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专题 02 排列组合与二项式定理
及数字特征与概率统计
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽
样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，
则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 ，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有 种.
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 .
故选：D.
3．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
4．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，
每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙
表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
5．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，
故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结
果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.
二、多选题
6．（2023·全国·高考真题）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，
则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；
例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；故选：BD.
7．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为
，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考虑
两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发
送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的
信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
【答案】ABD
【分析】
利用相互独立事件的概率公式计算判断 AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断 C；求出两种
传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立
事件的积是解题的关键.
8．（2021·全国·高考真题）有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…，
，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中位数、
极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；
故选：CD9．（2021·全国·高考真题）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
【答案】AC
【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选
修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.
故答案为：64.
11．（2022·全国·高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
12．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．
【答案】 / ．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
四、解答题
13．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
14．（2023·全国·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明
显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．
【答案】(1) ， ；(2) ，最小值为 ．
【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出 ，再根据第二个图求出 的矩形面积即可解出；
（2）根据题意确定分段点 ，即可得出 的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
．
（2）当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
15．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯
分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未
患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)
根据（i）结合已知数据求 .
【详解】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以
16．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到
如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1) 岁；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，根据对立事件的概率公式 即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以
．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
．
17．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学
先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从
另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答
正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A
类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与
（1）类似，找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
18．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0
代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的
且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
一、单选题
1．（2024·浙江嘉兴·二模）6位学生在游乐场游玩 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目
都有人游玩，若 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A．180种 B．210种 C．240种 D．360种
【答案】C
【分析】分A有2人和4人，结合排列组合求解即可.
【详解】若A有2人游玩，则有 种；
若A有4人游玩，则有 种；
所以共有240种，
故选：C.
2．（2024·浙江·二模）为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽
样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习
时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计
该校学生每天学习时间的方差为（ ）A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.55
【答案】B
【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决.
【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为
，
该校学生每天学习时间的方差为
.
故选：B
3．（2024·山西·二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外
取球（不放回），记事件 表示“第 次取出的球是黑球”， ，则下面不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，借助排列、组合应用问题，利用古典概率、条件概率公式逐项计算即得.
【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是 ，它们等可能，
对于A， 表示第3次取出黑球， ，A正确；
对于B， 表示第1次、第2次取出的球都是黑球， ，B正确；
对于C， ， ，
所以 ，C正确；对于D， ，所以 ，D错误.
故选：D
4．（2024·浙江·二模） 展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式的通项公式，令 的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．
【详解】展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以常数项为 .
故选：A.
5．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理
论，随机事件 ， 存在如下关系： .若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种
试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为 ，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有
的可能呈现阳性；该试剂的误报率为 ，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 的
可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率，结合全概率公式与贝叶斯公式即可得解.
【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件 ，则 ， ， ， ，
故 ，
则所求概率为 .
故选：C.
二、多选题
6．（2024·全国·二模）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量
一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均
消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
【答案】ACD
【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解.
【详解】对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由题中折线图知，2018 2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，2018 2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为 元，
人均消费支出的极差为 元，C正确；对于D，2018 2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为 元，D正确.
故选：ACD
7．（2024·广东·二模）若 是样本数据 的平均数，则（ ）
A． 的极差等于 的极差
B． 的平均数等于 的平均数
C． 的中位数等于 的中位数
D． 的标准差大于 的标准差
【答案】AB
【分析】根据题意，依次分析两组数据的极差、平均数、中位数和标准差是否相等，综合可得答案．
【详解】对于A，样本数据 的平均数为 ，则 ，故 的极差等于
的极差，故A正确；
对于B，数据 的平均数 ，故B正确；
对于C，如果 是按从小到大排列，则 的中位数为 ，不一定等于 的
中位数，故C错误；
对于D， 的方差 ，
而 的方差 ，
但当 时两组数据的方差相等，其标准差也相等，故D错误．
故选：AB．
8．（2024·辽宁·一模）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
【答案】BCD
【分析】根据数据分布的最小值和最大值可判断极差，从而判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并
结合图象可判断BCD.
【详解】对于选项A：
甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙
的极差可能相等，故A错误；
对于选项B：
根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，
B正确；
对于选项C：
甲的数据平均分布，乙的数据分布在中间集中，故甲的方差大于乙的方差，故C正确；
对于选项D：
对于甲，各组频率依次为： ，因为前两组频率之和 ，前
三组频率之和 ，故中位数位于[3.5,4.5)之间；
同理，对于乙，各组频率依次为： ，前三组频率之和
，前四组频率之和 ，故中位数位于[5.5,6.5)之
间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.
故选：BCD.
9．（2024·广东广州·一模）甲箱中有 个红球和 个白球，乙箱中有 个红球和 个白球（两箱中的球除颜
色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 和 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.
【详解】依题意可得 ， ， ， ，
所以 ，故A正确、B正确、C错误；
，故D正确.
故选：ABD
10．（2024·山西朔州·一模）在信道内传输 信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的
信号字母不变的概率为 ，收到其他两个信号的概率均为 ．若输入四个相同的信号
的概率分别为 ，且 ．记事件 分别表示“输入
”“输入 ”“输入 ”，事件 表示“依次输出 ”，则（ ）
A．若输入信号 ，则输出的信号只有两个 的概率为
B．
C．
D．【答案】BCD
【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出
，再根据 和
化简得到D正确.
【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为 ，收到其他两个信号的概率
均为 ，即收到的信号字母变的概率为 ，且信号的传输相互独立，
所以输入信号 ，则输出的信号只有两个 的概率为 ，故A错误；
B：因为 ，故B正确；
C： ，故C正确；
D：因为 ，
而，
所以
，
故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式 和全概率公式
.
三、填空题
11．（2024·浙江·二模）某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午
的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数
学课连在一起，则共有 种不同的排课方式.（用数字作答）
【答案】8
【分析】由 表示数学课， 表示语文课， 表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课顺序，列出所有
可能情况可得答案.
【详解】由 表示数学课， 表示语文课， 表示英语课，
按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得
若 班排课为 ，则 班排课为 ，
若 班排课为 ，则 班排课为 ，
若 班排课为 ，则 班排课为 ，或 班排课为 ，
若 班排课为 ，则 班排课为 ，或 班排课为 ，若 班排课为 ，则 班排课为 ，
若 班排课为 ，则 班排课为 ，
则共有8种不同的排课方式.
故答案为：8.
12．（2024·广东佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8
站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分
下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ．
【答案】120
【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，
另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，
【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有 种，
3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有 种，
故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 种.
故答案为：120.
13．（2024·广东·一模）随机变量 ，若 且 ，则随机变
量 的第80百分位数是 .
【答案】88
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出 ，再求出 时的 即可.
【详解】随机变量 ，又 ，则 ，
因此 ，则 ，
所以随机变量 的第80百分位数是88.
故答案为：88
14．（2024·安徽芜湖·二模）从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，
50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个
零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为 ．
【答案】
【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.
【详解】由题意知11个零件的平均数为 ，
第六十百分位数的位置为 ，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，
由题可知众数为45，
所以当从11中取出3个零件共有 种情况，
则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有 种情况，
所以其概率为 ，
故答案为： .
15．（2024·山东枣庄·一模） 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】由 ，再写出 展开式的通项，即可求出展开式中 的
系数.
【详解】因为 ，
其中 展开式的通项为 ，
所以 的展开式含 的项为 ，
即 的展开式中 的系数为 .
故答案为：
四、解答题
16．（2024·河北沧州·一模）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除
颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白
球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若
摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒
子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，
得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量 的数学期望的最大值.
【答案】(1)
(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②
【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算；
（2）①利用全概率公式和条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下
结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件 ，“取到乙盒”为事件 ，
“第一次摸出黑球”为事件 ，“第一次摸出白球”为事件 ，
，
所以 ，
所以选中的盒子为甲盒的概率为 .
（2）① ，
所以方案一中取到黑球的概率为： ，
方案二中取到黑球的概率为： ，
因为 ，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②随机变量 的值为 ，
依据以上分析，若采用方案一：，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以随机变量 的数学期望的最大值 .
17．（2024·湖南常德·三模）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普
及的人数，得到下表：
时间 （天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 15 29
每天普及的人数y 98 129 203 190 258 310
0 0 2
(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以 表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求 的分布列
和数学期望；
(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及
的人数y关于天数 的线性回归方程.
（参考数据：
，
附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ）.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解；
（2）利用平均数的定义结合参考数据求得新的样本点，结合 的计算公式进行转化整理求得其值，从而
得解.
【详解】（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则 的所有可能取值为 ，
， ，
， ，
故 的分布列为
0 1 2 3
.
（2）设原来数据的样本中心点为 ，去掉第5天的数据后样本中心点为
， ，
，故
，
，
所以 .
18．（2024·江苏·一模）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的
新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进
行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击
中目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 ，击
中目标两次起火点被扑灭的概率为 ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得
【详解】（1）起火点被无人机击中次数 的所有可能取值为
，.
的分布列如下：
0 1 2 3
.
（2）击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率 .
19．（2024·山东潍坊·一模）若 ， 是样本空间 上的两个离散型随机变量，则称 是 上的二维离
散型随机变量或二维随机向量．设 的一切可能取值为 ， ，记 表示 在 中
出现的概率，其中 ．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为 ，2号盒
子中的小球个数为 ，则 是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量 的所有可能取值；
②若 是①中的值，求 （结果用 ， 表示）；
(2) 称为二维离散型随机变量 关于 的边缘分布律或边际分布律，求证： ．【答案】(1)① ；② ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事
件的概率公式列式化简即得.
（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.
【详解】（1）①该二维离散型随机变量 的所有可能取值为：
.
②依题意， ， ，
显然 ，则 ，
所以 .
（2）由定义及全概率公式知，
.
【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件 与 的
和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
20．（2024·浙江·二模）甲、乙两人进行知识问答比赛，共有 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设
每题甲乙答题正确的概率分别为 和 ，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，
答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.(1)若 ， ，求甲获胜的概率；
(2)若 ，设甲第 题的得分为随机变量 ，一次比赛中得到 的一组观测值 ，如下表.
现利用统计方法来估计 的值：
①设随机变量 ，若以观测值 的均值 作为 的数学期望，请以此求出 的估计
值 ；
②设随机变量 取到观测值 的概率为 ，即 ；
在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着 的变化，用使得 达到最大时 的取值
作为参数 的一个估计值.求 .
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 1 0 0 ﹣1 1 1 ﹣1 0 0 0
1 1 1
题目 11 12 14 15 17 19 20
3 6 8
﹣
得分 0 1 1 ﹣1 0 0 0 1 0
1
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量 ， 的期望 ， 都存在，则 .
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解.
（2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值 相等，可求出 的估计值 ；②由概率 的表达式，利用导数求取最大值时时 的取值.
【详解】（1）记甲获胜为事件 ，甲抢到3道题为事件 ，甲抢到2道题为事件 ，甲抢到1道题为事
件 ，甲抢到0道题为事件 ，
则 ， ，
， ，
而 ，
，
，
，
所以
.
（2）① ， ， ，
所以 ；
因为 ，
由表中数据可知 ，所以 ， .
②因为 取值相互独立，
所以
，
所以 ；
令 得 ，
又 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
即当 时 取到最大值，从而 .
【点睛】方法点睛：
正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，
并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识
转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）二项式 的展开式中所有项的系数和为243．则展开式中含 项的
二项式系数为（ ）A． B． C．5 D．10
【答案】C
【分析】令 求得所有项系数和，从而解得 ，再由二项展开式定理求得含 的项是第几项，从而可得
其二项式系数．
【详解】展开式所有项的系数和为243，
所以令 得 ，解得 ，
所以展开式的通项公式为 ，
由 ，得 ，所以含 项的二项式系数为 ．
故选：C．
2．（2024·广东·模拟预测）现有随机事件件A，B，其中 ，则下列说法不正
确的是（ ）
A．事件A，B不相互独立 B．
C． 可能等于 D．
【答案】C
【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.
【详解】易知 ，所以事件A，B不相互独立，即A正确；
由条件概率公式可知 ， ，
故B正确，C错误；
由和事件的概率公式可知 ，
故D正确；
故选：C
3．（2024·安徽池州·模拟预测）2024年1月27日国家统计局发布的2023年各月累计利润率与每百元营业
收入中的成本数据如图所示，则（ ）A．从每百元营业收入中的成本中，剔除最大与最小2个数据后的中位数与剔除前的数据的中位数不相
同
B．2023年各月累计利润率的60%分位数为5.455%
C．每百元营业收入中的成本与各月累计利润率是同步增大或减少的
D．每百元营业收入中的成本 月份的比 月份的大
【答案】D
【分析】利用中位数、百分位数的定义及图象一一判定选项即可.
【详解】对A，将每百元营业收入中的成本数据从小到大排列，第6个数据为中位数，
剔除最大与最小2个数据后的中位数不改变，故A错误；
对B，2023年各月累计利润率共有11个数据，所以 ，
所以 分位数为 ，故B错误；
对C，2023年1-6月份的累计利润率为 ，1-7月份的累计利润率为 ，
1-8月份的累计利润率为 ，但1-6月份的每百元营业收入中的成本为85.23元，
1-7月份的每百元营业收入中的成本为85.22元，
1-8月份的每百元营业收入中的成本为85.17元，所以不是同步，故C错误；
对D，由图数据可知，显然D正确．
故选：D
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在《周易》中，长横“ ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻.
有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两
仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四
种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳
爻三个阴爻的概率是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】B
【分析】由题意，基本事件的总数为 ，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为 ，由
此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.
【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，
基本事件的总数为 ，
这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为 ，
所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是 .
故选：B.
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为 ，随机事件B发生的概率为 ，则事件A，B
同时发生的概率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得.
【详解】依题意， ，由 ，
得 ，又 ，
则当 时， ，
所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是 .
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中
国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了 和 两位同学代表班级参加
比赛，每轮竞赛 和 两位同学各答1题.已知 同学每轮答对的概率是 ， 同学每轮答对的概率是 ，每
轮竞赛中 和 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则 和 两位同学至少答对3道题的概
率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可.
【详解】若 和 两位同学答对4道题，则其概率为 ；
若 和 两位同学答对3道题，则其概率为 ；
故 和 两位同学至少答对3道题的概率为 .
故选：D.
7．（2024·广东佛山·模拟预测）小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率
为 ，走2级台阶的概率为 ．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3
步的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，
求出 ， ，进而计算可得答案
【详解】根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，
事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，
事件A包含3中情况，①走了4次1级台阶，其概率
②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率 ，即 ,
③走了2次2级台阶，其概率 ，
故小明爬到第4级台阶概率
在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率 ,
故选：D
二、多选题
8．（2024·湖南·模拟预测）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一
次取得黑球”为 ，“第一次取得白球”为 ，“第二次取得黑球”为 ，“第二次取得白球”为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断.
【详解】对A，由题意，第一次取得黑球的概率 ，
第一次取得白球的概率 ，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率 ，
第一次取得白球、第二次取得白球的概率 ，
则 ，所以A错误；
对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率 ，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率 ，
则 ，所以B正确；
对C，由 ，
得 ，所以C正确；
对D，由 ，得 ，所以D正确．
故选：BCD．
9．（2024·全国·模拟预测）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举
世瞩目的成就．为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中
有2个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某一道多
选题甲完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为 ．记 表示甲的得分，则
（ ）
A．甲得2分的概率为 B．若甲选择2个选项，则C．若甲选择3个选项，则 D．甲得5分的概率为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，可得该题有3个正确选项的概率为 ，结合离散型随机变量的期望计算方法逐项
分析判断即可.
【详解】由该题有2个正确选项的概率为 ，得该题有3个正确选项的概率为 ，
对于A，若甲得2分，则该题有3个正确选项，甲选择了2个正确选项，概率为 ，
因此甲得2分的概率 ，A正确；
对于B，若甲选择2个选项，则 的可能取值为 ，则 ，
，则 ，B错误；
对于C，若甲选择3个选项，则 的可能取值为0，5，则 ，
，因此 ，C正确；
对于D，由选项BC知，甲得5分的概率为 ，D正确．
故选：ACD
三、填空题
10．（2024·重庆·模拟预测）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过
渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相
邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．【答案】
【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，利用穷举法，
结合排列数公式，即可求解.
【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，
则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，
共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵
州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况，
所以不同的涂色共有 种.
故答案为： .
四、解答题
11．（2024·湖北武汉·模拟预测）某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年
级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3人，4人，5人进入决赛，决赛采
取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1场比赛（每场比赛都采取5局3胜制，初赛、决赛的赛
制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，
失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．
(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？
(2)初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为 ，记甲以 取胜的概率为
，当 最大时，甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分 的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用古典概型计算即可；
（2）先计算甲以 取胜的概率，利用导数确定其单调性得 时甲处于最佳状态，再利用离散型随机
变量的分布列，期望公式计算即可.
【详解】（1）由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是 ；
（2）由题意可知 ，
所以 ，
显然 时， ，即 单调递减；
时， ，即 单调递增；
则 时， 取得最大值，
由题意可知 的可能取值为 ，
则 ，
，
，
，则其分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以 .
12．（2024·全国·模拟预测）近期一个被网友戏称为“科目三”的魔性舞蹈横空出世，欢快的场景、强烈
的节奏加上夸张、土味的肢体动作，成为年轻人争相模仿学习的舞蹈新宠.然而任何事物都有其两面性，丝
滑魔性的舞蹈动作在吸引人模仿的同时，脚踝的循环内翻、外翻这个动作，如果平衡节奏把握不当，就容
易引起脚踝处的损伤：为了解小学生是否知道“科目三”舞蹈会带来损伤，志愿者随机走访了90名小学生，
得到相关数据如下：
知
不知道 总计
道
低年龄段 14 26 40
高年龄段 35 15 50
总计 49 41 90
(1)根据统计数据，依据小概率值 的独立性检验，分析“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学
生的年龄段”是否有关；
(2)为了解小学生们对待新鲜事物的态度，按低年龄段、高年龄段进行分层，用分层随机抽样的方式从上述
走访的知道“科目三”舞蹈会带来损伤的学生中邀请了7名学生，从这7名学生中随机抽取3名填写调查
表，记X为这3名学生中为高年龄段的人数，求X的分布列和数学期望.
附表及公式：
0.1 0.05 0.01 0.05 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
，其中 .
【答案】(1)有关；
(2)分布列见解析，【分析】（1）根据列联表中的数据，计算 的值，与 比较可得结果.
（2）先求出随机变量的取值及对应的概率，再利用分布列的定义写出分布列，利用数学期望公式求解期
望即可.
【详解】（1）提出零假设 ：“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学生的年龄段”无关，
根据列联表中的数据，得 .
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学生的年龄段”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由题意数据知：知道‘科目三’舞蹈会带来损伤同学中，
低年龄段的人数和高年龄段的人数比为 ，
故邀请的7名学生中，低年龄段的有2人，高年龄段的有5人，
所以X的所有可能取值为1，2，3，可得 ， ， ，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
.
13．（2024·广东深圳·模拟预测）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分
毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以
， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示，年薪
在 的毕业生人数比年薪在 的毕业生人数多22人．(1)求直方图中x，y的值；
(2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年
薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；
②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为 ，求 的分布列
及数学期望 ．
【答案】(1) ，
(2)① 30万元；②分布列见解析；期望为
【分析】（1）先由频率和为 列出等式得 ；再由年薪在 的毕业生人数比年薪在
的毕业生人数多22人列出等式得 ，即可求解.
（2）①先求出年薪由高到低的毕业生人数占77%的年薪区间即可求解. ②先求出单个毕业生年薪高于50
万的概率 ；再根据二项分布即可解答.
【详解】（1）因为 ，
故
由年薪在 的毕业生人数比年薪在 的毕业生人数多22人可得：
，
故 ·
解得 ，（2）①学院毕业生年薪在 区间的人数比例为： ，
故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元
②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率 ，
故随机变量 ，
故
的分布列为：
0 1 2 3 4
P 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081
的数学期望
14．（2024·福建漳州·模拟预测）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、
乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方
式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为 ，乙每天选择“共享
单车”的概率为 ，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为 ，从第二天起，若前一天选择“共享单
车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为 ，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概
率为 ，如此往复．
(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为 ，求 的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第 天选择“共享单车”的概率 ，并帮丙确定在3月份中选择“共享单
车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3) ；2天
【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式与条件概率公式进行求解即可；
（2）依题意得到 的所有可能取值及对应的概率，从而求得分布列及数学期望；
（3）由题意，求得 与 的关系，通过构造等比数列求出 ，再由 求出对应的 ，即可求解．
【详解】（1）记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件 ，
记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为 ．
（2）由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
，，
所以 的分布列为
0 1 2 3
故 ，
即 的数学期望为 ．
（3）由题意得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
又因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
经检验当 时，上式也成立，
所以 ．
由题意知，3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足 ，即 ，
则 ，即 ，
当 为偶数时， 显然不成立，
当 为奇数时，不等式可变为 ，
当 时， 成立；
当 时， 成立；
当 时， ，
则 时， 不成立．
又因为函数 单调递减，
所以当 时， 不成立，
所以只有在第1天和第3天时， ，
所以丙在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有2天．
【点睛】关键点点睛：第三问关键是得到递推公式 ，再由构造
法得到 的通项.
15．（2024·河北沧州·模拟预测）某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双
程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双
程票的人数分别为36、60和24．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（
且 ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组
标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用 表示恰有3组被标为B的概率，试求 的最大值及此时m的值．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii） 时， ．
【分析】（1）由古典概型结合组合数公式即可求得答案；
（2）（i）由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案；
（ii）由n次独立重复试验的概率公式结合导数知识即可求解.
【详解】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为 ，所以这10人中，购买单
程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为： ， ， ，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率 ．
（2）（i）从 人中任选2人，有 种选法，其中购票类型相同的有 种选法，则询问的某组
被标为B的概率 ．
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率 ，
所以 ， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ．
由 ， 且 ，得 ．
当 时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且 的最大值为 ．
