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第四章 三角函数与解三角形
必刷大题9 解三角形
[分值：60分]
【高考考向预测】
近三年高考解三角形为高频必考题型，常以选填小题与解答大题形式出现，核心考查正余弦
定理、面积公式、边角互化、三角恒等变换及最值范围求解，多结合平面向量、实际测量情境命
题；预测2027 年依旧保持核心考查地位，命题侧重多条件融合解题、边角混合式化简、三角形内
取值范围与最值探究，增多隐藏条件题型，强化数形结合与分类讨论，愈发注重公式灵活变通与
实际应用，常与三角函数性质综合设问，侧重考查逻辑运算与综合推演能力。
b2+c2−a2
1.(13分)(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 =2.
cosA
(1)求bc；(5分)
acosB−bcosA b
(2)若 - =1，求△ABC面积.(8分)
acosB+bcosA c
【解析】(1)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A，
b2+c2−a2 2bccosA
所以 = =2bc=2，
cosA cosA
解得bc=1.
acosB−bcosA b
(2)由正弦定理可得 -
acosB+bcosA c
sin AcosB−sinBcosA sinB
= -
sin AcosB+sinBcosA sinC
sin(A−B) sinB
= -
sin(A+B) sin(A+B)
sin(A−B)−sinB
= =1，
sin(A+B)
变形可得sin(A-B)-sin(A+B)=sin B，
即-2cos Asin B=sin B，
而0<sin B≤1，
1
所以cos A=- ，
2
又0<A<π，
❑√3
所以sin A= ，
2
1 1 ❑√3 ❑√3
故△ABC的面积为S = bcsin A= ×1× = .
△ABC 2 2 2 42.(15分)(2025·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2=❑√2bc，
2sin(C-A)=sin B.
(1)求sin C；(7分)
(2)设a=10，求BC边上的高.(8分)
【解析】(1)在△ABC中，
∵b2+c2-a2=❑√2bc，
b2+c2−a2 ❑√2bc ❑√2
∴cos A= = = ，
2bc 2bc 2
π
而A为三角形内角，∴A= .
4
∵2sin(C-A)=sin B，
( π) (3π )
∴2sin C− =sin −C ，
4 4
❑√2
整理得❑√2(sin C-cos C)= (cos C+sin C)，得sin C=3cos C，
2
又sin2C+cos2C=1，且sin C>0，
3❑√10
∴sin C= .
10
3❑√10
(2)由(1)得，sin C= ，
10
❑√10 ( π)
则cos C= ，C∈ 0， ，
10 2
2❑√5
∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= ，
5
a c
由正弦定理得 = ，
sinA sinC
10
a 3❑√10
∴c= ×sin C=❑√2× =6❑√5，
sin A 10
2
设BC边上的高为h，
2❑√5
则h=c×sin B=6❑√5× =12，
5
∴BC边上的高为12.
3.(15分)(2026·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin
Acos B.
(1)证明：a2-b2=bc；(5分)(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？
(10分)
(1)【证明】sin B+sin C=2sin Acos B，
由正弦定理可得b+c=2acos B，
a2+c2−b2
又cos B= ，
2ac
a2+c2−b2
∴b+c= ，
c
∴bc+c2=a2+c2-b2，
∴a2-b2=bc.
(2)【解析】由(1)知b+c=2acos∠CBA，
b+c b+3
∴cos∠CBA= = ，
2a 2a
在△BCD中，BC=a，BD=1，
a2+1−CD2
∴cos∠CBD= ，
2a
又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA，
b+3 a2+1−CD2
∴- = ，
2a 2a
∴-b-3=1+a2-CD2，∴CD2=4+a2+b，
又∵a2-b2=bc，c=3，
∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，
∵CD>0，∴CD=b+2，
∴CD-CA=b+2-b=2.
综上所述，CD-CA为定值2.
4.(17分)(2025·南通模拟)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，5(asin A-bsin B)=3csin
C.
(1)求证：tan A=4tan B；(7分)
(π π)
(2)若B∈ ， ，求tan C的取值范围.(10分)
6 4
(1)【证明】由正弦定理得5(a2-b2)=3c2，3
a2+c2−b2 c2+c2 4c
∴cos B= =5 = ，
2ac 5a
2ac
∴5acos B=4c，
∴5sin Acos B=4sin C=4sin(A+B)
=4sin Acos B+4cos Asin B，
∴sin Acos B=4cos Asin B，
∴tan A=4tan B.
tanA+tanB
(2)【解析】tan C=-tan(A+B)=-
1−tanAtanB
5
5tanB
=- = 1 ，
1−4tan2B 4tanB−
tanB
π π ❑√3
∵ <B< ，∴ <tan B<1，
6 4 3
❑√3
令tan B=t，∴ <t<1，
3
5
tan C= 1，
4t−
t
1(❑√3 )
令y=4t- <t<1 ，
t 3
1 (❑√3 )
由于y=4t，y=- 在 ，1 上单调递增，
t 3
1 (❑√3 )
则y=4t- 也在 ，1 上单调递增.
t 3
❑√3 1 5
∴ <4t- <3，∴ <tan C<5❑√3，
3 t 3
(5 )
即tan C的取值范围为 ，5❑√3 .
3
