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专题14 直线和圆（十大题型5 大易错题）
【题型1 直线的倾斜角与斜率范围】
1．（24-25 高二上·辽宁大连·期中）已知直线l过点A (1,0)，B(2,√3)，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾斜角.
【详解】直线l的斜率为√3−0
2−1 =√3，对应倾斜角为π
3 ，
故选：B
2．（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）直线 x + y −1=0 的倾斜角为( )
A．30
∘
B．45
∘
C．60
∘
D．135
∘
【答案】D
【分析】设直线l的倾斜角为θ，求出tanθ，再由0≤θ<π，可得倾斜角.
【详解】设直线l的倾斜角为θ，则k = tanθ =−1，又0≤θ<π，
∴θ = 3π
4 ．∴其倾斜角为135
∘.
故选：D.
3．（24-25 高二上·内蒙古包头·期中）若直线l的一个方向向量⃗n=(1,−√3)，则l的倾斜角为（ ）．
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】C
【分析】由题意得l的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解．
【详解】设l的倾斜角为α，0°≤α <180°，
由题意得l的斜率k = tan α =−√3，则α =120°，
故选：C．
4．（20-21 高二·全国·课后作业）以正弦曲线y =sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的
范围是（ ）
1
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A．[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π)
B．[0,π)
C．[
π
4 , 3π
4 ]
D．[0,π
4 ]∪(
π
2 , 3π
4 ]
【答案】A
【分析】先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线l的斜率的
范围，则可得直线l的倾斜角的范围．
【详解】由函数y =sin x，得y
′ =cos x.设P( x0, y0)，
则以点P为切点的切线l的斜率为k =cos x0∈[−1,1].
设以点P为切点的切线l的倾斜角为α，则tan α =k ∈[−1,1].
由α ∈[0,π)，可得α ∈[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π)，
所以直线l的倾斜角的范围[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π).
故选：A.
5．（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知直线l1:ax +2 y −4 =0，l2: x−(a−3) y −2=0，则“l1//l2
”是“a=1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据两直线平行求出a的值，即可得出结论.
【详解】若l1//l2，则¿，解得a=1，
所以，“l1//l2”是“a=1”的充要条件.
故选：A.
6．（24-25 高三上·四川达州·阶段练习）已知α为直线y =2 x−1的倾斜角，则cos2α =（ ）
A．−3
5
B．−4
5
C．4
5
D．3
5
【答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得tan α =2，利用二倍角公式及齐次式可得结果.
2
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【详解】∵α为直线y =2 x−1的倾斜角，
∴直线斜率k = tan α =2，
∴cos2α =cos
2α −sin
2α = cos
2α −sin
2α
cos
2α +sin
2α
= 1−tan
2α
1+ tan
2α
= 1−4
1+ 4 =−3
5.
故选：A.
【题型2 求解直线方程】
7．（24-25 高二上·四川成都·期末）若直线l的方向向量为(−1,√3)，且过点(0,2)，则直线l的方程为
（ ）
A．√3 x + y −2=0
B．x +√3 y −2√3=0
C．√3 x−y +2=0
D．x−√3 y +2√3=0
【答案】A
【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程.
【详解】因直线l的方向向量为⃗a=(−1,√3)，则直线l的斜率k =−√3,
于是直线l的方程为l: y −2=−√3 x，即√3 x + y −2=0.
故选:A.
8．（24-25 高二上·安徽·阶段练习）过点(1,−3)且与直线x−2 y +1=0垂直的直线方程是（ ）
A．2 x + y +1=0
B．x +2 y +5=0
C．x−2 y −7 =0
D．2 x−y −5=0
【答案】A
【分析】直接设直线的一般式方程，然后把点(1,−3)代入方程即可求解.
【详解】设与直线x−2 y +1=0垂直的直线方程是2 x + y + λ =0，代入点(1,−3)，得2−3+ λ =0，
解得λ =1，所以所求的直线方程是2 x + y +1=0.
故选：A
9．（22-23 高二上·北京·期中）已知直线l经过点P(1,0)，且方向向量⃗v =(1,2)，则l的方程为（ ）
A．x +2 y −2=0
B．2 x−y −2=0
C．x +2 y −1=0
D．x−2 y −1=0
【答案】B
【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可.
【详解】因为直线的方向向量⃗v =(1,2)，所以直线的斜率为2，
又直线l经过点P(1,0)，所以直线方程为y −0=2(x−1)，即2 x−y −2=0.
故选：B.
3
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10．（24-25 高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为−4
3 ，且经过点(1,−1)的直线方程为（ ）
A．4 x +3 y +1=0
B．4 x +3 y −1=0
C．4 x−3 y −7 =0
D．4 x−3 y −1=0
【答案】B
【分析】根据直线的点斜式方程求解即可.
【详解】所求直线方程为y +1=−4
3
(x−1)，即4 x +3 y −1=0.
故选：B.
11．（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l1：ax−(a−4) y +2=0，直线l2：2 x +ay −1=0.
(1)若l1∥l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
【答案】(1)a=2
(2)a=6或a=0.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
【详解】（1）因为l1 ∥ l2，所以a
2+2(a−4)=0，
整理得a
2+2a−8=(a−2)(a+ 4)=0,
解得a=2或a=−4.
当a=−4时，l1:−4 x +8 y +2=0,l2:2 x−4 y −1=0,l1,l2重合；
当a=2时，l1:2 x +2 y +2=0,l2:2 x +2 y −1=0，符合题意.
故a=2.
（2）因为l1⊥l2，所以2a−a(a−4)=0,
解得a=6或a=0.
【题型3 由一般式方程确定两直线位置关系】
12.（24-25 高二上·辽宁大连·期中）若直线l1:2 x +(m+1) y + 4 =0与直线l2:mx +3 y −2=0平行，则m的值
为（ ）
A．2
B．−3
C．2 或−3
D．−2或−3
【答案】C
【分析】根据l1∥l2列方程，解方程即可.
4
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【详解】因为l1∥l2，所以2×3=(m+1)⋅m，解得m=2或−3，
当m=2时，l1:2 x +3 y + 4 =0，l2:2 x +3 y −2=0，成立；
当m=−3时，l1:2 x−2 y + 4 =0，即x−y +2=0，l2:−3 x +3 y −2=0，即x−y + 2
3 =0，成立，
所以m=2或−3.
故选：C.
13．（24-25 高二上·海南·阶段练习）已知直线l1：ax + y −1=0，直线l2：x +ay −2=0，则“a=1”是“
l1//l2”的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先利用两直线平行的公式求出a，再确定充分性和必要性即可.
【详解】当l1//l2时，a
2=1，所以a=1或a=−1，
当a=1时，直线l1：x + y −1=0，直线l2：x + y −2=0，两直线不重合，
当a=−1时，直线l1：−x + y −1=0，即x−y +1=0，
直线l2：x−y −2=0，两直线不重合，
所以当a=1或a=−1时，l1//l2，
所以“a=1”是“l1//l2”的充分不必要条件.
故选：A.
14．（24-25 高二上·湖南永州·阶段练习）已知两条直线l1:3 x−2 y +1=0和l2:ax +2 y +1=0相互垂直，
则a=（ ）
A．2
B．3
C．4
3
D．−4
3
【答案】C
【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得a的值.
【详解】∵直线l1:3 x−2 y +1=0和l2:ax +2 y +1=0相互垂直，
∴3a+(−2)×2=0，解得a= 4
3 .
故选：C.
15．（24-25 高二上·广东东莞·期中）已知直线l1:ax−y −2024 =0,l2:(3a−2) x +ay +2025a=0，若
l1⊥l2，则实数a的值为 .
【答案】0或1
5
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【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可.
【详解】因为l1⊥l2，
所以a(3a−2)−a=0，解得a=0或a=1.
故答案为：0或1.
【题型4 两条直线的交点与距离问题】
16．（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两条平行直线l1:3 x−4 y −2=0,l2:6 x−8 y +3=0，则l1
和l2间的距离为（ ）
A．1
10
B．1
5
C．2
5
D．7
10
【答案】D
【分析】由两平行线间距离公式求解即可；
【详解】l2:6 x−8 y +3=0⇔3 x−4 y + 3
2 =0，
所以由两平行线间的距离公式可得d =|−2−3
2|
√3
2+ 4
2 = 7
10
，
故选：D.
17．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知点P是抛物线y
2=−4 x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距
离为d1，到直线x + y −4 =0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ）
A．2
B．√2
C．5
2
D．5√2
2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义可得d1+d2=|PF|+d2，结合图形即可得结果.
【详解】题意可知：抛物线y
2=−4 x的焦点为F (−1,0)，准线为x =1，
则d1+d2=|PF|+d2，
6
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所以d1+d2的最小值即为点F (−1,0)到直线x + y −4 =0的距离为d =|−1+0−4|
√2
= 5√2
2
.
故选：D.
18．（24-25 高二上·河南驻马店·阶段练习）已知a∈R，直线l1:ax + y −12=0的方向向量与直线
l2:(a+3) x + 4 y +16=0的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．4
B．8√2
C．4√2
D．2√2
【答案】B
【分析】根据两直线平行可得a的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】由题意可得l1//l2，所以1×(a+3)=a×4，解得a=1，
故两直线方程分别为x + y −12=0，x + y + 4 =0，
故这两条平行线之间的距离为d =|−12−4|
√2
=8√2.
故选：B.
19．（24-25 高二上·天津和平·阶段练习）若圆x
2+ y
2=r
2(r >0)上仅有4 个点到直线x−y −2=0的距离为
1，则实数r 的取值范围为（ ）
A．(√2+1,+ ∞) B．(√2−1,√2+1)
C．(0,√2−1)
D．(0,√2+1)
【答案】A
【分析】到已知直线的距离为1 的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1 的两条直线，根
据题意可得这两条平行线与x
2+ y
2=r
2有4 个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r
的取值范围.
【详解】
作出到直线x−y −2=0的距离为1 的点的轨迹，得到与直线x−y −2=0平行，
且到直线x−y −2=0的距离等于1 的两条直线，
∵圆x
2+ y
2=r
2的圆心为原点，
7
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原点到直线x−y −2=0的距离为d =|0−0−2|
√2
=√2，
∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为d
′ =√2+1，
又∵圆x
2+ y
2=r
2(r >0)上有4 个点到直线x−y −2=0的距离为1，
∴两条平行线与圆x
2+ y
2=r
2有4 个公共点，即它们都与圆x
2+ y
2=r
2相交.
由此可得圆的半径r >d
′，
即r >√2+1，实数r 的取值范围是(√2+1,+∞).
故选：A.
20．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知点P(x , y)是曲线y = x
2上的一动点，则点P(x , y)到直线
2 x−y −4 =0的距离的最小值为（ ）
A．√5
5
B．2√5
5
C．3√5
5
D．3
5
【答案】C
【分析】当曲线在点P处的切线与已知直线平行时点P到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和
点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】联立¿得x
2−2 x + 4 =0，则Δ= 4−4×1×4 =−12<0，
所以直线2 x−y −4 =0与曲线y = x
2不相交，
因此当曲线在点P处的切线与直线2 x−y −4 =0平行时，点P到该直线的距离最小.
因为y
′ =2 x，直线2 x−y −4 =0的斜率k =2，所以2 x =2，解得x =1，则P(1,1)，
所以P(1,1)到直线2 x−y −4 =0的距离最小，最小值为d = |2−1−4|
√2
2+(−1)
2 = 3√5
5
.
故选：C
21．（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线l1：2 x−y =1与直线l2：−3 x +2 y =1的交点坐标为
.
【答案】(3,5)
【分析】联立方程即可求解.
【详解】联立¿，解得x =3, y =5，故交点为(3,5)，
故答案为：(3,5)
【题型5 对称问题的求解方法】
22．（24-25 高二上·重庆渝中·阶段练习）若点A (2,1)关于直线l：y =kx +b（k，b∈R）的对称点为
8
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A
′ (−4,3)，则b=（ ）
A．−3
B．−1
C．3
D．5
【答案】D
【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解.
【详解】直线A A
′的斜率为3−1
−4−2 =−1
3，直线l为线段A A
′的中垂线，从而k =3，
又线段A A
′的中点(−1,2)在l上，故2=−3+b，解得b=5.
故选：D.
23．（2024 高三·全国·专题练习）一条光线从点(−2,−3)射出，经y轴反射后与圆(x +3)
2+( y −2)
2=1相切，
则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．−5
3或5
3
B．−3
5或3
2
C．−2
3或2
3
D．−4
3 或−3
4
【答案】D
【分析】根据反射光线的反向延长线过点(2,−3)可设反射光线所在直线方程为y +3=k (x−2)，利用
圆心到直线的距离等于半径可求直线的斜率.
【详解】
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,−3)，
设反射光线所在直线方程为：y +3=k (x−2)，即：kx −y −2k −3=0.
∵反射光线与圆(x +3)
2+( y −2)
2=1相切，
∴圆心(−3,2)到直线kx−y −2k −3=0的距离等于半径1，即|−3k −2−2k −3|
√k
2+1
=1，
整理得12k
2+25k +12=0，解得：k =−4
3 或k =−3
4 .
9
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故选：D．
24．（24-25 高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点(4,0)发出被直线x + y −10=0反射，若反射光线过
点(0,1)，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．x−2 y +2=0 B．3 x−2 y +2=0
C．2 x−3 y +3=0
D．2 x−y +1=0
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线x + y −10=0的对称点，再借助光的反射定律求出反射
光线所在直线的方程.
【详解】设点(4,0)关于直线x + y −10=0的对称点为(a,b)，则¿，解得¿，
因此反射光线所在直线过点(10,6)，方程为y = 6−1
10−0 x +1，即x−2 y +2=0.
故选：A
25．（23-24 高二上·重庆·期末）如图，已知两点A (22,0)，B (0,11)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB上
的点M 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N 反射后又回到点P，则直线MN的方程为
（ ）
A．4 x−3 y −6=0
B．4 x +3 y +8=0
C．3 x−4 y +6=0D．4 x−3 y +8=0
【答案】D
【分析】分别求出点P 关于直线x +2 y −22=0与y 轴的对称点，从而得到结果.
【详解】由题意易得AB 所在的直线方程为：x
22 + y
11 =1，
化简可得：x +2 y −22=0.
设点P(2,0)关于直线AB: x +2 y −22=0的对称点A1(a,b)，
则¿，解得a=10，b=16，
点P 关于直线AB 对称的点为A1(10,16)，点P 关于y 轴对称的点为A2(−2,0)．
直线MN 即直线A1 A2，则直线MN 的方程为y =
16
10+2 ( x +2)，即4 x−3 y +8=0．
故选：D
26．（23-24 高二上·山东济南·阶段练习）一束光线从点M (1,2)出发经x轴反射后经过点N (−2,4)，半径为
10
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√5的圆C恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆C的标准方程是（ ）
A．(x−5)
2+ y
2=5
B．(x +5)
2+ y
2=5
C．x
2+( y −5)
2=5
D．x
2+( y +5)
2=5
【答案】C
【分析】由题意可知圆心在法线上面，故首先求出法线方程，然后结合圆与入射光线相切即可确定圆
心位置，从而即可得解.
【详解】由题意入射光线不垂直x轴，设入射光线交x轴于点P(a,0),−2<a<1，
则由题意k PM =−k PN，即
2
1−a =−
4
−2−a，解得a=0，
所以法线方程为x =0即y轴，
由题意半径为√5的圆C恰好与入射光线和反射光线都相切，
所以由对称性可知圆心在y轴上，不妨设为C (0,c)，
而入射光线为y =2 x，所以圆心C (0,c)在y轴正半轴上，即c>0，
所以半径为√5的圆C恰好与入射光线相切得c
√5 =√5，解得c =5，
所以圆心C (0,5)，圆C的标准方程是x
2+( y −5)
2=5.
故选：C.
【题型6 求圆的方程的两种方法】
27．（24-25 高二上·海南·阶段练习）△ABC的三个顶点的坐标分别为A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)，则
△ABC的外接圆方程是（ ）
A．(x−2)
2+( y −2)
2=20
B．(x +2)
2+( y +2)
2=20
C．(x −2)
2+( y −2)
2=5
D．(x +2)
2+( y +2)
2=5
【答案】C
【分析】设出△ABC的外接圆方程，将A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)代入即可求解.
【详解】设△ABC的外接圆方程为(x−a)
2+( y −b)
2=r
2，
所以¿，解得¿，
所以外接圆的方程为(x−2)
2+( y −2)
2=5.
11
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故选：C.
28．（24-25 高二上·湖北·阶段练习）动直线l: (k +2)x−(k −1) y −3=0被定圆C 截得的弦长等于2，则
圆C 的方程为（ ）
A．( x +1)
2+( y +1)
2=1
B．( x −1)
2+( y −1)
2=1
C．( x +1)
2+( y +1)
2= 4
D．( x−1)
2+( y −1)
2= 4
【答案】B
【分析】首先求出直线l恒过点(1,1)，依题意可得圆C 的圆心为(1,1)，半径r =1，即可求出圆的方程.
【详解】动直线l: (k +2)x−(k −1) y −3=0，即(x−y)k +(2 x + y −3)=0，
令¿，解得¿，
所以动直线l恒过点(1,1)，
又动直线l: (k +2)x−(k −1) y −3=0被定圆C 截得的弦长等于2，
所以圆C 的圆心为(1,1)，半径r =1，
所以圆C 的方程为( x −1)
2+( y −1)
2=1.
故选：B
29．（24-25 高二上·安徽·阶段练习）已知圆C的圆心在直线x +2 y −7 =0上，且经过点A (1,2)，B (3,0).
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程.
【答案】(1)(x−3)
2+( y −2)
2= 4
(2)x =1或3 x + 4 y −27=0
【分析】（1）求出线段AB的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可；
（2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程.
【详解】（1）线段AB的中点(2,1)，直线AB的斜率k AB= 0−2
3−1 =−1，
则线段AB的中垂线方程为y −1= x−2，即y = x−1，
由¿，解得x =3，y =2，
因此圆C的圆心C (3,2)，半径r =2，
所以圆C的标准方程为(x −3)
2+( y −2)
2= 4；
（2）点C (3,2)到直线x =1的距离为2，即直线x =1与圆C相切；
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当切线斜率存在时，设切线方程为y −6=k (x−1)，即kx −y +6−k =0，
由|3k −2+6−k|
√k
2+1
=2，解得k =−3
4 ，因此方程为3 x + 4 y −27 =0，
所以经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程为x =1或3 x + 4 y −27=0.
30．（24-25 高二上·河北保定·阶段练习）已知圆M的圆心在直线y =3 x +1上，且点A (1,2)，B (−1,4)在
M上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若倾斜角为π
4 的直线l经过点C (0,4)，且l与圆M相交于D，E 两点，求|DE|.
【答案】(1)(x−1)
2+( y −4)
2= 4
(2)|DE|=√14
【分析】（1）先求出线段AB的垂直平分线所在的直线方程，与y =3 x +1联立解出圆心坐标，再求出
圆的半径即可；
（2）由已知可得直线l的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解.
【详解】（1）设线段AB的中点为N，则N (0,3)，
因为直线AB的斜率为4−2
−1−1 =−1，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为1，
所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y = x +3，
由¿得¿，
所以圆心M (1,4)，半径为|MA|=2，
所以圆M的标准方程为(x −1)
2+( y −4)
2= 4；
（2）因为直线l的倾斜角为π
4 ，所以直线l的斜率为1，
又直线l经过点C (0,4)，所以直线l的方程为y = x + 4，
即x−y + 4 =0，
所以点M到直线l的距离为|1−4+ 4|
√2
= √2
2 ，
所以|DE|=2√
2
2−(
√2
2 )
2
=√14.
31．（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过A (1,0)和点B (−1,2)，且
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圆心在直线2 x−y +2=0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线x =ay + 4被圆C截得弦长为2√3，求实数a的值
【答案】(1)(x +1)
2+ y
2= 4；
(2)±2√6.
【分析】（1）先求线段AB的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程.
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离d =1，利用点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）依题意，线段AB的中点(0,1)，直线AB的斜率k AB= 2−0
−1−1 =−1，
则线段AB的垂直平分线的方程为y = x +1，由¿，解得¿，
因此圆C的圆心C (−1,0)，半径r =|CA|=2，
所以圆C的方程为(x +1)
2+ y
2= 4.
（2）由直线x =ay + 4被曲线C截得弦长为2√3，得圆心C (−1,0)到直线x =ay + 4的距离
d =√r
2−(√3)
2=1
因此|−1−a⋅0−4|
√a
2+1
=1，解得a=±2√6，
所以实数a的值为±2√6.
32．（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知圆M经过(2,0),(4,2)两点，且圆心M在直线y = x上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)过点(2,4)的直线l与圆M相交于A ,B两点，且△ABM为直角三角形，求l的方程.
【答案】(1)(x −2)
2+( y −2)
2= 4
(2)x−y +2=0或x + y −6=0.
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得圆心M到直线l的距离d =√2，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）∵圆心M在直线y = x上，
∴设圆M的标准方程为(x−a)
2+( y −a)
2=r
2，
∵圆M经过(2,0),(4,2)两点，
∴¿，解得a=2，r =2，
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∴圆M的标准方程为(x−2)
2+( y −2)
2= 4.
（2）∵△ABM为直角三角形，|AM|=|BM|=2,
∴圆心M到直线l的距离d =√2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x =2，
则圆心M (2,2)到直线l的距离d =0，不符合题意；
所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y −4 =k (x−2)，即kx−y + 4−2k =0，
∵圆心M (2,2)到直线l的距离d =√2，
∴|2k −2+ 4−2k|
√k
2+1
=√2，解得k =±1，
∴直线l的方程为x−y +2=0或x + y −6=0.
【题型7 求与圆有关的轨迹问题的方法】
33．（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆C过原点O和点A(1,3)，圆心在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量⃗OQ =⃗OM +⃗ON，求动点
Q的轨迹方程．
【答案】(1)( x −5)
2+ y
2=25
(2)( x−10)
2+ 4 y
2=100( x≠0)
【分析】（1）利用两点距离公式可得a=5，即可求解，
（2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程.
【详解】（1）设圆心为C(a,0)，由题意可得|OC|=|AC|，
则|a|=√(a−1)
2+(0−3)
2，解得a=5，所以，圆C的半径为|a|=5，
故圆C的方程为( x −5)
2+ y
2=25．
（2）设点M (x0, y0)，共中x0≠0，则N (x0,0)，设点Q( x , y)，
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因为⃗OQ =⃗OM +⃗ON，则( x , y)=(x0, y0)+(x0,0)=(2 x0, y0)，
可得¿，可得¿，
因为点M在圆C上，则(x0−5)
2+ y0
2=25，即(
x
2 −5)
2
+ y
2=25．
故点Q的轨迹方程为( x−10)
2+ 4 y
2=100( x≠0)．
34．（24-25 高二上·广东·期中）已知△ABC的顶点A(−2,0)，B(3,0)，顶点C满足3|CA |=2|CB|，
记顶点C的轨迹为W .
(1)求曲线W 的方程.
(2)过点A的直线l（斜率不为0）与曲线W 交于不同的两点P，Q，O 为坐标原点，试判断直线OP，
OQ 的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)x
2+ y
2+12 x =0( y ≠0)
(2)定值，−5
【分析】（1）设C( x , y)( y ≠0)，结合题设列出方程即可求解；
（2）设l: x =my −2，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，联立直线与曲线W 的方程，结合韦达定理求得
x1 x2, y1 y2，进而求解即可.
【详解】（1）设C( x , y)( y ≠0)，因为3|CA |=2|CB|，即9|CA |
2= 4|CB|
2，
所以9( x +2)
2+9 y
2= 4( x−3)
2+ 4 y
2，
整理得x
2+ y
2+12 x =0，
所以曲线W 的方程为x
2+ y
2+12 x =0( y ≠0).
（2）设l: x =my −2，P(x1, y1)，Q(x2, y2).
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联立方程组¿得(m
2+1) y
2+8my −20=0，
所以Δ=64 m
2+80(m
2+1)>0，
则y1+ y2=−8m
m
2+1，y1 y2=−
20
m
2+1，
因为x1 x2=(m y1−2)(m y2−2)=m
2 y1 y2−2m( y1+ y2)+ 4
= −20m
2
m
2+1
+ 16m
2
m
2+1
+ 4 =
4
m
2+1
，
所以kOP⋅kOQ= y1
x1
⋅y2
x2
= y1 y2
x1 x2
=−5，
故直线OP，OQ 的斜率之积为定值，且定值为−5.
35．（24-25 高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆O: x
2+ y
2=8，点P(−4,2)，
(1)若A是圆O上的动点，线段AP的中点为M，求M的轨迹方程；
(2)过点Q (−1,2)作直线l与点M的轨迹方程交于C、D两点，若CD =2，求直线l的方程.
【答案】(1)(x +2)
2+( y −1)
2=2
(2)l: y −2=0或x =−1
【分析】（1）M是线段AP的中点，利用中点坐标公式表示出A点坐标，代入圆O即可.
（2）斜率存在时，设l: y −2=k (x +1)，则M的圆心(−2,1)到直线l的距离d =|−k +1|
√k
2+1
=1，解得k =0，
得到l的直线方程，斜率不存在时也符合.
【详解】（1）设M (x , y)，A(x0, y0)，因为线段AP的中点为M，P(−4,2)
则¿，所以¿，
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点A在圆O上，代入圆O: x
2+ y
2=8，得(2 x + 4)
2+(2 y −2)
2=8，
化简得(x +2)
2+( y −1)
2=2，即为M的轨迹方程；
（2）由（1）知：M的轨迹是以(−2,1)为圆心，√2为半径的圆，
当直线l的斜率存在时，设l: y −2=k (x +1)，即kx−y +2+ k =0，
则M的圆心(−2,1)到直线l的距离d =√
r
2−(
CD
2 )
2
=1，
所以d =|−k +1|
√k
2+1
=1，解得k =0，故直线为l: y −2=0；
当直线l斜率不存在时，l: x =−1，也符合题意，
所以直线l的方程为l: y −2=0或x =−1.
36．（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知A (1,2)､B (3,6)，动点P满足⃗PA ⋅⃗PB =−4，设动点P的轨迹为
曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)求过点A (1,2)且与曲线C相切的直线的方程.
【答案】(1)(x −2)
2+( y −4)
2=1
(2)x =1或3 x−4 y +5=0.
【分析】（1）设P(x , y)，由⃗PA ⋅⃗PB =−4，得动点P的轨迹方程；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.
【详解】（1）设P(x , y)，则⃗PA =(1−x ,2−y)，⃗PB =(3−x ,6−y)，
由⃗PA ⋅⃗PB =(1−x)(3−x)+(2−y)(6−y)=−4，得(x−2)
2+( y −4)
2=1，
所以曲线C的标准方程为(x−2)
2+( y −4)
2=1.
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（2）曲线C是以(2,4)为圆心，1 为半径的圆，
过点A(1,2)的直线若斜率不存在，直线方程为x =1，满足与圆C相切；
过点A(1,2)的切线若斜率存在，设切线方程为y −2=k (x−1)，即kx−y +2−k =0，
由圆心到直线距离d =|2k −4+2−k|
√k
2+1
=1，解得k = 3
4 ，
则方程为3 x−4 y +5=0.
过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程为x =1或3 x−4 y +5=0.
【题型8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】
37．（24-25 高二上·河南南阳·期中）已知直线l经过点P(2,1)，且与圆C：(x +1)
2+( y −2)
2=9相交于A，B
两点，若|AB|= 4√2，则直线l的方程为（ ）
A．y =1或3 x + 4 y −10=0
B．y =1或4 x +3 y −11=0
C．4 x +3 y −11=0或3 x + 4 y −10=0 D．4 x−3 y −5=0或3 x−4 y −2=0
【答案】A
【分析】求出圆C的圆心和半径，设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式，结合给定弦长求解即
得.
【详解】圆C：( x +1)
2+( y −2)
2=9的圆心C(−1,2)，半径r =3，
圆心C(−1,2)到直线x =2的距离为3，此直线与圆C相切，因此直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y −1=k( x−2)，即kx−y −2k +1=0，
由|AB|= 4√2，得圆心C(−1,2)到直线l的距离d =√r
2−( 1
2 | AB|)
2
=1，
于是d =|−3k −1|
√k
2+1
=1，解得k =0或k =−3
4 ，
所以直线l的方程为y =1或3 x + 4 y −10=0.
故选：A
38．（24-25 高二上·江苏淮安·期中）直线x−√3 y +2√3=0被圆x
2+ y
2=8截得的弦长为（ ）
A．√5
B．2√5
C．√3
D．2√3
【答案】B
【分析】根据题意，利用圆的弦长公式计算，即可求解.
【详解】由圆x
2+ y
2=8，则圆心为O(0,0)，半径为r =2√2，
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由圆心为O(0,0)到直线x−√3 y +2√3=0的距离d =
|2√3|
√1
2+(−√3)
2 =√3<r，
所以直线被圆截得的弦长为2√r
2−d
2=2√8−3=2√5.
故选：B.
39．（24-25 高二上·北京·期中）圆( x−3)
2+( y −4)
2=25被直线3 x + 4 y −10=0截得的弦长为 ．
【答案】8
【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式计算即得.
【详解】圆( x −3)
2+( y −4)
2=25的圆心(3,4)，半径r =5，
点(3,4)到直线3 x + 4 y −10=0的距离d =|3×3+ 4×4−10|
√3
2+ 4
2
=3，
所以所求弦长为2√r
2−d
2=2√5
2−3
2=8.
故答案为：8
【题型9 两圆的公共弦问题】
40．（24-25 高二上·河南驻马店·阶段练习）圆C1: x
2+ y
2=25与圆C2:(x−3)
2+( y + 4)
2=1的公共弦长为
（ ）
A．2√13
5
B．5√6
4
C．3√11
5
D．√13
3
【答案】C
【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长.
【详解】两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为6 x−8 y −49=0，
又因为圆心C1(0,0)到直线6 x−8 y −49=0的距离d =
|−49|
√6
2+(−8)
2 = 49
10 ，
故两圆公共弦长为2√25−(
49
10)
2
= 3√11
5
．
故选：C．
41．（24-25 高二上·海南海口·阶段练习）圆M : x
2+( y −2)
2=20与圆N :( x +3)
2+( y +2)
2=25的公共弦长
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为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】判断出两圆相交，两圆相减求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长.
【详解】圆M : x
2+( y −2)
2=20的圆心为M (0,2)，半径r1=2√5，
圆N :( x +3)
2+( y +2)
2=25的圆心为N (−3,−2)，半径r2=5，
r1+r2=5+2√5,r2−r1=5−2√5，
| MN |=√3
2+ 4
2=5∈(r2−r1,r2+r1)，所以两圆相交，
由¿两式相减并化简得3 x + 4 y +2=0，
M (0,2)到直线3 x + 4 y +2=0的距离为|0+8+2|
√3
2+ 4
2 =2，
所以公共弦长为2×√(2√5)
2−2
2=8.
故选：B
42．（24-25 高二上·河南驻马店·阶段练习）圆C1: x
2+ y
2=25与圆C2:(x−3)
2+( y + 4)
2=1的公共弦长为
（ ）
A．2√13
5
B．5√6
4
C．3√11
5
D．√13
3
【答案】C
【分析】两圆方程作差得两圆公共弦所在的直线方程，结合点到线的距离公式求公共弦长.
【详解】两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为6 x−8 y −49=0，
又因为圆心C1(0,0)到直线6 x−8 y −49=0的距离d =
|−49|
√6
2+(−8)
2 = 49
10 ，
故两圆公共弦长为2√
25−(
49
10)
2
= 3√11
5
.
故选：C
43．（24-25 高三上·天津南开·期末）圆C1:( x +2)
2+( y −4)
2=16与圆C2: x
2+ y
2−2 x−10=0的公共弦长
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为 .
【答案】2√7
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出C1到公共弦所在的直线的距离，再由
2√r
2−d
2可得答案.
【详解】将两个圆的方程作差得：6 x−8 y +14 =0，
即公共弦所在的直线为3 x−4 y +7=0，
又知C1(−2,4),r1= 4，则C1(−2,4)到直线3 x−4 y +7=0的距离为：
d =|3×(−2)−4×4 +7|
√3
2+ 4
2
=3，所以公共弦长为2√4
2−3
2=2√7.
故答案为：2√7.
【题型10 两圆的公切线问题】
44．（24-25 高二上·四川·期末）已知圆C1：x
2+ y
2−4 x−6 y =0，圆C2：(x −3)
2+( y −1)
2=9，则圆C1，
C2的公切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】判断出两圆的位置关系即可得出圆C1，C2的公切线条数.
【详解】由已知得，圆C1：(x−2)
2+( y −3)
2=13，圆心为(2,3)，半径为√13；
圆C2：(x−3)
2+( y −1)
2=9，圆心为(3,1)，半径为3，故|C1C2|=√1
2+(−2)
2=√5，
而√13−3<√5<√13+3，故圆C1，C2相交，有两条公切线.
故选：B.
45．（24-25 高二上·天津·阶段练习）圆(x−a)
2+( y −1)
2= 4与x
2+ y
2=1恰有三条公切线，则实数a的值为
（ ）
A．±2√3
B．2√3
C．2√2
D．±2√2
【答案】D
【分析】根据公切线条数，确定两圆的位置关系，即可求解.
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【详解】由条件可知，两圆相外切，所以√a
2+1=2+1，解得：a=±2√2.
故选：D
46．（24-25 高二上·广东珠海·阶段练习）已知圆C1: x
2+ y
2−2mx +m
2−1=0和圆
C2: x
2+ y
2−2ny +n
2−9=0恰有三条公共切线，则(m−6)
2+(n−8)
2的最小值为（ ）
A．36
B．3
C．10
D．√10
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得两圆外切，进而求得m
2+n
2=16，再借助动圆与圆x
2+ y
2=16有公共点，
求出动圆半径的最小值即可.
【详解】圆C1:( x−m)
2+ y
2=1的圆心C1(m,0)，半径r1=1，
圆C2: x
2+( y −n)
2=9的圆心C2(0,n)，半径r2=3，
由圆C1,C2恰有三条公共切线，得圆C1,C2外切，则|C1C2|=√m
2+n
2=1+3，
即m
2+n
2=16，显然点(m,n)在圆x
2+ y
2=16上，点C(6,8)在圆x
2+ y
2=16外，
令(m−6)
2+(n−8)
2=r
2(r >0)，则点(m,n)在圆( x −6)
2+( y −8)
2=r
2(r >0)上，
因此圆x
2+ y
2=16与( x −6)
2+( y −8)
2=r
2有公共点，则|r −4|≤|OC |≤r + 4，O(0,0)，
即|r −4|≤10≤r + 4，解得6≤r ≤14，则rmin=6，
所以(m−6)
2+(n−8)
2的最小值为36.
故选：A
47．（24-25 高二上·湖南·期中）写出与圆( x−1)
2+( y −2)
2= 1
2和圆( x−2)
2+( y −1)
2= 1
2都相切的一条直
线方程 .
【答案】x−y =0（或x + y −2=0或x + y −4 =0，任写一条即可，答案不唯一）
【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合
直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程.
【详解】圆( x−1)
2+( y −2)
2= 1
2的圆心为(1,2)，半径为√2
2 ，
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圆( x−2)
2+( y −1)
2= 1
2的圆心为(2,1)，半径为√2
2 ，
两圆心距为√(1−2)
2+(2−1)
2=√2=r1+r2，故两圆外切，
两圆圆心所在直线l的方程为y −2= 2−1
1−2
(x−1)，即x + y −3=0，中点为(
3
2 , 3
2)，
切线l1垂直于直线l，且经过中点，所以切线l1的方程为x−y =0；
切线l2,l3平行于直线l，且到直线l的距离为r = √2
2 ，
设平行于直线l切线方程为x + y +b=0,b≠−3，
则|b−(−3)|
√2
= √2
2 ,b≠−3⇒b=−2或b=−4，
所以切线l2,l3的方程分别为x + y −2=0, x + y −4 =0.
故答案为：x−y =0（或x + y −2=0或x + y −4 =0，任写一条即可，答案不唯一）.
1．（24-25 高二上·安徽阜阳·阶段练习）倾斜角为150°，在y轴上截距为−2的直线方程为 ．
【答案】x +√3 y +2√3=0
【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案．
【详解】因为tan150° =−√3
3 ，
所以所求直线的斜率为−√3
3 ，
又直线在y轴上的截距为−2，
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由直线方程的斜截式得：y =−√3
3 x−2，
化为一般式得：x +√3 y +2√3=0．
故答案为：x +√3 y +2√3=0．
2．（24-25 高二上·全国·期末）已知点O是坐标原点，点Q是圆( x−3)
2+( y + 4)
2=1上的动点，点
P(t ,−t −4)，则当实数t变化时，|PQ|+|PO|的最小值为 .
【答案】6
【分析】由点P的坐标特点可得点P在直线l：x + y + 4 =0上运动，则求点A关于直线l的对称点B，则
由(|PQ|+|PO|)min=|OB|−r求解即可.
【详解】设¿，则y =−x−4，
所以点P(t ,−t −4)在直线l：x + y + 4 =0上，
又圆( x −3)
2+( y + 4)
2=1的圆心A (3,−4)，半径r =1，
设圆心A (3,−4)关于直线x + y + 4 =0对称点B (x , y)，
则¿，解得¿，
所以B (0,−7)，
所以圆A：( x −3)
2+( y + 4)
2=1关于直线l对称圆B：x
2+( y +7)
2=1，
如图：
连接OB交直线l于点P，则| PA |=| PB|，
连接PA交圆A于Q，则|PQ|+|PO|≥|PO|+|PA|−r ≥|PO|+|PB|−r =|OB|−r，
所以(|PQ|+|PO|)min=|OB|−r =7−1=6，故|PQ|+|PO|的最小值为6.
故答案为：6.
3．（2025 高三·全国·专题练习）一条光线经过点A (2,3)射到直线x + y +1=0上，被反射后经过点B (1,1)，
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则入射光线所在直线的方程为 ．
【答案】5 x−4 y +2=0
【分析】先根据点关于直线对称得出B
′ (−2,−2)，又点A (2,3)，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式
写出直线方程即可.
【详解】设点B关于直线x + y +1=0的对称点为B
′(x0, y0)，则¿解得¿
所以B
′ (−2,−2)．又点A (2,3)，
所以k A B
′= 3−(−2)
2−(−2) = 5
4 ，直线A B
′的方程为y −3= 5
4
(x−2)，
由图可知，直线A B
′即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为5 x−4 y +2=0．
故答案为：5 x−4 y +2=0.
4．（24-25 高二上·广东·阶段练习）已知圆C1: x
2+ y
2=1，圆C2:(x −2)
2+ y
2=1，则C1,C2的公切线方程
为 ．（写出一条即可）
【答案】y =1，y =−1，x =1（三个方程写出一个即给满分）
【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程.
【详解】因为|C1C2|=2，C1,C2的半径均为1，则C1,C2外切，结合图像可知，C1,C2的公切线方程
为y =1，y =−1，x =1．
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故答案为：y =1，y =−1，x =1 （三个方程写出一个即给满分）
5．（24-25 高二上·海南·期中）已知点M在圆C : x
2+ y
2−6 x =0上运动，点A (−3,0).
(1)求|MA|的最小值；
(2)若P为MA的中点，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)3
(2)x
2+ y
2= 9
4 .
【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半
径求解即可；
（2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程
【详解】（1）圆C的标准方程为( x −3)
2+ y
2=9，
故圆心C (3,0)，半径r =3.
因为|AC|=√(−3−3)
2+0=6>r，所以点A在圆C外.
所以|MA|的最小值为|AC|−r =6−3=3.
（2）设P(x , y), M (x0, y0).
因为P为线段MA的中点，
所以¿则¿
因为点M在圆x
2+ y
2−6 x =0上运动，
所以x0
2+ y0
2−6 x0=0，
代入得(2 x +3)
2+(2 y)
2−6(2 x +3)=0，
化简得x
2+ y
2= 9
4 ，
所以点P的轨迹方程为x
2+ y
2= 9
4 .
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