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§2.7 指数运算与对数运算
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.下列各式正确的是( )
A.√(-3) 2=-3 B.log x2=2log x
2 2
C.√22=2 D.a0=1
2.21+log √2 √3等于( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5
3.若2x= ，lg 2≈0.301，则x的值约为( )
2
A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669
4.(2024·武汉模拟)已知ab≠1，log m=2，log m=3，则log m等于( )
a b ab
1 1 5 6
A. B. C. D.
6 5 6 5
1 1 1
5.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1+ + +…+ ≈ln x+γ(x∈N*，常数
2 3 x
1 1 1
γ=0.557…).利用以上公式，可以估算 + +…+ 的值为( )
101 102 300
A.ln 30 B.ln 3
C.-ln 3 D.-ln 30
6.(2024·大连模拟)本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据(为正实数)中，首位非零的数字
是1~9这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量ξ是一个没有人为编造的首位
( 1)
非零数字，则P(ξ=k)=lg 1+ (k=1，2，…，9)，则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首
k
位非零数字是8的概率约是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列判断正确的有( )
A.√4 (3-π) 4=π-3
B.ln m·ln n=ln(m+n)(其中m>0，n>0)
7
C.√a·√a·√a= a8(其中a>0)
D. 27 - 3 1 = 2 log 1 2 38.以下运算中正确的有( )
2m+n
A.若lg 3=m，lg 2=n，则log 18=
5 1-n
1
B. [(1-√2) 2 ]2-(1+√2) -1+(1+√2) 0=3-2√2
(1) -2
C. -2ln(ln ee)=7
3
D.log 3·log 4=2
2 9
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.
(2
8
7)-
3
1
+log 4 √3·log 3 2+2 -log 2 3= .
√2
10.(2024·荆州模拟)已知log b =log b =…=log b = ，则log (b b …b )= .
a 1 1 a 2 2 a 10 10 2 a 1 a 2 …a 10 1 2 10
四、解答题(共27分)
11.(13分)计算下列各式的值：
(1) ( -3 3
8
)- 3 2 +
0.002
- 1 2-10×(√5-2) -1+(√2-√3) 0；(6分)
5
(2)(log
3
2+log
9
2)(log
4
3+log
8
3)-
e
ln 4.(7分)
(27)- 1 32
12.(14分)已知P=80.25×√4 2+ 3-(-2 024)0，Q=2log 2-log +log 8.
64 3 3 9 3
(1)分别求P和Q；(8分)
1 1
(2)若2a=5b=m，且 + =Q，求m.(6分)
a b
13题5分，14题6分，共11分
13.(2025·连云港模拟)19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的
频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开
头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现14
n+1 log 9-log 3
的概率为P (n)=log ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.若 Σ P (n)= 2 2
b b n 10 1+log 5
n=1 2
(k∈N*，k≤14)，则k的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
14.(多选)已知3a=8b=24，则a，b满足的关系是( )
1 1 1 1
A. + =1 B. + =2
a b a b
C.(a-1)2+(b-1)2<2 D.(a-1)2+(b-1)2>2
答案精析
1.C 2.B 3.A
1 1 1 1
4.D [由换底公式得，log a= = ，log b= = ，
m log m 2 m log m 3
a b
1 1 6
所以log m= = = .]
ab log (ab) log a+log b 5
m m m
1 1 1
5.B [依题意可得1+ + +…+ ≈ln 300+γ，
2 3 300
1 1 1
1+ + +…+ ≈ln 100+γ，
2 3 100
1 1 1
两式相减可得 + +…+ ≈ln 300-ln 100=ln 3.]
101 102 300
9
6.B [由题意可得P(ξ=8)=lg =lg 9-lg 8=2lg 3-3lg 2≈2×0.477-3×0.301=0.051.]
8
7.ACD [对于A，√4 (3-π) 4=|3-π|=π-3，A正确；
对于B，由对数性质可知ln(mn)=ln m+ln n，B错误；
对于C，√a·√a·√a= √
a·
√
a·a
1
2
= √
a·
√
a
3
2
= √
a·a
3
4
= √
a
7
4
=
a
7 8，C正确；
对于D， 27 - 3 1 = (33 ) - 3 1 =3-1= 3 1 ，2 log 1 2 3 =2-log 2 3=2log 2 3-1 =3-1= 3 1 ，所以 27 - 3 1 =2 log 1 2 3 ，D正确.]
lg18 lg2+lg9 2lg3+lg2 2m+n
8.AC [对于A，log 18= = = = ，故A正确；
5 lg5 1-lg2 1-lg2 1-n
1 1 1-√2
对于B， [(1-√2) 2 ]2-(1+√2) -1+(1+√2) 0=√2-1-
1+√2
+1=√2-
(1+√2)(1-√2)
=√2+1-√2=1，故B错误；(1) -2
对于C， -2ln(ln ee)=9-2ln e=9-2=7，故C正确；
3
log 4 2
2
对于D，log 3·log 4=log 3· =log 3· =1，故D错误.]
2 9 2 log 9 2 2log 3
2 2
5
9.
4
√2
10.
2
√2 √2
解析 因为log a 1 b 1 =log a 2 b 2 =…=log a 10 b 10 = 2 ，则b i = a i 2 (i=1，2，3，…，10)，
所以log (b b …b )
a a …a 1 2 10
1 2 10
√2 √2 √2
lg(b 1 b 2 …b 10 ) lg(a 2 a 2 …a 2 )
= = 1 2 10
lg(a a …a )
1 2 10 lg(a a …a )
1 2 10
√2
lg(a a …a )2 √2
= 1 2 10 = .
2
lg(a a …a )
1 2 10
11.解 (1) ( -3 3
8
)- 3 2 +
0.002
- 1 2-10×(√5-2) -1+(√2-√3) 0
= (-1) - 3 2 × (2 8 7)- 3 2 + ( 50 1 0 )- 1 2- √5 10 -2 +1= (3 2 )3×(- 3 2) + 500 1 2-10×(√5+2)+1
4 167
= +10√5-10√5-20+1=- .
9 9
5
(2)(log 3 2+log 9 2)(log 4 3+log 8 3)- e ln 4
( 1 )(1 1 )
= log 2+ log 2 log 3+ log 3
3 2 3 2 2 3 2
5 3 5 5 3 5 5 5 5
- = log 2× log 3- = × ×log 2×log 3- = - =0.
4 2 3 6 2 4 2 6 3 2 4 4 4
12.解 (1)P=80.25×√4 2+ (
6
2
4
7)- 3 1 -(-2 024)0= (8×2)4 1 + [ (3
4
) 3]- 3 1 -1=2+
3
4 -1= 7
3
，
32
Q=2log 2-log +log 8
3 3 9 3
( 32 )
=log 4÷ ×8 =log 9=2.
3 9 3
(2)因为2a=5b=m>0，
所以a=log m，b=log m，
2 5
1 1
由换底公式得 =log 2， =log 5，则m≠1，
a m b m1 1
则 + =log 2+log 5=log 10，
a b m m m
1 1
由于 + =Q，故log 10=2，
a b m
所以m=√10.
14
k+1 k+2 15 15
13.B [ Σ P (n)=P (k)+P (k+1)+…+P (14)=lg +lg +…+lg =lg ，
10 10 10 10 k k+1 14 k
n＝k
log 9-log 3 log 3
2 2 2
又 = =lg 3，故k=5.]
1+log 5 log 10
2 2
14.AD [由3a=8b=24，则(3a ) b=24b，(8b ) a=24a，即3ab=24b，8ab=24a，两式相乘得(24)ab=24a+b，所以
1 1
ab=a+b，又因为a≠0，b≠0，有 + =1，A选项正确，B选项错误；
a b
由a≠b，有a2+b2>2ab，则(a-1)2+(b-1)2=a2+b2-2(a+b)+2>2ab-2(a+b)+2=2，C选项错误，D选项正确.]
