空间向量与立体几何：最值与范围问题、交线截面与轨迹问题、立体几何新定义问题
专项训练
考点目录
最值与范围问题
交线、截面与轨迹问题
立体几何新定义问题
1．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥P
ABCD
-
底面边长与侧棱长均为2,O 为空间任一点，且满足
0
OA OB
×
=
uuur uuur
，则
线段OP 长度的取值范围为（ ）
A．
2,
2
1
é
ù
+
ë
û
B．
3, 3
1
é
ù
+
ë
û
C．
3
1, 3
1
é
ù
-
+
ë
û
D．
2
1,
2
1
é
ù
-
+
ë
û
2．（24-25 高二上·河南周口·期末）在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2
2,
AA
AB
P
=
=
为棱
1
BB 上的动点（不包含端
点），则
1
AC 与
1
D P 所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A．
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
2
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
1
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
4
0, 9
æ
ö
ç
÷
è
ø
3．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，且
1
1
60
BAA
DAA
Ð
= Ð
=
° ，
AB
AD
^
，若
1
3
AC = ，则棱
1
AA 的最大值为（ ）
A．2
B．2 2
C．3
D．3 2
4．（24-25 高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面a 的一个法向量为
,1,2
a
x
x
=
-
r
，直线l 的一个方向向量为
0,11,0
b =
r
，则直线l 与平面a 所成角的正弦值的最大值为
．
考点一
最值与范围问题
5．（24-25 高二下·上海·期中）如图，在棱长为4 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，E 为BC 的中点，点P 为线段
1
D E
上一动点，则异面直线
1
C P 与AD 所成角的余弦值最大值为 ．
6．（24-25 高二上·安徽阜阳·期中）已知正四棱锥S
ABCD
-
底面边长为2，高为1，动点P 在平面ABCD 内且满足
2
2
2
2
12
PA
PB
PC
PD
+
+
+
=
uuur
uuur
uuur
uuur
，则直线AP 与SC 所成角的余弦值的取值范围为
．
7．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
AC
^
，
1
2
2
AA
AB
AC
=
=
，
1
BP
BB
l
=
uuur
uuur
.
(1)当
1
2
l =
时，证明：平面PAC ^ 平面
1
PAC ；
(2)当
0,1
l Î
，记平面PAC 与平面BAC ，平面
1
1
ABB A ，平面
1
1
ACC A ，平面
1
1
BCC B 所成的角分别为
1
，
2
，
3
，
4
，
1
2
3
4
=
+
+
+
，求cos的取值范围.
8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，O 为BC 边的中点，点D，E 分别在AB ，AC 上，将
ACO
△
绕直线AO 旋转α 到AON
V
的位置，点E 对应点M，DE 交AO 于点F，点P 在线段NC 上，连接EP ，
FP ，MO ．已知
0,π
a Î
，
1
3
DE
BC
=
uuur
uuur
，
2
PC
NP
=
uuur
uuur
．
(1)证明：
//
EP
平面AON ；
(2)若AO
BC
=
，求OM 与平面EFP 所成角的正弦值的取值范围．
9．（2025·甘肃白银·三模）已知四边形MBEA 为矩形，四边形AECD 为直角梯形，
,
AE
AD AD
^
∥
,
3,
6
EC MA
AD
EC
=
=
=
，二面角B
AE
C
-
-
的大小为．
(1)若
π ,
3 P
=
为CD 的中点．
①求点P 到平面MBEA 的距离；
②若
3
AE =
，求平面BEP 与平面BAD 夹角的余弦值．
(2)若
π ,
3
2 AE
=
=
，点N 为线段EC 的中点，将DCN
V
沿DN 折起，使得DCN
V
与四边形MBEA 在平面AEND 的同
侧，且平面DCN ∥平面MBEA ，点F 为四面体MECD 的内切球球面上的一动点，求
1
3
FD
FC
+
的最小值．
10．（24-25 高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，E
F
、
分别为
1
BD
CC
、
的中
点，点G 是平面
1
1
ADD A 上的点.
(1)若点G 是
1
AD 的中点，证明：GF
uuur 与AB
uuur 、AD
uuur 共面；
(2)求平面ADG 与平面BDF 所成的锐二面角的大小；
(3)若点G 满足
1
,
0,1
DG
DA
DD
l
l
=
+
Î
，且点G 到平面BDF 的距离为
6
3
，试确定点G 的位置，使得GE 与
平面BDF 所成的角取得最大值.
11．（25-26 高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD 中，AD
CD
^
，AD
CD
=
，
ADB
CDB
Ð
= Ð
，E 为
AC 的中点.
(1)证明：平面BED ^平面ACD ；
(2)设
2
AB
BD
=
=
，
60
ACB
Ð
=
°，点F 在线段BD 上，
（i）求二面角D
AB
C
-
-
的余弦值；
（ii）记CF 与平面ABD 所成角为a ，求sina 的最大值.
12．（2025·贵州·三模）三棱锥A
BCD
-
中，
ABC
V
是正三角形，BC
AD
^
.
(1)证明：BD
CD
=
；
(2)已知
2
AB =
，E 为线段BC 中点.
（ⅰ）若P 是平面ADE 内一点，
3
2
AP =
，求线段CP 长的最小值；
（ⅱ）若
3
AD =
，
2
BD = ，l 是平面ADE 内一条直线，求l 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围.
13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四棱锥P
ABCD
-
的底面为矩形，
2
2 2
BC
AB
=
=
，
PBC
△
是等边
三角形，平面PBC ^ 平面ABCD ，O，F 分别是BC ，PC 的中点，AC 与BD 交于点E，平面OEF 与直线PD 交于
点Q.
(1)证明：BD ^ 平面PAO ；
(2)求OQ 与平面PEF 所成角的正弦值；
(3)设S 为平行四边形EOFQ 内部一点.
（ⅰ）求
SBP
△
的面积的取值范围.
（ⅱ）当BS BD
×
uuur uuur
取得最小值时，求二面角S
BF
Q
-
-
的正弦值.
14．（2025·安徽·一模）如图，在五面体ABCDFE 中，菱形ABCD 的边长为2 ，
10
EA
EB
FC
FD
=
=
=
=
，
EF
BC
>
.
(1)证明：
/ /
BC
EF 且AB
BC
^
.
(2)求五面体ABCDFE 体积的最大值.
(3)当五面体ABCDFE 的体积最大时，求平面ABE 与平面BCFE 夹角的余弦值.
1．（25-26 高二上·河北张家口·开学考试）如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
6
AB
BC
=
=
，
1
3
AA =
，点,
P Q 分
别为BC ，
1
1
C D 的中点，点M 为长方形
1
1
ADD A 内一动点（含边界），若直线
/ /
QM
平面
1
APC ，则点M 的轨迹长
度为（ ）
A．
6
B．2 2
C．2 3
D．3 2
2．（25-26 高二上·黑龙江·开学考试）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为2，P 为正方体内一点，若AP
CP
=
，
1
3
A P =
，则点P 的轨迹长度为（ ）
A．π
B．
2π
C．2π
D．2 2π
3．（2025·湖北·二模）在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2,
1
AB
BC
BB
=
=
= ，点M 是平面
1
1
B CDA 内的动点，且
MA
MC
^
，则MC 的最大值为（ ）
A．2 5
5
B．3 5
5
C．4 5
5
D．6 5
5
4．（25-26 高三上·广东阳江·阶段练习）在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2
2
AA
AB
=
=
，E 为棱
1
CC 的中点，点
M 为侧面
1
1
BCC B 内一动点，且
1
/ /
A M
平面
1
AED ，则线段
1A M 的长度的最小值为（ ）
A．1
B．6
5
C．3 3
5
D．
30
5
考点二
交线、截面与轨迹问题
5．（24-25 高一下·福建宁德·期末·多选）如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，P 为棱
1
BB 的中点，Q 为
正方形
1
1
BCC B 内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ）
A．直线DP 与
1
AA 所成角的正切值为2 2
B．用平面
1A DP 截该正方体，所得截面周长为
5
2
+
C．若
1 //
D Q 平面
1A DP ，则
1
D Q 长度的取值范围为3 2
5
,
4
2
é
ù
ê
ú
ë
û
D．若
1
6
2
D Q =
，则动点Q 的轨迹长度为
2 π
4
6．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为2，P 为平面ABCD 内一点，
点M，N，Q 分别是棱
1
1
1
1
,
,
C D CC AA 的中点，下列说法正确的是（ ）
A．平面MNQ 与正方体各面的交线围成的是正六边形
B．直线PM 与直线QN 是异面直线
C．当P 在四边形ABCD 内部（含边界）时，三棱锥P-MNQ 体积的最大值为1
D．若P 到棱CD，
1
1
AD 距离相等的点，则点P 的轨迹是双曲线
7．（25-26 高三上·贵州贵阳·开学考试·多选）如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面
1
1
1
1
D
C
B
A
内
（含边界）有一动点E ，下列说法正确的有（ ）
A．若平面ADE I平面BCE
l
= ，则
//
AD l
B．若异面直线CE 与AB 所成角为，则cos的取值范围是
3
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û
C．当
2
CE =
时，点E 的轨迹长度为π
2
D．四棱锥E
ABCD
-
外接球的表面积最小值为9 π
4
8．（25-26 高三上·安徽·开学考试·多选）在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，点E 在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
内运动
（含边界）且AE ∥平面
1
BC D，则（ ）
A．点E 的轨迹长度大小为2 2
B．三棱锥
1
B
C DE
-
的体积始终不变
C．异面直线AE 与
1
BC 所成角的大小可能为π
2
D．当异面直线AE 与
1
BC 所成角最大时，四面体
1
ABC E 的外接球的表面积为12π
9．（24-25 高一下·辽宁大连·期末·多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
，AB
a
=
，且直线AP 与直线
1
CC 夹角为j ，
则下列说法正确的是（ ）
A．若点P 在棱
1
CC 上，且tan
2 2
j =
，则
1
PC
a
=
B．若
π
6
j =
，且点P 在面
1
1
1
1
D
C
B
A
上，则点P 的轨迹长度为
3 π
6
a
C．P 是
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
面上的动点，
1
DP
AC
^
，则P 的轨迹图形面积是
2
3
2 a
D．点P 为截面
1
1
AC B 上的动点，
1
DP
AC
^
，则点P 的轨迹长度是
2a
10．（2024·黑龙江哈尔滨·一模·多选）如图，已知正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
是由一个平面截棱长为6 的正四面体所
得，其中
1
2
AA =
，以点A 为球心，2 7 为半径的球面与侧面
1
1
BCC B 的交线为曲线, P
G
为G 上一点，则下列结论中
正确的是（ ）
A．点A 到平面
1
1
BCC B 的距离为2 6
B．曲线G 的长度为4π
C．CP 的最小值为2 3
2
-
D．所有线段AP 所形成的曲面的面积为4 7π
3
11．（2025·山西临汾·一模·多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为3，M 在棱
1
CC 上，且满足
1
1
3
CC
MC
=
uuuur
uuuur
，
动点P 在
1
BDC
V
内（包括边界）移动，动点E 在正方体内（包括边界）移动，且
1
π
4
DD E
Ð
=
，则（ ）
A．PC
PM
+
的最小值为2 3
B．动点E 在面ABCD 内运动轨迹的长度为3 π
2
C．动点E 的轨迹与动点P 的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体
1
1
D
AB C
-
的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
12．（24-25 高二下·湖南·阶段练习·多选）如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2
AA =
，
1
AB = ，E ，F 分别
为
1
1
A B ，CD 的中点，M 是侧面
1
1
ADD A 上一动点（含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若满足
2
MA
MD
=
，则点M 的轨迹为圆的一部分
B．若
1
1
MA F
EA F
Ð
= Ð
，则点M 的轨迹为抛物线的一部分
C．以点D 为圆心，
3 为半径的球与正四棱柱的侧面
1
1
BB C C 的交线长度为
2 π
2
D．以EF 为直径的球面与正四棱柱的侧面
1
1
BB C C 的交线长度为
2 π
2
13．（25-26 高三上·广东肇庆·阶段练习）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为1，动点P 在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
表面上运动，且PA
r
=
0
3
r
<
<
，记点P 的轨迹长度为
f r ，则
2
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
.
14．（25-26 高二上·河北邢台·开学考试）若正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面棱长为4，侧棱长为3，且M 为棱
1
AA 上靠近点A 的三等分点，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动，且满足MP 与底面ABCD 的所成角
π
3
=
，则点P 形成的轨迹长度为 ．
15．（24-25 高一下·安徽宣城·期末）如图，四边形ABCD 是边长为2 的正方形，
4
PA =
，平面PAB ^平面ABCD ，
平面PAD ^平面ABCD .
(1)求证：PA ^平面ABCD ；
(2)求二面角A
PD
B
-
-
的余弦值；
(3)点M 在正方形ABCD 内（包括边界），若平面PAM ^平面PDM ，且
π π
,
4 3
ADM
é
ù
Ð
Îê
ú
ë
û ，求点M 的轨迹长度.
16．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知四棱锥P
ABCD
-
，PD ^ 底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2 的正方
形，PD
AB
=
，E 为PA 的中点，点Q 为三角形PBC 内（包括边界）的一个动点，且EQ
BC
^
.
(1)求点Q 的轨迹长度；
(2)当二面角Q
AD
B
-
-
正弦值大小为10
10
时，求AQ 与平面PBC 所成角的正弦值.
17．（25-26 高三上·广东·开学考试）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，D 是BC 的中点，
,
4,
AB
AC BC
PC
=
=
^ 底面
ABC ．
(1)证明：AD ^ 平面PBC ；
(2)若点E 为PCB
V
内（包含边界）一点，且AE
CE
^
，求点E 的轨迹的长度；
(3)若AB
AC
^
，二面角C
AP
D
-
-
的大小为60o，求AC 与平面ADP 所成角的正弦值．
18．（2025·广东揭阳·三模）如图，三棱锥A
BCD
-
中，点B 在平面ACD 的射影H 恰在CD 上，M 为HC 中点，
π
6
BAH
Ð
=
，
2
AB =
，
1
ABM
ABD
S
S
=
=
△
△
.
(1)若CD ^ 平面BAH ，证明：M 是CD 的三等分点；
(2)记D 的轨迹为曲线W ，判断W 是什么曲线，并说明理由；
(3)求CD 的最小值.
1．（25-26 高二上·云南·开学考试）在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角
四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体ABCD 中存在“完美顶点” A ，
2
AB =
，
3
AC =
，
6
AD =
，F
为AD 的中点，则CF 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A．
3
6
B．
5
6
C．3 5
10
D．2 2
5
2．（2025·云南曲靖·二模）公元前300 年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正
六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5 种正多面体.公元前200 年，阿基米德把这5 种正多面体进行截
角操作（即切掉每个顶点），发现了5 种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相
同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2 所示的足球截面体的棱数为（ ）
A．60
B．90
C．120
D．180
3．（2025·河北保定·二模）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：
多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每
个顶点均有3 个面角，每个面角均为π
3 ，则其各个顶点的曲率均为
π
2π
3
π
3
- ´
=
．若正四棱锥S
ABCD
-
的侧面与
底面的夹角的正切值为2 ，则四棱锥S
ABCD
-
在顶点S 处的曲率为（ ）
A．2
p
B．p
C．3
4
p
D．2
3
p
4．（24-25 高一下·山东德州·期末）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲
性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正
四面体每个顶点均有3 个面角，每个面角均为π
3 ，则其各个顶点的曲率均为
π
2π
3
π
3
- ´
=
.若正四棱锥S
ABCD
-
的
侧面与底面的夹角的正切值为2 ，则四棱锥S
ABCD
-
在顶点A 处的曲率为（ ）
A．π
3
B．π
C．3π
4
D．5π
6
考点三
立体几何新定义问题
5．（24-25 高一下·湖北荆门·期末·多选）阅读数学材料：“设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的
离散曲率为
1
2
2
3
1
1
1
1
2π
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
-
-
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
L
，其中
1,2,
, ,
3
i
Q i
k k
=
L
≥
为多面体M 的所有与
点P 相邻的顶点，且平面
1
2
Q PQ ，平面
2
3,
Q PQ L，平面
1
k
k
Q
PQ
-
和平面
1
k
Q PQ 为多而体M 的所有以P 为公共点的
面.”解答问题：已知在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 为菱形，
1
AA
AB
=
，则（ ）
A．直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
是正方体，则直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
在顶点A 处的离散曲率为1
3
B．若AC
BD
=
，则三棱锥
1A
BCD
-
在顶点B 处的离散曲率为11
24
C．若四面体
1A ABD 在点
1A 处的离散曲率为7
12 ，则
1
AC ^ 平面
1ABD
D．若直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
在顶点A 处的离散曲率为1
3 ，则
1
BC 与平面
1
ACC 所成角的正切值为
7
7
6．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习·多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都
可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关
系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则
2
V
E
F
-
+
=
．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是
（ ）
注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体
A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥
B．存在7 条棱的多面体
C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同
D．若某凸多面体每个面都是边长为1 的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均
相同，则面数的所有可能取值为6，7，12
7．（24-25 高一下·四川遂宁·期末）世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球
心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a ，则勒
洛四面体能够容纳的最大球的半径为
．
8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）设正四面体的四个顶点到平面a 的距离所构成的集合为A ，若A 中元素的个数为
k ，则称a 为正四面体的k 阶等距平面，A 为正四面体的k 阶等距集.如果a 为正四面体的1 阶等距平面且1 阶等距
集为
m ，则符合条件的平面a 有 个；若正四面体的棱长为
6 ，则m 的所有可能取值构成的集合为 .
9．（24-25 高二上·辽宁·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多
面体M 在点P 处的离散曲率为
1
2
2
3
1
1
1
1
2π
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
j
-
= -
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
L
，其中
(
1,2,
, ,
3)
i
Q i
k k
=
³
L
为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面
1
2
Q PQ ，平面
2
3
Q PQ ，…，平面
1
k
k
Q
PQ
-
和平面
1
k
Q PQ 为多面体M 的所有以P 为公共点的面．已知三棱锥P
ABC
-
如图所示．
(1)求三棱锥P
ABC
-
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若PA ^平面ABC，AC
BC
^
，
4
AC
BC
=
=
，三棱锥P
ABC
-
在顶点C 处的离散曲率为3
8 ，求点A 到平面
PBC 的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q 在棱PB 上，直线CQ 与平面ABC 所成角的余弦值为
30
6
，求BQ 的长度．
10．（24-25 高一下·河北承德·阶段练习）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体M 的一个顶点，
定义多面体M 在点P 处的离散曲率为
1
2
2
3
1
1
1
1
2
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
j
p
-
= -
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+Ð
L
，其中
1,2,
, ,
3
i
Q i
k k
=
³
L
为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面
1
2
Q PQ ，平面
2
3,
Q PQ L，平面
1
k
k
Q
PQ
-
和平面
1
k
Q PQ 为多面体M 的所有以P 为公共点的面．已知三棱锥P
ABC
-
如图所示．
(1)求三棱锥P
ABC
-
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若PA ^平面ABC ，AC
BC
^
，
8
AC
BC
=
=
，三棱锥P
ABC
-
在顶点C 处的离散曲率为3
8 ，求点A 到平面
PBC 的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q 在棱PB 上，直线CQ 与平面ABC 所成角的余弦值为
30
6
，求BQ 的长度．
11．（24-25 高二上·浙江·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ 的一个顶点，定义多
面体G 在点P 处的离散曲率为
1
2
2
3
1
1
1
Φ
1
2π
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
-
= -
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+
L
，其中
1,2,
, ,
3
i
Q i
k k
=
³
L
为多面体G 的所有与点P 相邻的点，且平面
1
2
Q PQ ，平面
2
3,
Q PQ L，平面
1
k
k
Q
PQ
-
，平面
1
k
Q PQ 为多面体G 的所有
以P 为公共点的面．已知平面多边形ABCDE 的外接圆圆心O 为AD 与BE 的交点，如图①，且AB
AE
=
=
2
2
CD =
，将EAD
V
沿AD 翻折到
PAD
△
如图②，连接
,
PB PC ．
(1)求四棱锥P
ABCD
-
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)已知直线PB 与直线CD 所成角的余弦值为
6
4
．
①求四棱锥P
ABCD
-
在顶点A 处的离散曲率；
②设Q 为线段PD 上的动点（不包括端点），QA与平面ABCD 所成角为a ，二面角Q
AC
D
-
-
的平面角为b ，其
中
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，求
tan b
a
-
的最大值．
12．（2025·山东青岛·模拟预测）在空间直角坐标系O
xyz
-
中，任何一个平面的方程都能表示成
0
Ax
By
Cz
D
+
+
+
=
，其中A ，B ，C ，DÎR ，
2
2
2
0
A
B
C
+
+
¹
，且
, ,
n
A B C
=
r
为该平面的法向量.已知集合
, ,
1,
1,
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
∣
，
, ,
2
Q
x y z
x
y
z
=
+
+
£
∣
，
, ,
2,
2,
2
T
x y z
x
y
y
z
z
x
=
+
£
+
£
+
£
∣
.
(1)设集合
, ,
0
M
x y z
z
=
=
∣
，记P
M
Ç
中所有点构成的图形的面积为
1S ，Q
M
I
中所有点构成的图形的面积为
2S ，求
1S 和
2S 的值；
(2)记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为
1V ，P
Q
Ç
中所有点构成的几何体的体积为
2
V ，求
1V 和
2
V 的值：
(3)记集合T 中所有点构成的几何体为W .
①求W 的体积
3
V 的值；
②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.
