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限时预测02（A 组+B 组+C 组）
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在△ABC 中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，且
角
为锐角.
(1)求角
的大小；
(2)若
，______，求△ABC 的周长.
从①△ABC 的面积为
，②
这两个条件中任选一个，补充在上面作答.
16．（15 分）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200 名学生，
统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
每周课外阅读时
长
频率
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
同时，对这200 名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一
般”两类，得到如下的
列联表：
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6 小时
50
每周课外阅读时长低于6 小时
80
合计
200
(1)根据已知条件补全
列联表，并依据小概率值
的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课
外阅读时长是否有关；
(2)从每周课外阅读时长在
和
的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随
机抽取2 人参加座谈，设
表示抽取的2 人中每周课外阅读时长在
的人数，求
的分布列和数学期
望．
附：
．
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
17．（15 分）如图，正方体
的棱长为2．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的正弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
18．（17 分）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若
有3 个不同的零点
．
（i）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）若
成等差数列，求该数列的公差
19．（17 分）设双曲线
的离心率为2，其左、右焦点分别是
，过
的直线与
双曲线
的右支交于点
．当
与
轴垂直时，
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)求
的最小值；
(3)记
的内切圆
与双曲线
的一个公共点为
，双曲线
的左顶点为
，证明：
．
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）等比数列
中，
且2，
，成等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）数列
满足
，求数列
的前
项和．
16．（15 分）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100 名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频
率分布直方图．
(1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前
的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生
本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
(2)从成绩位于区间
和
的答卷中，采用分层抽样随机抽取7 份，再从这7 份中随机抽取3 份，
设成绩在
的答卷份数为随机变量
，求
的分布列及数学期望．
17．（15 分）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
18．（17 分）若抛物线E 的顶点在原点，焦点在x 轴上，开口向左，抛物线上一点M 到其焦点的最小距离
为
，抛物线E 与直线
相交于A、B 两点．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)求证：
；
(3)若
，求实数k 的值．
19．（17 分）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：对任意
，都有
；
(3)证明：
，
.
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在△ABC 中，角
，
，
的对边分别是
，
，，已知
．
（1）求证：
，
，成等比数列；
（2）若
，试判断△ABC 的形状．
16．（15 分）在四棱锥
中，底面
是矩形且
，侧面
是正三角形且垂直
于底面
，
是
的中点，
为
的中点，求：
(1)异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)点
到平面
的距离；
(3)二面角
的余弦值．
17．（15 分）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若4 是
的极小值点，证明此时
的极大值小于零；
(3)若
在定义域内单调递增，求实数
的取值范围.
18．（17 分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数
（单位：个）和平均温度
（单位：
℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数
（个）和温度
的8 组观测数据，制成图1 所示的散点图．
现用两种模型①
，②
分别进行拟合．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24
2.9
646
179
422688
62.65
70308
表中
；
(1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由）
根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出
关于
的回归方程．
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到
以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其
他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到
以上的概率为
，该地今后
年恰好需要2 次人工防治的概率为
．
①求
取得最大值时对应的概率
；
②当
取最大值时，设该地今后5 年需要人工防治的次数为
，求
的均值和方差．
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
19．（17 分）已知
，点
是
上的任意一点，线段
的垂直平分线与直线
相交于点
，设点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)与
轴不重合的直线过点
，曲线
上存在两点
关于直线对称，且
的中点
的
横坐标为
．
①求
的值；
②若
均在
轴右侧，且直线过点
，求
的取值范围．
