文档文本内容
冲刺2026年高考数学分题型专项突破
狂练小题（四）
（题组1）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·甘肃定西·模拟预测）已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】集合 ，
则 ， .
2．（2026·广西河池·二模） （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ．
3．（2026·云南·模拟预测）已知圆 经过双曲线C： 的焦点，且双曲线C
的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．【答案】C
【分析】根据题意确定 的值，可求双曲线的离心率.
【详解】圆 的半径为 .
由题意，对双曲线C，有 ， ，即 ，所以 .
所以双曲线的离心率 .
4．（2026·河北衡水·一模）某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，
统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的
80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，
则该市月用水量的临界值为（ ）
A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图百分位数计算方法计算求解.
【详解】由频率分布直方图可知，前五组的频率之和为 ，前六组的
频率之和为 ，
设该市月用水量的临界值为 吨，
则 ，由 ，得 ，
故该市月用水量的临界值为28.3吨.
5．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点，若 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由向量夹角的定义，结合三角恒等变形化简求解即可．
【详解】根据题意可知， ，
，
即 ．
6．（2026·江苏盐城·二模）已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ，使得 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先由条件可得公比和 ,进而再用基本不等式可得最小值.
【详解】设正项等比数列的公比为 ，通项为 .
由 ，代入通项得： 两边同除以 ，
整理得： , 解得正根 （负根舍去）.
再由 得： ，整理得： 化为指数形式：
即 ，得： .等号成立条件： 且 ，解得 ，均为正整数，符合条件.
因此 的最小值为 .
7．（2026·湖北恩施·二模）已知函数 在 上不单调，则函数 图象
的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对 进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解.
【详解】
在 上单调递增，不合题意；
在 上单调递增，不合题意；
在 上单调递增，不合题意；
图象如图，满足题意，它的对称中心为 ．故选A．8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程 有两个不同实根，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数 ，再利用导数求出最小值即可.
【详解】方程 ，令函数 ，
而 ，则函数 在R上单调递增，又方程等价于 ，
因此 ，
令函数 ，依题意，方程 有两个不同实根，
求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，当 时，恒有 ，
则当且仅当 时，方程 有两个不同实根，
所以实数a的取值范围为 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2026·湖北荆州·一模）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100
名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ）
男生 女生 合计
参加了社会实践活
30 40 70
动
未参加社会实践活
20 10 30
动
合计 50 50 100
附 ，其中n＝a＋b＋c＋d；
A．依据小概率值 的 独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关
B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为
C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为
D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2
人中至少有一名男生的概率为
【答案】BCD
【详解】零假设为 ：参加社会实践活动与性别无关联，
则 ，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 ，故A错误.
从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 ，故B正确.
记事件 表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则 ，
记事件 表示抽到的学生是男生， ，所以 ，故C正确.
按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人，
则7人中有男生 人，有女生 人，
从这7人中抽取2人有 种取法，全为女生的取法有 ，
所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为 ，
所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为 ，故D正确.
10．（2026·河北张家口·一模）如图，已知正四棱锥 中，底面边长为2，高为1，则下列说法正
确的是（ ）
A．直线 与直线 所成角的余弦值为
B．直线 与平面 所成角的正弦值为
C．该正四棱锥的外接球的表面积为
D．若平面 与平面 所成的角为 ，平面 与平面 所成的角为 ，则
【答案】BC
【分析】以正四棱锥底面中心为原点 ，高 为 轴，底面两条对角线为 轴，建系，由夹角公式可判
断ABD，设球心 ，结合半径列出等式求 ，进而求得半径即可判断.
【详解】设正四棱锥底面中心为原点 ，底面 在 平面，高 为 轴，分别以两条对角线为轴，如下图：
根据题意：底面边长为 ，高为 ，
可得： ，
对于A：易得 ， ，
则异面直线所成角余弦： ，A错误；
对于B： ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，可得 ，
即平面 的法向量 ，
则直线 与平面 所成角 满足： ，B正确；
对于C：易知正四棱锥外接球球心在高 （ 轴）上，
设球心 ，半径 ，又 ，
由 得： ，
所以外接球表面积 ， C正确；
对于D：设平面 法向量 ，又 ，
则
设 可得 ，
则 ，
易知平面 法向量 ；
平面 法向量 ：
，
，D错误.
11．（25-26高三下·重庆·月考）已知曲线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线E与坐标轴没有交点
B．y随着x增大而减小
C．直线 与曲线E有且仅有2个交点
D． 是曲线E上任意一点，则 的取值范围为
【答案】BCD【分析】画出曲线 的图象可判断AB；根据双曲线的性质以及直线 过点 ， 可判断
C；将问题转化为求 的取值范围，设直线 与曲线 在第一象限相切，求
出 ，再计算平行直线间距离即可判断D.
【详解】若 ，则 ；若 ，则 ；
若 ，则 ，
则曲线 的图象如图：
可知点 ， 在曲线 上，故A错误；
y随着x增大而减小，故B正确；
因为 是曲线 在第二、四象限的图象的渐近线，且直线 与渐近线平行，直线
过点 ， ，
所以直线 与曲线E有且仅有2个交点，即 ， ，故C正确；
，则 表示点 到直线 的距离的 倍，
由图可知，当点 位于第一象限时， 能够取到最大值，
设直线 与曲线 在第一象限相切，
联立 ，得 ，则 ，得 ，
又 与 之间的距离为 ，
所以 的最大值为 ，
因为 是曲线 在第二、四象限的图象的渐近线，
则 的取值范围为 ，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·山东德州·模拟预测）已知点 在曲线 上运动，点Q在圆 上运动，则
的最小值为________．
【答案】
【详解】点 在抛物线 上，点 在圆 上，设 .
由于圆与抛物线不相交，且抛物线上所有点均在圆外，
因此 的最小值等于 的最小值减去圆的半径.
设抛物线上点 ， .
当 时， ，即 .
因此， 的最小值为 .
13．（2025·河北·模拟预测）若函数 与 的图象有两条公切线，则实数 的取
值范围是________.
【答案】【分析】由题设公切线分别切 ， 于点 ，由题可得
，据此可将问题化简为 有两解，据此可得答案.
【详解】设公切线分别切 ， 于点 .
则有以下关系式： ①，
②
由①得： 代入②式变形得： ，又 .
令 ，原命题化为： 有两解.
，令 ，
则 ， 为 上的减函数.
又注意到 ，则在区间 上， ， 在区间 上递增，
结合 ， ，则此时 值域为 ；
在区间 上， ， 在区间 上递减，
结合 ，则此时 值域为 .
则当 时，存在 ，使 .故 的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2020·湖南怀化·一模）设函数 ，则函数 的最大值为______；若对
任意 ， ，不等式 恒成立，则正数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】（1）利用求导得出 的单调性，进而求解最值；
（2）依题意，对任意 ，不等式 恒成立，等价于 恒成立，当
最大， 最小时，求出 最大值，进而得到答案.
【详解】由 得 ．
令 ，得 ，
此时 单调递增，令 ，得 ，此时 单调递减．
所以 的最大值为 ．
对任意 ， ，不等式 恒成立，等价于 恒成立．
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为2.由题意可知，当 最大， 最小时， 最大，所以 的最大值为 ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ； .
（题组2）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·云南·模拟预测）数据9，12，15，16，16，18，20，21的75%分位数为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．16
【答案】B
【详解】将数据9，12，15，16，16，18，20，21从小到大排序为9，12，15，16，16，18，20，21，共8
个数据，
由 ，故该组数据的 分位数为第6项与第7项数据的平均值，即 .
2．（2026·湖北恩施·二模）复数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘、除运算以及复数模的求法求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
.
3．（2025·云南·模拟预测）已知直线 与圆 交于 ， 两点， 为圆心，若的面积等于8，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形的面积可求得 ，可求弦长 .
【详解】圆 的半径 ，由已知得 ，故 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
4．（2026·北京平谷·一模）已知函数 （ 且 ），将函数 的图象上的每个点的横坐
标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移1个单位长度，所
得图象恰好与函数 的图象重合，则 的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得 ，
则再将 的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数 的图象，
由题可知函数 图象恰好与函数 的图象重合，
所以 ，即 ，
又 且 ，所以 .
5．（2026·河南南阳·一模）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长
与太阳天顶距 （ ）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识
可知，晷影长 等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积，即 ．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为 ， ，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且 ，则第二
次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
【答案】B
【分析】由题意可得 ，由 结合两角差的正切公式可得 ，从而求得第二次的“晷
影长”与“表高”的比值，得出答案.
【详解】由题可得 ，又 ，
所以 .
即第二次的“晷影长”是“表高”的 .
6．（2026·甘肃兰州·一模）已知直线 ，平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系结合面面平行判定定理和线面平行性质定理逐项判断.
【详解】选项A：若 ， ，则 或 ，故A错误；
选项B：面面平行的判定定理： 内两条相交直线 ， ，则 ，
由于直线 不一定相交，故命题不一定成立，故B错误；
选项C：若 ， ，则 ，或 ，故C错误；
选项D：若 ，则 垂直于平面 内所有直线；又 ，由线面平行性质定理可知：存在直线 ，使得 ，
又 ，所以 ，D正确.
7．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线 不存在以点 为中点的弦，则该
双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断点 在双曲线外部或在双曲线上，得 ，再结合过该中点的直线斜率
可得另一不等式，最后求解出 的范围，结合离心率等式即可求解．
【详解】 不存在以点 为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：
点 在双曲线外部或其上（若点 在双曲线内部，则过该点的弦必然存在），
因此 ，解得 ；
设过点 的弦的斜率为 ，
设弦与双曲线交于点 ， ，
则 ， ，
由点 ， 在双曲线上，得 ，
两式作差得 ，所以 ，
直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是 ，
因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，
则 ，也即 ，
所以 ，则 ．
8．（2026·安徽宿州·一模）已知正实数m，n，满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题可得 或 ，结合对数函数，指数函数的性质依次判断各选项即可.
【详解】因为正实数m，n，满足 ，且 ，可得 或 ，
对于A选项，取 ，显然 ，A错误；
对于B选项，取 ，显然 ，B错误；
对于C选项，设函数 ，令 ，则 ，
当 在 上单调递增，当 ， 在 单调递减，
又因为 ，所以 恒成立，即 恒成立，即 在 上均单调递减，
所以当 或 时， ，即 ，
由于 ，所以 即 ，C正确；
选项D，取 ，显然 ，而 ，故 ，D错误.故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列 是公差为1的等差数列
【答案】ABD
【分析】先结合已知条件求得 ， ，再依次讨论各选项即可得答案．
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，故A正确；
所以 ，解得 ，
所以 ， ，故B选项正确；
因为 ，
所以 ，故C选项错误；
因为 ， ，
所以 ，
即数列 是公差为1的等差数列，故D选项正确．
10．（2026·四川·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线 交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）
A．l的方程为 B． 为正三角形
C． D． 的面积为
【答案】ABD
【详解】抛物线 的焦点 在直线 上，则 ，解得 ，
对于A，抛物线 的准线l的方程为 ，A正确；
对于B，由 ，解得 或 ， ，
， 为正三角形，B正确；
对于C，由选项B得 ， ， ，C错误；
对于D，点 到直线 的距离 ， ， ，D正确.
11．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知曲线 ，则（ ）
A．曲线 是某个函数的图象
B．过点 可作两条直线与曲线 相切C．过曲线 上一点 作 与 的垂线，垂足分别为 ， ，则四边形 面积的最大值为
D．曲线 上存在两个不同的点 、 ，使得线段 被点 平分
【答案】AD
【分析】分情况讨论曲线 的方程，可得其函数解析式，判断A；设过点 与曲线 相切的直线方程，
通过求方程 的解，判断B；易知四边形 为正方形，根据点 到 与 的距离之积
表示出四边形 面积，判断C；利用点差法判断D.
【详解】对于A， ，
所以 ，所以A正确；
对于B，当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，显然与曲线 不相切；
所以设过点 与曲线 相切的直线为 .
若 ，由 ，得 .
令 ，得 .
当 时， ，即 ，解得 ，不合题意；
当 时， ，不合题意.
若 ，由 ，得 .令 ，得 .
当 时， ，即 ，解得 ，不合题意；
当 时， ，不合题意.
若 ，由 ，得 .
方程 无解.
综上，不存在过点 且与曲线 相切的直线，故B错误.
对于C，易知四边形 为正方形.设 ，则
当 或 时，点 到 与 的距离之积为 ，
则四边形 面积为2；
当 时，令 ， ，
点 到 与 的距离之积为 .
综上，四边形 面积的最大值为2，故C错误.
对于D，若存在过 的直线 与曲线 交于 、 两点，则直线 的斜率存在.设存在过 的直线 与 在第一象限交于 两点，
且线段 被点 平分.
则 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·山东德州·一模）设集合 ，若 ，则 __________.
【答案】
【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.
【详解】 ， ， 且 且 且 ，
或 ，
当 时， 且 ， ， .
当 时，解得 ， 且 ， 不成立.
综上可得， .
故答案为： .
13．（2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，
则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．
现有一个空心铁质半球壳，外半径为 ，内半径为 （厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．
已知浸入水中部分的深度为 ，则浸入水中部分的体积为______ ．
【答案】【分析】在深度 处作水平截面，根据条件可得截面面积为 ，再由祖暅原理，即可求解.
【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为 处作水平截面，半球壳的截面为圆环，
则圆环外半径为 ，内半径为 ，
则浸入水中部分的截面面积为 ，与 无关，
发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为 ，底面半径为 的圆柱的截面面积相同，
又浸入水中部分的深度为 ，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为 ．
14．（2026·江西南昌·一模）已知 盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球， 盒中装有大小相同的3个
红球，从 盒中随机取一个球，若是红球，则放回 盒；若是黑球，则从 盒中取一红球与其替换，这样
称为1次操作，重复以上操作，直到 盒中6个球全是红球为止.记 次重复操作后， 盒中6个球恰好全
是红球的概率为 ，则 ________.
【答案】
【详解】若4次重复操作后， 盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二
次和第三次抽到红球三种情况，
所以 ，
若5次重复操作后， 盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一
次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
，
所以 .
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将 次重复操作后， 盒中6个球全是红球转化为 次抽到红
球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可.（题组3）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·江苏·一模）设集合 ， ，若 含有4个元素，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.
【详解】根据集合元素的互异性可知， ， .
因为 含有4个元素，所以 仅含有1个元素，
若 ，则 或 ，所以 或 .
若 ，则 .
结合集合元素的互异性可知 或 .
当 时， ， ， ，符合题意.
当 时， ， ， ，不符合题意.
综上， .
2．（2026·湖北黄石·一模）已知平面 ，两条不重合的直线 ，则“存在直线 ，使 ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】如果 ，此时也能找到 且 ，但 并不平行于 ，而是在 内，所以充分性不成立；
根据线面平行的性质定理：如果直线 平行于平面 ，那么过 作一个平面与 相交，交线 就满足 ，
且 ，所以必要性成立.
即“存在直线 ，使 ”是“ ”的必要不充分条件.3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 ， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ， ， 可得 ，
．而向量 在向量 上的投影向量为 ，
因 ，
故 在 上的投影向量为 ．
4．（2026·福建龙岩·一模）设 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．31 D．32
【答案】C
【分析】利用赋值法即可求解系数和.
【详解】令 得： ，
令 得： ，
所以 .
5．（2026·四川宜宾·一模）已知数列 满足对任意的 ，都有 ．若 ，则
（ ）
A．8 B．18 C．20 D．27
【答案】C
【分析】根据题意，分别令 和 求得 ， ，再求和即可.
【详解】因为数列 满足对任意的 ，都有 ， ，所以，当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
所以
6．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展 应用培训活动.现随机抽取一
位学员，其每日在线学习积分 的取值分别为 ，若 ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【分析】先求出 每个取值所对应的概率，再求方差 .
【详解】由题可设 ，则 ， ，
所以 ，解得 .
所以 .
7．（2026·山东青岛·一模）已知函数 在 处取得极小值，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出 的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求
出 ．
【详解】函数求导得 ，
由题意知 ，
则 ，解得 或 ，
当 时， ，
由 或 ；由 .所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值.
当 时， ，
由 或 ；由 .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极大值.
满足条件的是 ．
8．（2026·浙江宁波·二模）已知直线 与焦点为 的抛物线 相交于 ， 两点，且 ，
线段 的中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得 ，结合 计算即可
求解．
【详解】设 ，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，
则 ，如图，因为点A为线段 的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 （当且仅当 时，等号成立），
所以 ，
即 的最小值为 ．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·浙江·模拟预测）设 为复数，其中 ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错
误.
【详解】选项A，计算得： ， ，因为 ，所以 的虚部 ，不可能等于实数 ，故A错误；
选项B， 是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确；
选项C，设 ，则 ，
若 ，则虚部 ，得 ，故 ，故C正确；
选项D， ，故 ，由 两边约去 得 ，不一定有 ，
例如 满足条件，但 ，故D错误.
10．（2026·广东梅州·一模）关于函数 ，以下结论正确的有（ ）
A． 的图象是轴对称图形 B． 的最大值为1
C． 是以 为一个周期的周期函数 D． 在 上有4个零点
【答案】ACD
【分析】对于A，判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B，因为要分析三角函数乘积形式的函数性质，
所以可先利用三角恒等变换公式将 化简为更易分析的形式.求函数最大值，可利用三角函
数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于C，判断周期，可利用周
期函数的定义，验证 是否成立来确定；对于D，求零点，令 ，结合三角函数的零点
性质求解，再统计 上的零点个数.
【详解】对于A，函数 的定义域为R，且
，即 为偶函数， 的图象是轴对称图形，A正确；
对于B，
，
令 ，则 ，
当 时， 取最大值 ，即 的最大值为 ，B错误；
对于C， ，
即 是以 为一个周期的周期函数，C正确；
对于D，令 ，即 ，故 或 ，
当 时，在 上有 满足题意；
当 时，在 上有 满足题意；
故 在 上有 共4个零点，D正确.
11．（2026·河北保定·一模）已知定义在 上的函数 为偶函数，且满足 ，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为周期函数 B． 的图象关于点 对称
C．当 时 D．
【答案】ACD
【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及
时的解析式可判断C；利用周期性可计算 的值，然后求出 的范围可判断D.【详解】 ，拿 换 ，得 ，
所以 ，故 是周期为4的周期函数，选项A正确；
由 和偶函数性质，得： ，
因此 ，图象关于直线 对称，而非点 对称，故选项B错误；
利用 和已知区间 上的解析式 ，
当 时， ，则 ，
再由偶函数得 时 ，
故当 时 ，选项C正确；
由 的周期 ， ，
所以 ，
又因为 为奇函数，当 时， ，
所以 ，
从而 的值域为 ，在此区间上 ，
所以 ，
故 恒成立，选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·重庆九龙坡·一模）过点 作圆 的切线，则切线长为___________．
【答案】3
【分析】求出已知圆的圆心、半径，再利用勾股定理求出切线长.【详解】圆 ，即 的圆心 ，半径 ，
点 ， ，
所以所求切线长为 .
故答案为：3
13．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的
“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．
【答案】150
【分析】先按 和 两种方式分组，再排列即可.
【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：
按 分组：先从 个中选 个为一组，剩下的 个各成一组，
组数 ；按 分组：先从 个中选 个为一组，
剩下的 个中选 个为一组，最后 个为一组(消除重复分组)，
组数 ，分配到3个不同的盒内， ，
故装法总数 .
14．（2026·北京密云·一模）已知函数 .给出下列四个结论：
①当 时， 为偶函数；
②当 时，对任意 ，都有 ；
③当 时， 在 上单调递减；
④存在实数 ，使得 有2个零点.
其中正确结论的序号为__________.
【答案】①②③
【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④.
【详解】函数 的定义域为 ，对于①，当 时， ， ， 为偶函数，①正确；
对于②，当 时， ，求导得 ，
函数 在 上单调递减，恒有 ，②正确；
对于③，当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递减，因此 在 上单调递减，③正确；
对于④，函数 的零点即为方程 的根，
亦即函数 的图象与直线 交点的横坐标，
在同一坐标系内画出函数 的图象及直线 ，如图：
直线 过定点 ，令 与函数 相切的切点为 ，
由 ，求导得 ，则 ，解得 ，
则当 时，函数 的图象与直线 有1个交点；
当 时，直线 还过点 ，函数 的图象与直线 有1个交点；
当 时，直线 还过点 ，函数 的图象与直线 有1个交点，
因此当 时，函数 的图象与直线 有1个交点；
当 时，函数 的图象与直线 没有交点；
当 时，由对称性得函数 的图象与直线 有1个交点，所以不存在实数 ，使得 有2个零点，④错误.
