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知识点8：弹力与摩擦力的临界极值问题
考点一：弹力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”
等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力FN＝0。
（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题
【典例1 提高题】如图所示，足够长的光滑平板AP 与BP 用铰链连接，平板AP 与水平面
成53°角固定不动，平板BP 可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m 的均匀圆柱体O
放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g，在使BP 板由水平位置缓慢转
动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A．平板AP 受到的压力先减小后增大
B．平板AP 受到的压力先增大后减小
C．平板BP 受到的最小压力为0.6mg
D．平板BP 受到的最大压力为mg
【典例1 提高题】【答案】D
【解析】小球受重力、平板AP 的弹力F1和平板BP 的弹力F2，根据平衡条件，三力构成
一封闭矢量三角形，如图．从图中可以看出，在平板PB 逆时针缓慢地转向竖直位置的过
程中，F1越来越大，F2先变小后变大，结合牛顿第三定律可知，选项A、B 错误．由几何
关系可知，当F2的方向与AP 的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值为：F2min＝
mgsin 53°＝0.8mg；当平板BP 竖直时，F2最大为：F2max＝mg·tan 53°＝mg，选项C 错误，
D 正确．
【典例1 提高题对应练习】轻质弹簧A 的两端分别连在质量均为m 的小球上，两球均可视
为质点．另有两根与A 完全相同的轻质弹簧B、C，且B、C 的一端分别与两个小球相连，
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B 的另一端固定在天花板上，C 的另一端用手牵住，如图所示．适当调节手的高度与用力
的方向，保持B 弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，当
弹簧C 的拉力最小时，B、C 两弹簧的形变量之比为( )
A．1∶1 B．3∶5 C．4∶3 D．5∶4
【典例1 提高题对应练习】【答案】C
【解析】以两球和弹簧A 组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由合成法知当C 弹
簧与B 弹簧垂直时，弹簧C 施加的拉力最小，由几何关系知FTB∶FTC＝4∶3.
题型二：应用数学分析法解决涉及弹力的临界与极值问题
【典例2 提高题】（多选）如图所示，竖直墙壁与光滑水平地面交于B 点，质量为m1的光
滑半圆柱体紧靠竖直墙壁置于水平地面上，O1为半圆柱体截面所在圆的圆心，质量为m2
且可视为质点的均匀小球O2用长度等于A、B 两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的A 点，
小球静置于半圆柱体上，当换用质量不变，而半径不同的光滑半圆柱体时，细线与竖直墙
壁的夹角θ 就会跟着发生改变。已知重力加速度为g，不计各接触面间的摩擦，则下列说
法正确的是( )
A．当θ＝60°时，半圆柱体对地面的压力大小为m1g＋m2g
B．当θ＝60°时，小球对半圆柱体的压力大小为m2g
C．换用不同的半圆柱体时，半圆柱体对竖直墙壁的最大压力大小为m2g
D．换用半径更大的半圆柱体时，半圆柱体对地面的压力保持不变
【典例2 提高题】【答案】AC
【解析】 对小球进行受力分析如图甲所示，连接O2B 和O1O2，由几何关系可知θ＝α，小
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球受力平衡，有FN1＝m2gsin θ，FT＝m2gcos θ，对小球和半圆柱体整体进行受力分析，整
体受地面的支持力FN、墙壁的弹力F、细线的拉力FT、重力(m1＋m2)g，如图乙所示，整
体受力平衡，则在竖直方向上有FN＋FTcos θ＝(m1＋m2)g，水平方向上有F＝FTsin θ。当
θ＝60°时，FN1＝m2g，由牛顿第三定律得小球对半圆柱体的压力大小为m2g，B 错误；F＝
FTsin θ＝m2gsin 2θ，当θ＝45°时，Fmax＝m2g，C 正确；FN＝(m1＋m2)g－m2gcos2θ，当θ＝
60°时，FN＝m1g＋m2g，当换用半径更大的半圆柱体时，θ 改变，FN改变，由牛顿第三定律
可知A 正确，D 错误。
考点二：摩擦力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。
（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值
类型一：单个物体模型
【典例1a 提高题】如图所示，物块A 放在倾斜的木板上，木板的倾角α 分别为30°和45°
时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块与木板间的动摩擦因数为( )
A.
B.
C.
D.
【典例1a 提高题】【答案】C
【解析】由题意可以判断，木板的倾角α 为30°时物块静止，所受摩擦力为静摩擦力，由沿
斜面方向二力平衡可知其大小为mgsin 30°；木板的倾角α 为45°时物块滑动，所受摩擦力
为滑动摩擦力，大小为μmgcos 45°，由二者相等可得物块与木板间的动摩擦因数为μ＝
，故选C.
【典例1a 提高题对应练习】如图所示，滑块A 置于水平地面上，滑块B 在一水平力作用
下紧靠滑块A(A、B 接触面竖直)，此时A 恰好不滑动，B 刚好不下滑．已知A 与B 间的动
摩擦因数为μ1，A 与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A 与B 的
质量之比为( )
A． B． C．
D．
【典例1a 提高题对应练习】【答案】B
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【解析】对滑块A、B 整体在水平方向上有F＝μ2(mA＋mB)g；对滑块B 在竖直方向上有
μ1F＝mBg，联立解得：＝，选项B 正确．
类型二：连接体模型
【典例1b 提高题】如图所示，有10 块完全相同的长方体木板叠放在一起，每块木板的质
量为100 g，用手掌在这叠木板的两侧同时施加大小为F 的水平压力，使木板悬空水平静止．
若手与木板之间的动摩擦因数为0.5，木板与木板之间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，g 取10 m/s2，则F 至少为( )
A．25 N B．20 N C．15 N D．10 N
【典例1b 提高题】【答案】B
【解析】先将所有的木板看成一个整体，竖直方向受重力、静摩擦力，二力平衡，有：
2μ1F≥10mg 再以除最外侧两块板(中间8 块板)为研究对象，竖直方向受重力、静摩擦力，
二力平衡，有：2μ2FN≥8mg，且FN＝F 联立解得F≥20 N，选项B 正确，A、C、D 错误．
【典例1b 提高题对应练习】如图，一粗糙斜面固定于水平面上，一质量为m 的滑块通过
一跨过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳与一钩码相连．能使滑块在斜面上保持静止的钩码质量
的最大值和最小值分别为m1和m2.设轻绳与斜面保持平行，滑块所受到的最大静摩擦力等
于滑动摩擦力．斜面倾角为θ，则滑块与斜面之间的动摩擦因数为( )
A. B. C. D.
【典例1b 提高题对应练习】【答案】C
【解析】当钩码的质量为最大值m1时，滑块所受的静摩擦力沿斜面向下，则：μmgcos θ＋
mgsin θ＝m1g；当钩码的质量为最小值m2 时，滑块所受的静摩擦力沿斜面向上，则：
mgsin θ＝m2g＋μmgcos θ；联立解得μ＝，故C 正确，A、B、D 错误．
题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
分析摩擦力突变问题的方法：
①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
类型一：静—静突变模型
【知识思维方法技巧】
静—静突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发
生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。
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【典例2a 提高题】如图所示，倾角θ＝37°的斜面固定在水平面上，一质量M＝1 kg 的物
块C 受平行于斜面向上的轻质橡皮筋拉力F＝9 N 的作用，有一平行于斜面的轻绳一端固
定在物块C 上，另一端跨过光滑定滑轮连接A、B 两个小物块，物块C 处于静止状态．已
知物块C 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，mA＝0.2 kg，mB＝0.3 kg，g 取10 m/s2.剪断A、B
间轻绳后，关于物块C 受到的摩擦力的说法中正确的是(sin 37°＝0.6)( )
A. 滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为4 N
B. 滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为5 N
C. 静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1 N
D. 静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为3 N
【典例2a 提高题】【答案】C
【解析】开始时物块C 受静摩擦力作用，大小为Ff＝(mA＋mB)g＋Mgsin 37°－F＝2 N，方
向沿斜面向上；剪断A、B 间轻绳后，假设C 仍静止，则此时C 所受的静摩擦力Ff′＝mAg
＋Mgsin 37°－F＝－1 N，即Ff′沿斜面向下，因为1 N＜2 N，故可知物块C 仍然处于静止
状态，即C 受到静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1 N．故选C.
类型二：静—动突变模型
【知识思维方法技巧】
静—动突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止
状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力，“突变”点为静摩擦力达到最大
值时。
【典例2b 提高题】(多选）如图甲所示，A、B 两个物体叠放在水平面上，B 的上下表面均
水平，A 物体与一拉力传感器相连接，连拉力传感器和物体A 的细绳保持水平。从t＝0 时
刻起，用一水平向右的力F＝kt(k 为常数)作用在B 物体上，力传感器的示数随时间变化的
图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求( )
A．A、B 之间的最大静摩擦力 B．水平面与B 之间的滑动摩擦力
C．A、B 之间的动摩擦因数μAB D．B 与水平面间的动摩擦因数μ
【典例2b 提高题】【答案】AB
【解析】当B 被拉动后，力传感器才有示数，地面对B 的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B
相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k(t2－t1)，A、B 正确；由于
A、B 的质量未知，则μAB和μ 不能求出，C、D 错误。
【典例2b 提高题对应练习】如图所示，一木箱放在水平地面上，现对箱子施加一斜向上的
拉力F，保持拉力的方向不变，在拉力F 的大小由零逐渐增大的过程中．关于摩擦力Ff的
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大小随拉力F 的变化关系，下列四幅图可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【典例2b 提高题对应练习】【答案】B
【解析】设F 与水平方向的夹角为θ，木箱处于静止状态时，根据平衡条件得：木箱所受
的静摩擦力为Ff＝Fcosθ，F 增大，Ff增大；当拉力达到一定值，箱子运动瞬间，静摩擦力
变为滑动摩擦力，由于最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故摩擦力有个突然减小的过程；
木箱运动时，所受的支持力FN＝G－Fsinθ，F 增大，FN减小，此时木箱受到的是滑动摩擦
力，大小为Ff＝μFN，FN减小，则Ff减小，故B 正确，A、C、D 错误．
类型三：动—静突变模型
【知识思维方法技巧】
动—静突变模型的特点：
物体在摩擦力和其他力作用下，两物体相对做减速滑动的过程中，若相对速度变为0，则
物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力，“突变”点为两物
体相对速度为0 时。
【典例2c 提高题】把一重为G 的物体用一个水平的推力F＝kt(k 为恒量，t 为时间)压在竖
立的足够高的平整的墙上，如图所示。从t＝0 开始物体所受的摩擦力Ff随t 的变化关系是(
)
【典例2c 提高题】【答案】B
【解析】根据滑动摩擦力Ff＝μFN＝μF，随着压力F 均匀增大，摩擦力Ff均匀增大，当摩
擦力增大到大于重力以后，物体做减速运动直到静止，摩擦力变为静摩擦力，始终等于受
到的重力，故选项B 正确。
【典例2c 提高题对应练习】如图所示，斜面固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8)。质量为1 kg 的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够
长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8)，则该滑块所受摩擦力Ff随时间变化的图象是选
项图中的(取初速度v0的方向为正方向，g＝10 m/s2)( )
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【典例2c 提高题对应练习】【答案】B
【解析】滑块上升过程中受滑动摩擦力，由Ff＝μFN 和FN＝mg cos θ 联立，得Ff＝6.4
N，方向沿斜面向下。当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mg sin θ＜μmg cos θ，
滑块将静止，滑块受到的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得Ff＝mg sin θ，代入可得Ff＝
6 N，方向沿斜面向上，故选项B 正确。
类型四：动—动突变模型
【知识思维方法技巧】
动—动突变模型的特点：
在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止
则物体将继续受滑动摩擦力作用，且其方向发生反向．
【典例2d 提高题】(多选）如图所示，足够长的传送带与水平面间的夹角为θ，以速度v0
逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为m 的小木块，小木块与传送带间的
动摩擦因数μ<tan θ，选沿传送带向下为正方向，则下列选项中能客观地反映小木块的受
力和运动情况的是( )
【典例2d】【答案】BD
【解析】当小木块速度小于传送带速度时，小木块相对于传送带向上滑动，小木块受到的
滑动摩擦力沿传送带向下，加速度a＝gsin θ＋μgcos θ；当小木块速度达到传送带速度时，
由于μ<tan θ，即μmgcos θ<mgsin θ，所以速度能够继续增大，此时滑动摩擦力的大小不
变，而方向突变为向上，a＝gsin θ－μgcos θ，加速度变小，则v－t 图像的斜率变小，所以
B、D 正确．
题型三：应用数学分析法解决涉及摩擦力的临界与极值问题
类型一：匀速运动外力的极值问题（用巧力拖箱子模型）
【典例3a 提高题】因为办公室调整，原办公地点的个人物品需要搬到新地方。如图是黄老
师通过绳子用力F 拉一个置物箱在粗糙的水平地面上匀速前进，已知置物箱质量为M，置
物箱与地面间的动摩擦因数为μ，力F 与水平方向所夹锐角为θ。下列方法正确的是(
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)
A．置物箱对地面的压力大小为μMg
B．角度θ 适当的话，拉置物箱的拉力大小有最小值
C．置物箱所受弹力的方向是垂直地面竖直向上
D．撤去拉力F 之后，置物箱会继续做匀速直线运动
【典例3a 提高题】【答案】B
【解析】对置物箱受力分析如图
，因为置物箱匀速直线运动，所以FN＝Mg－Fsin θ，
Ff＝Fcos θ，Ff＝μFN，联立可知F＝，根据数学知识可知，当角度θ 合适时，拉力的确有
最小值，B 正确；根据上面分析可知，地面对置物箱支持力FN＝Mg－Fsin θ＝，由牛顿第
三定律可知，置物箱对地面的压力大小与地面对置物箱支持力大小相等，A 错误；置物箱
受到的弹力为绳子拉力、地面支持力，所以根据受力分析可知，其合力应斜向上，C 错误；
撤去外力后，置物箱会在摩擦力作用下匀减速直线运动，D 错误。
【典例3a 提高题对应练习】（多选）如图所示，质量为M 的木楔倾角为θ，在水平面上保
持静止。当将一质量为m 的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用与斜面成α 角的力F
拉着木块沿斜面匀速上滑。重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A．当α＝2θ 时，F 有最小值
B．F 的最小值为mgsin 2θ
C．在木块匀速上滑过程中，地面对M 的静摩擦力方向水平向右
D．在木块匀速上滑过程中，地面对M 的静摩擦力方向水平向左
【典例3a 提高题对应练习】【答案】BD
【解析】选木块为研究对象，当没加外力F 时正好匀速下滑，设木块与斜面间的动摩擦因
数为μ，此时平行于斜面方向必有mgsin θ＝μmgcos θ。当加上外力F 时，对木块受力分析
如图，则有Ff＝μFN，平行于斜面方向有Ff＋mgsin θ＝Fcos α，垂直于斜面方向有FN＋
Fsin α＝mgcos θ，联立解得F＝＝，故当α＝θ 时，F 有最小值，最小值为Fmin＝mgsin
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2θ，故A 错误，B 正确；选M 和m 组成的整体为研究对象，设水平面对木楔M 的摩擦力
是Ff′，水平方向受力平衡，则有Ff′＝Fcos (θ＋α)，可知摩擦力的方向水平向左，故C 错
误，D 正确。
类型二：物体不能运动的临界与极值问题（摩擦自锁模型）
【典例3b 提高题】一般教室门上都会安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧
C(劲度系数为k)、锁舌D(倾斜角θ＝45°)、锁槽E，以及连杆、锁头等部件组成，如图14
甲所示。设锁舌D 的侧面与外壳A 和锁槽E 之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力fm由
fm＝μFN(FN为正压力)求得。有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不
能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P 为锁舌D
与锁槽E 之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x。
（1）试判断自锁状态时，D 的下表面所受摩擦力的方向；
（2）求自锁时锁舌D 与锁槽E 之间的正压力的大小；
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ 至少为多大？
【典例3b 提高题】【答案】(1)水平向右 (2) (3)0.41
【解析】(1)自锁状态时，D 有向左运动的趋势，所以它的下表面所受摩擦力的方向为水平
向右。
(2)D 的受力情况如图所示。
根据平衡条件
水平方向FNsin θ＝f1＋f2cos θ＋kx
竖直方向F＝f2sin θ＋FNcos θ
又f1＝μF，f2＝μFN
解得FN＝
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