文档文本内容
冲刺2026年高考数学分题型专项突破
狂练小题（一）
（题组1）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·河北承德·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可知 ，
又 ，所以 .
2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若 ， ，则 ，又n⊥ ，所以 ；
反之，若 ， ，则 ，又 ，所以 ，
则“ ”是“ ”的充要条件.
3．（2026·浙江宁波·二模）设 是 与 的等差中项，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C【详解】因为 是 与 的等差中项，则 ,
即 ，所以
4．（2026·河北承德·一模）已知向量 ， ，若 与 的夹角的余弦值为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】A
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
又因为 与 的夹角的余弦值为 ，
所以 ，解得 或 （因 ，舍）.
5．（2026·山东青岛·一模）某空间站由 ， ， 三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中
开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 舱，则不同的安排方法
的种数为（ ）
A．35 B．36 C．42 D．50
【答案】D
【分析】以 舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法
数，最后求和得到总安排数.
【详解】有四类不同的安排情形：
①甲单独在 舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在 舱，
有 种不同的安排方法；
②甲单独在 舱，其余四人平均分成两组每组 人，安排在 舱，
有 种不同的安排方法；
③ 舱安排 人，其余三人分成两组，一组 人，一组 人，安排在 舱，有 种不同的安排方法；
④ 舱安排 人，其余二人分成两组，安排在 舱，
有 种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有 种.
【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不
均匀分组与排列计算.
6．（2026·湖北孝感·二模）已知 、 均为锐角， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数关系式求出 ， ，再由 和两角和的正切公
式即可求解.
【详解】因为 ， 为锐角，所以 ， ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
则
，
所以 ， ，.
7．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆 与椭圆 交于四点，
且 ， 的焦点与这四点在同一个圆上，则 （ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆 和 的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有 ，
所以椭圆 的半焦距为 ，椭圆 的半焦距为 ，
因此该圆的方程为 ，即 ，
又两椭圆的交点与 和 的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆 上，
由 ，
代入椭圆 ： 中，
得 化简可得： ，解得： ，
又 ，故 .
8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 ，若不等式在 上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析函数 的奇偶性与单调性，将抽象函数不等式转化为代数不等式，再通过参变分离构造
函数求最值，最终得到参数的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 .
因为
所以 是奇函数.
.
由基本不等式， ，当且仅当 时取等号且 ，
得 .
因此 在 上严格单调递增.
由 ，得 .
于是 ，
参变分离得 ，在 上恒成立，
令 ，利用 ，
化简得 ，
设 ，因 ，故 在 上严格单调递增，因此 的取值范围为： ，
令 ， ，
令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因此 在 处取得最小值：
，即 在 上的最小值为 .
要使 恒成立，只需 ，即 的取值范围是 .
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3
B．若随机变量 ， ，则
C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，
方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的
方差为25
D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的
概率为
【答案】BC
【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选
项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率
【详解】A选项， ，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数，即 ，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误；
B选项，随机变量 ， ，即 ，解得 ，
所以则 ，B正确；
C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为 ，
故这15名学生的数学成绩的方差为 ，C正确；
D选项，2罐中有奖券的概率为 ，D错误.
10．（2026·四川内江·二模）在棱长为 的正方体 中，点 是棱 的中点，点 在正方
形 内部（不含边界）运动，若 平面 ，则（ ）
A．点 的轨迹经过线段 的中点
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 的体积为定值
D．球面经过 ， ， ， 四点的球的半径最小值为
【答案】ACD
【分析】取 的中点 ，连接 ，根据条件可得点 的轨迹为线段 （不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设 ，
球心 ，半径为 ，利用球的性质可得 ，即可求解.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ，易知 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又 是 中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
又 平面 ，则 平面 ，又点 在正方形 内部（不含边界）运动，且平面
平面 ，
所以点 的轨迹为线段 （不含端点）.
对于A，连接 ，由正方体的性质易知 与 相交，且交点为 的中点，所以A正确；
对于B，因为 ，所以点 的轨迹长度为 ，故B错误；
对于C，因为 平面 ，点 是棱 的中点，
则 ，所以C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为 ，
则 ，设 ，球心 ，半径为 ，
由 ，得到 ，解得 ， ，所以 ，又 ，且 ，所以当 时， 取到最小值，最小值为 ，故D
正确.
11．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一动点，A为一定点，则正确的有
（ ）
A．若 ，则点P的坐标为
B．若 ，则 的最小值为6
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出
的表达式，再利用函数导数求最值.
【详解】对于A，因为焦半径 ，所以 ，代入 ，解得 ，
所以 ，故A错误；
对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得 ，所以点A在抛物线内，
所以 ，当且仅当 与 轴平行时取等，故B正确；
对于C，设 ，则 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，C正确；
对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限，
如图所示：
则
，
令 ，分母为 ，则 ，
当 ， ，所以 在 上单调递减；
当 ， ，所以 在 上单调递增；
所以当 时， ，
此时 ，由图知 ，所以 ，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·四川内江·二模）设i为虚数单位，则 ________．
【答案】
【详解】 ，故 .13．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
则 _____．
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解.
【详解】 ，
，
由题意可得 ，解得 .
故答案为： .
14．（2026·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O， ， 为圆锥的母线，
，且二面角 为 .若 的面积等于 ，则圆锥的体积为______.
【答案】
【分析】作 ，垂足为 ，则 为 的中点，根据二面角的定义得到 为二面角 的
平面角，设 ， 由 的面积建立 的等式得到 的值，从而得到圆锥的高 的值，底面圆 的
半径 的值，求出圆 的面积 ，利用圆锥的体积公式求出体积.
【详解】如图，作 ，垂足为 ，则 为 的中点，
， ， 为二面角 的平面角，
二面角 为 ， ，
在等腰三角形 中， ，
设 ，则 ， ，
则 ，
，
的面积等于 ，解得 ，
则 ， ，圆 的面积为 ，
圆锥的体积为 .
故答案为： .
（题组2）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】解不等式化简集合 ，再利用交集、补集的定义求解.
【详解】解不等式 ，得 或 ，则 或 ，
解不等式 ，即 ，得 或 ，则 或 ，
因此 或 ，所以 .
故选：A
2．（2026·云南·模拟预测）若复数 ，则（ ）A． 的实部为2 B． 的虚部为2
C． 为纯虚数 D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
所以 的实部为2， 的虚部为 ，故A正确，B、C错误；
又因为 ， ，所以 ，故D错误.
3．（2026·广东广州·模拟预测）在菱形 中，点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理计算即可.
【详解】分析可得 ，
于是 ．
4．（2026·山东青岛·一模）设公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ，若 ， ， 成等
比数列，则 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A【分析】设出公差 ，借助等差数列及其前 项和的基本量与等比中项的性质计算即可得.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则有 ，
即 ，由 ， ， 成等比数列，则 ，
即 ，化简得 ，
由 ，则 ，即有 ，解得 ，
故 .
5．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志
愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，
则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出甲被安排到 服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概
率即可.
【详解】先求甲被派去 服务站的方法数；
第一种情况：甲一个人去 服务站，则有 种；
第二种情况：甲和其中一人去 服务站，则有 种；
故甲被派去 服务站的方法数共 种；
再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有 种；
故概率为 .
6．（2026·河北承德·一模）已知直线 与坐标轴分别交于A，B两点，在圆
上仅存在一点P，使 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】先求A、B两点坐标，根据 得到点P的轨迹方程，根据点P在圆上，利用两圆的位置关
系求解即可.
【详解】不妨设 ， ，因为 ，所以 点在以 为直径的圆上，
又因为 ， 中点坐标为 ，所以点 在圆 上，
又因为在圆 上仅存在一点 ，使 ，
且两圆半径相等，所以两圆外切，因此 ，解得 或 （舍）.
7．（2026·河北承德·一模）已知把函数 （ ）的图象上所有点的横坐标缩短到
原来的 ，纵坐标不变得到函数 的图象，若 在区间 上有三个零点，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的解析式，再求出 的零点，再根据范围求得 的取值范围.
【详解】由题可知 ，
令 ，即 ，即 ，
所以 ，或 ，
解得 ，或 ，
则非负根从小到大依次为 ， ， ， ， ，
⋯又因为 在区间 上有三个零点，所以 ，
解得 .
8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ，若
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数 是奇函数 D．函数 是偶函数
【答案】C
【分析】令 求出 可判断A，令 可得 ，利用等差数列的求和公式
求和后可判断B，求出 后令 ，结合B中分析可得 ，据此可判断CD的
正误.
【详解】对于A，令 ，则 ，故 ，故A错误；
对于B，令 ，则 ，
所以 ，故 为等差数列，首项为零，公差为 ，
故 ，故B错误；
对于C，因为 ， ，故 ，
故 ，同理 ，
在 中令 ，
则 ，由B的分析可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 是奇函数，故C正确；
对于D，由C的分析可得 即 ，
故函数 是奇函数，故D错误.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上，若
，O为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．点F到直线OM的距离为
【答案】BC
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，
对于A，由抛物线的定义，得 ，则 ，A错误；
对于B，由点 在抛物线C上，得 ，则 ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，设点F到直线OM的距离为d，则 ， ，D错误.
10．（2026·河北承德·一模）已知数列 满足 ， ，设 的前n项和为 ，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列C． D．数列 中存在最小项
【答案】ABC
【分析】根据数列 的递推公式，利用构造法可得 ，从而数列 是以4为首项，2为
公比的等比数列，求出通项公式利用分组求和法得 ，可判断ABC；利用数列的单调性判断D.
【详解】当 时，可得 ，又因为 ，所以 ，故A正确；
由 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
由B选项分析可得 ，所以 ，
所以
，
故C正确；
由C选项分析可得 ，所以 ，
所以 恒成立，
所以数列 为单调递减数列，所以数列 中不存在最小项，故D错误．
11．（2026·广东广州·二模）对于函数 ，下面说法正确的有（ ）
A．当 时，函数 有两个零点B．当 时，函数 不存在极值点
C．当 最小值为 时，
D．当 时，函数 在区间 单调递减
【答案】BCD
【分析】对于AB，利用导数分析极值点及零点即可判断；对于C，由最值可确定 ，进而得到
，结合最值即可判断；对于D，对 求导，利用导数确定单调性即可．
【详解】函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，解得 ，
不妨取 ，当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
，
易知当 时，函数 ，此时函数只有一个零点，故A错误；
当 时，若 ，因 ，则 ， ，则 在 上单调递增，无极值点；
若 ，因 ，则 , ，则 在 上单调递减，无极值点；
综上，当 时，函数 不存在极值点，故B正确；
由A项分析可知，当 最小值为 时，有 ，
，即 ，令 ，则 ，即 ，
令 ， ，
当 时， ,当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ， 的解为 ，
即 ， ，此时 ，即 ，故C正确；
当 时，函数
由 ，可得 ，即函数 的定义域为 ，
则 ，因 ，
则 ，
故当 时， ，即 在 上单调递减，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.若 边上的高 ，则 的值为________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式可求得角 ，利用等面积法可得 ，最后根据正弦定理进行边角互化即可
求解.【详解】 ，移项可得 ， 即 ，
因为 ，所以 .
由 ，则 ，
所以 ，利用正弦定理得 ，
又因为 ，则 .
13．（2026·山东济宁·一模）已知函数 若关于 的方程 恰有三个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分类讨论，求得函数 的解析式，利用数形结合求得实数 的取值范围.
【详解】函数 在 上单调递增， ，在 上单调递增， ，
当 ，即 时， ，且 ，
当 ，即 ， ，且 ，
当 ，即 时， ，且 ，
因此 ，
在坐标系内作出函数 和 的图像，如图所示关于 的方程 恰有三个不相等的实数根，则 .
所以实数 的取值范围是 .
14．（2026·湖北黄冈·一模）在空间直角坐标系 中，点 ， ，定义
．如图，正方体的棱长为5， ，平面 内两个动点 ，
分别满足 ， ，则 的取值范围为________．
【答案】
【分析】分别求出点 ， 的轨迹，然后把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，
数形结合可得答案.
【详解】设 ， ，∵ ，
∴ ， 点的轨迹为 ．
又 ，
则 ， ，
即 ，化简得 点的轨迹为 ．
在平面直角坐标系 中作出 ， 轨迹，设 点轨迹与 轴两个交点分别为 ，
点轨迹为圆，圆心为 ，半径 ，且与 轴两个交点分别为 ，如下图所示，
结合图象得： ，
又 ， ，
所以 ．
（题组3）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·广西·模拟预测）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数型复合函数定义域求法，和指数函数单调性分别求解集合 ，再逐项判断即可.
【详解】由 解得 ，即 ，
由 解得 ，即 ，
则 ， ，，A错， ，B错， ，C错， ，D对.
2．（2026·广西·模拟预测）若 （ ，i为虚数单位）为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意， ，
由题意 ，得 .
3．（2026·江西南昌·一模）已知圆 ， ：点 在圆 外， ：直线 与圆 有
两个公共点，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得.
【详解】由点 在圆 ： 外，可得 ，此时，圆心 到直线 的距离
为 ，
即直线 与圆 相交，故充分性成立；
由直线 与圆 有两个公共点，可得圆心 到直线 的距离为
，
则有 ，即点 在圆 ： 外，故必要性成立.
故 是 的充分必要条件.
4．（2026·安徽六安·模拟预测）葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华
吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为 ，记两
球心分别为 ， 为两个球面交线上一点，则 （ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】由余弦定理可得 ，利用数量积的定义可求得 的值.
【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以 ，又 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：A.
5．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数 是非奇非偶函数，令
，记数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，解得 或 ，再由 为非奇非偶函数，确定函数 ,然后
再利用裂项相消法求解.【详解】由题意得： ，
解得 或 ，
而当 时， 为偶函数，不合题意；
当 时， 为非奇非偶函数，符合题意，
则 ，
则 ．
6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为 的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为
的扇形，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得 ，再逐项验证即可得.
【详解】设圆锥的母线长为 ，则圆锥的底面半径 ，
因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，又 ，即 ，
逐个验证各选项可知，当 时符合题意．
7．（2026·宁夏银川·一模）若双曲线 与 的两个焦点重合，则称 与 互为“同心双曲线”.已知双曲线 ： 与双曲线 ： 互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为 ， ，
是 上一点，若 的周长为20，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“同心双曲线”定义求得 ，再由双曲线定义结合题设条件求出 的值，再由余
弦定理求出 ，再由三角形面积公式即可求得.
【详解】由 可得其半焦距 ，且焦点在 轴上，
故双曲线 ： 即 ，
则其半焦距 ，且 ，
依题意， ，解得 或 （舍去），
故双曲线 的方程为 ，不妨设点 为双曲线左支上一点，则 ①，
由 的周长为20，可得 ，即 ②，
联立①② 解得 ，
在 中，由余弦定理， ，
则 ，
故 的面积为 .8．（2026·山东青岛·一模）已知定义在 上的函数 满足 ， ，当
时， ，则方程 所有根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题.
【详解】由 ，得函数 关于点 对称，
又 ，得函数 关于直线 对称，
从而函数 是周期为4的周期函数.
又当 时， ，则 ，
即 是 的单调递增函数， ， ，可画出 的部分图象，
又方程 的根即 与 的交点横坐标，如图
两函数共有17个交点，并且关于点 对称，故所有根之和为17.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ）
A．
B．
C． 是函数 的一条对称轴
D．函数 的图象可以由函数 的图象向左平移 个单位得到
【答案】ABD
【分析】根据函数 的图象，利用三角函数的性质，求得 ，结合三角函数的对称性，
以及图象变换，逐项判断，即可求解.
【详解】A，由函数 的图象，可得 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
B，由 ，可得 ，可得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，所以B正确；
C，由 ，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 不是函数 的一条对称轴，所以C错误；
D，将函数 的图象向左平移 个单位，
可得 ，所以D正确.
10．（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
平面 ， ， ， 、 分别为棱 、 上的动点，设
， ，则（ ）A．当 时，存在 ，使得 平面
B．当 时，存在 ，使得
C．当 ，且 与 相交时，
D．三棱锥 的外接球在底面 上的截痕长为
【答案】AC
【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，求出平面 的一个法向量 ，利用 求解即可；
对于B，利用 求解即可；
对于C，若 与 相交，则存在唯一 使得 即可求解；
对于D，根据三棱锥 的外接球在底面 上的截痕为底面 的外接圆即可求解.
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则： ，
对于A，当 时， ， 在 上 ，则 ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，则
取 ，则 ，即 ，，若 平面 ，则 ，
即 ，故存在 ，故A正确；
对于B，当 时， ， ， ，
若 ，则 ，
即 ，
不满足 ，故B 错误；
对于C，当 时， ， ，
若 与 相交，则存在唯一 使得 ，
即： ，
解得 ，故 C 正确；
对于D， 因为底面 是直角三角形，外接圆半径 ，
因为 平面 ，设外接球半径为 ，则：
，
三棱锥 的外接球在底面 上的截痕为底面 的外接圆，截痕长为 ，故D错误，
11．（2026·山东青岛·一模）已知函数 ，则（ ）A． 在区间 上单调递增
B． 恰有两个零点
C．不等式 的解集为
D．若 ，则 的最小值为2
【答案】ABD
【分析】函数 的定义域为 ，关于原点对称，且函数 为偶函数，对于函数求导可
判断A项，由单调性及 可判断B项，由偶函数及单调性可判断C，D项．
【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
对于A项，当 时， ，
对其求导得 ，所以 在区间 上单调递增，故A项正确；
对于B项，因为 在区间 上单调递增，且 ，
根据偶函数的性质可知， ，所以 恰有两个零点，故B项正确；
对于C项，因为 为偶函数，且在 上单调递增，
所以 等价于 ，
得 ，两边平方得 ，
而函数 的定义域为 ，所以 的解集为 ，故C项错误；对于D项，因为 ，且 为偶函数，
得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 在区间 上单调递增，所以 ，得 ，
则 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为2，故D项正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·湖南长沙·模拟预测） 的展开式中 的系数为___________.
【答案】90
【分析】利用二项式定理写出 的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数.
【详解】 的展开式的通项为 ， ，
当 时， ，
此时只需乘第一个因式 中的 即可，得到 ；
当 时， ，
此时只需乘第一个因式 中的 即可，得到 ．
据此可得 的系数为 ．
13．（2026·河南开封·模拟预测）甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个
黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出
1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量 ，则 的值为______.
【答案】
【分析】第一空：分两种情况：从甲箱摸出非黄球、乙箱摸出非黄球；从甲箱摸出黄球、乙箱摸出黄球，
再利用古典概型概率公式计算；第二空：先分析 的可能取值，计算每个取值的概率，再计算
的值
【详解】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况：
一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率 ；
另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率 ，
则甲箱中恰有3个黄球的概率为 ，
②由题知 的取值可能为4，5，6，
当 时，甲箱中取出的是蓝球或黄球，乙箱中取出的是红球，此时概率 ；当
时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是红球，
或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率 ；
当 时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是黄球，此时概率 ，
所以 .
14．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线 的准线方程为 ， ， 是 上不同于原
点 的两点， ， ，垂足为 ．若 的轨迹为曲线 ，曲线 上到直线
的距离为1的点有且仅有3个，则实数 的取值集合为______．【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，韦达定理，利用向量垂直的坐标运算
求得直线 恒过点 ，然后利用 求得点 的轨迹是以 为直径的圆（不含点 ），最后
利用圆心到直线的距离列式求解即可.
【详解】 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
的方程与 的方程联立，消去 得 ，设 ，
则 时， ，
由 得 ，又 ，所以 ，直线 的方程为 ，
所以直线 恒过点 ．
因为 ，所以点 的轨迹是以 为直径的圆（不含点 ），
方程为 ，
因为 上到直线 的距离为1的点有且仅有3个，
所以 到直线 的距离为1，所以 ，解得 或 ；
又直线 过圆心 时，此时 ， ，
点 到直线 的距离为 ，
此时圆上有含 的四点到直线距离为1，由曲线 不过点 可知， 符合题意．
故 的取值集合为 ．
