(2)用r 与l 表示扇形的面积S．
2．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．
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（2）已知角
1725
，将改写成
2 π(
,0
2π)
k
k
Z
的形式，并指出是第几象限角．
3.利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合．
(1)
2
cos
2
；
(2)
1
sin
2
．
4．已知角，（0
，0
）的顶点与原点O重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点
3 1
,
2
2
A
，
2 3,2
B
分别在角，的终边上.
(1)设函数
4sin 2
f x
x
，
5
,
24 2
x
，求函数
f
x 的值域；
(2)若点C 在角的终边上，且线段AC 的长度为
7 ，求ABC
的面积.
5．已知
0, 2
，求证：1
sin
cos
2
.
6.化简：
(1)
2
1 sin
2π sin π
2sin
；
(2)
sin π
sin 3π
sin
π sin
2π
sin 4π
sin 5π
；
(3)
π
sin π
cos
cos2π
2
p
q
k
；
(4)
2
2
cos180
sin90
2
cos0
p
q
pq
；
(5)
2
2
3π
π
cos2π
sin
cos π
sin
2
2
a
b
ab
ab
．
7．已知
3
cos
5
，且为第三象限角．
(1)求sin的值；
(2)求
3π
tan(π
) sin(π
) sin
2
( )
cos(π
)
f
的值．
8．已知
3
sin
5
，且为第二象限角.
(1)求cos ,tan
的值；
(2)求
sin
cos π
π
sin
sin π
2
的值.
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9.已知函数
2
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）的图像过定点P ，且角的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点
P ，则
2
11π
9π
cos
sin
2
2
sin
π
等于（
）
A．
2
3
B．2
3
C．3
2
D．
3
2
10．已知是第四象限角，且
2
2 tan
tan
1
0
，则
cos 2π
sin π
π
3cos
cos
2
（
）
A．
1
3
B．1
3
C．
3
5
-
D．3
5
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