文档文本内容
第 19 讲 导数的综合应用
1.利用图象研究函数零点个数时的注意点：
(1)对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数。
那么正确画出草图就是前提。画草图时，要注意：
1)通常先要用导数研究单调性、极值。
2)渐近线（实际上是极限问题），有渐近线的常见函数例如：反比例函数、指数函数、对数函数等
(2)对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数，
那么研究哪两个函数呢？
1)尽量转化为我们熟悉的基本函数（已经知道图象），
2)能分参的通过分参让其中的一个函数是常数函数，
3)不方便分参的，尽量将参数放在熟悉的基本函数上.
2.导数的综合应用题中，最常见的就是 和 与其他代数式结合的难题：
对于这类问题，可以先对 和 进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式
如下：
(1) ，当且仅当 时，取等号;
(2) ，当且仅当 时，取等号;
(3)当 时， ，当且仅当 时，取等号;
(4) ，当且仅当 时，取等号;
(5)当 时， ，当且仅当 时，取等号.
考点一 利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题
考点二 构造函数法解决导数问题
考点三 利用二次求导法解决导数问题考点一：利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题
例1．函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】A
【分析】求得函数 的导数，利用导数求得函数的单调性和极值，结合题意，列出不等式组 ，
即可求解.
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
要使得函数 有三个零点，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 则 在 上的
零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2023
【答案】B
【分析】先求导,分 和 两种情况进行讨论 的正负,进而判断 单调性,再判断正负,即可判断零点个数.
【详解】解:由题知
所以 ,
当 时,
当 时,
,
当 时， ， ；
当 时， ， ；
故 ，
综上， 在 上单调递增,
因为 ,
故函数 在 上有1个零点.
故选:B
考点二：构造函数法解决导数问题
例3．定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由已知得出 在 上单调递减，结合 进一步计算得到结果.【详解】设 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递
减.
因为 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，故不等式
的解集为 .
故选：B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 的导函数为 ，若 ，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导可得 的单调性，进而可求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在R上单调递减.
不等式 等价于不等式 ，
即 .因为 ，
所以 ，
所以 .因为 在R上单调递减，
所以 ，解得 .
故选:B考点三：利用二次求导法解决导数问题
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求证：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)根据求导公式和运算法则求出 ，令 、 ，解不等式即可；
(2)将原不等式变形为 ，设 ，
利用二次求导讨论 的单调性，根据零点的存在性定理讨论 的零点，进而求出 的极值即可.
（1）
的定义域为R， ，
当 时， ，则 在R上为增函数；
当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数．
（2）
由 及 ，得 ．
设 ，则 ．
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 是 的极小值点，也是 的最小值点，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 为 的极大值， 为 的极小值，
因为 ，所以当 时， （当且仅当 时取等号），
故当 时， ．
一、单选题
1．已知函数 ， ，，则函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】先求 时，函数 的零点，再根据 为偶函数，可得 时，函数 还有一个零点
，由此可得答案.
【详解】当 时， ，所以 不是函数 的零点，
因为 ，所以 ，所以 为偶函数，
当 时， ， ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时取得最大值 ，所以当 时， 有唯一零点 ，
又函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，所以 在 时，还有一个零点 ，
综上所述：函数 的零点个数为 .
故选：A
2．若函数 存在零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】函数 存在零点，即方程 有根，构造同构的形式，利用换元
法转化为 ，利用导数研究函数 的值域即可.
【详解】函数 存在零点，即方程 有根，
因为 ，所以方程 有根，
设 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
所以当 时，y有最小值1.
要使 有解，只需 .
故选：B.
3．函数的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为( )
A． B． C． D．【答案】A
【分析】构造函数 ，结合已知及导数与单调性关系即可求解．
【详解】令 ，
因为对任意 ， ，
所以 ，即 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，即不等式 的解集为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了利用单调性求解不等式，解题的关键是构造函数并利用导数知识求解单调性．
4．已知定义在非零实数集上的函数 满足： ，且 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数判断 的单调性，从而判断出正确答案.
【详解】令 ，则 ，
所以函数 是定义域上的减函数，
由于 ， ，
所以
所以 ，即 .
故选：A5．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，从而求得正确答案.
【详解】构造函数 ，
，
所以 在 上递增， ，
由于 ，
根据 的单调性解得 ，
所以 的解集 .
故选：D
6．已知函数 与函数 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构
造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.
【详解】因为函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，
所以 ，
即 有两解，所以 有两解，
令 ，
则 ，
所以当 时， 0，此时函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值， ，
且 时， 的值域为 ，
时， 的值域为 ，
因此 有两解时，实数 的取值范围为 ，
故选：C.
二、解答题
7．已知 ，函数 ， .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的减区间是 ，求a的值；
(3)若函数 在 上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可求得切线方程；（2）因为 ，且函数 的减区间是 可得 ；
（3）令 ，求导判断单调性，从而问题转化为 ，求解即可.
【详解】（1） ，
当 时， ，
，
在点 处的切线方程为 ，即
（2） 函数 的减区间是(-1，4)，
而
令 ，当 时， ， 单调递减， ，
当 时， ， 单调递减，不符合题意，
当 ， 无实数解，不符合题意,
故 .
（3） =
令 ，所以 ，
令 得 ，
当 时， ；当 时，
故 在 上递减；在 上递增
所以 ，即 ，
所以 ，实数 的取值范围是 .
8．已知函数 .
(1)求 的单调性；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不相等的零点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解单调区间，
（2）将问题转化成函数 的图象与函数 的图象在 上有两个不同的交点，利用导
数求解 的单调性，计算端点处的函数值即可求解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，所以 的单调递增区间为 ，
由 ，得 ，且 ，所以 的单调递减区间为
（2）关于 的方程 在 上有两个不相等的零点等价于函数 的图象与函数
的图象在 上有两个不同的交点，
由 ，得 ；由 ，得
所以当 时，函数 取得极大值，为
又 ， ， ，且所以实数 的取值范围为
9．设函数 是奇函数 的导函数， ，且对任意 都有 ．
(1)求 ；
(2)求解关于x的不等式 ．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质， ，直接求值；
（2）首先构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，并将不等式转化为 ，利用
函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为 是奇函数，所以 ；
（2）设 ，则 ， ，所以 在R上严格减，
由 得 ，即 ，
所以 ，得 ，得不等式的解集为 ．
10．已知函数 ， .
(1)判断函数 的单调性，并求其最值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为 ，无最小值.
(2)
【分析】（1）利用导数解决函数单调性问题并求最值.
（2）当 时，不合题意；当 时，通过构造新函数，证明 恒成立
得到结论.【详解】（1）对函数 求导可得： .
可知当 时， ， 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 的最大值为 ，无最小值.
（2）当 时， 恒成立.
当 时， 为二次函数，图像抛物线开口向下， ，使得 ，与
恒成立矛盾；
当 时， ，可知 恒成立
现证明 恒成立，即证： ，等价于证明 .
构造函数 ，求导可得： ，
设 ，则 ，
时， ， 时， ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增.
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， 恒成立， .
故可得：当 时， ， 时， ，
即可知 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，从而可得 ，即有 恒成立，所
以当 时， 恒成立
综上实数 的取值范围是 .
11．（2023·河南安阳·统考二模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 有两条过点 的切线，求实数m的取值范围；
(2)若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设切点坐标，对函数求导，写出切线方程将点 代入后根据已知条件建立不等式求解即
可；
（2）构造函数对函数求导，再由不等式恒成立等价出问题，利用函数导数的单调性进行分析求解即可.
【详解】（1）设切点坐标为 ．
因为 ，
所以切线方程为 ，
将 代入，可得 ．
因为曲线 有两条过点 的切线，
所以 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围是 ．
（2）设 ，则 ．
当 时， ， 单调递增，又 ,
因为当 时， ，
当 时， ，
所以 不恒成立．
当 时，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又当 且 时， ，当 时， ，
故 ，使得 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ．
因为 ，所以 ．
故
．
因为 ，所以只需 ．
设 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，所以 ，所以 ．
所以 ，故 ，
所以 ， ，所以 ，
故实数a的取值集合为 ．
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
