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§4.9 解三角形中的最值与范围问题
重点解读 解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，
或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、
基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
a √3b
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 = .
cosA sinB
(1)求角A；
(2)若a=2，求：
①△ABC面积的最大值；
②△ABC周长的取值范围.
a √3b
解 (1)由 = ，
cosA sinB
a b
结合正弦定理 = ，
sinA sinB
sin A √3sinB
得 = =√3，
cosA sinB
∴tan A=√3，
π
又∵A∈(0，π)，∴A= .
3
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得4=b2+c2-bc.
①4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
即bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，
1 1 √3
∴S = bcsin A≤ ×4× =√3，
△ABC 2 2 2
即当b=c=2时，△ABC面积的最大值为√3.
②∵4=b2+c2-bc，
∴4=(b+c)2-3bc，
(b+c) 2
∴(b+c)2-4=3bc≤3· ，
2
即(b+c)2≤16，
∴b+c≤4，
当且仅当b=c=2时等号成立，又b+c>a=2，
∴2<b+c≤4，
∴4<a+b+c≤6，
∴△ABC周长的取值范围是(4，6].
思维升华 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，即可得到
“b2+c2”与“bc”的等量关系.
1
(1)求面积最值时，S= bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2+c2≥2bc，即可求得bc的最
2
值.
(2)求周长a+b+c的最值时，即求b+c的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2-2bc，再利用基本不等式
(b+c) 2
bc≤ ，即可求得b+c的最值.
2
跟踪训练1 (2024·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B-bcos
A-a+c=0.
(1)求B的值；
(2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.
解 (1)由正弦定理及acos B-bcos A-a+c=0，
得sin Acos B-sin Bcos A-sin A+sin C=0，
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，
∴2sin Acos B-sin A=0，
又A∈(0，π)，∴sin A≠0，
1
∴2cos B-1=0，即cos B= ，
2
π
又B∈(0，π)，∴B= .
3
1 1
(2)由M为AC的中点，得⃗BM= ⃗BA+ ⃗BC，而a+c=4，
2 2
∴⃗BM2= (1 ⃗BA+ 1 ⃗BC ) 2
2 2
1 1 1
= ⃗BA2 + ⃗BC2 + ⃗BA·⃗BC
4 4 2
1 1 1
= c2+ a2+ accos∠ABC
4 4 2
1
= [(a+c)2-ac]
41 1 1(a+c) 2
= (16-ac)=4- ac≥4- =3，
4 4 4 2
{ a=c，
当且仅当 即a=c=2时等号成立，
a+c=4，
∴BM的最小值为√3.
题型二 转化为三角函数求最值(范围)
例2 已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin A=√3(c-acos B).
(1)求A的大小；
(2)若a=6，求b+c的取值范围.
解 (1)方法一 ∵bsin A=√3(c-acos B)，
a2+c2-b2
∴由余弦定理，得bsin A=√3c-√3a· ，
2ac
∴2bcsin A=√3(b2+c2-a2)=√3×2bccos A，
又bc≠0，∴tan A=√3，
π
∵0<A<π，∴A= .
3
方法二 ∵bsin A=√3(c-acos B)，
∴由正弦定理得sin Bsin A=√3sin C-√3sin Acos B，
又C=π-(A+B)，
∴sin Bsin A=√3sin(A+B)-√3sin Acos B
=√3sin Acos B+√3cos Asin B-√3sin Acos B=√3cos Asin B，
又sin B≠0，∴tan A=√3，
π
∵0<A<π，∴A= .
3
6
a c b
(2)因为 = = =√3=4√3，
sin A sinC sinB
2
所以b=4√3sin B，c=4√3sin C，
2π
又A+B+C=π，所以C= -B，
3
所以b+c=4√3sin B+4√3sin C
[ (2π )]
=4√3 sinB+sin -B
3
( 2π 2π)
=4√3 sinB+cosBsin -sinBcos
3 3(3 √3 )
=4√3 sinB+ cosB
2 2
( π)
=12sin B+ ，
6
π 2π
因为△ABC为锐角三角形，且A= ，C= -B，
3 3
π
{ 0<B< ，
2
所以
2π π
0< -B< ，
3 2
π π
解得 <B< ，
6 2
π π 2π
则 <B+ < ，
3 6 3
√3 ( π)
所以 <sin B+ ≤1，
2 6
π
当且仅当B= 时，等号成立，
3
可得b+c的取值范围是(6√3，12].
思维升华 利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、
单调性，再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、
三角形内角和为π等.
跟踪训练2 (2024·菏泽模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
bsin2B+csin2C=(b+c)sin2A.
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求边长b的取值范围.
解 (1)因为bsin2B+csin2C=(b+c)sin2A，
由正弦定理可得b3+c3=(b+c)·a2，
即(b2+c2-bc)(b+c)=(b+c)·a2，
因为b+c>0，所以b2+c2-bc=a2，
b2+c2-a2 1
所以cos A= = ，
2bc 2
π
因为A∈(0，π)，所以A= ，
3
π
(2)因为△ABC为锐角三角形，且A= ，
32π
所以B+C= ，
3
π
{ 0<C< ，
2
所以
2π π
0< -C< ，
3 2
π π
解得 <C< ，
6 2
b c
又c=2，由正弦定理 = ，
sinB sinC
(2π )
2sinB 2sin -C
所以b= = 3
sinC
sinC
( 2π 2π )
2 sin cosC-cos sinC
= 3 3
sinC
sinC+√3cosC √3
= =1+ ，
sinC tanC
π π
因为 <C< ，
6 2
√3
所以tan C> ，
3
1
所以0< <√3，
tanC
√3
所以1<1+ <4，
tanC
即边长b的取值范围为(1，4).
课时精练
(分值：70分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
π
1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B= ，a=4，且三角形有两解，则b的取值范围
3
是( )
A.(2√3，+∞) B.(2√3，4)
C.(0，4) D.(4，3√3)
答案 B解析 由题意，△ABC有两解需满足asin B<b<a，即2√3<b<4.
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，则A的最大值为( )
2π π π π
A. B. C. D.
3 6 2 3
答案 D
解析 依题意b+c=2a.
b2+c2-a2 b2+c2-
(b+c) 2
则cos A= = 2
2bc
2bc
3(b2+c2 )-2bc 3×2bc-2bc 1
= ≥ = ，
8bc 8bc 2
当且仅当b=c时，等号成立，
π
又A∈(0，π)，所以A的最大值为 .
3
π
3.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，A= ，则b的取值范围是( )
6
A.(0，6) B.(0，2√3)
C.(√3，2√3) D.(3√3，6)
答案 D
π
解析 在锐角△ABC中，a=3，A= ，
6
3
a b
由正弦定理可得 = =1=6，
sinA sinB
2
所以b=6sin B，
5π
又C= -B，
6
π
{ 0<B< ，
2
所以
5π π
0< -B< ，
6 2
π π
解得 <B< ，
3 2
√3
所以 <sin B<1，所以b的取值范围是(3√3，6).
2
b
4.(2024·泰州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=60°，B>90°，则 的取值范围为(
a
)(1 )
A. ，+∞ B.(√3，+∞)
2
C.(2，+∞) D.(3，+∞)
答案 C
√3 1 b sinB
解析 因为C=60°，B>90°，所以0°<A<30°，0<tan A< ，即得 >√3，由正弦定理可得 = =
3 tan A a sin A
1 √3
sin(A+C) sin A+ cosA 1 √3 1
=2 2 = + × >2.
sin A 2 2 tanA
sin A
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+sin
C)，c=√3，则( )
π
A.C=
6
( 3√3]
B.△ABC面积的取值范围为 0，
4
C.△ABC周长的最大值为3√3
(1 ]
D.cos A+cos B的取值范围是 ，1
2
答案 BCD
解析 由正弦定理可得a(a-b)=(c-b)(b+c)，
整理得a2+b2-c2=ab，
a2+b2-c2 1
所以cos C= = ，
2ab 2
π
又0<C<π，所以C= ，故A错误；
3
对于B，由a2+b2-c2=ab可得a2+b2=ab+3≥2ab ab≤3，当且仅当a=b时取等号，
1 1 √3 3√3
⇒
所以0<S = absin C≤ ×3× = ，
△ABC 2 2 2 4
( 3√3]
故△ABC面积的取值范围为 0， ，B正确；
4
(a+b) 2 (a+b) 2
对于C，由a2+b2-c2=ab得(a+b)2-3=3ab≤3 ≤3 a+b≤2√3，
2 4
⇒ ⇒
当且仅当a=b时取等号，a+b+c≤3√3，所以△ABC周长的最大值为3√3，故C正确；
(2π ) 1 √3 ( π)
对于D，cos A+cos B=cos A+cos -A = cos A+ sin A=sin A+ ，
3 2 2 6( 2π) π (π 5π)
又因为A∈ 0， ，所以A+ ∈ ， ，
3 6 6 6
( π) (1 ]
所以sin A+ ∈ ，1 ，
6 2
(1 ]
故cos A+cos B的取值范围是 ，1 ，故D正确.
2
6.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，AD是角A的平分线，则AD的长度可能为( )
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
答案 ABC
解析 令∠BAC=2θ，
( π)
∴∠BAD=∠CAD=θ，θ∈ 0， ，
2
S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
1 1 1
∴ ×2×3sin 2θ= ×2×AD·sin θ+ ×3×AD·sin θ，
2 2 2
∴5ADsin θ=6sin 2θ=12sin θcos θ，
( π)
又θ∈ 0， ，∴sin θ≠0，cos θ∈(0，1)，
2
12 ( 12)
∴AD= cos θ的取值范围为 0， .
5 5
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，则最大边c的取值范围是
.
答案 (√5，3)
解析 因为△ABC是钝角三角形，a=1，b=2，且c是最大边，
a2+b2-c2
由余弦定理可得cos C= <0，
2ab
于是可得c2>a2+b2=5，且c>0，解得c>√5，
又c<a+b=3，所以边c的取值范围是(√5，3).
8.(2024·九江模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin A=2sin Bcos C，a=1，则角
A的最大值是 .
π
答案
6
解析 ∵3sin A=2sin Bcos C，
由正弦定理得3a=2bcos C，①a2+b2-c2
由余弦定理的推论得cos C= ，②
2ab
①②联立可得b2-c2=2a2，
b2+c2-a2
而cos A= ，
2bc
1 3
b2+ c2
1(b 3c) √3
消去a2可得cos A=2 2 = + ≥ ，
4 c b 2
2bc
当且仅当b=√3c时取等号.
∵y=cos x在(0，π)上单调递减，
π
∴A = .
max 6
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·朔州模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a+b，c)，n=(sin A-
sin C，sin A-sin B)，且m∥n.
(1)求B；(6分)
b2
(2)求 的最小值.(7分)
a2+c2
解 (1)因为m∥n，
所以(a+b)(sin A-sin B)=c(sin A-sin C)，
由正弦定理可得(a+b)(a-b)=c(a-c)，
即a2-b2=ac-c2，
故a2+c2-b2=ac，
a2+c2-b2 1
所以cos B= = ，
2ac 2
π
而B为三角形内角，故B= .
3
(2)结合(1)可得
b2 a2+c2-ac ac
= =1- ，
a2+c2 a2+c2 a2+c2
ac ac 1 1
1- ≥1- =1- = ，当且仅当a=c时等号成立，
a2+c2 2ac 2 2
b2 1
故 的最小值为 .
a2+c2 2
10.(15分)(2024·固原模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2sin Bsin C+cos
2C=1+cos 2A-cos 2B.(1)求A；(6分)
c-b
(2)求 的取值范围.(9分)
a
解 (1)因为2sin Bsin C+cos 2C=1+cos 2A-cos 2B，
所以2sin Bsin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，
则sin Bsin C-sin2C=-sin2A+sin2B，
由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，
即bc=b2+c2-a2，
b2+c2-a2 bc 1
所以cos A= = = ，
2bc 2bc 2
( π)
又A∈ 0， ，
2
π
故A= .
3
c-b sinC-sinB
(2)由正弦定理得 =
a sinA
2 [ (2π )]
= sinC-sin -C
√3 3
2 (1 √3 )
= sinC- cosC
√3 2 2
2 ( π)
= sin C- ，
√3 3
π
{ 0<C< ，
2
又在锐角△ABC中，有
π π
0<π- -C< ，
3 2
π π
解得 <C< ，
6 2
π π π
所以- <C- < ，
6 3 6
1 ( π) 1
则- <sin C- < ，
2 3 2
√3 2 ( π) √3
所以- < sin C- < ，
3 √3 3 3
c-b ( √3 √3)
故 的取值范围为 - ， .
a 3 3
