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知识点8：弹力与摩擦力的临界极值问题
考点一：弹力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”
等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力FN＝0。
（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题
【典例1 拔尖题】将三个质量均为m 的小球a、b、c 用细线相连后(b、c 间无细线相连)，
再用细线悬挂于O 点，如图所示．用力F 拉小球c，使三个小球都处于静止状态，且细线
Oa 与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F 的最小值为( )
A．mg B．2mg C．mg D．mg
【典例1 拔尖题对应练习】（多选）如图，弹性轻绳一端固定于O 点，另一端连有一质量
m 的小球a，小球a 通过不可伸长的细绳连接质量相同的小球b，两小球均处于静止状态．
现给小球b 施加一个力F，使弹性轻绳与竖直方向成30°角，两球依然保持静止．下列说法
正确的是( )
A．弹性绳的长度一定增加 B．a、b 间细绳上的张力可能减小
C．力F 的值可能大于mg D．力F 的值可能小于mg
考点二：摩擦力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。
（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
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②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值
类型一：单个物体模型
【典例1a 拔尖题】（多选）如图甲所示，截面为直角三角形的木块A 质量为m0，放在倾
角为θ 的固定斜面上，当θ＝37°时，木块A 恰能静止在斜面上。现将θ 改为30°，在A 与
斜面间放一质量为m 的光滑圆柱体B，如图乙所示，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速
度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则( )
A．A 与斜面之间的动摩擦因数为0.75
B．A、B 仍一定静止于斜面上
C．若m0＝m，则A 受到的摩擦力大小为mg
D．若m0＝4m，则A 受到斜面的摩擦力大小为2.5mg
【典例1a 拔尖题对应练习】 如图所示，质量m＝1 kg 的物块在与水平方向夹角为θ＝37°
的推力F 作用下静止于墙壁上，物块与墙之间的动摩擦因数μ＝0.5，推力F 应满足什么条
件？(取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2)
类型二：连接体模型
【典例1b 拔尖题】如图所示，在水平杆MN 上套上两个质量不计的小环A 和B，一长度为
l、不可伸长的细线两端分别系在环A、B 上，并在细线中点挂一个质量为m 的物块．已知
环A、B 与杆间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．那么系统平衡时小环
A、B 间的最大距离为( )
A． B． C． D．
【典例1b 拔尖题】如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m 和2m
的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B 间的接触面和轻绳均与木板平行．
A 与B 间、B 与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与
水平面的夹角为45°时，物块A、B 刚好要滑动，则μ 的值为( )
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A． B． C． D．
题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
分析摩擦力突变问题的方法：
①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
【典例2 拔尖题】如图所示，完全相同的A、B 两物体放在水平地面上，与水平地面间的
动摩擦因数均为μ＝0.2，每个物体重G＝10 N，设物体A、B 与水平地面间的最大静摩擦
力均为Fmax＝2.5 N，若对A 施加一个向右的由0 均匀增大到6 N 的水平推力F，有四位同
学将A 物体所受到的摩擦力FfA随水平推力F 的变化情况在图中表示出来。其中表示正确
的是( )
【典例2 拔尖题对应练习】长木板上表面的一端放有一个物块，物块与木板接触面上装有
摩擦力传感器，木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角θ 变大)，另一端不动，
如图甲所示，摩擦力传感器记录了物块受到的摩擦力Ff随角度θ 的变化图像如图乙所示．
重力加速度为g，下列判断正确的是( )
A. 物块与木板间的动摩擦因数μ＝tanθ1
B. 物块与木板间的动摩擦因数μ＝
C. 木板与地面的夹角为θ2时，物块做自由落体运动
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D. 木板由θ1转到θ2的过程中，物块的速度变化越来越快
题型三：应用数学分析法解决涉及摩擦力的临界与极值问题
【典例3 拔尖题】如图所示，汽车通过钢绳拉动物体．假设钢绳的质量可忽略不计，物体
的质量为m，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，汽车的质量为m0，汽车运动中受到的
阻力跟它对水平地面的压力成正比，比例系数为k，且k＞μ.要使汽车匀速运动时的牵引力
最小，角α 应为( )
A．0°
B．30° C．45°
D．60°
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