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第四章 三角函数与解三角形
§4.7 解三角形中的最值与范围问题
【高考考向预测】
近三年高考解三角形最值与范围问题考查频次极高，多作为选填压轴及解答题拔高小问出现，
常结合正余弦定理、边角互化、均值不等式、三角函数有界性求解边长、周长、面积、角及代数
式取值范围，灵活融合换元与函数思想；2027 年依旧是热门重难点，命题更侧重隐藏约束条件、
多变量联动范围探究，增多结合平面几何与向量的综合题型，强化角范围优先判定，弱化套路解
法，侧重考查等价转化、临界分析以及利用三角恒等变换结合函数性质精准求解的综合能力。
重点解读 解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范
围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、
三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立角与边的数量关系.
【题型突破●明方向】
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
例1 (2025·保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(acos B+bcos A)=c，
π
B= .
3
(1)求b的值；
(2)求△ABC面积的最大值；
(3)求△ABC周长的取值范围.
【跟踪训练】1 (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=60°，
∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=❑√3，则下列说法正确的是( )
A.ac的最小值是4
B.ac的最大值是4
C.a+3c的最小值是3+2❑√3D.a+3c的最小值是4+2❑√3
题型二 转化为三角函数求最值(范围)
A+C
例2 (2025·哈尔滨模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin =bsin A.
2
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，b=❑√3，求2a-c的取值范围.
【跟踪训练】2 (2026·杭州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是
△ABC外一点，若a=b，且❑√3(acos C+ccos A)=2bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若DA=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值.
题型三 转化为其他函数求最值(范围)
sin A c−b
例3 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 = .
sinB+sinC b
π
(1)若C= ，求B；
2a+c
(2)求 的取值范围.
b
【跟踪训练】3 (2025·葫芦岛模拟)在△ABC中，若C=2A，则sin B+sin A的最大值是 .
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，则A的最大值为( )
2π π π π
A. B. C. D.
3 6 2 3
π
2.(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2❑√2，B= 的三角
4
形有两个，则b的取值范围为( )
A.(0，2❑√2) B.(2❑√2，4)
C.(2，4) D.(2，2❑√2)
π
3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A= ，则b的取值范围是( )
3
A.(0，2❑√3) B.(❑√3，2❑√3)
C.(❑√3，3) D.(❑√6，3)
cosA sinB a2+b2
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ，则 的最小值为( )
1+sinA cosB c2
2
A.1 B.
3
C.4❑√2-5 D.2❑√2-2
二、多项选择题(共6分)
5.(2025·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=❑√3，且2c-b=2acos B，则下
列结论正确的是( )π
A.A=
6
B.△ABC外接圆的面积为π
3❑√3
C.△ABC面积的最大值为
4
D.△ABC周长的最大值为3❑√3
三、填空题(共5分)
6.(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则B+C的取值范围
是 .
四、解答题(共29分)
7.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B-bcos A-a+c=0.
(1)求B的值；(6分)
(2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.(8分)
atanC
8.(15分)(2025·深圳模拟)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin B= .
1+tanC
(1)求B；(6分)
(2)若b=❑√2，求△ABC面积的取值范围.(9分)
