高考数学88个易混易错全归纳（教师版）_数学_二轮复习_2026年-数学高考二轮复习_2026年高考数学二轮复习高效培优讲义（全国通用）-G447_2026版

高考数学 88 个易混易错全归纳
内容导览
易混易错01 对集合表示方法的理解偏差致错.......................................................................................................................
易混易错02 忽视（漏）空集致错..............................................................................................................................................
易混易错03 充分、必要条件判断颠倒致错...........................................................................................................................
易混易错04 命题否定中量词与结论漏改致错....................................................................................................................10
易混易错05 忽略不等式性质成立的前提条件致错...........................................................................................................12
易混易错06 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错..................................................................................................15
易混易错07 解含参不等式讨论不全致错..............................................................................................................................17
易混易错08 多变量不等式问题混淆主元致错....................................................................................................................22
易混易错09 基本不等式求最值忽略前提条件致错...........................................................................................................25
易混易错10 复合函数定义域的理解不当致错....................................................................................................................28
易混易错11 研究性质时忽略函数定义域致错.....................................................................................................................29
易混易错12 使用换元法时忽略新元的范围致错................................................................................................................32
易混易错13 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错..............................................................................................34
易混易错14 忽略对参数取值范围讨论而致错....................................................................................................................36
易混易错15 对根式性质理解不到位出错..............................................................................................................................37
易混易错16 忽略底数对指数函数性质的影响致错...........................................................................................................39
易混易错17 忽视对数式成立的条件致错..............................................................................................................................41
易混易错18 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域致错.........................................................................................43
易混易错19 利用换元法求值域遗忘范围致错....................................................................................................................46
易混易错20 错判幂函数的性质致错.......................................................................................................................................48
易混易错21 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错..............................................................................................51
易混易错22 二次函数零点分布问题考虑不全致错...........................................................................................................53
易混易错23 画函数图象时不准确致错..................................................................................................................................56
易混易错24 数学建模时忽视实际意义而致错....................................................................................................................59
易混易错25 错用函数的求导法则致错..................................................................................................................................62
易混易错26混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错..........................................................................................65
易混易错27 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错..................................................................................................69
易混易错28淆极值点与导数等于零的点的区别致错........................................................................................................71
易混易错29已知单调性求参数时混淆条件致错.................................................................................................................74
易混易错30判断函数零点个数时画图致错..........................................................................................................................77
易混易错31 诱导公式认识不深导致变形致错....................................................................................................................80
易混易错32 三角求值不能深挖角的范围致错....................................................................................................................82
易混易错33 判断三角函数的单调性忽略系数 的符号致错........................................................................................85
易混易错34 混淆函数图象变换的规律而致错....................................................................................................................87
易混易错35 参数问题不能准确判断临界点致错................................................................................................................90
易混易错36 解三角形时错判解的个数致错.........................................................................................................................92
易混易错37 忽略边角互化条件致错.......................................................................................................................................95
易混易错38 忽略三角形中的隐含条件致错.......................................................................................................................98
易混易错39对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱.............................................................................................102
易混易错40 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错....................................................................................................104
易混易错41 忽略向量共线时的两种情况致错..................................................................................................................106
易混易错42 错用平面向量的运算律致错...........................................................................................................................108
易混易错43混淆复数的实部、虚部等基本概念致错......................................................................................................110
易混易错44 复数的几何意义应用陷阱................................................................................................................................111
易混易错45忽略数列与一般函数的区别致错...................................................................................................................113
易混易错46 由Sn求an忽略n=1的讨论致错..................................................................................................................115
易混易错47 等比数列问题忽略公比q的讨论致错.........................................................................................................116
易混易错48 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错..................................................................................119易混易错49 错位相减求和错判项数、公比或符号致错................................................................................................121
易混易错50 对斜二测法规则掌握不牢致错.......................................................................................................................123
易混易错51 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错..................................................................................126
易混易错52 线面位置关系考虑不全面致错.......................................................................................................................128
易混易错53 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错.......................................................................................130
易混易错54 忽略建系的条件致错.........................................................................................................................................135
易混易错55 忽略异面直线所成角的范围致错..................................................................................................................139
易混易错56混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错........................................................142
易混易错57 忽略斜率公式的应用条件致错.......................................................................................................................145
易混易错58 求直线方程忽略截距为零致错.......................................................................................................................147
易混易错59 判断直线的位置关系考虑不全面致错.........................................................................................................149
易混易错60 忽略圆的一般方程的限制条件致错.............................................................................................................151
易混易错61 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错..............................................................................152
易混易错62 两圆相切忽略内切、外切的区分致错.........................................................................................................154
易混易错63 曲线方程变形不等价致错................................................................................................................................156
易混易错64 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错.........................................................................................................158
易混易错65 忽略圆锥曲线焦点的位置致错.......................................................................................................................161
易混易错66 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错................................................................................................162
易混易错67 求轨迹方程时忽略变量的取值范围.............................................................................................................164
易混易错68直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错.................................................................................................167
易混易错69恒成立意义不明导致定点致错........................................................................................................................171
易混易错70 混淆两个计数原理致错....................................................................................................................................174
易混易错7` 分步“有序”致错..............................................................................................................................................176
易混易错72 分步不合理导致重复或遗漏致错..................................................................................................................178
易混易错73忽视排列数组合数公式的隐含条件致错......................................................................................................180
易混易错74 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错................................................................................................181
易混易错75 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱.............................................................................................................185
易混易错76 混淆“系数”与“二项式系数”而致错....................................................................................................187
易混易错77 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错....................................................................................................189
易混易错78 混淆“有放回”与“不放回”致错.............................................................................................................191
易混易错79 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错...........................................................................................193
易混易错80 对条件概率理解不透彻致错...........................................................................................................................196
易混易错81 求分布列时忽视了概率之和为1而致错.....................................................................................................198
易混易错82 混淆二项分布与超几何分布致错..................................................................................................................199
易混易错83 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错................................................................................................203
易混易错84 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错...........................................................................................205
易混易错85 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错.......................................................................................206
易混易错86 混淆函数关系和相关关系而致错..................................................................................................................210
易混易错87 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错..................................................................................211
易混易错88 求解独立性检验问题对 的值理解不准确致错....................................................................................214
易混易 错 01 对集合表示方法的理解偏差致错
辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义．【典例1】（25-26高三一上·上海普陀·月考）关于x，y的方程组 的解集是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】由 ，则 ，
所以方程组的解集为 .(易错点)
方程组的解是有序实数对，要用小括号括起来
故选：C
【典例2】（2025·湖北黄冈·二模）若集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合 表示直线 上所有点的集合，其元素是点，
集合 表示直线 上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以 .故选：D.
【跟踪训练】（25-26高三下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．集合 与集合 不是同一个集合
B．已知 ，满足条件的集合 的个数有7个
C．代数式 的值组成的集合是
D．函数 的零点为
【答案】D
【解析】选项A， 是点集， 是数集，不是同一个集合，A对；
选项B，因为 ，所以满足条件的集合 的个数有 ，B对；
选项C，当 时， ；
当 或 时， ；
当 时， ，C对；
选项D，函数 的零点不是点，是变量x的值，
所以函数 的零点是 ，D错．
易混易错 02 忽视（漏）空集致错
辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【典例1】（25-26高三上·天津河北·月考）已知集合 ，集合 ，
若 为 的真子集，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时，满足 为 的真子集，此时 ，解得 .（易错点）
空间是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集
当 时，则 ,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得 .
综上， ，即 的取值范围是 .
故选：C.【典例2】（25-26高三上·山东聊城·月考）已知集合 ， ， ，则实数a
的取值构成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于集合 ，
当 时， ，满足 ，符合题意；
当 时， ，因为集合 ，且 ，所以 ，或 ，解得：
，或 .
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意.
所以实数a的取值构成的集合为 .
故选：D .
【跟踪训练】（25-26高一上·天津和平·期中）设集合 ，集合
，若 ，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】当 ，即 时， ，此时 ，符合题意；
当 ，即 时， ，
由 ，得 ，或 .
解得 ，或 .
综上所述，实数m的取值范围为 ，或 ，或
,
即 .
故选：D.
易混易错 03 充分、必要条件判断颠倒致错
辨析：在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则
将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…,则p是条件，q是结论;若p的…条件是q,则p是结论,q是
条件.
【典例1】（25-26高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“ ， ”为假命题的一个充分不
必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“ ， ”为假命题，
则命题的否定“ ， ”为真命题，
即 ， 恒成立，
， ，当 ，取得最大值 ，所以 ，选项中只有 是 的真子集，
所以命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条件为 .（易错点）
本题条件在后，结论在前，实质是问哪个选项是该命题为假命题的充分不必要条件
故选D
【典例2】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知 ， ，则使 成立的一个充分条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，取 ， ，显然有 成立，但 不成立，不符合题意.
对于B，由 ，得 ，所以 ，可推出 ，
符合题意.
对于C， ，可得 ，不符合题意.
对于D，由 ，得 ，因为 ， ，所以 ，所以
，不能推出 ，不符合题意.
故选：B．
【跟踪训练1】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． 是 的充要条件
B．使不等式 成立的一个充分条件是
C．若“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则实数 的取值范围是D．若关于x的不等式 在 上的解集是空集，则实数 的取值范围是
【答案】C
【解析】对于A，若 ，当 时， ，故由 不能推出 ；
若 ，例如 ， ，此时 不成立，
故由 也不能推出 ，
即 是 的既不充分也不必要条件，故A错误；
对于B，当 时，则 ， ，
所以 不是不等式 成立的充分条件，故B错误；
对于C，由 解得 ，记集合 ，
设 为集合 ，
若“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，
即B是A的必要不充分条件，则 是 的真子集，
故需满足 或 ，解得 ，
经检验，当 时， 是 的真子集，符合题意，
故实数 的取值范围是 ，故C正确；
对于D，关于x的不等式 在 上的解集是空集，
则 ，解得
即实数 的取值范围是 ，故D错误.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合
.(1)是否存在实数 ，使得 是 成立的充要条件，若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理
由；
(2)若 是 成立的必要不充分条件，求出 的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【解析】（1）若存在实数 ，使得 是 成立的充要条件，则 .
故 ，无解，故不存在实数 ，使得 是 成立的充要条件.
（2）因为 ，所以 ，故 ，
由 是 成立的必要不充分条件，得 真包含于 ，
所以 且不等式组的两个等号不同时取得，解得 ，又 ，
所以 的取值范围为 .
易混易错 04 命题否定中量词与结论漏改致错
辨析：在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只
否定结论.
【典例1】（25-26高三上·河北·期中）设命题 ， ，则 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】先变量词：将 变为 ，
再否结论，将结论 否定为： ，
从而可得 的否定为： ， （易错点）.
既要变量词，又要否结论，缺一不可
故选C.【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期中）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】命题“ ”为全称量词命题，
其否定为： .
故选：A
【跟踪训练1】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（ ）
A． ，
B．“ ， ”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】AB
【解析】选项A：将不等式变形： ，配方得： ，
对所有实数恒成立，因此选项A正确；
选项B：由绝对值的非负性， ，
因此 ，不可能小于0，因此选项B正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变 的取值范围，因此选项D错误.
故选：AB.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·安徽合肥·月考）下列命题正确的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”B．“至少有一个 ，使 成立”是全称量词命题
C．“ ”是真命题
D．“ ”的否定是真命题
【答案】AD
【解析】命题“ ”的否定是“ ”，A选项正确；
“至少有一个 ，使 成立”是特称量词命题，B选项错误；
当 时， ， ，C选项错误；
当 时， ，所以“ ”是假命题，命题的否定是真命题，D选项正确；
故选：AD.
易混易错 05 忽略不等式性质成立的前提条件致错
辨析：（1）利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则容易扩大范围.可
以使用整体代换的思想或用待定系数法求解代数式的取值范围问题.
（2）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，
一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
【典例1】（25-26高一上·江西南昌二中月考）已知 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 （易错点）；
{m+n=4, {m=1,
则 解得
m-n=-2, n=3,所以 .
因为 ，所以
又 ，
两式相加得 ，
即 .
【典例2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，A错误；
，因为 ，所以 ，则
， ，B错误；
因为 ，所以 ，C错误；
因为 且 ，所以 ，则 ，即 ，所以 ，D正确.
故选：D
【跟踪训练1】（2026高三·全国·专题练习）设 ，则 的取值范围是________； 的
取值范围是________； 的取值范围是________； 的取值范围是________．
【答案】
【解析】①由 ，得 .
又 ，所以 .所以 的取值范围是 .
②由 ， ，知 .
所以 的取值范围是 .
③由 ，得 ；
由 ，得 .
所以 .
所以 的取值范围是 .
④由 ，得 .
又 ，所以 .
所以 的取值范围是 .
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知 ，若 ， ，
且 ，则实数c的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
故 ， ，
在平面直角坐标系aOb中作出可行域，由 ，可得 ，即
．
由 得 ， ，
解得 ．
易混易错 06 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错
辨析：对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x
轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的
恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
【典例1】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数 在 上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ， ，
可转化为 （易错点），
换元后要注意新元的取值范围与旧元的范围不同
又 开口向上，且对称轴为 ，
在 上单调递增， ，函数 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
也就是 （易错点），
本题容易错求成
，解得 .
实数 的取值范围为 .
故选：C.
【典例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在 ，使不等式 成立，则a的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 ，
设 ，其中 ，则 .
设 ，则 转化为 ， ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以存在 ，使不等式 成立时，只需 ，
故 的取值范围是 ，
【跟踪训练1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，
则 的取值范围是________．【答案】
【解析】当 时，不等式为 ，显然恒成立，符合题意；
当 时，
因为关于 的不等式 对任意 恒成立，
所以二次函数 的图像在 轴的下方，
所以 ，解得 ，
综上，可得 的取值范围是 ．
【跟踪训练2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知对 ，关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】对 ，有 ，所以 ，
所以不等式左右两侧同时除以 ，
所以 ，
转化为关于 的一元二次不等式，所以 ，
令 ， ， ，
，当 时， ，即函数 在 上单调递增，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，所以 ；
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 ，
因为 ，故对任意的 ，则 ，
故当 时， ， ，
由 可得 ，
故 ，故 ，即实数 的取值范围是 .
易混易错 07 解含参不等式讨论不全致错
辨析：在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根
的存在型是否需要讨论；三是根的大小关系是否需要讨论.
【典例1】（25-26高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于 的不等式： ；
①当 时，解不等式；
②当 时，解不等式.
（2）已知函数 ，求函数 的值域.
【解析】（1）①当 时， ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ；
②当 时，原不等式可化为 ，
若 ，不等式为 ，解得 （易错点）；讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若 ，令 ，解得 或 ，
当 时，则 ，解得 或 ；
当 时，则 ，
若 ，则 ，解得 ；
若 ，原不等式为 ，解得 （易错点）；；
讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若 ，则 ，解得 ；
综上所述，若 ，不等式解集为 ；
若 时，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 .
（2）因为函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
设函数 的最大值为 ，最小值为 ，
当 ，即 时，则 ， ，
所以函数 的值域为 ；
当 ，即 时，则 ， ，所以函数 的值域为 ；
当 ，即 时，则 ， ，
所以函数 的值域为 ；
当 ，即 时，则 ， ，
所以函数 的值域为 ；
综上所述：当 时，函数 的值域为 ；
当 时，函数 的值域为 ；
当 时，函数 的值域为 ；
当 时，所以函数 的值域为 .
【典例2】（2026高三·全国·专题练习）设 .
(1)若不等式 对于一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 .
【解析】（1）不等式 对于一切实数 恒成立等价于 对于一切实数 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，不满足题意；
当 时， ，解得 ；
综上，实数 的取值范围为 .（2）不等式 等价于 ，即 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，此时 ，
所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 或 ；
③当 时， ，不等式的解集为 .
综上可得：当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 或 ，
当 时，不等式的解集为 .
【跟踪训练1】(25-26高一上·天津东丽·月考）已知关于x的不等式 的解集为
.
(1)求实数a，b的值；(2)若 ，求关于x的不等式 的解集.
【解析】（1）由题意知， ，即 .
因为不等式 的解集为 ，
所以 是方程 的两个实根，
有 ，解得 ,
此时不等式为 ，符合题意，
所以 ；
（2）由（1）知， ，
则不等式 可变形为 ，
若 ，则 ，解得 ，
此时原不等式的解集为 ；
若 ，则方程 的解为 或 ，
当 即 时，原不等式的解集为 ；
当 即 时，原不等式的解集为 ；
当 即 时，原不等式的解集为 .
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
【跟踪训练2】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数 为偶函数．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)当 时，求不等式 的解集．
【解析】（1）由 为幂函数，得 ，解得 或 ，
当 时， 为奇函数，舍去；
当 时， 为偶函数，符合题意.
综上所述， .
（2）因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 为偶函数，
则 ，等价于 ，
则 ，整理得 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 ．
（3）由 ，
则 ，即 ，当 时，不等式为 ，则不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 .
易混易错 08 多变量不等式问题混淆主元致错
辨析：关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中
一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用.
【典例1】（24-25齐鲁名校共同体联考）已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，对于任意 ，
， ， 总有 且 （1） ．若对于任意 ， ，存在 ， ，使
成立，则实数 的取值范围是
A． B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】D
【解析】 是定义在 ， 上的奇函数，
当 、 ， ，且 时，有 ，函数 在 ， 上单调递增．
（1） ，
的最小值为 （1） ，最大值为 （1） ，
若对于任意 ， ，存在 ， ，使 成立（易错点），
先视x为主元，转化为
即 对所有 ， 恒成立， ，
设 （a） （易错点），
变更主元，将a视为自变量，t视为参系数
则满足 ，即 ，
或 或 ，
故选： ．
【典例2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意知 .
因为 在 上单调递减，所以 .
又 在 上单调递增，所以 ，
因此 ，则 .【跟踪训练1】（2026·福建·一模）若实数 使得命题：“ ，使得 ，均有
”是假命题，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意可知，原命题的否命题：“ ，使得 ”是真命题．
所以对任意实数 ，方程 都有实数解 ．
故而 对任意固定的实数 都有解．
即关于 的不等式 对任意固定的实数 都有解．
对不等式 分情况讨论：
.若 ,即 .当 时,不等式为 ,对任意 显然有解.
①
当 时,关于 的二次函数 开口向上,
其值域包含正数,故对任意 ,总存在 使得 .所以 符合题意.
.若 ,即 .关于 的二次函数 开口向下,
②
其最大值为 .
要使不等式 对任意 都有解,则需要其最大值对任意 都非负,
即 对任意 恒成立,这显然是不可能的.故 不符合题意.
因此， 的取值范围是 ．
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津和平·月考）已知定义在 上的函数 满足 且，其中 的解集为A.函数 ， ，若 ， 使得
，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】构造函数 ，
所以 ，
因为定义在 上的函数 满足 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，且 ，
所以不等式 可化为 ，即 ，
所以 ，
所以 的解集 ，
函数 ，当且仅当
， 或 时等号成立，在A上仅当 时等号成立，
所以 在A上的值域为 ，
为增函数，
所以 在A上的值域为 ，
若 ， 使得 ，
则 ，
所以 ，又因为即实数a的取值范围是 .
易混易错 09 基本不等式求最值忽略前提条件致错
辨析：通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个
方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：令 ，可得 ，
所以 4 不是 的最小值（易错点），
不能用基本不等式求此函数的最值，因为lnx与 可能为负数
故A错误；
对于选项B：因为 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为4，故C正
确；
对于选项D：因为 ，则
，
当且仅当 ，即 时等号成立（易错点），
不能用基本不等式求最值，因为等号取不到
但 ，所以 的最小值不为4，故D错误.
故选：BC.
【典例2】（24-25高三上·天津红桥·期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】由 ，则 、 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为6.
故选：C【跟踪训练1】7．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数 ，则ab的最大值为
________．
【答案】0.5/ .
【解析】因为 为正实数， ，
已知 ，则 ，所以 .
当且仅当 时取等号，此时 ， ，满足正实数条件.
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习） 的三边分别为 ，记 边上的中线长分别
为 ，则 的最小值是_____．
【答案】
【解析】根据余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
同理可得 ， .
所以 ， ， ，则 ，当且仅当 时等号成
立 ．
所以 的最小值是 ．
易混易错 10 复合函数定义域的理解不当致错
辨析：已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两点
①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中
函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【典例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 .记 的定义域为集
合 的定义域为集合 .则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 的定义域为 .
当 时， （易错点）
定义域是x的取值范围
的定义域为 ，即 .
令 ，解得 （易错点）
中的 与 中的x的取值范围一致
的定义域为 ，即 .“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
【典例2】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 .
所以函数 的定义域为 .
故选：C
【跟踪训练1】（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以 ，
所以函数 的定义域是 .
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26高三上·重庆·期中）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的定义域为 ，则 ，所以 的定义域是 ，
所以函数 中 ，解得 ，
故选：B．
易混易错 11 研究性质时忽略函数定义域致错
辨析：研究函数性质时，要注意建立“定义域优先”的解题原则.
【典例1】(2026四川广安期中)奇函数 是定义域为 上的增函数.且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． ， D．
【答案】B
【解析】 ， ，
是奇函数， ，
是定义域为 上的增函数，
（易错点），
注意定义域优先，解得 ，
的取值范围是 .
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）定义在 上的函数 ，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 为 上的偶函数，且在 上为单调递增，
∴ 等价于 即 ，
由（1）得 ,即 ,解得 或 ,
由（2）得 ，解得 ,
∴ 或 ,
即不等式的解集为： ,
故选：C.
【跟踪训练1】．（25-26高三上·河北石家庄·期末）已知定义在 上的函数 满足：对任意
均有 成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为任意 均有 ，
即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以不等式 ，化为 ，
因为 在 上单调递减，故 ，
因为 定义在 上，所以 ，
即 ，解得 ，
故原不等式解集为 .
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26高三上·河北承德·期末）已知定义在 上的函数 满足：当 时，
，且对任意的 且 ，均有 ．若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，得 ，所以 ；再令 ，得 ，所以 ，
所以 为 上的奇函数，
设 ，且 ，则 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 上单调递增，
又 为 上的奇函数，所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
解得： ，所以 的取值范围是 .
故选：C.
易混易错 12 使用换元法时忽略新元的范围致错
辨析：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范
围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【典例1】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】令 （易错点），
注意新元t的取值范围
由 ，
则 ，即 .
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·云南·期末）已知函数 ，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，因为 ，可得 ，
所以函数 ．
故选：C．
【跟踪训练1】（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数 ，则 的解析式为
______.
【答案】 .
【解析】因为函数 ，且 ，
所以 .
故答案为： .
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）若 ，则函数 ______．【答案】 ，
【解析】 ，即
令 ，
当 时，由基本不等式得 ，
当 时， ，由基本不等式得 ，即 ，
，
则 ， ，
， ，
， .
易混易错 13 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
辨析：单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个
区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调
性.
【典例】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
a
{-2x-a,x<- ,
2
【解析】(1)由题意知f(x)=
a
2x+a,x≥- ,
2[ a )
∴函数f(x)的单调递增区间为 - ,+∞ ,
2
a
3=- , ( 易错点)
2
∴
a
- 为增区间和减区间的分界点
2
解得a=-6.
[ a )
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为 - ,+∞ ,
2
f(x)在[3,+∞)上单调递增,
∵ a
- ≤ 3 , (易错点)
2
∴
[3,+∞)为单调增区间的子区间
即a≥-6.
∴实数a的取值范围为[-6,+∞).
【跟踪训练1】（多选）（25-26高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数 是 上的偶
函数，且函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因 是幂函数，则 ，解得 或 ，
当 时， ，其定义域为 ，且为奇函数，故舍去；
当 时， 是 上的偶函数，符合题意.
则 ，其图象对称轴为直线 ，
由该函数在区间 上单调递减，可得 ，解得 .
故选：C.【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知函数 ，则下列选项正确的是（
）
A．若 的定义域为 ，则
B．若 的定义域为 ，则
C．若 的值域为 ，则
D．若 在 上单调递增，则
【答案】AB
【解析】对于A，由 的定义域为 ，得 成立，
当 时， 成立，则 ；
当 时， ，解得 ，因此 ，A正确；
对于B，由 的定义域为 ，得 是不等式 的解集，
则 ，且 为方程 的两根， ，解得 ，B正确；
对于C，由 的值域为 ，得函数 的值域包含 ，
则 ，解得 ，C错误；
对于D，由 在 上单调递增，得 ，解得 ，D错误.
故选：AB
易混易错 14 忽略对参数取值范围讨论而致错辨析：对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的
性质，还要从整体上把握分段函数的性质.
【典例1】（2026安徽天一大联考）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 当 时， 为增函数，不合题意；
当 时， 为常数函数，不合题意；
所以 ，即 ；
于是得 （易错点），
注意考虑每一段函数的单调性
解得 .
【典例2】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数 ，若函数 在 上单调递
增，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题知 ，即 ；
在 上单调递增，所以 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是
【跟踪训练1】（25-26高二上·云南保山·期末）函数 是 上的单调函数，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 是 上的单调函数，而指数函数 是增函数，
则 ，解得 ．
【跟踪训练2】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数 ，若对 ，都有
，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意知函数 在 上单调递减，需满足以下条件：
，解得
易混易错 15 对根式性质理解不到位出错辨析：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围
不同，如 中当 为奇数时, 为偶数时, ，另外根式的化简结果也不同；
(2)分数指数幂 中的 不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
【典例1】(多选题)（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：由 （易错点），故A正确；
此选项求解时容易错写成
对于B：由 ，故B正确；
对于C：当 为正奇数，则 ，当 为正偶数，则 （易错点），
注意对a分正、负数两种情况讨论
如 ，故C错误；
对于D：由 ，故D正确.
故选：ABD
【典例2】（多选）（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】A选项， ，A选项正确；B选项， ，B选项错误；
C选项， ，C选项正确；
D选项， ，D选项正确.
故选：ACD
【跟踪训练1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项： ， ，故A错误；
对于B选项： ，故B错误；
对于C选项： ，故C正确；
对于D选项：当 时， ，而当 时， 没有意义，故D
错误.
故选：C
【跟踪训练2】（多选）（25-26高一上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于选项A： ，故A错误；对于选项B： ，故B正确；
对于选项C： ，故C正确；
对于选项D： ，故D错误．
故选：BC.
易混易错 16 忽略底数对指数函数性质的影响 致错
辨析：若指数(型)函数的底数含参,则解题时要根据底数与1的大小关系进行分类讨论.
【典例】(多选题)(2026山东泰安外国语学校月考)已知函数 ， 的值域
为 ，则 的取值范围是 ．
【.答案】
【解析】 当 时， ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的值域为 ，
当 时， ，
①当 时（易错点）
需对a分两种情况讨论：a>1或0<a<1，
函数 在 上为单调递增，可得 的值域为 ，
要使得函数 的值域为 ，则 ，解得 ；
②当 时（易错点），函数 在 为单调递减，可得 的值域为 ，此时函数 的值域不可能为 ，舍去，
综上可得，实数 的取值范围为 .
【跟踪训练1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数 ，若函数
满足：对于任意的 ，当 时，都有 ，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令函数 ，则 是减函数.
因为 ，
所以 ，
因为 是减函数，所以 在 上单调递减，
在 上单调递减，且衔接点 左侧函数值不小于右侧函数值.
当 时，根据 的图象可知，
在 上，随着x的增大， 与 的差越来越大，
即 在 上单调递增，不符合题意，所以 ，所以 ，解得 .
【跟踪训练2】（25-26高三·河北衡水·期末）已知函数 （ 且 ）在区间 上单调
递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 且 ，得 为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得 ，
又 ，解得 ．
故选：C．
易混易错 17 忽视对数式成立的条件 致 错
辨析：基于对数式 ，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在
解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
【典例1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数 （ ， ）的图象经过点 ，
则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，则 ，解得 ，由函数 在 上单调递减，
则 ，可得 ，（易错点）
忽视对数式的真数大于0而致错
解得 ，
【典例2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得： ， ，
所以 .
故选：D.
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖北武汉·期中）若 ： ， ： ，则 是 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，故 ，解得 ，
，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A【跟踪训练2】（25-26高三上·山西忻州·期末）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数
设 ，则有 ，解可得 ，
即函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，即函数 为奇函数，
设 ，则 ，
，在 上为增函数，而 在 上为增函数，
故 在区间 上为增函数，
又 为增函数，所以 在区间 上为增函数，
不等式 即为 ，
也即 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
易混易错 18 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域致错辨析：因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·月考）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 （易错点），
注意在定义域范围内求单调区间
由于 为减函数， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 的单调递减区间是 ，
故选：C.
【典例2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
【跟踪训练1】（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数 ，其中 且 ，在 上是减
函数，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ， ， 在定义域上为减函数，
又函数 在 上是减函数，则 在定义域上为增函数， ，
要使函数 有意义，则 ，
又 在 上为减函数， 在 上的最小值为 ，即 ，
综上，实数 的取值范围为 .
故选：A.
【跟踪训练2】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 在区间 上单调递增
C． 的值域为 D． 的图象关于原点对称
【答案】C
【解析】选项A：由题意 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，故A正确；
选项B：令 ，
当 时， 单调递减，
所以 在 上单调递增，
又当 时，函数 在 上单调递增，根据复合函数单调性原则可知 在 上单调递增，故B正确；
选项C：因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
则 ，
所以 值域为 ，故C错误；
选项D：因为定义域为 关于原点对称，且 ，
所以 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.
故选：C
易混易错 19 利用换元法求值域遗忘范围致错
辨析：研究形如y=log f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含
a
条件.
【典例1】（2026江西南昌五中月考）若函数 值域为R且在区间 上单调递
增，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 因为 的值域为 ，在区间 上单调递增所以函数 与 轴有交点，即方程 有实根，
所以 ，解得 或 ①；
因为函数 在区间 单调递增，
且 是减函数，所以 在区间 单调递减且恒为正，
所以 (易错点)
在区间 内真数t的值不能为负数
解得 ②，
由①②可得 ，所以实数 的取值范围是 .
【典例2】（25-26高三上·广东湛江·月考） 的值域为 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 因为 的值域为 ，
所以 的值域包含 ，
所以 ，解得 .故选：C.
【跟踪训练1】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在 上单调递增
D．在 上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数 的定义域为R，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
故函数 的值域为 ，故B正确；
对于CD，因为 在R上是减函数，
在 上是减函数，在 上是增函数，
所以函数 在 上单调递减，C错误，D正确.
故选：ABD.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高一上·天津河西·月考）已知 的值域
为 ，则 ，函数 ，在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 ，
【解析】因为
令 ，则 ，
由二次函数性质可知，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以函数 的值域为 ，即函数 的值域为 ，故 ，
所以函数
由题意可知函数 在区间 上是减函数，
当 时， ，二次函数的对称轴为 ，在对称轴左侧单调递减，
，解得 ；
当 时， ，在 时单调递减；
又 ，即 ；
综上，实数 的取值范围是 ．
易混易错 20 错判幂函数的性质致错辨析：对于幂函数 ，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都
有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.
【典例1】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数 （m， ，m，n互
质），下列关于 的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数 是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数 是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数 是偶函数
D． 时，幂函数 在 上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则 ，
此时 的定义域为R，且 ，
所以幂函数 是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则 ，
此时 的定义域为R，且 ，
所以幂函数 是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则 ，
此时 的定义域为 ，不关与原点对称(易错题)，
忽略函数的定义域致错
所以幂函数 不具有奇偶性，故C错误；对于选项D： 时，由幂函数性质可知： 在 上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【典例2】（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数 的定义域为
B．函数 为偶函数
C．令函数 ，则不等式 的解集为
D．若函数 ， ， ，则
【答案】ABD
【解析】设幂函数 的解析式为 ，
因为幂函数 的图象经过点 ，所以 ，解得 ，即 ，
对于A，函数 的定义域为 ，故A正确；
对于B，因为 ，且 的定义域为 ，
故 为偶函数，故B正确；
对于C， ，故 为偶函数，
因为 在 上为增函数，而 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 即为 ，
故 ，故 即 的解集为 ，故C错误；
对于D， ，而
，
因为 ， ，故 ，
当且仅当 等号成立，故 ，
故 ，即 ，
当且仅当 等号成立，故D成立.
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 的值域为
【答案】D
【解析】幂函数 ，A选项错误；
定义域为 ，又因为 ，所以 是偶函数，C选项错误；
幂函数 ，所以 的值域为 ，D选项正确；
因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，B选项错误.
故选：D.
【跟踪训练2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数 在
上单调递增，函数 ．若 ， ， ，则 的值可能是
（ ）A．8 B．18 C．24 D．27
【答案】BC
【解析】由题意知 ，解得 或 ；
当 时，函数 在 上单调递增，符合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，不合题意；
因此 ，
由 ，可得 ,
因为函数 在 上单调递增，若 ，可得 ，
依题意可知 ，解得 ；
所以 ，即 的值可能是18，24.
故选：BC
易混易错 21 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错
辨析：利用零点存在性定理解题时要牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定
理不可逆，有零点不能反推端点异号；
【典例】（2026广东广雅中学月考)已知函数 图象是连续不断的，并且是 上的增函数，有如下
的对应值表
x 1 2 3 4
y 1.21 3.79 10.28
以下说法中错误的是（ ）
A． B．当 时，C．函数 有且仅有一个零点 D．函数 可能无零点
【答案】D
【解析】对于A，因为函数 是 上的增函数，所以 ，A正确；
对于B，因为函数 是 上的增函数，所以当 时， ，B正确；
对于C，因为函数 是 上的增函数， 且 ，即 ，所以函数
有且仅有一个在区间 的零点（易错点），C正确；
在某区间内单调的函数最多一个零点
对于D，因为函数 的图象连续，且 ，即
，所以函数 在区间 上一定存在零点（易错点），D错误.
利用零点存在性定理判定零点的存在性
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海·期中）已知 ，且函数 有且仅有
一个零点.若方程 无解，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对任意的 ， ，故函数 的定义域为 ，
，故函数 为偶函数，
若函数 存在一个非零的零点 ，则 也必为函数 的零点，这与已知条件矛盾，
由于函数 有且只有一个零点，则该零点必为 ，即 ，所以 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故函数 的值域为 ，
因为方程 无解，故 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
【跟踪训练2】（25-26高三上·江西南昌·期末）已知函数 的零点为 ，若
，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，
根据对数函数的性质可知 在 上单调递增，
又 ，
，
所以 ，
根据函数的零点的判定定理可得：函数 的零点所在的区间是 ，
所以 .
故选：C.
易混易错 22 二次函数零点分布问题考虑不全致错
研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
【典例1】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一
个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的两个不同的零点均大于1，得 ，（易错点）
此处易犯的错误是：所列式子不全面
解得 ，
因此所求充分不必要条件是 的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【典例2】（25-26高一上·江苏扬州·期末）设 为实数，若关于 的方程 有两根 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【解析】关于 的方程 有两根 ，且 .
，解得 .
故选：B
【跟踪训练1】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知 是函数 的零点，
则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．5
【答案】B【解析】因为 是函数 的零点，
所以 ，即 ，则 或 ，
解得 或 ，
当 时 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ；
当 时 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ；
又 ，综上可得 的最小值为 ，此时 ， .
故选：B
【跟踪训练2】（2026·陕西延安·一模）设函数 ,若 有四个不同的零点
，且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，
由 有四个不同的零点，
则 与 有四个不同的交点，
令 ，解得 或 ，
故当 或 时， ；当 时， ；
且当 ， ；解方程 ，得 ；
作函数 的图象，对称轴为 .
要使 与 有四个不同的交点，如图可得 .
又 满足 ，
则 ，可得 .
因为 图象关于 对称，所以 ，
则 ，
则 ，令 ，则 ，
构造函数 ， ，
由 ，函数 在 单调递增，
则 ，即 .
故选：A
易混易错 23 画函数图象时不准确 致 错辨析：常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其是在
换元后要注意新元的取值范围.
【典例1】（多选题）(2026·河北衡水中学月考)已知函数 函数 有四
个不同的零点 ，且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B．
C． 的最小值是 D． 越大， 的值越大
【答案】BCD
【解析】画出 的图象，如下图所示:
对于A,由图可知 (易错点) ,则A错误.
当x<0时，函数 的图象存在一条渐近线直线y=1
对于B,因为 ，所以 ，
所以 ，则B正确.
对于项C,由图可知 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，则C正确.
对于选项D： 在 上单调递减.因为 越大， 越小，所以 的值越大，则D正确.
【典例2】（25-26高三下·辽宁·开学考试）设函数 ，若方程 有且仅
有三个解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图：作出函数 图象及 与 图象，
由图象可知，当 时， 与 有且仅有三个交点，
故实数 的取值范围为 .
【跟踪训练1】(2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 ， ．若
函数 有3个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．(0，1) C． D．
【答案】C
【解析】函数 ，由 ，得 ，令函数 ，由函数 有3个不同的零点，
得方程 有3个不同的解，即直线 与函数 的图象有3个交点，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图：
观察图象，当且仅当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，
所以 的取值范围是 .
【跟踪训练2】（25-26高三上·北京西城·期末）函数 ， 和 ， 的图象如
图所示，其中 ，则（ ）
A．方程 恰有一个解 B．方程 恰有两个解
C．方程 恰有三个解 D．方程 恰有四个解
【答案】C【解析】对A：令 ，数形结合可知， 或 ；
令 ， ，
又因为 ，而 ，
可知 无解，故方程 无解，A错误；
对B：令 ，数形结合可知， 或 ；
令 ，因为 ，
数形结合可知，方程 有三个根， 有两个解，
故方程 有五个解，故B错误；
对C：令 ，数形结合可知， 或 ；
令 ，
由题可知， ，数形结合可知，方程 有三个根，
方程 无解，
故方程 有三个解，故C正确；
对D：令 ，数形结合可知， 或 ；
令 ，又 ，
数形结合可知， 无解， 有两个解，
故方程 有两个解，D错误.
故选：C易混易错 24 数学建模时忽视实际意义而致错
辨析：建模前先明确变量实际意义，严格确定定义域；列式后检验是否符合现实约束，验证结果合理性；
不忘单位统一，确保函数与情境匹配，杜绝纯代数思维.
【典例】（25-26高一上·四川南充·期中）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形 的下底
是 的直径，上底 的端点在圆周上，记线段 的长度为 ，梯形 的周长为 ．
(1)写出 与 的函数关系式，并求出它的定义域；
(2)当梯形 的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线 ： 与下底 交
于 .记梯形 位于直线 左侧的图形的面积为 ，求函数 的解析式；
(3)在（2）的条件下，当 时，求 的长．
【解析】（1）如图，过 作 于 ，圆心为 ，连接 ，设 ，则 ，
由 ，得 ，
整理得 ， ，
，， ，即 ，解得 (易错点)．
注意各线段长均为正数
与 的函数关系式为 ， ．
（2）
， ，
当 时， 取得最大值，此时 ， ， ， ，
故等腰梯形 的底角为 ，面积为 ，
令 ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
．
（3） ，令 ，则 时， ，解得 （舍去）；
当 时， ，解得 满足条件；
当 时， ，解得 （舍去）或 （舍去），
综上所述， ，故 ．
【跟踪训练】（25-26高三上·黑龙江·期中）如图，在 中， ， ，直线 与边
， 分别交于 ， 两点，且 的面积是 面积的一半.设 ， ，记
，则 的定义域为 ， 的最小值与最大值之和为 .
【答案】
【解析】因为 的面积是 面积的一半，
即 ，即 ，可得 ，
又因为 ，即 ，
且 ，可得 ，
所以 ，且 的定义域为的定义域为 ；令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
可知 在 上的最小值为2，最大值为 ，
即 在 上的最小值为2，最大值为 ，
所以 的最小值与最大值之和为 .
易混易错 25 错用函数的求导法则 致错
辨析：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即
；
（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式
形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函
数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数 的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以. （易错点）
注意复合函数求导时内层函数也要求导
故选：D
【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 ，
都为偶函数，则 （ ）
A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5
【答案】C
【解析】因为 为偶函数，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ；
又因为 是偶函数，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ， ，
在 中，令 ，则有
所以 ；
在 中，令 ，
可得 ，
在 中，令 ，
则有 ，
所以 ；
又因为 ，
所以 ，
所以 成等差数列，公差 ，首项为 ，
所以 ；
同理可得 ，
所以 成等差数列，公差 ，首项为 ，
所以 ；
所以 .
故选：C.
【跟踪训练1】(多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【解析】 ，则 ，故A正确；
，则 ，故 错误；
，则
，故C正确；
，则 ，故D错误．
故选：AC
【跟踪训练2】（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于 为常数，故 ，故A错误；
而 ，故B错误；
而 ，故C正确；
而 ，故D错误．易混易错 2 6 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别 致错
辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线 “在”点 处的切线与“过”点 的切线的区别：曲线 在点
处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为 ，是唯一的一条切线；曲线
过点 的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可
能有多条．
【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点 可以作与曲线 相切的不同直线共
有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】D
【解析】设切点为 （易错点），
易错之处是误以为点P一定是切点
，
则切线的斜率为 ，
又切线过点 ，
所以 ，
则 ，设 ，
则 ，令 ，解得 或 ，
当 和 时 ，函数 单调递增，
当 时 ，函数 单调递减，
又 ，g(0)=1>0，
， ，
所以存在 , ； ； ，
所以 与 轴有3个交点，
则经过 有3条切线.
故选：D.
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线 是曲线 的一条切线，则 .
【答案】
【解析】法一：对于 ，其导数为 ，
因为直线 是曲线的切线，直线的斜率为2，
令 ，即 ，解得 ，
将 代入切线方程 ，可得 ，
所以切点坐标为 ，
因为切点 在曲线 上，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
法二：对于 ，其导数为 ，假设 与 的切点为 ，
则 ，解得 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则此
切线与 轴和直线 所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】函数 ，求导得 ，设切点为 ，则 ，
依题意， ，解得 ，因此切点 ，切线斜率 ，
切线方程为 ，由 得两直线交点 ，如图：
而切线与 轴交于点 ，则 ，
所以所求三角形面积为 .
故选：A
【跟踪训练2】（26-27高二上·重庆·期末）过 作函数 的切线恰好能作两条，则实数 的取值
范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为 ，由 求导得 ，则切线的斜率为 ，故切线方程为
，
因切线经过点 ，则得 ，化简得 ，显然 ，则得
，
又因过 作函数 的切线恰好能作两条，即函数 与函数 有两个不同的
交点.
的定义域为 ，函数求导得 ，
则当 时， ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时，
.
作出函数 的图象如下：
由图知，过 作函数 的切线恰好能作两条等价于 或 ，解得 或 .
故选：D.易混易错 27 利用导数求函数单调区间忽略定义域 致错
辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函
数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等
于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
【典例】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，
，
由 得 ，所以 的单调减区间为 . （易错点）
注意此函数的定义域不是R
故选：D.
【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递增区间为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，则 ，
因为 ，由 ，可得 ，故函数 的单调递增区间为 .
故选：A.
【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数 ，则（ ）
A．函数 的单调递减区间为
B．
C．若方程 有6个不等实数根，则
D．对任意正实数 ，且 ，若 ，则
【答案】BCD
【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ，
对于A，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
因此函数 的单调递减区间为 和 ，A错误；
对于B，由A得，函数 在 上单调递增， ，B正确；
对于C， 为偶函数，当 时， ，
由A项知，函数 的单调减区间为 和 ，单调递增区间为 ，
又当 时， ，当 时， ，
当 时， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ， 时， ，
函数 的图象如图：观察图象得，当且仅当 时，直线 与函数 的图象有6个不同交点， C正确；
对于D，不妨设 ，由 ，得 ，即 ，
令函数 ， ，
求导得 ，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，因此 ，
函数 ，求导得 ，当 时， ， 在 上单调递减，
而 ，则 ，即 ，D正确.
故选：BCD
易混易错 2 8 淆极值点与导数等于零的点的区别 致错辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导
数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若 是函数 的
极小值点，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
又 是函数 的极小值点，所以 ，解得 或 （易错点），
注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点
当 时， ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
即 是 的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)；
需注意检验，极值点不一定是极大值点
当 时， ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
即 是 的极大值点， 是 的极小值点，符合题意，
此时 ，所以 的极大值为 .
故选：D
【典例2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数 ，若 为 的极小值点，则实
数 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【解析】函数 ，定义域为 .
所以 .
由题可知， ，即 ，所以 或 .
当 时， .
令 ，则 或 ；令 ，则 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 在 处取得极小值.
当 时， .
令 ，则 或 ；令 ，则 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 在 处取得极大值.
综上，实数 的值为 .
故选：B.
【跟踪训练1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 在 处取得极大值，则
（ ）A．9或1 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】因为函数 ，所以 ，
又因为在 处取得极大值，所以 ，所以 或 ，
当 时， ，所以 单调递减，
单调递增，
所以 在 处取得极小值，不符合题意舍去；
当 时， ，所以 单调递增，
单调递减，
所以 在 处取得极大值，符合题意；
则 .
【跟踪训练2】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数 有两个
极值点 ，则（ ）
A．
B．当 时， 有三个零点
C．当 时， 仅有一个零点
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由 ，得 ，因为函数 有两个极值点 ，
所以 有两个不等的实数根，
即 有两个不等的实数根 ，
所以 ，解得 或 ，故A错误；
对于B，当 时，二次函数 与 轴有两个不同的交点，开口向上，
当 时， ；当 ， ；当 ， ，
所以 是极大值， 是极小值，又 ，则可得 有三个零点.
同理可得当 时， 有三个零点，故B正确；
对于C，当 时，由B可知 是极小值，又 ，所以 ，
此时极大值 ，所以函数在 ，函数从 递增到 有1个零点，
其余区间内无零点，
同理可得当 时，函数 仅有一个零点，
综上所述：当 时， 仅有一个零点，故C正确；
对于D，由韦达定理可得 ，，
又 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
易混易错 2 9 已知单调性求参数时混淆条件 致错
辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数
的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
【典例1】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数 的单调递减区间恰为 ，
则实数a的值为 ．
【答案】
【解析】由题意得， ，
∵函数 的单调递减区间恰为 ，
即 的解集为 ，（易错点）
注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的∴所以 和4是 的两根，
∴ ．
【典例2】（25-26高二上·北京·期中）如果 在区间 上不单调，那么实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知 ，依题意可得 在 上有解，
即方程 在 上有解，显然当 时， ，
因此实数a的取值范围为 .
【跟踪训练1】（25-26高三下·海南·月考）已知函数 在 上单调递增，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ，则 ，
因为 在 上单调递增，故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 ，
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以函数 在 上的最大值为 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．【跟踪训练2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数 存在单调递减区间，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，
导函数 ，
假设函数 不存在单调递减区间，则 在 恒成立，
即 在 恒成立，即 ，
令 ，因为 ，所以 ，
则函数 在 时取得最小值，最小值为 ，
所以 ，所以 ，
根据题意，函数 存在单调递减区间，
所以 .
易混易错 3 0 判 断函数零点个数时画图 致错
利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
【典例1】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知 ，若 有两个零点，则
实数m的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若 有两个零点，则 有两个解，
等价于 有两个解，因为 ，x>0，所以 ，
令 ，原式等价于 有两个解，
因为 ，则当 时 ，所以 在 上单调递增，
所以 有两个大于零的解 .（易错点）
注意定义域：x不能为负
解 ，可得 ，令 ，
则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
的图象如图：（易错点）
当x趋近于正无穷大时， 趋近于0，而不是趋近于负无穷大
所以当 时， 有两个交点，即 有两个零点.
故选：A
【典例2】（2026·江西新余·一模）已知 在 上有两个不同零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
故等式可变形为 ，
等式两边同时乘以 可得 ，
若 ，对任意的 ， ，则 ，故 ，
所以 ，但 ，等式不成立，不符合题意，所以 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
所以 ，参变分离得 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
所以函数 的极大值为 ，
又因为 ， ，且 ，如下图所示：由图可知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
因此实数 的取值范围是 .
故选：D.
【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数 有且仅有三个零点，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 有且仅有三个零点，则方程 有且仅有三个根，
令 ，则 ，
由 得 ； 得 ；
则 在 单调递增，在 上单调递减，则 ，
因为 时 ； 时 ，且 时 ，
所以 的函数图象如图：因为 不是 的根，
所以 有两个根，其中一个根位于 ，另一根位于 或另一根是 ，
但方程 的两根的乘积为 ，
所以 一个根位于 ，另一根位于 ，
则 ，得 ，
故 的取值范围是 .
故选：C
【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知 ，若函数 恰有1个零点，则
（ ）
A．e B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】由 ，可得 恒为 的一个零点，
令 ，则 恰有1个零点，
等价于 的唯一零点是 ，或 无零点.
因为 ，且 ，
所以 恒成立， 在 上单调递增.
又 时 ， 时 ，因此 必然存在唯一零点.当 的零点是 时，可得
即 ，解得 ， .
易混易错 31 诱导公式认识不深导致变形 致错
辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给
角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为 的整数倍；二是要记牢诱导公式，
做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 （易错点），
利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号
又 ，
所以 .
故选：A.
【典例2】（2025·北京·高考真题）已知 ，且 ， .写出满足条件的一组 的值 ， ．
【答案】 （答案不唯一）， （答案不唯一）
【解析】因为 ， ，
所以 的终边关于 轴对称，且不与 轴重合，
故 且 ，
即 ，
故取 可满足题设要求.
【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ．又 ，
所以 ，所以 ．
所以 ．
【跟踪训练2】（25-26高一上·四川成都·期末）已知 ，且 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，
而 ，故 ，
所以 ，
而 ，
所以 .
易混易错 32 三角求值不能深挖角的范围 致错
辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的
范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
， ，由 ，易知 ，解得 ，
由 ， ，且 ，则 ，
可得 ，
所以
，
当 时， ， ，
此时 ，则 ，
由 ， ，
则 ，易知 ，解得 ，此时 （易错点）
注意缩小角的范围
；
当 时， ， ，
此时 ，则 （易错点），
由 缩小角的范围
由 ， ，则 ，易知 ，解得 ， ；
故选：B.
【典例 2】（25-26 高三上·山东菏泽·期末）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所 以 ， 且 ， 即
，
所以 ，且 ，
则 .
故选：D.
【跟踪训练1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知 、 ，且 ， ，则
的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ，
又因为 、 ，所以 ， ，
则 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，故 .
故选：B.
【跟踪训练2】（24-25高一下·江苏南京·月考）若 ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以
，
所以 .
故选：C
易混易错 33 判断三角函数的单调性忽略系数 的符号 致错
辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为 y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋
φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数
y=Asin(ωx+ϕ)来
说 ， 当 时 ， 由 于 内 层 函 数 是 单 调 递 增 的 ， 所 以 函 数
y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数y=sinx的单调性相同，故可完全按照函数y=sinx的单调性来解决；
但当 时，内层函数 是单调递减的，所以函数
y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数
y=sinx的单调性正好相反，就不能按照函数y=sinx的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将
的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为 (易错点)，
注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间
令 ， ，
解得 ， ，
所以函数的单调递减区间为 ．
故选：B
【典例2】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，
要求 的递增区间即求 的递减区间，
当 ， ，即 ， 时，
单调递减，即 单调递增，故B正确.
故选：B.
【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数 ， 的增区间是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得 .
令 ，解得 .
所以函数 的单调增区间为 .
因为 ，所以令 ，则得函数 ， 的单调增区间为 .
故选：C.
【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意 ，所以 ；
（2）由（1）可知 ，
所以
，
所以函数 的值域为 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
函数 的单调递增区间为 .
易混易错 34 混淆函数图象变换的规律而致错
辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或
y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为
同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目
中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 而言的，即图象变换要
看“变量 ”发生多大变化，而不是“角 ”变化多少．
【典例 1】（25-26 高三上·河南南阳·期末）想要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移 个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移 个单位
C．各点横坐标变为原来的 倍，再把图象向右平移 个单位D．各点横坐标变为原来的 倍，再把图象向右平移 个单位
【答案】C
【解析】 （易错点），
利用诱导公式转化时特别要注意符号
将函数 的图象各点横坐标变为原来的 倍，再把图象向右平移 个单位，即可
得出函数 的图象(易错点)，
注意：左右平移是针对x而言的
故选：C．
【典例2】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数 的图象，只需将函数 的
图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【解析】因为函数 ，又函数 ，
所以只需将函数 的图象向右平移 个单位即可得到函数 的图象.
故选：D
【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数 的一个零点是 ，为了得到函
数 的图象，只需将 的图象（ ）A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】已知 是 的零点，因此 ，
代入得： ，即 ，解得 ，
所以
又
所以将 向左平移 个单位长度得到函数 的图象.
【跟踪训练2】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知函数 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 ，且图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 中心对称，且在区间 上单调递增
C．将 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数图象关于直线 对称
D．函数 在区间 上有且仅有 个零点，且这两个零点之和为
【答案】D
【解析】因为 ，
对于A选项，函数 的最小正周期为 ，因为 ，
故函数 的图象不关于直线 对称，A错；
对于B选项，因为 ，
所以函数 的图象不关于点 中心对称，
当 时， ，故函数 在区间 上不单调，B错；
对于C选项，将 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 的图象，
因为 ，故函数 的图象不关于直线 对称，
C错；
对于D选项，由 可得 ，
当 时， ，所以 或 ，解得 或 ，
所以函数 在区间 上有且仅有 个零点，且这两个零点之和为 ，D对.
易混易错 35 参数问题不能准确判断临界点 致错辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为 的形式；根据题设给出
限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出 的大致范围；
在求出 的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出
不等式求解.
【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象.若 在 上
单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得 ，
因为 ，所以当 时， ，且
因为 在 单调递增，所以 （易错点），
实质是
又 ，解得 .
故选：B
【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数 ，若 恒成立，且
在 上存在零点，则 的最小值为（ ）A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】函数 ，
设函数 的最小正周期为T，由 可得 ，
所以 ，即 ；
又函数 在 上存在零点，且当 时， ，
所以 ，即 ；
综上， 的最小值为4.
故选：C.
【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数 的图象关于直线 对称，
且在区间 上单调递减，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，
解得 ，
又因为函数在区间 上单调递减，
所以函数在 处取得最大值，所以 ,
所以 ,
解得 ，
解得 .
又因为 .
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数 在区间 上单调
递增，则 取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为 在区间 上单调递增，所以
解得
由于区间 包含原点附近的正负区间，仅当 时的递增区间
可以覆盖该区间，因此 ，解得又 ，所以
易混易错 36 解三角形时错判解的个数 致错
辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间 内不单调，此时三角形
解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个
数.
【典例1】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】C
【解析】因为在 中， ， ， ，
由正弦定理 ，得 ，
解得 或 （易错点），
此处需对这两解进行检验，剔除不合题意的解
又因为 可得 ，所以 不符合题意，舍去．
可得 ，故A，B，D错误．
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·海南·月考）在 中， , ，则“ ”是“ 有两
解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】若 有两解，则 ，
即 ，所以 ，
所以 有两解可以推出 .
所以“ ”是“ 有两解”的必要不充分条件.
故选：B
【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的
是（ ）．
A．若 ， ， ，则 有两解
B．若 ，则
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 ，则 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理得 ，则 ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 有两解，则 有两解，故A正确；
对于B，在 中， ，由正弦定理得， ，故B错误；
对于C，由 ，可得 ，且 ， 均为锐角，
所以 ，
则 ，所以 也为锐角，
则 为锐角三角形，故C正确；
对于D，由 ，由正弦定理得， ，
则 ，所以 或 ，
则 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故选：AC
【跟踪训练2】(多选) (25-26高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（ ）A．命题 的否定是
B．若 ，则 ， 的夹角为锐角
C．若方程 有两个不等的正实数根，则
D．在 中，若角 ，则 有两解
【答案】BD
【解析】对于A，命题 的否定是 ，故A正确；
对于B，若 ，可得 ， 的夹角为锐角或 ，B错误；
对于C，若方程 有两个不等的正实数根，
则 ，解得 ，故C正确；
对于D，由正弦定理， ，不符合题意，
此时三角形无解，故D错误.
故选：BD .
易混易错 37 忽略边角互化条件 致错
辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦 的个数相同，可以考虑直接改成对应
角的正弦或者对应角的边，否则就得利用 进行等量代换.
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记 内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；(2)若 为锐角三角形，且外接圆直径为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）易得 ，
由正弦定理得 （易错点），
易错之处是不知该选择正弦定理还是余弦定理进行转化
而 ，
故 ，
易知 ，
故 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ；
（2）因外接圆直径为 ，
则由正弦定理可知 ，
故 ， ，
因为 是锐角三角形，所以 ，
得 ， ，
则 ，
所以 ，
由对勾函数的性质可知， 在 上单调递减，
故 的取值范围为 .
【典例2】（2025·天津·高考真题）在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，
， ．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求 的值．
【解析】（1）已知 ，由正弦定理 ，
得 ，显然 ，
得 ，由 ，
故 ；
（2）由（1）知 ，且 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，解得 （ 舍去），
故 ；
（3）由正弦定理 ，且 ，
得 ，且 ，则 为锐角，
故 ，故 ，
且 ；
故 .
【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)若 ，求a；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得 即 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ，且 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
当 取最小值时， 取最大值，最大值 ，
所以 的面积的最大值为 .
【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【解析】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
易混易错 38 忽略三角形中的隐含条件致错
辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角
形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【典例】（24-25高三上·河北·期中）已知 是锐角三角形，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
为 的面积， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，由三角形的面积公式和余弦定理可得 ，
整理可得 ，
因为 ，则 ，可得 ，所以， ，
因为 为锐角三角形，则 ，即 （易错点），
注意锐角三角形的每个角都必须是锐角
解得 ，
所以， ，则 ，所以， .
故选：B.
【跟踪训练1】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知 的面积记为 . 内角 ， ， 的对
边分别为 ， ， ， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 为三角形边长，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，代入得 ，矛盾，
所以 ，方程两边同除以 得 ，又 ，所以 .
根据余弦定理 ，
得 .即 ，整理得 .
解得 或 （舍去）.所以 .
（2）由 ，得 ， ，
因为 ，则 ， ，
所以 ，
，因为 为锐角三角形，所以 则 ，
所以 ，即 取值范围为 .
【跟踪训练2】（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、
、 ，且满足 ， .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求三角形 面积的取值范围．
【解析】（1）由 及正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，由正弦定理可得
，
因为 为锐角三角形，故 ， ，所以 ，
又函数 在 上单调递增，且 ，故 ，即 .
（2），
因为 为锐角三角形，故 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，故角 的取值范围是 ，
所以 ，故 ，
令 ， ，
任取 、 且 ，
则
，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以函数 在 上为增函数，故 ，
故 的取值范围是 .
（3）由正弦定理可得 ，所以 ， ，
所以，
因为 ，所以 ，
令 ，函数 、 在 上均为减函数，
故函数 在 上为减函数，所以 ，即 ，
因此 ，即 面积的取值范围是 .
易混易错 3 9 对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱
辨析：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相
等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，
因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量
共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；
但直线平行不包含直线重合的情况．
【典例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量 下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则【答案】D
【解析】对于选项A：若 ，则 ， 的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于选项 B ：当 时， ， ，此时 未必共线，故 B 错误 (易错点)；
注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行
对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误（易错点）；
向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小
对于选项D：若 ，则向量 ， 互为相反向量，则 ，则D正确；
故选：D.
【典例2】（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若 是单位向量， 零向量，则
B．若向量 与 不共线，则存在一对实数 ，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若 ，则四边形ABCD是菱形
【答案】B
【解析】对于A，因 是单位向量， 零向量，则 ，故A错误；
对于B，因向量 与 不共线，则 与 可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：
存在一对实数x，y，使 ，故B正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；
对于D，因 ，则 ，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判
断是否是菱形，故D错误.
故选：B.
【跟踪训练1】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 与 都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的 轴、 轴都是向量C．若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点 与 不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【答案】CD
【解析】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误；
选项B，由于只有方向，没有大小，故 轴， 轴不是向量，故B错误；
选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确；
选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确．
故选：CD
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量 ， ，下列命题中，正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量 ， ，若 ， ，则 成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
易混易错 40 忽略平面向量夹角的范围与方向性 致错
辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；
（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；
（3）向量的夹角范围是 ，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.【典例1】（24-25高三上·广东·月考）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量 与向量 的夹角为钝角，
得 ，且向量 与向量 不共线，
所以 ，即 ，
由 有 ，解得 ，(易错点)
忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角
所以 的取值范围是 ．
故“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的充分不必要条件，
故选：A．
【跟踪训练1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点 ， ， 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是
“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意知 ， ， 不共线，所以 ，
所以 与 的夹角为锐角，
故“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的充分必要条件；
故选：C.
【跟踪训练2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量 ，则下
列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 的夹角为锐角，则实数 的范围为
D．当 时， 在 上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】对于A：若 ，则 ，解得 ，故A正确；
对于B：若 ，则 ，解得 ，故B正确；
对于C：当 与 夹角为锐角时，则 ，解得 ，
又 时， ，此时向量 夹角为0，
所以当 与 的夹角为锐角时， 的取值范围为 且 ，故C错误；
对于D：当 时， ，所以 ， ，所以 在 上的投影向量为 ，故D正确；
故选：ABD．
易混易错 41 忽略向量共线时的两种情况 致错
辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求
解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情
况
【典例1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量 与向量 共线，则向量 的坐标是
．
【答案】 或 .
【解析】由题意，单位向量 与向量 共线，
则向量 （易错点），
此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量
即向量 的坐标是 或 .
【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期末）已知向量 不共线，且 ， ，若 与
同向共线，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或【答案】A
【解析】因为 与 同向共线，所以存在 使得 ，
即 ，
又向量 不共线，所以 ，解得 （舍去）或 .
故选：A
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线
D．若 则
【答案】BCD
【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
对于C，因为 与 都是单位向量，所以只有当 与 是相反向量，即 与 是反向
共线时， 才成立，故C正确；
对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确.
故选：BCD.
【跟踪训练2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 共线，则
C．若 且 ，则D．若向量 满足 ，且 在 上的投影向量为单位向量，则
【答案】BD
【解析】对于A：若 且 ， ，则 ，所以A错误；
对于B：若 共线，则 或 ，所以 ，所以B正确；
对于C：若 且 ，则 ，由A选项的分析可知不一定有 ，故C不正确；
对于D ，且 在 上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形 中，
为 的中点，则 ，所以 在向量 上的投影向量为 ，如图：
即 在 上的投影向量为 ，所以 ，所以D正确.
故选：BD
易混易错 42 错用平面向量的运算律 致错
辨析：（1）在实数中：若 ，且 ，则 ，但在向量的数量积中，若 ，且 ，不
能推出 ．
（2）已知实数 ，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有 ．
（3）在实数中有 ，但是在向量 数的量积中 ，这是因为左边是与 共线的向量，而右边是与 共线的向量．
【典例1】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知 ，下列关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
∥
【答案】C
【解析】由已知 ，所以 ，即 （易错点），
要注意上式两边不能同除以 因为向量不能做除法
所以 ，故选C.
【典例2】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知 均为非零向量，则下列结论中正确的有（
）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ，且 ，则 的最大值与最小值之和为
【答案】CD
【解析】对于A选项，因为 ，当 与 的夹角为
时，也符合要求，所以选项A不正确；
对于B选项，若 ， ， ，则 ，但 ，所以选项B不
正确；
对于C选项， ，所以选项C正确；
对于D选项，不妨设 ， ， ，所以 ，整理得，即 在平面对应的点C的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
因此 的最大值为 ，最小值为 ，所以选项D正确，
故选：CD.
【跟踪训练1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知 、 、 是任意的非零向量，则下列结论正确的是
（ ）
A．非零向量 、 ，满足 且 与 同向，则
B．
C．若 ，则 不与 垂直
D．
【答案】BD
【解析】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误；
对于B中，由向量的数量积的定义，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，由 ，可得 ，所以 ，所以C错误；
对于D中，由 ，
又 ，
因为 ，所以 ，所以D正确.
故选：BD.
【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则
D． 恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取 ，满足 ， ，但 、 不一定共线，A错；
对于B选项，若 与 共线且模长相等，则 或 ，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项， 恒成立，D对.
故选：ABC.
易混易错 4 3 混淆复数的实部、虚部等基本概念致错
辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 z＝a＋bi(a，b R)，则该复数的实部为
a，虚部为b. ∈
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题） 的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【解析】因为 ，所以其虚部为 1 ， （易错点），
注意虚部也是实数，不能带着i
故选：C.
【典例2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部是
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】因为 ，则 的虚部是 ，故选：C.
【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数 的实部为__________.
【答案】8
【解析】 ，所以复数 实部为8.
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津河西·月考）复数 （i是虚数单位），则复数 的虚部为_____.
【答案】
【解析】由 ，
则 ，故复数 的虚部为 .
易混易错 44 复数的几何意义应用 陷阱
辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【典例1】（25-26浙江绍兴统考）设复数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设 在复平面内对应的向量分别为 .
由题意可知 ， （易错点），
本处易犯错误是：对复数的向量意义理解不透彻，联想不到利用向量进行转化
由于 ，则以 为邻边的平行四边形为矩形，由于矩形的对角线相等，故 .
故选：C.
【典例2】（2026·上海·高考真题）已知 ，对于所有满足 的复数 ，都有 的最小值与
的最小值相同，则 .
【答案】3
【解析】由 得复数 对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为1，
则 的最小值为 ，
而 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为 ，
则 的最小值为 ，
又因为 的最小值与 的最小值相同，
所以 ， ，解得 .
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数 的模长 ，则 的
取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为复数 的模长 ，
由复数模的三角不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立；
，
当且仅当 时，等号成立，因此 的取值范围是 .
【跟踪训练2】（25-26高二上·上海·月考）已知复数 满足 ，若复数
（ 是虚数单位），记 ，则 的最小值是___________．
【答案】 /
【解析】设 ， ， 对应的点为 ，
取 .
则由 ，得 ，即 .
由 ，得 ，即 ，
所以复数 对应的点 在以 为圆心，2为半径的圆上或圆的内部.
所以 .
所以 的最小值是 ，当且仅当 四点共线，且 是线段 与圆的交点时，取得最
小值.
易混易错 4 5 忽略数列与一般函数的区别致错
辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的.【典例】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列 满足 ， ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列 满足 ， ，即 ，
当 时，则有 ，所以 ， ， ， ，
上述等式全部相加得 ，
所以 ，
也满足 ，故对任意的 ， ，
所以 ，
由对勾函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，因为 ， ，故 （易错点），
注意数列中的n为正整数
所以 的最小值为 .故选B.
【跟踪训练1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列 满足 ，若对于任意的
都有 成立，则正整数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由题意数列 为递增数列，
所以 ，则 且 ，
又 为正整数，由 知， ，
当 时， ，符合 ，
同理 均符合，
当 时， ，不符合 ，
故正整数 的取值范围是 .
故选：D.
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单
调递减数列，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为数列 是单调递减数列，
所以 恒成立，
则 ，即 ，
又 ，则 ，所以 ，则实数a的取值范围为 .
故选：D
易混易错 46 由 Sn 求 an 忽略 n= 1 的讨论 致错辨析：利用S 与a 的关系求a ，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是
n n n
否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
【典例】（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的
通项公式 .
【答案】
【解析】由 得， 时， ，两式相减得 ，
所以当 时， 是公比为3的等比数列，而 ，则 ，
由 不满足上式得 .（易错点）
易错之处是：忽视n=1，而得到错解 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】当 时， ，而 不满足上式，
所以数列的通项公式为 .
【跟踪训练2】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知 是数列 的前 项和， ， ，则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时，满足 ，
所以数列 的通项公式为 .
故选：C
易混易错 47 等比数列问题忽略公比 q 的讨论 致错
辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和公式求和
时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列 中， ，前三项之和 ，则公比 的
值是（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或【答案】C
【解析】当 时， ，符合题意（易错点）；
本处容易忽视q=1这一种情形
当 时， ，解得 .
综上， 的值是1或 .
故选：C
【典例2】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列 ，首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，若
数列 是等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 .
若 ，则 ，由题意可得 ，即 ，
所以， ，解得 ，不合乎题意；
若 ，则 ，则 ，
由题意可得 ，即 ，
所以， ，可得 .
故选：B.【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测） 是正项等比数列，记 为数列 的前 项和，且满足
，则数列 的公比为___________．
【答案】1
【解析】若 ， 成立；
因 是正项等比数列，则 ， 且 ，
由 可得 ，
化简得 ，分解因式得 ，
故 或 ，因为 且 ，故此情况下无解．
综上所述： 满足题意．
故答案为：1.
【跟踪训练2】（25-26高二上·重庆·期末）在等比数列 中， ， ，
则 ______．
【答案】 或
【解析】设等比数列 的公比为 .
（1）当 时，若 ，则 的各项均为正数，
所以 ，与已知不符，所以 ，
所以 ，
所以 ，①
而 ，②② ①得 ，即 ，解得 .
代入 得 .
（2）当 时，若 ，则 的各项均为负数，
所以 ，与已知不符，所以 ，
所以 ，
所以 ，③
而 ，④
④ ③得 ，即 ，解得 .
代入 得 .
故答案为： 或 .
易混易错 48 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一
项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩
余的正数项，则后面剩余的是负数项.
【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列．(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的公差不为零，且数列 满足： ，求数列 的前99项和 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，依题意， ， ， 成等比数列，
所以 ，解得： 或
当 时， ；当 时， ，
所以数列 的通项公式为 或 .
（2）因为等差数列 的公差不为零，由（1）知 （ ），
则 ，
所以
(易错点)
裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项
【跟踪训练1】（25-26高二下·全国·单元测试）已知在数列 中， 且 ，设
， ，则数列 前 项和 ________．
【答案】
【解析】 ， ，
为常数列， ， .由题设 ，当 时，有 ，
解得 ，即 适合上式．
， ， ，
．
即 .
【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列 中， ，令 ，则数列
的前15项的和为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
故 为首项是 ，公差为 的等差数列，所以 ， ．
，
所以数列 的前 项的和 ，
故 ，
故选：B．
易混易错 49 错位相减求和错判项数、公比或符号 致错
辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成
立.
【典例】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记 为数列 的前n项和，已知 ， 是公差为 的等
差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）由 得 ，又 是公差为 的等差数列，故 ，即
；
当 时， ，两式相减得 ，
累乘得： ，
所以通项公式为： .
（2）由 ，代入 得： ，用错位相减法求 ：
，
，
两式相减得： (易错点)，
此处相减后容易漏项或者错判项数
整理后得： .
【跟踪训练1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，且 ，数列 的前n项和为 ，则 _________．
【答案】
【解析】因为 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 是首项为1，公差为 的等差数列．
得 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
两个等式作差可得 ，
，
故 ．则 ．
【跟踪训练2】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱 的棱 的中点M且与底面ABC平
行的平面内的一动点O满足： 对任意 都成立，且 ，则数
列 的前n项和 ．
【答案】
【解析】作出示意图如下：设 直线与底面ABC的交点为E，
则根据题意可知O为 的中点，所以 ，
又 ，
所以 ，
又因为A，B，C，E四点共面，且 ， ， 不共面，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
，
两式相减得：
，所以 ．
易混易错 50 对斜二测法规则掌握不牢 致错
辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与 轴平行(重合)的线段长度不变，与
轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示， 是利用斜二测画法画出的 的
直观图，已知 轴， ，且 的面积为16，那么 的面积为 ．
【答案】
【解析】因为 轴，所以在 中， （易错点），
对斜二测画法规则理解不透，不能判断出
又三角形的面积为16，所以 . ，
所以 （易错点）. ∴
平行于y轴的线段在画直观图时其长度减半
如图作 于 ，因为 ，所以 .
所以 .
秒解：因为 ，所以 的面积为
.
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图
所示， 轴， 轴， ，则 的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【答案】D
【解析】由题直观图的面积为 ，
原图的面积等于直观图面积的 倍，
所以原图的面积为 ，故D正确.
【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的 ，用斜二测画法得到直观图 ，如图所示，若
，则 的面积等于___________．【答案】4
【解析】由题意，作出直观图对应的原图，
可得 ，
所以 的面积等于 .
易混易错 51 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个
表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【典例】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥 中，底面 为边长为4的正方
形，侧面 底面 ，且 为等边三角形，则该四棱锥 外接球的表面积为
（ ）
【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥 中，设 和正方形 的外接圆的圆心分别为 ，
分别过 作两个平面的垂线交于点 ，则由外接球的性质知，点 即为外接球的球心(易错点).
需注意，球心与球的各截面圆的圆心连线与相应截面垂直取线段 的中点 ，连接 ， ， ， ，则四边形 为矩形.在等边三角形
中，可得 ，则 ，即
在正方形 中，由 ，可得 ，在 中，可得 ，
设 外 接 球 半 径 为 ， 则 ， 所 以 四 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积
.故选 .
【跟踪训练1】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球
心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故
或 ，即 或 ，解得 符合题意，
所以球的表面积为 ．故选：A．
【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥 中， ， ，
，若 ， ， ， 都在球 的球面上，则球 的表面积为______
【答案】
【解析】在三棱锥 中， ，
则AB，AC，AP两两垂直，
三棱锥 与以AB，AC，AP为棱的长方体有相同的外接球，
因此球 半径 ，
所以球 的表面积为 .
【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥 与 ，它们的各顶点都
在球 的球面上， ，且二面角 的大小为 ，则球 的表面积为 .
【答案】
【解析】由题意可知，外接球的球心 ，且 平面 ，即 为外接球的直径，
设 平面 ，则 为等边三角形的中心，取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ，故二面角 的平面角为 .
设 ， ， ， ， ，则 ， ，又 ， ，
则 ，
又 ， ，解得 ，即球 的表面积为 .
易混易错 5 2 线面位置关系考虑不全面 致 错
辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异
面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线
的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定
位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二
是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【典例】（2025·四川成都联考）已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列结论正
确的是（ ）
【答案】A
【解析】对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ，若 ， ， ，则 ，故 正确；对于 ，若 ， ，只有当 垂直于 与 的交线时 ，故 C 错误 （易错点）；
若 不是垂直于 与 的交线，则 与 可能相交、平行或
对于 ，若 ， ， ，则 或 与 相交，故 错误.
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海·月考）若 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确
的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 与 相交
【答案】C
【解析】对于A，若 ， ，则 平行或异面，故A错误.
对于B，若 ，则 平行或异面或相交，故B错误.
对于C， ，过 作平面 ，使得 ，
因为 ，故 ，而 ，故 ，故 ，故C正确.
对于D，若 ，则 与 相交或异面，故D错误.
故选：C.
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线 ，两个不同的平面 ，下
列命题中一定正确的是（ ）.
A．若 是一对异面直线，且 ，则 .
B．若 ，则 .
C．若 ， ， ， ，则 .D．若 ， ，则 .
【答案】A
【解析】A，过直线 作平面分别交 于 ，由线面平行的性质可得： ，
即 ，因为 ，所以 ，同理可得过 作平面交 于 ，即可得 ，
因为 异面，所以 是 内的相交直线，根据面面平行的判定定理，可得 ，故A正确；
B，若 ，则 可能相交、异面，即不一定平行，故B错误；
C，面面垂直的性质定理要求 ，题中没有这个条件，当 不在 内时，不能推出 ，故C
错误；
D，若 ， ，则 可能平行 、斜交 ，即不一定垂直 ，故D错误.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知 是三条不同的直线， 是两个不同
的平面， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 或
C．若 ，则
D．若 与 所成角相等，则
【答案】BC
【解析】对于A：若 ，则 或 ，故A错误；
对于B：因为 ， ， ，所以 或 ，且 或 。若 ，因为
是不同的直线，
则 与 是 内两条平行线，又 ，所以 。同理，若 ，则 。所以“或 ”必成立,故B正确。
对于C：若 ，则 或 ，
若 ，则 内必定存在直线 使得 ，又 ，所以 ，所以 ；
若 ，又 ，所以 ，
综上可得 ，故C正确；
对于D：若 且 ，此时 与 所成角均为 ，相等，
此时 ，故D错误.
故选：BC
易混易错 53 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻 致错
辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交
的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才
会垂直于另一个平面.
【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台 中，平面 平面 ，
， ．(1)证明 ；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【解析】（1）过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，（易错点）
两平面垂直时，要注意一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面
因为 平面 ，所以 ⊥ (易错点)
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，在 中，
由余弦定理得 ，
故 ，由勾股定理逆定理得 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又三棱台 中， ，所以 ；
（2）过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
三棱台 中， ，
所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线 与平面DBC所成的角，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ， 平面 ，所以 ⊥ 平面 （易错点），
注意必须强调两直线相交，此时才有线面垂直
所以 为直线 与平面DBC所成的角，由（1）知， ， ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
由勾股定理得 ，
所以 ，
所以
直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为
【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，
， ， ， ，M为CE的中点.
(1)求证： 平面ADEF；
(2)求证： 平面BDE.
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
在 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 ，且 ，
由已知 ， ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，可得 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 .
（2）在正方形 中， ，因为平面 平面 ，且平面 平面
，
且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，在直角梯形 中， ， ，可得 ，
在 中， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 .
【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱
柱 的底面边长为 为 中点．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 与 交于点 与 交于点 ，直线 与平面 夹角的余弦值为 ，求三棱柱
的体积．
【解析】（1）连接 ， ，且 ，连接 ，
因为在正三棱柱 中，
底面边长为2， ，
所以侧面都是边长为2的正方形，所以在正方形 中， ，
又因为 ， 为 中点，
所以 为等腰三角形， 是底边 中线，
所以 ，
又因为 ， 面 ，且 ，
所以 面 .
（2）法一：几何法
连接 ，由 可得： ，
记 与平面 所成角为 ，由于 平面 ，
是 在平面 上的投影，则 ，
根据线面角的定义， ，
在 中，由 且 ，则 ，
由勾股定理得： ，
所以 .易混易错 54 忽略建系的条件 致错
辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证
明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
【典例】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形 中， ，F为CD的中点，
点 E 在 AB 上， ， .将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面
与面EFCB所成的二面角为 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求面 与面 所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）设 ，所以 ，因为 为 中点，所以 ，因为 ，
，所以 是平行四边形， 所以 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
以 为原点， 以及垂直于平面 的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系(易错点).
本处易错点是不证明三线两两垂直，直接建立空间直角坐标系
因为 ，平面 与平面 所成二面角为60° ，
所以 .
则 ， ， ， ， ，.
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
，所以 ，令 ，则 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 .所以 .
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥 的底面 是直角梯形，
， ， ， 是边长为2的正三角形，侧面 底面ABCD．
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【解析】（1）取 中点 ， 中点 ，连接 ， .
因为 为等边三角形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
平面 ，所以 ，
又底面 是直角梯形， ，所以 .
又 分别为 ， 中点，所以 ，所以 .
所以 两两垂直.
故以 为原点，建立如图空间直角坐标系，因为 ，所以 ， ， ， .
所以 ， .
因为 .
所以 ，所以 .
（2）由（1）得， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 .
所以点 到平面 的距离为： .
【跟踪训练2】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥 中， ，
， ， ， ，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，如图所示：因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 .
（2）由 平面 ， ，
所以以点 为坐标原点， 分别为 轴，过点 平行于 的所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知 平面 ， 平面 ,
所以 ，所以 为二面角 的平面角，
又二面角 的大小为 ，所以 ，
又 的中点为 ， ，所以 ，
在直角三角形 中，
，所以 ，
则 ，
设点 ，由 ，所以 ，①
则 ，又 ，
所以有 ，②
又 ，即 ，③
联立①②③解得： ，
所以 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，
令 ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为： .
易混易错 55 忽略异面直线所成角的范围 致 错辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；
二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所
成角的范围.
【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称为阳马．阳马 中，若 平面 ，且 ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
由题意，设 ，则 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
设直线 与 所成角为 ，
则 .
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 （易错点）．本题容易错将答案写成 或
【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥 的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3
的同一球面上，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____________________
【答案】 或
【解析】设外接球球心为 ，底面中心为 ，外接球半径 ，
因为底面边长为4，所以 ，
易知球心 在直线 上，则 ，解得 或 ，
当 时，又 ，解得 ，
因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角.
在 中，由余弦定理可得 ，
解得 ；
当 时，又 ，解得 ，
因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角.
在 中，由余弦定理可得 ，
解得 .综上：直线 与 所成角的余弦值为 或 .
【跟踪训练2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥 中， ，
， ，平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为____.
【答案】 /
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， .
因为 ，所以 ， ，
所以 为平面 与平面 所成二面角的平面角，
又 ，
所以 ，
则 ，所以 为等边三角形，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
即 ，得 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .易混易错 5 6 混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角” 致错
 
 a n  a n
辨析：若直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则sin =|cos< , >|。容
易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面
的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
【典例】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， 与 均为等腰直角三角形，
，E为BC的中点．
(1)若 分别为 的中点，求证： 平面PAB；
(2)若 平面ABCD， ，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与 为等腰直角三角形且 ，
不妨设 ， . .
E、F分别为BC、PD的中点，
，且 .
， ，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB；
（2） 平面ABCD， 以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示
的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
，
设平面PCD的一个法向量为 ，
， ，
取 ， ， .
设AB与平面PCD所成角为 ，
则 (易错点)
若对概念不清，容易错写成
即AB与平面PCD所成角的正弦值为 .
【跟踪训练】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
E为棱 的中点，平面 与棱 相交于点F，且 ， .(1)求证： ；
(2)已知点M在棱 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 .
（2）由 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
得 ，有 ，所以 ，
建立如图空间直角坐标系 .
，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
所以 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
整理得 ，解得 ，即 .
易混易错 57 忽略斜率公式的应用条件 致错
辨析：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于 轴（平
行于 轴或与 轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
【典例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点 ， ，当 时，直线 的
倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为 ，则 .
因为 ， ，
当 时， ；（易错点）
要注意考虑斜率不存在的情形当 时， ，或 .
当 时，直线的斜率 ，
所以 ，得 ；
当 时，直线的斜率 ，
所以 ，得 .
所以 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知 ，若过点 的直线 与线段
（含端点）总有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图，设 ，当直线 过点 时，斜率 ，当直线 过点 时，斜率
，要使直线 与线段 （含端点）总有公共点，则直线 的斜率 需满足 或 .
所以直线 的斜率的取值范围为 .
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲
线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】把 看成动点 到定点 所在直线的斜率，如图：
当直线 与半圆 相切时，斜率最小，
设直线 方程为： ，
此时由圆心到直线的距离等于半径可得： ，解得： 或 （舍去），
所以 的最小值为 .
易混易错 58 求直线方程忽略截距为零 致错辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
【典例】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为 ，（易错点）
此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得
代入点 ，解得 ，所以直线方程为 即 ；
当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为 ，
代入点 ，解得 ，所以直线方程为 .
综上，经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线是 或 .
故选：C.
【跟踪训练】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线
共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】B
【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为 ， .
则直线过点 ，那么直线斜率为 .
所以直线方程为 .
因为该直线与圆 相切，所以圆心 到直线的距离等于圆的半径 .即 ，化简得 ，求解得 或 （舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为 .
②当直线经过原点时，设直线方程为 ，即 .
因为直线与圆 相切，所以圆心 到直线的距离等于圆的半径 .
即 ，化简得 ，求解得 .
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为 .
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
易混易错 59 判断直线的位置关系考虑不全面 致错
辨析：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点
的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.
【典例】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线 与 平行，则实数 的值
为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ， ，时， 方程是 ， 的方程是 ，平行；
时， 方程可化为 ， 方程化为 ，两直线重合，舍去，（易错点）
忽视对m取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错
故选：A.
【跟踪训练1】（多选）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线 ，
，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则直线 ， 之间的距离为
C．直线 过定点
D．若直线 在两坐标轴的截距相等，则 或
【答案】BCD
【解析】对于 ，直线 的斜率为 ，若 ，则直线 的斜率为 ，
则 ，所以 不垂直，故 错误；
对于 ，若 ，所以可得 ，则直线 ，
由两平行直线距离公式可得 ，故 正确；
对于 ， 可化为 ，
所以直线 恒过 ，故 正确；
对于 ，当 直线 与 轴无截距，不满足条件，
当 ，在两坐标轴的截距相等，分别令 ，可求出与 轴截距为 和 轴截距 ，即
解之可得 或 ，故 正确.
故选：
【跟踪训练2】(多选)（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线 ： ， ：
，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．存在 ，使得
C．直线 过定点 D．直线 过定点
【答案】AC
【解析】若 ， ： ， ： ， 显然成立，
若 ， 的斜率为 ， 的斜率为 ， ，所以 ，所以无论 为何值， ，
故A正确，B错误；
的方程可化为 ，即 ，所以 过定点 ，故C正确，
，所以 过定点 ，故D错误.
故选：AC.
易混易错 60 忽略圆的一般方程的限制条件 致错
辨析：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大
于0时才表示圆．【典例】（25-26高三上·青海西宁·期末）点 在圆 外，则k的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： 表示圆，
可得： ，解得 ，（易错点）
要注意考虑方程表示圆的条件
又 在圆外，所以 ，得 ，
所以k的取值范围为 .
故选：C
【跟踪训练】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点 在圆 外，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圆 ，可得 ，
可得 ，解得 ，
又由点 在圆外，则 ，解得 ，
综上可得： ，所以实数 的取值范围是 .
故选：D.易混易错 61 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论 致错
辨析：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.
【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，
上存在两点关于直线 对称.
(1)求 的半径；
(2)过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为2，求 的方程.
【解析】（1）圆 ，即 ，
则圆心为 ，半径 ，
因为 上存在两点关于直线 对称，所以点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以 的半径 ；
（2）由（1）可得 ，圆心为 ，
因为过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为 ，所以圆心 到直线的距离 ，
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时圆心 到直线的距离 ，符合题意；
（易错点）
要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 ；
综上可得直线 的方程为 或 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系 中， ，点 满
足 ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若经过点 的直线 与 相交于点 ，且 ，求直线 的方程；
(3)已知 .若直线 经过点 且与 相交于 两点，线段 的中点为 与 的交点为 ，
证明： 为定值，并求出该定值.
【解析】（1）解：设 ，因为点 且 ，
所以 ，即 ，
所以 的轨迹方程为 .
（2）解：由（1）知 ，圆心为 ，半径为 ，
因为 ，设圆心 到 的距离 ，可得 ，解得 ，
当 斜率不存在时， 方程： ，此时 ，满足题意；当 斜率存在时，设 方程： ，即 ，
则 ，解得 ，此时 .
综上可得，直线 的方程为 或 .
（3）解：当 斜率不存在时，此时 与圆 相切，不符合题意，
所以 斜率存在，设直线 的斜率为 ，则 ，且
联立方程组 ，
整理得 ，
令 ，解得 ，
且 ，所以 ，
又由 ，解得 ，所以 ，
因为 均在直线 上，且
所以 .易混易错 62 两圆相切忽略内切、外切的区分 致错
辨析：1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆的圆心距d；
③通过d，r ＋r ，|r －r|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形
1 2 1 2
结合．
2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或
差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何
法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
【典例】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆 和圆
，则（ ）
A．两圆可能无公共点
B．若两圆相切，则
C．直线 可能为两圆的公切线
D．当 时，若 为两圆的公切线，则 或
【答案】ACD
【解析】由圆 的圆心为 ，圆 的圆心为 ，则圆 和圆 的圆心距为 ，
对于A，当 ，即 时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确；
对于 B ，当两圆外切时， ，得 ；当两圆内切时， ，得 ，故 B 错误 （易
错点）；
注意两圆相切包括外切与内切
对于C，当 时，直线 可能为两圆的公切线，故C正确；
对于D，结合选项B可得，当 时，两圆外切，则有 ，解得 或 ，故D正确．
故选：ACD．
【跟踪训练】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆x2+ y2=9，x2+(y-6) 2=r2，若两圆相切，则半
径r为 ．
【答案】3或9
【解析】由题意知：两圆圆心分别为：C (0,0)，C (0,6)，半径分别为：r =3，r =r>0，
1 2 1 2
当两圆外切时：|C C |=6=3+r，解得：r=3；
1 2
当两圆内切时：|C C |=6=|3-r|，解得：r=9，负值舍去；
1 2
综上：r=3或r=9.
易混易错 63 曲线方程变形不等价 致错
辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围
的变大或缩小.
【典例】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线 与曲线 有两个不
同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】曲线 即为半圆： ， （易错点）
要注意此曲线是半圆不是一个圆，且要注意区分是右半圆还是上半圆
其图象如图所示，
曲线与 轴的交点为 ，而直线 为过 的动直线，
当直线 与半圆相切时，有 ，解得 ，
当直线 过 时，有 ，
因为直线 与半圆有两个不同的交点，故 ，
故选：D.
【跟踪训练1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线 与曲线 有两个不同的交点，
则 的取值范围为_____
【答案】
【解析】由 可得 ，整理可得 ，
所以，曲线 表示圆 在 轴的上半部分，
当直线 与圆 相切时， ，
结合图形可知， ，则 ，
当直线 过原点时， ，
结合图形可知，当 时，直线 与曲线 有两个不同的交点.
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线 与曲线 恰有两个
交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可知直线 过定点 ，
曲线 两边平方得 ，
所以曲线C是以 为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，
当直线 过点 时，直线 与曲线C有两个不同的交点，此时 ，当直线 与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心 到直线 的距离 ，两边平
方解得 ，
所以结合图形可知直线 与曲线C恰有两个交点，则 .
故选：B.
易混易错 64 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 致错
辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满
足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值
是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①动点 满足 ，则P的轨迹是椭圆
②动点 满足 ，则P的轨迹是双曲线
③动点 满足到y轴的距离比到 的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点 满足 ，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①， 表示点 与点 的距离和为2a= ，
而 两点的距离为 2c= 4 ，所以 点轨迹是 两点间的线段(易错点)，①错误.
当2a>2c时点的轨迹才是椭圆②， 表示点 与点 的距离和为 ，
而 两点的距离为 ， ，所以 点的轨迹是椭圆，②错误.
③，动点 满足到y轴的距离比到 的距离小1，
当点 在 y 轴左侧或在 y 轴上时则动点 满足到直线 的距离和到 的距离相等
(易错点)，则P的轨迹是抛物线；
转化为到定点的距离等于到定直线的距离，便符合抛物线的定义
当点 在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线 ，③不正确.
④，动点 满足 ，
则 或 ，
表示的是直线 在 圆外和圆上的部分；
表示一个圆，所以 P 的轨迹是圆和两条射线， ④ 错误 .（易错点）
所以正确的有0个.
故选：A
【典例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆 ，点 在圆A上运动，设
线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为 ，则 点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为圆心 ， ，所以 ，
因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为 ，所以 ，
所以 ，
所以Q点轨迹为双曲线，且 ，
所以 ，则 点的轨迹方程为 .
故选：B
【跟踪训练1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆 外切，同时与圆
内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设动圆圆心为 ，半径为 ，
圆 ，即 的圆心 ，半径 ；
圆 ，即 的圆心 ，半径 ，
而 ，则点 在圆 内，由圆 分别与圆 外切，与圆 内切，得 ，整理得 ，
因此动圆圆心 的轨迹是以 为焦点，长轴长为12的椭圆，
长半轴长 ，半焦距 ，短半轴长 ，
所以所求轨迹方程为 .
故选：B
易混易错 65 忽略圆锥曲线焦点的位置 致错
辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情
况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，
不确定要讨论，在定量，即求 或 的值．
【典例】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，实轴长为2，则双曲
线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】当双曲线的焦点在 轴上时，其方程可设为： ，
依题意， ，因 ，故得 ，双曲线方程为： ；当双曲线的焦点在 轴上时，其方程可设为： ，（易错点）
由于焦点位置未确定，故需分焦点在x轴上、在y轴上分类讨论
依题意， ，因 ，故得 ，双曲线方程为： ，即 .
故选：D.
【跟踪训练1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的 倍，且过点 的椭圆的标准方
程（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【解析】由题意可知， ，
若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，
将点的坐标代入椭圆方程可得 ，解得 ，
此时，椭圆的标准方程为 ；
若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，
将点的坐标代入椭圆方程可得 ，解得 ，
此时，椭圆的标准方程为 .
综上所述，椭圆的标准方程为 或 .
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为.
①实轴长为4；②渐近线方程为
【答案】 或
【解析】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知: ，此时双曲线标准方程为
.
当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知： ，此时双曲线标准方程为
.
故答案为： 或
易混易错 66 求离心率范围时忽略离心率本身范围 致错
辨析：注意椭圆离心率的范围： 0<e<1，双曲线离心率的取值范围：e>1.
【典例】（25-26高三上·北京·期中）椭圆 上存在一点P满足 ， 分别
为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 .
【答案】
【解析】当点 位于短轴的端点时， 最大，要使椭圆 上存在一点P满足 ，
只要 最大时大于等于 即可，
即当点 位于短轴的端点时， ，
所以 ，
又椭圆的离心率 ，(易错点)
若忽视此范围，则将得错解
【跟踪训练1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线 ，若圆
上存在点 使得 的中点 在双曲线 的渐近线上，则双曲线 的离心率的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线为 ，即 .
设 ，则 .
因为点 在双曲线 的渐近线上，所以 ，即 .
所以点 在直线 上.
因为点 在圆 上，所以直线 与圆 有
公共点.所以圆心 到直线 的距离不大于圆 的半径，所以 ， .
设双曲线 的焦距为 ，则 ，所以 ，所以 .
所以双曲线 的离心率的取值范围为 .
故选：B.
【跟踪训练2】（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 分别为椭圆的左、右焦点，A，
B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足 ，则椭圆C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】设 ， ，
则由 ，可得 ，所以 ①．
又因为点 ， 都在椭圆上，满足椭圆方程，所以 ②，
由方程组①②可得 ，化简得 ，解得 ，因为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
所以该椭圆的离心率的取值范围是 ．
易混易错 67 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
辨析：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考
虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
【典例】（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知 两点的坐标分别是 ，直线 相交于
点 ，且直线 的斜率与直线 的斜率的差是 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，整理得 ，(易错点)
当 时，点M与点A或点B重合，此时直线MA或MB不存在
所以动点 的轨迹方程是 .
故选：A.【典例2】（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆 过定点 ，与定圆 外切，则
动圆圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设 ，圆 的半径为 ，则 ，
所以 ，点 的轨迹是以 ， 为焦点，
所以 ， 的双曲线的左支，
又 ，则 ，故 ，
动圆圆心的轨迹方程为 .
故选：C
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）（24-25高二下·云南·期末）已知动圆 与圆
内切，同时与圆 外切，则动圆 的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】 的圆心为 ，半径 ， 的圆心为 ，半径 ，由动圆 与圆
内切，设动圆半径为 ，求出 ，动圆 与圆 外切，求出
，则有 为定值，结合椭圆的定义得解.
【解析】
的圆心为 ，半径 ，
的圆心为 ，半径 ，
动圆 与圆 内切，设动圆半径为 ， ，
动圆 与圆 外切， ，
， ，
， 动圆 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
， ，
动圆 的轨迹方程为 .
故选：C.
【跟踪训练2】一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 外切，则动圆圆心 的轨迹方
程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】 圆 与圆 外切，如图，
，即 ，
，
由双曲线的定义，点 的轨迹是以 为焦点， 为实轴长的双曲线的左支，其中 ， ，
．
故所求轨迹方程为： ．
故选：C．
易混易错 6 8 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
辨析：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如
果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项
系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）若直线 与双曲线 恰好有一个交点，
则直线 的斜率的所有可能值为 .
【答案】 或
【解析】将 代入双曲线方程 中得到： ，展开整理得 .
当 时，即 时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双
曲线恰好有一个交点 . (易错点)
注意直线与双曲线恰有一个公共点时，直线与双曲线可能相切，也可能相交于一点（此时平行于渐
近线）
当 时方程 是二次方程，
若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式 ，
展开得到： .
进一步化简为 ，则 .
解得 .
综上所得，直线 的斜率的所有可能值 或 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线 ，斜率为 的直线 绕定点 旋转，
下列说法正确的是（ ）
A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切
B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率 的范围是
C．当直线与抛物线只有一个公共点时， 或 ，
D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率 的范围是
【答案】D
【解析】设直线 的方程为 ，即 ，由 消去 得： ，
当 时，直线 与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误；
当 时， ，
当 时，解得 或 ，此时方程组有两个相同的实数解，直线 与抛物线相切，只有
一个公共点，
所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线 的斜率分别为 ，故C错误；
当 时，解得 ，此时方程组有两个不同的实数解，故直线 与抛物线交于两
点，故B错误；
当 时，解得 ，此时方程组没有实数解，知直线 与抛物线相离，没有
公共点，故D正确.
故选：D.
【跟踪训练2】(多选)（24-25高二下·河北衡水·期末）已知曲线C： ，直线 ，
， ， 为C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为2
B．当 时，C上有且仅有两个点到 的距离为1
C．若曲线C与 有两个不同的交点，则
D．当 时，
【答案】ACD
【解析】A选项，若 ，则 ，
此时曲线为焦点在 轴上的双曲线的一部分，其中 为其渐近线，
若 ，则 ，此时曲线为单位圆的一部分，若 ，则 ，无解，此时不合要求，
当 则 ，
此时曲线为焦点在 轴上的双曲线的一部分，其中 为其渐近线，
画出曲线C： 如下：
由于 ， 与 平行，
故取 的中点 ，直线 与 垂直，且 与 （ ）交于点 ，
此时点 与点 重合时， 到 的距离最大，所以 面积的最大，
其中直线 为 ，
联立 与 （ ）得 ，故 ，
点 到直线 的距离为 ，
又 ，故 的面积最大值为 ，A正确；
B选项，当 时， ，
由A知， 到 的距离为 ，由于 为到 的距离最大，所以C上有且仅有1个点到 的距离为1，B错误；
C选项，当 过点 时， ，
且此时 与 相切，只有1个交点，
又 为曲线C的渐近线，此时 ，
结合图形，可知若曲线C与 有两个不同的交点，则 ，C正确；
D选项，当 时，此时 位于 （ ）上，
故 到焦点 的距离减去到焦点 的距离差为 ，
故 ，D正确.
故选：ACD
易混易错 6 9 恒成立意义不明导致定点 致错
辨析：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用
参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅
靠研究特殊情况来说明．
【典例】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知椭圆 的右焦点为 ，A、B分别
是椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 的上顶点， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 ，若直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，求证：直线 过定点.
【解析】（1）由题知 ， ， ， ，
由 的面积为 ，得 ，
又 ，代入可得 ， ，∴椭圆 的方程为 .
（2）联立 得 ，
设 ， ，可得 ， ，
由题知 ，
即 ，
即 ，解得 ，
∴直线 的方程为 ，故直线 恒过定点 .
【跟踪训练】（25-26高二上·江西南昌·期末）双曲线 经过两点 和 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线交双曲线 于 两点， 为左焦点，直线 交双曲线于另一点 ，直线 交
双曲线于另一点 ，求直线 过定点．
【解析】（1）设双曲线方程为： ，代入两点可得：
，解得： ，又设双曲线方程为： ，代入两点可得：
，解得： ，显然这组解不成立，
综上双曲线 的标准方程为 ；
（2）
设 ，由（1）知 ，
则直线 方程为： ，直线 方程为： ，
由直线 方程与双曲线方程联立可得：
，消 可得： ，
整理得： ，
即 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，
则 ，
即点 ，同理可得：点 ，
设直线 的方程为： ，把点 的坐标代入可得：
，
，
同理，把点 的坐标代入可得： ，
即直线方程 必过点 ，
即此方程就是直线 方程，又因为直线 过点 ，
则有 ，
则直线 的方程 必过定点 .
易混易错 70 混淆两个计数原理 致错
辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的
应用.
【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形 ，对于其四边 ，按顺序分别抛掷
一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿
着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，对于其四边 ，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有 种情况，（易错点）
注意：分类相斥，分步相依
要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留 两条边，则 可保留也可擦去，
共有 种情况；
若保留 两条边，则 可保留也可擦去，
共有 种情况（其中有一种情况与上面重复），（易错点）
注意剔除重复的方法
则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有 种情况，
所以可以到达C点的概率为 .
故选：B.
【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从 处到 处只有一条支路接通，则不同的路径
有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．9种
【答案】C
【解析】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知，不同的路径有 种.故选：C.
【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 ，
为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为
偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能
用一天，则不同的用车方案种数是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】B
【解析】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，
分2类，
第一类： ，第二类： ，共27种.
故选：B．
【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合 ， 是 的函数，且满
足 ，则这样的函数 的个数为____________．
【答案】
【解析】由 可知，函数 的值域中的任何元素y都满足 .
因为值域非空，所以1必在值域中，即 .
若仅有 ，则对任意 ，有 .
此时对于 ，令 ，则 .而 ，这与仅有 的假设矛盾.
故 中至少有一个元素的函数值为1.
具体分类如下：
1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况；
2、若仅有4个函数值为1，又 ，则另外4个中应有3个函数值为1有 种，
如 ，依题意 只能从 中取值，有3种情况，此时共有 种；
3、若仅有3个函数值为1，又 ，则另外4个中应有2个函数值为1有 种，6×4=24
如 ，依题意 只能从 中取值，有 种情况，此时共有 种；
4、若仅有2个函数值为1，又 ，则另外4个中应有1个函数值为1有 种，
如 ，依题意 都只能取2，有1种情况，此时有 种情况；
综上所述，这样的函数 的个数共有 个.
故答案为： .
易混易错 7` 分步“有序” 致错
辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步
乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还
是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根
据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其
实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．
【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个
零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【答案】 C
【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等
品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有 （种）
（易错点）．
至少至多型产品抽取问题一般分类讨论或用间接法求解
方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有
（种），故选C.
【错因分析】由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有 种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有 种不同
的取法，故共有 （种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出
1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有 （种）；②取
出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而
实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有
（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数
应是 ．
【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的 人中选出 人分别担任班长、团支
书、学习委员，则甲、乙至多有 人被选中的不同选法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】从包含甲、乙两人的 人中选出 人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为
种，
若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为 种，
因此，甲、乙至多有 人被选中的不同选法有 种.
故选：C.
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有
不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴
胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解
××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大
流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个
“最热流行语”的选法共有（ ）
A．482种 B．462种 C．392种 D．270种【答案】B
【解析】解法一：由题意可知，可以分三类：
第一类，不包含“最热流行语”，有 （种）不同的选法；
第二类，包含1个“最热流行语”，有 （种）不同的选法；
第三类，包含2个“最热流行语”，有 （种）不同的选法．
综上，至多包含2个“最热流行语”共有 （种）不同的选法．
解法二：正难则反，
从12个流行语中选择4个不同的流行语共有 （种）不同的选法，
包含3个“最热流行语”有 （种）不同的选法，
包含4个“最热流行语”有 （种）不同的选法．
所以至多包含2个“最热流行语”共有 （种）不同的选法．
故选：B．
易混易错 72 分步不合理导致重复或遗漏 致错
辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致
步骤间矛盾，结果出错.
【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有
重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．384种 B．168种 C．108种 D．192种【答案】D
【解析】 先给 2 ， 5 染色，有 种方法，（易错点）
涂色时常先从中间部分涂起
若 1 和 5 同色，则 4 有 2 种涂法；若 1 和 5 不同色，则 4 有 种涂法．（易错点）
涂色时一般按相对区域同色或异色分类处理
因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有 种．
故选：D
【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同
的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
B
A C E
D
A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有 种不同涂法
B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
【答案】AB
【解析】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有 种不同
涂法，A正确；
对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有
种不同涂法，故B正确；
对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有
种涂法，
因 三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在 上全排，有 种涂法，则共有 种涂法，故C错误；
对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有 种涂法，
因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A
同色，此时共有24种涂法，故D错误．
故选：AB.
【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的
两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（ ）
A．80 B．100 C．110 D．120
【答案】D
【解析】如图，若先染 有5种色可选， 有4种色可选， 有3种色可选， 有2种色可选，
则不同染色方法共有 （种）．
故选：D.
易混易错 7 3 忽视排列数组合数公式的隐含条件致 错
辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方
程、不等式（组）求解参数的值.
【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数 的方程 ，则该方程的解为
.
【答案】 或【解析】根据组合数的性质，由
可知： 或 ，（易错点）
需注意考虑上组合数方程上标间的限制条件
即 或 ，所以 和 均满足题意，
所以该方程的解为： 或 .
【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若 ，则 _________.
【答案】3
【解析】由题设 ，且 ， ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，可得 （非整数解舍）.
【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值： ；
（2）解方程： ；
（3）解不等式： .
【解析】（1）原式 ；
（2）由 可得 或 ，解方程 ，即 ，解得 或 ，
解方程 ，即 ，解得 或 ，
又因为 、 均为整数，且 ，
所以 或 符合要求， 和 均不符合要求.
故 或 ；
（3）由 可得 ，
由题意可知 且 ，整理可得 ，即 ，
解得 ，又因为 且 ，所以 .
易混易错 74 分组问题混淆“均分”与“非均分” 致错
辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本；
(4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；
(5)（平均分组）平均分成三堆．【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的,而分组问
题，只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同.
C1
【解析】（1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有 6种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，
C2 C3 C1C2C3 =60
有 5种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有 3种取法，故共有分法 6 5 3 （种）
（易错点）；
非均匀分组，利用计数原理分完即可
C1C2C3
(2)由(1)知，分成三堆的方法有 6 5 3种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，
C1C2C3 =60
乙得二本，丙得三本的分法亦为 6 5 3 （种）．
C1C2C3 A3
(3)由(1)知，分成三堆的方法有 6 5 3种，但每一种分组方法又有 3种不同的分配方案，故一人
C1C2C3A3 =360
得一本，一人得两本，一人得三本的分法有 6 5 3 3 （种）（易错点）
不定向分配，先分组后分配
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一
种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2
本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有 =90种方法．
（5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区
别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、
x⋅A3
丙三人每人2本的分法就应有 3种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 2
x⋅A3
本的方法有 种．所以 3＝ ，则 ( 种） . （易错点）
要注意平均分组与平均分配的区别，前者要作除法，后者不用作除法
【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．
现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人
随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅
游的概率为________．
【答案】
【解析】一方面，6人前往3个景点，每个景点至少有1人，可分为三类：
①各景点人数分别为1，2，3：先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个景点，方法
数为 种；
②各景点人数均为2：先将6人平均分为三组（2人，2人，2人），再分配到3个景点，方法数为
种；
③各景点人数分别为1，1，4：先将6人分为三组（1人，1人，4人），再分配到3个景点，方法
数为 种；所以共有 种方法．
另一方面：要满足每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类：①甲乙
去了上犹和崇义各一人，这里 种情况；再对除甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择，有 种，再
减去不合题意的，即大余没有人前往的情况，有 种，
由分步乘法原理，得第①情形共有 种；
②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是38种：
③甲乙去了崇义和大余各一人，这里 种情况；
由于此时每个景点都至少有一人了，所以除甲乙丙外的3人可以随意安排景点，有 种，由
分步乘法原理，可得第③情形有 种；
最后由分类加法原理，可得三种情形共有 种：
综上，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一
定去上犹“阳明湖"旅游的概率为 .
【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区
中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人．
(1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？
(3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？
【解析】（1）将6名学生平均分成3组，
分法数为 （种），
再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有 （种），
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 （种）；
（2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法．
将剩下的3人分成2组，分法数为 （种），
再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有 （种），根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 （种）；
②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法．
再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有 （种），
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有3×6=18（种）；
综上不同的安排方法有 （种）；
（3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有 （种），
剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有 （种），
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 （种）.
易混易错 75 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱
辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：
(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排
法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n N*，m N*)个元素相对顺序固定不变，有种不
同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素∈，再放这∈定序的m个元素，共有A种不同的方
法．
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，
则排列数为.
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干
隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之
为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有
（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个【答案】C
【解析】 当首位为 2 时，这样的五位数有 个(易错点)；
2个0之间没有顺序，2个1之间没有顺序，故需作除法
当首位为 1 时，这样的五位数有 个（易错点）.
2个0之间没有顺序，，故需作除法
综上，这样的五位数共有 个.
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加
了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为( )
A．2 B．11
C．36 D．42
【答案】D
【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好
的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．
【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从
高到低的固定顺序，共有排法（ ）
A．144种 B．108种 C．120种 D．360种
【答案】C
【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有 种方法；
再排余下3人，有 种方法，
所以不同排法种数为 .
故选：C
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从
下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400 B．11760 C．13440 D．20160
【答案】B【解析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有 种结果，
再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有
种结果，
因此根据计数原理可知共有 种结果.
故选：B
易混易错 76 混淆“系数”与“二项式系数”而 致 错
辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二
项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知 的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数
最大的项为b，则 ．
【答案】
【解析】由题意得 （易错点），
二项式系数最大的项为最中间的一项（n为偶数）或最中间的两项（n为奇数）
通项 ，
当满足 时，系数最大，（易错点）
一般利用夹击法求系数最大的项，即此项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，即 ，解得
又
解得 ，
所以 ，
故 ．
【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式
中的常数项是_______ .
【答案】210
【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以 ，解得 .
通项公式为：
.
令 ，则 ，所以常数项为 .
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知 ，二项式 展开式的前三项的系数成等
差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______．
【答案】 70 7
【解析】二项式 通项公式为：
，所以第一项的系数为： ，第二项的系数为： ，
第三项的系数为： ，
由于前三项的系数成等差数列，
所以 ，解得 ，或 ，
因为至少有前三项，所以 （舍），故 ，
所以二项式系数的最大值为 .
二项式 通项公式为： ，
设第 项的系数最大，故 ，
即 ，即 ，
解得 ，
因为 ，所以 或 ，
故系数最大的项为 或 .
故系数最大值为7.
易混易错 77 混淆互斥、对立、独立事件的概念 致错
辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否
对另一个事件发生的概率没有影响.
【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有 ， 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均
相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球 ， ，再将两箱子混合后取出一个小球 ，事件
：“小球 为红色”，事件 ：“小球 为白色”，事件 ：“已知 颜色的前提一下，小球 为红
色”，则下列说法错误的有（ ）
A． 发生的概率为 B． 与 互斥
C． 与 相互独立 D． 发生的概率为
【答案】ABD
【解析】根据题意可得 ，故A错误；根据互斥事件的定义可知 与 不互斥，故B错误；
由题可得 ， ，所以 与 相互独立(易错点)，故C正确；
若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证
对于D，事件 分为三类：
颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率 ；
颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为 -
颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为 ，故D不对.
【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件 满足
，且事件 与 相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．若 与 相互独立，则
B．若 ，则 与 相互独立C．若 与 互斥，且 与 也相互独立，则
D．若 与 相互独立，且 与 也相互独立，则
【答案】ABD
【解析】因为事件 与 相互独立，所以事件 与 相互独立，
所以 ，
因为 ，A正确；
，又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 与 相互独立，B正确；
因为 与 互斥，所以 ，
又因为 与 相互独立，
所以 ，C错误；
因为 与 相互独立，所以 ，
又因为 与 相互独立，所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有 四个电器元件，每个元件可
能正常，也可能失效．记 “电路是通路”， “电路是断路”， “至少三个元件正常”，
“恰有三个元件正常”，则（ ）
A． 与 互斥，但不对立B． 与 互斥，但不对立
C．
D．
【答案】BC
【解析】选项A： 电路不可能同时通路和断路，故 ，互斥成立；
全集是所有元件状态组合， 覆盖了通路和断路所有情况，故 是对立事件，故A错误；
选项B： 表示至多两个元件正常， 表示恰有三个元件正常，
，互斥成立， 仅覆盖正常数 ，未包含
“四个元件都正常”，故 不对立，故B正确；
选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知：
任意三个元件正常时，电路均保持通路，即 必然发生，
，故C正确；
选项D： “电路是断路”， 表示至多两个元件正常，
若 正常， 失效，此时正常元件数为2，但电路为通路，
故 发生时 不一定发生，故D错误．
故选：BC．
易混易错 78 混淆“有放回”与“不放回”致错
辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每
一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数
要变，概率也变.【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量 ， ，从6张大小相同分别标有号码
的卡片中，有放回地抽取两张， 、 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有 个，
由 ，即 ，
故满足 的基本事件有 共 个，(易错点)
注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复
所以所求概率为 .
故选：D.
【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从
袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ；故选：C.
【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个
白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止
摸球，记此时已摸球的次数为随机变量 ，则 ______．
【答案】
【解析】从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共 种，的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球 种；
②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄
种；
③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄
种，
所以 .
【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数
字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字
称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于
0.523，N的最小值为___________．
（参考数据： ， ）
【答案】 163 8
【解析】根据题意，①百位为1或2，满足要求的数字有 个；②百位为3，若十位为0
或1，满足要求的数字有 个，若十位为2，满足要求的数字有3个，
所以满足要求的数字一共有 个.
根据题意，“在前N次试验内停止” 的对立事件是 “在前N次试验都未抽中7”，单次试验未抽中
7的概率为 ，“在前N次试验都未抽中7” 的概率为 ，
则“在前N次试验内停止” 的概率为 ，所以 ，则有
，所以N的最小值为8.易混易错 79 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏 致错
辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，
这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；
二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明
确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典
概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，
部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个
选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法
正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【答案】BD
【解析】对于A，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A，B，C，D，
其中有3种结果满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为 ，A错误；
对于B，列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种，其中能得4分的结果有：
AB,BD,AD，共3种，故能得4分的概率为 ,B正确；
对于C，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果，
分别为 AB ， AC ， AD ， BC ， BD ， CD ， ABC ， ABD ， ACD ， BCD ， ABCD （易错点），
列举时要做到不重不漏
其中得分的结果有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为 ，由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为 ，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，
C错误；
对于D，丁同学选择至少一个选项，共有15种结果，
分别为 A ， B ， C ， D ， AB ， AC ， AD ， BC ， BD ， CD ， ABC ， ABD ， ACD ， BCD ， ABCD （易
错点），
其中ABCD这个选项易遗漏
能得2分的结果为A，B，D，故能得2分的概率为 ，
能得4分的结果为AB，AD，BD，故能得4分的概率为 ，
丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确.
【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率
是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
【答案】B
【解析】根据题意画出树状图,如图,
共有24种排法,
其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,
8 1
故所求概率P= = .
24 3【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的
点数，则点数之差的最大值为4的概率是________．
【答案】
【解析】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次共有 种情况，
若点数之差的最大值为4，则最大点数为5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2，
若 个数为 ，则有3种情况；若 个数为 ，则有3种情况；
若 个数为 或 或 ，则有 种情况，
故最大点数为5、最小点数为1时，共有 种．
当最大点数为6，最小点数为2时，
若 个数为 ，则有3种情况；若 个数为 ，则有3种情况；
若 个数为 或 或 ，则有 种情况，
故最大点数为6、最小点数为2时，共有 种，
综上，点数之差的最大值为4的概率为： ．
易混易错 80 对条件概率理解不透彻致错
辨析：解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．
题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为
条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB
思路一
包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公
思路二
式P(A|B)＝计算【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名
高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用碳酸饮料不低于
500毫升，这些学生的肥胖率为 ，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为 .若从该中学高二
的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则 ， ，
设“学生肥胖”为事件B，则 ， ，
由全概率公式可得 ，（易错点）
注意A,B并非相互独立事件
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为 .
故选：A
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有 个白球、 个黑球（这些球除颜色外没有其
他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入 个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取
出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白
球的概率为________.
【答案】 / /
【解析】记事件 第一次取出白球，记事件 第二次取出白球，则 ， ，
若第一次取出白球，并放入 个与取出的球同色的球，盒子中有 个白球、 个黑球，
则 ，
若第一次取出黑球，并放入 个与取出的球同色的球，盒子中有 个白球、 个黑球，
，所以 ，
故答案为： ； .
【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出 两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的
两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了 套餐，则第2天选择 套餐的概率为 ；若他前1天选择
了 套餐，则第2天选择了 套餐的概率为 ．已知他开学第1天中午选择 套餐的概率为 ，在该同学
第3天选择了 套餐的条件下，他第2天选择 套餐的概率为___________．
【答案】
【解析】设 为第 天选A套餐， 为第 天选B套餐，
则 ，
；
从而 ，
，
.
易混易错 81 求分布列时忽视了概率之和为 1 而致错
辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事
件的概率.3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36
则常数 ．
【答案】 /
【解析】由题意可知： ，
即 ，解得 或 ，
又因为 ，解得 ，（易错点）
要注意两点：一是概率之和为1，二是各概率值介于0至1之间
所以常数 .
【跟踪训练1】（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量 的分布列为
为常数，则 ______.
【答案】
【解析】 ，
因为 ，
所以 ，解得 .
【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设 是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则
__________．【答案】 /
【解析】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 ，
所以 ，
解得 或 ，
又因为随机变量的概率非负不大于 ，
所以 ， ，
解得 ，
综上 .
易混易错 82 混淆二项分布与超几何分布致错
辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽
取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整
个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100
位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的
样本观测数据整理如下：
看
没看过 合计
过
青年组 30 20 50
非青年组 15 35 50
合计 45 55 100
记 表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为 表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为 ．
(1)给出 的估计值；
(2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，
从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的
人数 的分布列和数学期望．
【解析】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组．
样本容量 ，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为
，
因此 的估计值为 ，
抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为 ，
因此 的估计值为 .
法一： ，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为 ，
因此 的估计值为 ；
法二： ，
在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为 ，
因此 的估计值为 ；
（2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世
2》的有2人，
则看过《哪吒之魔童降世2》的人数 的取值范围为 ，由题意，看过《哪吒之魔童降世 2 》的人数 ，则 ，（易错点）
在产品抽取模型中超几何分布是不放回抽取，二项分布是有放回抽取，注意区别
此时 ， ， .
则 的分布列为：
X 1 2 3
所以 ，或 ．
【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，
每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基
础知识作答成功的概率为 ，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答
成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为 ；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼
成功的概率为 ，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功.
(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；
(2)记 为参赛居民中闯关成功的人数，求 的数学期望与方差.
【解析】（1）设事件 为“第一轮基础知识作答成功”，事件 为“第二轮拓展知识比拼成功”，
由题意可知， ，则 ，
根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为：
.
（2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件 ，其概率为：
，
因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果，
故各参赛者的闯关成功事件相互独立，记 为 名居民中闯关成功的人数，则 ，
所以数学期望 ，
方差： .
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方
猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和
，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
________；若3次活动中，甲获胜的次数记为 ，则随机变量 的期望为________.
【答案】 2
【解析】设甲在猜谜活动中猜对为事件 ，设乙在猜谜活动中猜对为事件 ，
则由题意知，甲猜对的概率 ，乙猜对的概率 .
在一次猜谜活动中，甲获胜即甲猜对，乙猜错为事件 ，
则甲获胜的概率 ；
由题意可知，甲获胜的次数 服从二项分布 ，
所以随机变量 的期望为 .
【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每
满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2
个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元．
(1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；
(2)顾客B消费了1000元．
①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少?
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
【解析】（1）由题意X可能取值为20，30，50，
则 ， ， ，
则X的分布列如下表：
X 20 30 50
P
由期望公式可得 ；
（2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次
20元，一次50元，
则概率为 ；
②若打九折，需支付金额为： （元）
由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为： （元），
因为 ，故打折更划算．
易混易错 83 求中位数、百分位数时忽略数据顺序 致错
辨析：在求数据的中位数、百分数时，一定要先把数据从小到大排列，然后再根据中位数、百分数的定义
进行求解.
【典例】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）一组从小到大排列的数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
若它们的 百分位数是中位数的两倍，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 已是由小到大的排列，数据共 个（易错点），
求离散型数据的百分位数和中位数时，都要将数据先排序中位数为第 个与第 个数据的平均值即中位数为 ，（易错点）
注意最中间有两个数时，中位数取其平均数
由 ，因此 百分位数为第 个与第 个数据的平均值即 ，
得 ，
解得 ，
故选：A．
【跟踪训练1】（2026·河北衡水·模拟预测）某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比
赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为
，17，18，若该组数据的中位数是极差的 ，则m的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】依题意，该组数据的中位数为 ，极差为 ，
由该组数据的中位数是极差的 ，得 ，所以 .
故选：B
【跟踪训练2】(多选)（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），
得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10个月营业额的平均数为32.5万元
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43
【答案】AC【解析】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比
三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，
六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份
比八月份减少18万元，
十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；
对于B：由 ，即这10个月的营业额的平均数
为 万元，B错误；
对于C：前5个月的平均数 ，
方差 ；
后5个月的平均数 ，
方差
因为 ，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；
对于D：将10个数据从小到大排序：
因为 ，所以第 百分位数取第7项和第8项的平均数 ，D错误.
故选：AC.
易混易错 84 混淆总体与总体容量、样本与样本容量 致错
辨析：(1) 总体是指考察对象的全体，而总体容量是指总体的个数；
(2)样本是指从总体中抽取的若干个个体组成的集合，而样本容量是指样本个体的数目，要注意二者的区别．
【典例】（25-26高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200
名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体
C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体【答案】C
【解析】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以
此调查为抽样调查，所以A错误；
对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误；
对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确；
对于 D ， 120 0 名学生的视力是总体，所以 D 错误 .（易错点）
本题中的考查对象是学生的视力，而不是学生
故选：C
【跟踪训练】(多选)（24-25高一下·广东揭阳·期中）从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的
数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
【答案】ABD
【解析】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A正确；
样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；样本量是1000，故C错误；
个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，故D正确．
故选：ABD．
易混易错 85 对频率分布直方图中的数据特征理解不透 致错
辨析：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图
中：
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底
边中点的横坐标之和.
【典例】（多选）（25-26高三上·江西上饶·期末）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 ，
第二组 ，⋯，第八组 .下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一
组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ）
A．第二组的频率为0.016
B．第七组的频率为0.06
C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为
D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为
【答案】BCD
【解析】 对于 A ，第二组的频率为 ，故 A 错误 （易错点）；
注意频率分布直方图中频率为矩形的面积，而不是矩形的高
对于B，由题意得第六组人数为4人，则有第六组的频率为 ，纵坐标为0.016，
所以第七组的满足 ，故B正确；
对于C，由直方图得，身高在第一组 的频率为 ，
身高在第二组 的频率为 ，
身高在第三组 的频率为 ，
身高在第四组 的频率为 ，
由于 ， ，
设这所学校高一800名男生的身高中位数为 ，则 ，
则有 ，解得 ，故 C 正确； （易错点）中位数左侧各矩形面积之和为0.5，而不是高之和为0.5
对于D，设这所学校高一800名男生的身高平均数为 ，
身高在第五组 的频率为 ，
身高在第六组 的频率为 ，
身高在第七组 的频率为 ，
身高在第八组 的频率为 ，
则有
，
故D正确.
故选：BCD.
【跟踪训练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称
“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇
堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、
田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，
素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅
游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的
频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．工作人员所选取的100人中在 的人数为3人C．工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取6人，则在 中抽取
2人，在 中抽取4人
D．按分层抽样的方法从评分在 的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分
别在 和 内各1人的概率为
【答案】ACD
【解析】根据题意可得 ，解得 ，故A正确；
因为 的频率为0.3，所以工作人员所选取的100人中在 的人数为30人，
故B错误；
因为 的两组的频率之比为 ，
所以工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取6人，
则在 中抽取2人，在 中抽取4人，故C正确；
因为在 中抽取2人，在 中抽取4人，
所以再从这6人中抽2人，则选取的2人评分分别在 和 内各1人的概率为
，故D正确．
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对
比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了
100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示.记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到 的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中 ，
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
【答案】AC
【解析】对于A，记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到 的估计值为0.70，
则 ，
解得 ，A正确；
对于B，甲试验区产量的众数为 ，乙试验区产量的众数为 ，
甲试验区产量的众数小于乙试验区产量的众数，B错误；
对于C，甲试验区产量的平均数为
乙试验区产量的平均数为
甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，C正确；
对于D，设甲试验区产量的75%分位数为 ，则 ，
解得
设乙试验区产量的中位数为 ，则 ，解得
甲试验区产量的75%分位数小于乙试验区产量的中位数，D错误；
故选：AC.易混易错 86 混淆函数关系和相关关系而 致 错
辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且
函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（ ）
A．任何两个变量都具有相关关系
B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系
C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系
D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系
【答案】D
【解析】对A：当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A错
误；
对 B ：正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以 B 错误； （易错点）
若对概念不清，容易误以为此选项是相关关系
对C：农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误；
对D：学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，所以D正确；
故选：D.
【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：
cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的经验回归方程为
，则下列结论中正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归直线一定经过点
C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg
【答案】ABC【解析】由经验回归方程为 知，y随x的增大而增大，所以y与x具有正相关关系，故A
正确.
由最小二乘法建立回归方程的过程知，经验回归直线一定经过样本中心点 ，故B正确.
利用经验回归方程可以估计因变量，但只是预测值，故C正确，D不正确，
故选：ABC
易混易错 87 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系 致错
辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解，
在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化.
常见的非线性回归模型：
（1）指数函数型 （ 且 ， ）
两边取自然对数， ，即 ，
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
（2）对数函数型
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
（3）幂函数型
两边取常用对数， ，即 ，
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．（4）二次函数型
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
（5）反比例函数型 型
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产
卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数 （个）和温度 （ ）的8组观测数据，制成图1所示
的散点图.现用两种模型① ，② 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分
析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中 ； ； ；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)根据（1）中所选择的模型，求出 关于 的回归方程．
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
【解析】（1）模型①更合适．
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．
（2）令 与温度 可以用线性回归方程来拟合，则 ．(易错点)
注意这里是非线性回归模型，需通过换元转化为线性回归模型求解
， ，
则 关于 的线性回归方程为 ，即 ，
产卵数 关于温度 的回归方程为 ．
【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分
析，设 ，利用最小二乘法，得到线性回归方程为 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形
B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形
C．当 时，变量y的估计值取到最小值e
D．当 时，变量y的估计值取到最大值
【答案】AD
【解析】将 代入线性回归方程 ，
得 ，即 ，故回归曲线关于直线 轴对称；
当 时， 取到最大值2，因为 在R上单调递增，则 取到最大值 .
故选：AD
【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境
保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几
年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
购买量
0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
（万辆）
(1)计算 与 的相关系数 （保留三位小数）；
(2)求 关于 的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．
参考公式： ．
参考数值： ．
【解析】（1）由题意 ， ，
则 ， ，
则 ．
故 与 的相关系数为 ．
（2）由（1） ，
则 ，故 关于 的线性回归方程为 ，
令 ，则 ，
故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为 万辆.
易混易错 88 求解独立性检验问题对 的值理解不准确 致错
辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利用2×2
列联表计算 的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用 的值的大小对二者关系进行含概率的
判断．
【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市
的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．
非一 一 总
线 线 计
愿生 45 20 65
不愿
13 22 35
生
总计 58 42 100
附表
0.025 0.010 0.001
5.024 6.635 10.828
由 算得， ，参照附表，得到的正确结论
是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
【答案】BC
【解析】依题意， ，
所以在犯错误的概率不超过 0.0 1 的前提下认为“生育意愿与城市级别有关” ．(易错点)
注意计算所得的 的值需大于临界值
故选：BC
【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实
验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
周平均使用时间
年龄
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附： ， ．
（1）当 时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当 时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当 时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当 时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
【答案】BD
【解析】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的 ；40岁以上且周平均使用时间超过4小时的 ；
40岁以上的总计为 ，
故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的 .
选项A： ，A错误；
选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72，
总样本数120，概率为 ，B正确；
周平均使用时间
年龄
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 18 72
40岁以上 18 30 48
总计 72 48 120
，
因 ，
故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关.
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行
各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是
（ ）
A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次 关于年龄 的经验回归方程为
，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2
B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数 ，可以推断两个
变量正线性相关，且相关程度很强
C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值 的 独立性检验，计算得到
，可以认为不同性别的AI使用频次有差异D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数 来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②
的 分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多
【答案】BD
【解析】A选项：在经验回归方程 中，斜率参数 ，只能说明使用频次 与年龄 正
相关，但相关系数不是0.2，故A错误；
B选项：样本相关系数 的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强， ，说明两个变
量正线性相关，且相关程度很强，故B正确；
C选项：根据小概率值 的 独立性检验，计算得到 ，没有充分证据
证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误；
D选项：决定系数 越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的 分别约为0.731
和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好．
故选：BD．
【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件 与事件 的关系，某机构进行了一次随机抽样调
查，共回收有效问卷 份，调查结果按是否满足事件 和事件 分类统计，得到如下列联表（表中数字对
应相应情况的人数），用频率估计概率．
是否满足事件
满足事件
不满足事件 合计
是否满足事件
满足事件
不满足事件
合计
(1)如果事件 与事件 无关，证明： ；
(2)已知 ：
（i）填写表格剩余内容；（ii）已知依据小概率值 的独立性检验，可以判断事件 与事件 有关，求有效问卷数 的最小
值．
附： ， ．
【解析】（1）设列联表中四个格子的人数分别为
：满足事件 且满足事件 的人数；
：满足事件 但不满足事件 的人数；
：不满足事件 但满足事件 的人数；
：不满足事件 且不满足事件 的人数；
则总人数 ．若事件 与事件 无关，则有
，
整理得 ．又 ，代入得
.
代入 计算公式
.
（2）（i）．由已知 ，用频率估计得满足事件 且 的人数等于不满足事件 但
满足 的人数，
设均为 ．又满足事件 的合计为 ，故 ，解得 ，
即 .
不满足事件 且不满足事件 的人数为 ，即 ．由总人数 得
.
于是填写完整的表格如下：满足事件 不满足事件 合计
满足事件
不满足事件
合计
（ii）．由（i）中数据计算 ：
则 ，
，所以 .
依题意，在 时，临界值 ，要判断事件 与事件 有关，需 ，
即 .
由于 为正整数，且表格中所有人数均为整数， 是10的倍数．故有效问卷数 的最小值为40．