第2讲函数与方程思想在立体几何中的应用（原卷版）_数学_二轮复习_2024年_2024高考数学二轮复习讲义数形结合题型应用全国通用_立体几何

第 2 讲 函数与方程思想在立体几何中的应用
方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变
量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用
方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。
函数与方程思想方法在在立体几何中大有用武之地，如立体几何中的求体积表面积以及距离的最值
问题，空间几何体中的线线角、线面角、面面角的最值问题。
【应用一】函数与方程思想在几何体中解决体积表面积的最值问题
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
运用导数研究函数的最值是立体几何中求最值常用的方法和技巧。
【例1.1】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为
2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【思维提升】对于立体几何中的最值问题，要从以下几个方面入手：1、引入适当的变量，准确的表示出
关于体积、表面积等函数关系式。2、通过求导或者运用基本不等式求函数的最值。
【变式1-1】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为 ，且外接球的
球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长 ，则其体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
36π，且3≤l≤3❑√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
[ 81] [27 81] [27 64]
A． 18, B． , C． , D．[18,27]
4 4 4 4 3
【变式1-3】（2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知 ， ， ， 是半径为 的球面上的点，
P A B C 2， ，点 在 上的射影为 ，则三棱锥 体积的最大值是______
B AC D
【变式1-4】（2023·湖南邵阳·统考一模）在正方体 中，点 满足
，且 ，直线 与平面 所成角为 ，若二面角 的大
小为 ，则 的最大值是______.
【应用二】函数与方程思想在几何体中解决存在性的问题
解决空间几何体中的探索性或者存在性问题，可以从下面几步入手：第一步，首先根据已知条件建立
适当的空间直接坐标系，并假设求解的结果存在，寻求使这个结率成立的充分条件。第二步。然后根据空
间向量将以几何问题转化为空间向量问题，并进行计算求解。第三步得出结论，如果得到符合题目结果要
求的条件，则存在如果。找不到符合题目结果要求的条件，或出现矛盾则不存。
【例2.1】（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
， ，M，N分别是线段AB，PC的中点．
(1)求证：MN 平面PAD；
(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．【思维提升】对于这种探索性问题，就是假设存在，根据条件得出对于的方程或者不等式，然后解此
方程或者不等式，但是一定要注意引入参数的范围。这也是对解出结果进行取舍的依据。
【变式2-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）如图，在正三棱柱 中，D为棱
上的点，E，F，G分别为AC， ， 的中点， ．
(1)求证： ；
(2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为 ，求AD的长．
【变式2-2】（2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，侧面 平面 ，
是边长为 的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， .
(1)求 到平面 的距离；(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【 变 式 2-3 】 （ 2022 年 广 州 第 十 七 中 学 高 三 模 拟 试 卷 ） 如 图 所 示 ， 在 梯 形 ABCD 中 ，
，四边形ACFE为矩形，且 平面 ， ．
（1）求证： 平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为
．【应用三】函数与方程思想在几何体中运用向量的方法解决角度、距离的最值问题
解决的途径就是建立起关于角或者距离的目标函数，然后通过求导或者运用基本不等式进行求导。
【例3.1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知四棱锥 的底面为正方形， 底面
，点 是线段 上的动点，则直线 与平面 所成角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【思维提升】对于立体几何中的线线角、线面角、面面角以及距离最值问题若不好直接表示角度的函数关
系式，可以考虑运用向量的方法研究线线角、线面角、面面角以及距离最值问题，要从以下几个方面入手：
1、建立适当的空间直角坐标系，引入适当的变量（特别要注意），准确的表示出关于体积、表面积等函
数关系式。2、通过求导或者运用基本不等式求函数的最值。
【变式3-1】【2021年甲卷理科】已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?【变式3-2】【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面
ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
PABCD △PAB
【变式3-3】（2021·山东德州市·高三期末）在四棱锥 中， 为直角三角形，
1
PA ABCD
APB 90且 2 ，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD且DAB为直角，E为AB的
1
EF  EP
中点，F为PE的四等分点且 4 ，M为AC 中点且MF  PE．AD ABP
（1）证明： 平面 ；
APCE  
（2）设二面角 的大小为 ，求 的取值范围．
巩固练习
1、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，
从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面
是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的
“堑堵” ，其中 ，若 ，则“阳马” 的体积最大为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
2、【2022年全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
1 1 ❑√3 ❑√2
A． B． C． D．
3 2 3 2
3、（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体 的棱长为a，E是棱 的动点，
则下列说法正确的（ ）个．
①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为
④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
4、（2023·江苏南通·统考一模）已知正四棱锥 的所有棱长都为1，点 在侧棱 上，过点 且
垂直于 的平面截该棱锥，得到截面多边形 ，则 的边数至多为__________， 的面积的最大值为
__________.
5、（2023·广东广州·统考一模）在棱长为1的正方体 中，点 分别是棱 的中点，是侧面 上的动点.且 平面 ，则点 的轨迹长为__________.点 到直线 的距离的最
小值为__________.
6、（2023·湖南永州·统考三模）（多选题）已知四面体ABCD的所有棱长均为 ，M，N分别为棱AD，
BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则（ ）
A．线段MN的长度为1 B． 周长的最小值为
C． 的余弦值的取值范围为 D．直线FG与直线CD互为异面直线
7、（2022年江苏省高三模拟试卷）已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M与平面
α、平面β的交线分别为圆A、圆B．
（1）若平面γ与平面α、平面β的交线分别为 ， ，证明： ；
（2）若球面M的半径为2，求以圆A为上底面，圆B为下底面的几何体AB的体积的最大值．
8、（2022年福建省德化一中高三模拟试卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC， ，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点， ，
， ．（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长．
9、（2022·江苏扬州·高三期末）如图，在三棱台ABC－A B C 中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB
1 1 1
＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC B 为等腰梯形，且B C ＝CC ＝4，M为B C 中点．
1 1 1 1 1 1 1
（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；
（2）记二面角A－BC－B 的大小为θ，当θ∈[ ， ]时，求直线BB 平面AA C C所成角的正弦的最大值．
1 1 1 1
10、（2020·山东海南省高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD
与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．