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第24 讲 卫星变轨问题 双星模型
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）2022 年，我国航天经历了不平凡的一年。在探月与深空探
测方面，我国科学家在“嫦娥五号”取回的月壤中发现了一种月球的新矿物，并命名为“嫦娥石”；我国
首次火星探测“天问一号”任务团队获得国际宇航联合会2022 年度“世界航天奖”；载人航天方面，“神
舟十五号”飞船成功发射，中国空间站建造阶段发射“满堂红”。关于航天的知识，下列说法正确的是（
）
A．“嫦娥五号”的发射速度应大于第二宇宙速度
B．“天问一号”到达火星表面附近后应减速，从而被火星捕获
C．“神舟十五号”从椭圆轨道的远地点变轨到圆轨道时应加速，变轨后的速度大于第一宇宙速度
D．空间站运行时，舱内的物体处于完全失重状态，不受力的作用
【答案】B
【详解】A．“嫦娥五号”是探月飞行，发射速度应在第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，A 错误；
B．“天问一号”到达火星表面附近后应减速，从而被火星引力所捕获，B 正确；
C．“神舟十五号”从椭圆轨道的远地点变轨到大的圆轨道时应加速，由于第一宇宙速度是卫星绕地球做
匀速圆周运动的最大速度，故变轨后的速度一定小于第一宇宙速度，C 错误；
D．空间站运行时，舱内的物体处于完全失重状态，但是仍然受引力作用，D 错误。故选B。
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自
然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的
“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1 是圆轨道，轨道2 是
椭圆轨道，轨道3 是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项
中正确的是（ ）
A．天问一号在B 点需要点火加速才能从轨道2 进入轨道3
B．天问一号在轨道2 上经过B 点时的加速度大于在轨道3 上经过B 点时的加速度
C．天问一号进入近火轨道3 后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度
D．天问一号进入近火轨道3 后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量
【答案】C
【详解】A．天问一号在
点需要点火减速才能从轨道2 进入轨道3，故A 错误；
B．在轨道2 和轨道3 经过
点时，加速度相同，故B 错误；
1
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CD．假设火星的半径为
，轨道3 轨道半径为，因轨道3 是近火轨道，所以
，假设火星质量为
，
天问一号质量为
，由万有引力提供向心力
解得
火星的密度
题干仅提供了引力常量，火星半径未知，故C 正确，D 错误。故选C。
3．（2023·江苏南京·模拟预测）中国空间站在轨运行周期为1.54h，地球半径为6400km，重力加速度取
9.8m/s2。在2022 年，曾经两次遭遇星链卫星的恶意靠近，为避免不必要的损失，中国空间站不得不通过变
轨积极规避。首先变轨到更高的轨道（A 到B 过程），待星链卫星通过之后，再回到原运行轨道（C 到D
过程）。已知卫星运行方向与地球自转方向相同，下列说法正确的是（ ）
A．空间站距地面的高度大约400km
B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小
C．变轨避险的过程，空间站先经过两次减速进入更高轨道，再经过两次加速回到原轨道
D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多16 次
【答案】A
【详解】A．对于近地卫星有
对中国空间站在轨运行过程有
解得
，A 正确；
B．A 到B 过程是由低轨道变轨到高轨道，需要在切点A 处加速，则有
在切点B 处加速后由椭圆
低轨道变轨到圆高轨道，在两个圆轨道上，根据
解得
由于B 处圆轨道的轨道半径大
于A 处圆轨道轨道半径，则有
则有
即第一次加速后的速度比第二次加速后的速度
大，B 错误；
C．根据变轨规律，进入高轨道需要加速，进入低轨道，需要减速，即变轨避险的过程，空间站先经过两
次加速进入更高轨道，再经过两次减速回到原轨道，C 错误；
D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多n 次，则有
解得
可知空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一
2
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位置最多15 次，D 错误。故选A。
4．（2023·广东·统考三模）“神舟十三号”载人飞船与“天和”核心舱在2021 年10 月16 日成功对接，航
天员顺利进入“天和”核心舱。载人飞船和空间站对接的一种方法叫“同椭圆轨道法”，其简化示意图如
图所示。先把飞船发射到近地圆形轨道Ⅰ，然后经过多次变轨使飞船不断逼近空间站轨道，当两者轨道很
接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨进入空间站轨道。Ⅱ、Ⅲ是绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕
地球运行、很接近空间站轨道的圆形轨道。P、Q 分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点，下列说法正确的
是（ ）
A．在轨道Ⅲ上，载人飞船在Q 点的加速度比在P 点的加速度大
B．载人飞船在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期小
C．载人飞船在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大于在轨道Ⅳ上经过P 点的速度
D．在轨道Ⅲ上，载人飞船在P 点的机械能比在Q 点的机械能大
【答案】A
【详解】A．根据牛顿第二定律有
可得
可知，离中心天体越近加速度越大，Q 点近地
点，P 点为远地点，因此在轨道Ⅲ上Q 点的加速度大于P 点的加速度，故A 正确；
B．根据开普勒第三定律
轨道III 为椭圆轨道，其半长轴大于轨道I 的半径，则可知在轨道III 上的运
行周期大于在轨道I 上额运行周期，故B 错误；
C．载人飞船要实现在轨道III 向轨道IV 变轨，则必须在两轨相切处P 点点火加速才能顺利实现由低轨向
高轨的变轨运行，因此载人飞船在轨道Ⅲ上经过P 点的速度小于在轨道Ⅳ上经过P 点的速度，故C 错误；
D．同一物体在环绕中心天体运动的过程中，轨道越高其机械能越大，而在同一轨道上运行时，其机械能
守恒，因此在轨道Ⅲ上，载人飞船在P 点的机械能等于在Q 点的机械能，故D 错误。故选A。
5．（2023·湖北·模拟预测）地球同步轨道上的卫星失效后，及时将其清理，能为新的卫星释放空间。2021
年12 月底，我国自主研发的实践21 号卫星“捕捉”到同步轨道上已失效的北斗2 号卫星，并与之完成对
接。2022 年1 月22 日，实践21 号完成大幅度变轨机动，将北斗2 号拖入一条高于同步轨道的“墓地轨
道”。1 月26 日，实践21 号与北斗2 号脱离，于1 月28 日返回地球同步轨道。已失效的北斗2 号将在高
于同步轨道带的太空区域漂流。这一举措展示了我国作为太空大国的责任和担当，也让世界见证了中国的
科技实力。将上述过程作如图所示的简化：组合体在同步轨道上的P 点变轨，经过转移轨道，运动到比同
步轨道高3000km 的墓地轨道上的Q 点，在Q 点组合体完成分离，其中实践21 号再经转移轨道独自返回同
步轨道。已知地球同步轨道高度约为35786km，地球半径约为6371km，则（ ）
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A．由题干材料可知，实践21 号在转移轨道上的运行周期约为4 天
B．已失效的北斗2 号卫星在转移轨道上的Q 点速度小于同步轨道速度
C．对于实践21 号卫星，仅考虑地球对它的万有引力作用，其沿同步轨道运行经过P 点时的加速度大小为
a1，沿转移轨道运行经过P 点时的加速度大小为a2，那么a1<a2
D．若要使已失效的卫星由Q 点脱离地球引力的束缚，需要在Q 点至少给它一个大于11.2km/s 的初速度
【答案】B
【详解】A．根据题意可知，已知地球同步轨道高度约为35786km，地球半径约为6371km，墓地轨道比同
步轨道高3000km，则转移轨道的半长轴为
由于同步卫星绕
地球运动的周期为24h，由开普勒第三定律
可得
即实践21 号在转移轨道
上的运行周期略大于同步卫星周期但是比较接近，小于4 天，故A 错误；
B．在Q 点变轨需要点火加速，即北斗2 号卫星在转移轨道上的Q 点速度小于墓地轨道上运行速度，根据
万有引力提供向心力，有
解得
轨道半径越大，线速度越小，即北斗2 号卫星在墓地
轨道运行的速度小于同步轨道速度，所以北斗2 号卫星在转移轨道上的Q 点速度小于同步轨道速度，故B
正确；
C．对于实践21 号卫星，在P 点，根据牛顿第二定律有
可得
故C 错误；
D．11.2km/s 是从地球表面发射卫星，使之脱离地球的束缚的最小速度，而已失效的卫星由Q 点脱离地球
引力的束缚，同等条件下，需要克服地球引力所做的功要少，所以可以在Q 点给它一个小于11.2km/s 的初
速度，故D 错误。故选B。
6．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨
道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的
倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置
称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15 圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”（ ）
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A．1 次
B．2 次
C．3 次
D．4 次
【答案】D
【详解】根据开普勒第三定律有
解得
从图示时刻开始，乙转动半圈，甲转动3.5 圈，
“相遇”一次，此后乙每转动半圈，两个卫星就“相遇”一次，则甲运动15 圈的时间内，甲、乙卫星将
“相遇”4 次。故选D。
7．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）西汉时期，《史记·天官书》作者司马迁在实际观测中发现
岁星呈青色，与“五行”学说联系在一起，正式把它命名为木星。如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在
同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，卫星Ⅲ绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星Ⅰ、Ⅱ间距离
随时间变化的关系图象如图乙所示，其中R、T 为已知量，下列说法正确的是（ ）
A．卫星Ⅲ在M 点的速度小于卫星Ⅰ的速度
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为
C．卫星Ⅰ的运动周期为T
D．绕行方向相同时，卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近的时间间隔为
【答案】C
【详解】A．过M 点构建一绕木星的圆轨道，该轨道上的卫星在M 点时需加速才能进入椭圆轨道，根据万
有引力定律有
可得
则在构建的圆轨道上运行的卫星的线速度大于卫星Ⅰ的线速度，
根据以上分析可知，卫星Ⅲ在M 点的速度一定大于卫星Ⅰ的速度，A 错误；
BC．根据题图乙可知，卫星Ⅰ、Ⅱ间的距离呈周期性变化，最近为3R，最远为5R，则有
，
5
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可得
，
又根据两卫星从相距最远到相距最近有
其中
，根据开普勒第
三定律有
联立解得
，
，B 错误，C 正确；
D． 运动方向相同时卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近，有
解得
，D 错误。故选C。
8．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m
，它们围绕共同的圆心O 做匀速圆周运动。从地球A 看过去，双星运动的平面与AO 垂直，A、O
间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M 做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为
（单位是弧
度）。已知引力常量为G，
很小，可认为
，忽略其他星体对双星系统的作用力。则
（ ）
A．恒星m 的角速度大小为
B．恒星m 的轨道半径大小为
C．恒星m 的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m 和M 满足关系式
【答案】D
【详解】A．恒星m 与M 具有相同的角速度，则角速度为
选项A 错误；
B．恒星M 的轨道半径为
对恒星系统mω2r=Mω2R 解得恒星m 的轨道半径大小为
选项B 错误；
C．恒星m 的线速度大小为
选项C 错误；
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D．对恒星系统
=mω2r=Mω2R 解得GM=ω2r(r+R)2；Gm=ω2R(r+R)2相加得
联立可得
选项D 正确；故选D。
9．（2023·北京丰台·统考二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某
点做周期相同的匀速圆周运动。科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮
度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以
某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞
击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（ ）
A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大
B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大
C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小
D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变
【答案】C
【详解】A．被航天器撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，说明双星系统的运动周期变
小，故A 错误；
B．设两个小行星的质量分别为m1,m2,它们做圆周运动半径分别为r1，r2，设两个小行星中心连线的距离为
r,则
两小行星绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得
；
联立以上各式得
因为周期T 变小，说明两个小行星中心连线的距离r 变
小，故B 错误；
C．两个小行星中心连线的距离r 变小，引力做正功，引力势能减小，故C 正确；
D．小行星质量越大，惯性越大，其运动的速度不容易被改变，那其运动的轨道越不容易被改变，故D 错
误。故选C。
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）2022 年1 月28 日，国务院新闻办公室发布我国第五部航天白皮书
《2021 中国的航天》，白皮书中提到将继续实施月球探测工程，发射“嫦娥六号”探测器、完成月球极区
采样返回。若将地球和月球看做一个双星系统，二者间距离为L，它们绕着二者连线上的某点做匀速圆周
运动，运行周期为T；从漫长的宇宙演化来看，两者质量都不断减小，将导致月地间距离变大。若引力常
量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．当前月球和地球的动能相等
B．当前该双星系统的总质量为
C．在将来的演化过程中，该双星系统运转的周期将逐渐减小
D．在将来的演化过程中，该双星系统的总动能将逐渐增大
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【答案】B
【详解】A．设地球的质量为M，地球的轨道半径为
，月球的质量为m，轨道半径为
，故有
由于
联立得
；
故地球的动能为
月球的动能为
由于地球与月球的质量不同，故两者动能不同，A 项错误；
B．双星系统中，两天体之间的万有引力提供向心力，有
；
将轨道半径代入后
整理得
将
代入整理得
。B 项正确；
C．由
两天体质量减小，距离增大，故周期增大，C 项错误；
D．由于两天体距离增大，万有引力做负功，系统总动能减小，D 项错误；故选B。
11．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图所示，神舟十五号飞船A、空间站B 分别沿逆时针方向绕地球
的中心O 做匀速圆周运动，周期分别为T1、T2。在某时刻飞船和空间站相距最近，空间站B 离地面高度约
为400km。下列说法正确的是（ ）
A．飞船A 和空间站B 下一次相距最近需经过时间
B．飞船A 要与空间站B 对接，可以向其运动相反方向喷气
C．飞船A 与空间站B 对接后的周期大于地球同步卫星的周期
D．飞船A 与空间站B 绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
【答案】AB
【详解】A．设飞船A 和空间站B 下一次相距最近需经过时间为t，则有
解得
故A 正确；
B．飞船A 要与空间站B 对接，需点火加速，可以向其运动相反方向喷，故B 正确；
C．空间站B 离地面高度约为400km，根据开普勒第三定律可知飞船A 与空间站B 对接后的周期小于地球
同步卫星的周期，故C 错误；
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D．根据开普勒第三定律有
解得飞船A 与空间站B 绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
，
故D 错误；故选AB。
12．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，人造卫星
围绕地球做圆周运动，
和
与地球相切，
，
称为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相
同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为
和
，且
，甲、乙公转角速度分别为
和
，
万有引力常量为
。则以下说法正确的是（ ）
A．由题目所给条件，可以算出地球的质量
B．由题目所给条件，可以算出地球的密度
C．每隔时间
，两卫星可以恢复直接通信
D．每隔时间
，两卫星可以恢复直接通信
【答案】BD
【详解】AB．根据题意，由万有引力提供向心力有
由几何关系有
解得
由于不知道地球半径，也无法求出轨道半径，则无法求出地球质量，又有
联立解得
即地球的密度为
故A 错误，
B 正确；
CD．根据题述条件画出几何关系图，如图所示
9
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可知当甲进入弧
，则甲、乙无法直接通信，当甲的公转比乙多转
两者可恢复直接通信，
则有
解得
故C 错误，D 正确。故选BD。
13．（2023·河北·模拟预测）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的
冬季时间是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的
倍。火星和地球绕太阳的公转均
可视为在同一平面上的匀速圆周运动，且绕行方向相同。下列说法正确的是（ ）
A．火星与地球距离最近时火星相对于地球的速度最小
B．火星的运行轨道半径约为地球的
倍
C．火星与地球相邻两次距离最近的时间间隔约为
年
D．地球公转的线速度为火星公转线速度的
倍
【答案】AC
【详解】A．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在距离最近处火星和地球速度方向相同，相对速度
最小，故A 正确；
B．由题意可知，火星的公转周期约为地球公转周期
倍，根据
可得
由上
式知，火星的轨道半径不是地球轨道半径的
倍，故B 错误；
C．设两次相邻距离最近时间为t，则
解得
故C 正确；
D．根据
可得
结合B 选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，但不是
倍的关系，故D 错误。故选AC。
14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）某国际研究小组观测到一组双星系统，它们绕二者连线
上的某点做匀速圆周运动，科学家在地球上用望远镜观测到一个亮度周期性变化的光点，这是因为其中一
个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。现科学家用一航天器去撞击双星系统中的一颗小行星，撞击
后，科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短。若不考虑撞击引起的小行星质量变化，且撞击后该
双星系统仍能稳定运行，则被航天器撞击后（ ）
A．该双星系统的运动周期变大
B．两颗小行星做圆周运动的半径之比保持不变
C．两颗小行星中心连线的距离增大
D．两颗小行星的向心加速度均变大
【答案】BD
【详解】A．撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，可知双星系统的运动周期变小，故A
错误；
BC．双设双星之间的距离为L，星靠相互间的万有引力提供向心力，所以
10
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联立解得
，
则两颗小行星做圆周运动的半径之比保持不变，两个小行星中心连线的
距离减小，故B 正确，C 错误。
D．根据万有引力提供向心力有
两个小行星中心连线的距离减小，则两颗小行星的向心加
速度均变大，故D 正确；故选BD。
15．（2023·河南郑州·统考模拟预测）宇宙中存在一个由四颗星组成的系统，三颗质量均为m 的星球a、
b、c 恰好构成一个边长为L 的正三角形，在它们的中心O 处还有一颗质量也为m 的星球，如图所示。已知
引力常量为G，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，则下列说法正确的是（ ）
A．中心O 处的星球受到a、b、c 三颗星球总的万有引力为零
B．a、b、c 三颗星球的线速度大小均为
C．a、b、c 三颗星球的加速度大小均为
D．若某时刻中心O 处星球消失，则a、b、c 三颗星球仍将按原轨道运动且运动周期不变
【答案】AB
【详解】A．由万有引力公式可得
即正三角形顶点所在处的星球与中心点处的星球之间的万
有引力大小相等，而根据几何关系可知，顶点处的星球对中心点处星球的万有引力两两之间的夹角均为
，则根据力的矢量合成可知中心点处星球所受万有引力的合力为零，故A 正确；
BC．a、b、c 三颗星球所受万有引力大小相同，方向均指向中心点O，任选其中一颗星分析可知其所受万
有引力为
而由万有引力充当向心力有
解得
，
,
故B 正确，C 错误；
11
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D．若某时刻中心O 处星球消失，则a、b、c 三颗星球所受万有引力变成两两之间万有引力的合力，且指
向中心，有
显然万有引力变小了，若要在原来的轨道上继续做圆周运动，则
可知做圆周运动的线速度必须减小，而根据万有引力充当向心力，可得周期
显然
故D 错
误。
故选AB。
16．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好
运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外
行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称
地球
火星
木星
土星
天王
星
海王星
轨道半径
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ）
A．火星365 天
B．火星800 天
C．天王星365 天
D．天王星800 天
【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律有
解得
设相邻两次“冲日”时间间隔为，则
解得
由表格中的数据可得
；
故选B。
17．（2021·北京·高考真题）2021 年5 月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一
个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距
离火星表面2.8102 km、远火点距离火星表面5.9105 km，则“天问一号” （ ）
A．在近火点的加速度比远火点的小
B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小
D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律有
解得
故在近火点的加速度比远火点的大，故A 错误；
B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B 错误；
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C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C 错误；
D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D 正确。
故选D。
13
