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知识点4：运动的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
运动追及相遇问题的解题方法：
（1）物理法（临界条件法）：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审
题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
物体B 追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若
xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上．
（2）数学法（二次函数法）：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距
离Δx 与时间t 的二次函数关系，Δx＝0 时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
（3）图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．若用位移—时间图像求解，如果两
个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。v－t 图象在已知出发点的前提下，可
由图象“面积”判断相距最远、最近及相遇．
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经
停止运动。
考点一：运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
常规运动图像中的追及相遇问题的处理技巧：
（1）识图像画草图：首先用函数斜率面积法，对给出运动图像的截距、交点、拐点、面积、
斜率进行识别，然后根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
（2）找关系列方程：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的时间关系、位移关系、
速度关系。列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
题型一：xt 图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
x－t 图像中的追及相遇问题：xt 图像中两图线的交点表示两物体相遇。
【典例1 基础题】甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时
间图像如图所示，则在0～t1时间内( )
A．甲的速度总比乙大 B．甲、乙位移相同
C．甲经过的路程比乙小 D．甲、乙均做加速运动
【典例1 基础题对应练习】（多选）甲、乙两物块在同一直线上运动的x－t 图像如图所
示，乙物块做匀变速运动，加速度大小为0.2 m/s2，两图线相切于坐标点(5 s，－3
m)，下列说法正确的是( )
1
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A. 前5 s 内甲、乙的运动方向一直相同
B. t＝5 s 时甲、乙相遇且速度相同
C. 乙的初速度大小为1.8 m/s
D. t＝0 时甲、乙相距2.8 m
题型二：vt 图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v－t 图像中的追及相遇问题：
①vt 图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
②v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．v－t 图线与t 轴所围“面积”表示这段时间
内物体的位移．
③有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
【典例2 基础题】（多选）甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0 时刻甲车
开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示；以t＝0 时刻甲车所在位置为坐标原
点，以甲车速度方向为正方向，乙车的位置随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在
x＝30 m 处的抛物线的一部分．下列说法正确的是( )
A. 乙车在做匀变速直线运动，加速度大小为4.5 m/s2
B. 当t＝2 s 时，乙车在甲车前方10 m 处
C. 当t＝4 s 时，两车速度大小相等
D. 在0～7 s 内，两车共相遇两次
【典例2 基础题对应练习】一辆汽车出厂前需经过多项严格的质量检测，才能被贴上“产
品合格证”和“3C 强制产品认证”标识，其中的转翼检测就是进行低速实验，检测多项安
全性能，在水平平行的两条车道上检测甲、乙两车，在t＝0 时刻，甲、乙两车并排，两车
的速度－时间关系图像如图所示，则0～6 s 内( )
A. 在t＝1 s 时，两车相距最远
B. 在t＝2 s 时，乙车改变运动方向
C. 在t＝4 s 时，甲车在乙车前
D. 甲、乙两车相遇两次
2
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考点二：行车安全与生活实际的追及相遇问题
题型一：行车安全中速度小者追速度大者
情景
图像
说明
匀加速追匀速
①t＝t0 以前，后面物体与前面物体间距离增
大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为
两物体初始距离)
③t＝t0 以后，后面物体与前面物体间距离减
小
④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已
经停止运动.
类型一：匀加速追匀速模型
【典例1a 基础题】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度
开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s 的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车
从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【典例1a 基础题对应练习】一辆值勤的警车停在一条长直公路的路边，当警员发现从他旁
边以v＝8 m/s 的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经Δt＝2.5 s 警车发动
起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动。
（1）警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
（2）若警车能达到的最大速度vmax＝12 m/s，达到最大速度后以该速度匀速行驶，则警车
发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
（3）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
类型二：匀加速追匀减速模型
【典例1b 基础题】某公交车从站点出发，由静止开始做匀加速直线运动，行驶10m 时，
发现站点上还有一名乘客没有上车，正不停向司机招手示意公交车停下，司机立即刹车做
匀减速直线运动至停车。与此同时乘客立即由静止开始匀加速追赶，公交车停止运动时该
乘客恰好赶到。公交车从启动到停止总共历时10s，行进了25m。人和车均可视为质点。
求：
（1）公交车运行的最大速度；
（2）追赶公交车过程中该乘客的加速度大小。(结果保留2 位有效数字)
3
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【典例1b 基础题】公交车已成为现代城市交通很重要的工具，它具有方便、节约、缓解城
市交通压力等许多作用．某日，某中学黄老师在家访途中向一公交车站走去，发现一辆公
交车正从身旁平直的公路驶过，此时，他的速度是1 m/s，公交车的速度是15 m/s，黄老师
距车站的距离为50 m．假设公交车在行驶到距车站25 m 处开始刹车，刚好到车站停下，
停车时间为8 s．而黄老师因年龄、体重、体力等因素最大速度只能达到6 m/s，最大起跑
加速度只能达到2.5 m/s2.
（1）若公交车刹车过程视为匀减速运动，其加速度大小是多少？
（2）试计算分析，黄老师是应该上这班车，还是等下一班车．
【典例1b 基础题对应练习】某天，强强同学在上学途中沿平直人行道以v1＝1 m/s 速度向
到校的3 路公交站台走去，发现3 路公交车正以v2＝15 m/s 速度从身旁的平直公路同向匀
速驶过，此时他距站台x＝50 m。为了乘上该公交车去学校，他开始尽全力加速向前跑
去，其最大加速度为a1＝2.5 m/s2，能达到的最大速度vm＝6 m/s。假设公交车在行驶到距
站台x0＝25 m 处开始刹车，刚好到站台停下。强强上车后公交车再启动向前开去。(不计
车长)求：
（1）若公交车刹车过程视为匀减速运动，其加速度a 的大小；
（2）公交车刚停下时，强强距站台至少还有多远。
类型三：匀速追匀减速模型
【典例1c 基础题】小明到汽车站时，车已经沿平直公路驶离车站，司机听到呼喊后汽车马
上以2 m/s2的加速度匀减速刹车，设小明同时以4 m/s 的速度匀速追赶汽车，汽车开始刹
车时速度为8 m/s，减速前距离小明12 m．则小明追上汽车所需的时间为( )
A．6 s B．7 s C．8 s
D．9 s
【典例1c 基础题对应练习】汽车A 以vA＝4 m/s 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相
距x0＝7 m 处、以vB＝10 m/s 的速度同向运动的汽车B 正开始匀减速刹车直到静止后保持
不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
（1）A 追上B 前，A、B 间的最远距离；
（2）经过多长时间A 恰好追上B.
题型二：行车安全中速度大者追速度小者
【知识思维方法技巧】
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情景
图像
说明
匀减速追匀速
开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的
距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，
这也是避免相撞的临界条件
②若Δx<x0，则不能追上，此时两物体最小距离为
x0－Δx
③若Δx>x0，则相遇两次，设t1 时刻Δx＝x0，两物
体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝
t0－t1)
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
类型一：匀减速追匀速模型
【典例2a 基础题】一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h 的速度匀速行驶，突然发
现其正前方120 m 处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车
刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时
间，则货车的速度大小为( )
A. 21.6 km/h
B. 18 km/h
C. 16 km/h
D. 12 km/h
【典例2a 基础题对应练习】A、B 两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，
A 车在前，速度vA＝10 m/s，B 车在后，速度vB＝30 m/s.当B 车发现A 车时就立刻刹车．
已知B 车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s 的速度行驶时，刹车后至少要前进1800 m
才能停下，假设B 车刹车过程中加速度恒定．为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到
( )
A．400 m B．600 m C．800 m
D．1600 m
类型二：匀减速追匀加速模型
【典例2b 基础题】一汽车在直线公路段上以54 km/h 的速度匀速行驶，突然发现在其正前
方14 m 处有一辆自行车以5 m/s 的速度同向匀速行驶。经过0.4 s 的反应时间后，司机开始
刹车，则：
（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
（2）若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速
度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
【典例2b 基础题对应练习】在水平轨道上有两列火车A 和B 相距x，A 车在后面做初速度
为v0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加
速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A 车的初速度v0满足什么条件．
类型三：匀减速追匀减速模型
【典例2c 基础题】交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时应格外小心。现有
甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均
5
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为v0＝9 m/s。当两车快要到十字路口时，甲车司机看到路灯已转换成黄灯，立即紧急刹
车，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车。已知甲车刹车时的加速度大小为a1＝5
m/s2，乙车紧急刹车时的加速度大小为a2＝4.5 m/s2，乙车司机的反应时间为Δt＝0.5 s(乙车
司机看到甲车刹车0.5 s 后开始刹车)。
（1）若甲车司机看到路灯转换成黄灯时车头距离停车线9 m，他采取上述措施能否避免闯
停车线？
（2）为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应保持多大的距离？
类型四：匀速追匀速模型
【典例2d 基础题】有一人在平直马路边漫步(速度不变)，他发现每隔t1时间有一路公共汽
车迎面开过，他还发现每隔t2时间有一辆这路公共汽车从身后开过(公共汽车匀速行驶)，于
是他计算出这路车从汽车站发车的时间间隔是( )
A． B． C．
D．
类型五：匀速追匀加速模型
【典例2e 基础题】一步行者以6.0 m/s 的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距
汽车25 m 处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
题型三：体育运动的追及相遇问题
类型一：足球运动的追及相遇问题
【典例3a 基础题】足球比赛中，经常使用“边路突破、下底传中”的战术，即攻方队员带
球沿边线前进，到底线附近进行传中。如图所示，某足球场长90 m、宽60 m，攻方前锋
在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度为12 m/s 的匀减速直
线运动，减速过程的加速度大小为2 m/s2。
（1）足球从开始减速到停下来的位移为多大？
（2）若足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，该队员的启
动过程可视为初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8
m/s，则该前锋队员经过多长时间才能追上足球？
【典例3a 基础题】如图所示，某标准足球场长105 m、宽68 m。攻方前锋在中线处将足球
沿边线向前踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s 的匀减速直线运动，加速
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度大小为3 m/s2。则：
(1)足球从开始做匀减速直线运动到停下来的位移大小？
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球。他的启动过程可
以视为初速度为零、加速度大小为4 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8
m/s，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球？
类型二：接力运动的追及相遇问题
【典例3b 基础题】如图所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m 接力，他们在奔
跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m 才能达到最大速度，这一过程
可看成匀变速直线运动。现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若
要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：
（1）乙在接力区需跑出多少距离？
（2）乙应在距离甲多远时起跑？
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