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数资考前必做100 题-数量关系2（几何问题）
（笔记）
主讲教师：邓健
授课时间：2025.09.18
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数资考前必做100 题-数量关系2（几何问题）（笔记）
【答案汇总】
1-5：DCDDA；6-10：DDBDB
几何问题：数量关系中的必考题型，难度波动大
几何的知识点太多了，我们学考得最多技巧性最强的
①勾股定理
②面积比例
③体积比例
【注意】几何问题（本节课选取的10 题，除了2021 联考和2025 联考，其
他8 题都是近五年国考真题，平均每年接近2 题）：数量关系中的必考题型，难
度波动大（涉及立体切割的难度就比较大）。
1.几何的知识点太多了，我们学考得最多技巧性最强的。
2.涉及考点：
（1）勾股定理。
（2）面积比例。
（3）体积比例。
勾股定理相关
直角三角形中：a²+b²=c²
常考点：
1.特殊角三角形三边关系（1：3：2）（1：1：2）
2.常考勾股数（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
【注意】勾股定理相关：
1.直角三角形中：a²+b²=c²。
2.常考点：
（1）特殊角三角形三边关系：（1：3：2）、（1：1：2）。
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①30°直角三角形：30°角所对的直角边为斜边的一半，则短直角边与斜边
的比例为1：2，分别赋值为1、2，则长直角边= 2² −1²= 3。
②45°的等腰直角三角形：腰之比为1：1，都赋值为1，则斜边= 1² + 1²= 2。
（2）常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13），其中，第三组
在真题中涉及较多。
1.（2021 联考）边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不大于
5000，其中有两个正方形的面积之和等于第3 个正方形的面积，这样的正方形存
在多少组？
A.6
B.7
C.9
D.10
【解析】1.假设三个正方形分别是小、中、大，边长分别为a、b、c，成等
差数列，已知“其中有两个正方形的面积之和等于第3 个正方形的面积”，则a²
+b²=c²，想到勾股定理，本题都是整数，想常考的勾股数，（3、4、5）、（6、8、
10）、（5、12、13），已知“等差数列”，则看（3、4、5），设a、b、c 分别为3x、
4x、5x，已知“面积之和不大于5000”，列式：（3x）²+（4x）²+（5x）²≤5000
→50x²≤5000→x²≤100，解得x≤10，x 可以取1～10，共10 组，对应D 项。【选
D】
【注意】出现平方之和等于另一个平方，想勾股定理（勾股数）。
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2.（2024 国考）某公园内的道路如下图所示，其中AB、BC 分别为正南北向
和正东西向道路，AB、AC 分别长100 米和200 米。且BCD 为正三角形，如要用
直线道路连接AD，则该道路的长度为多少米？
A.150 3
B.50（3+1）
C.100 7
D.200 2
【解析】2.根据题意，AB=100、AC=200，已知“AB、BC 分别为正南北向和
正东西向道路”，则AB⊥BC，故直角△ABC 的三边比例为1：2：3，则BC=100 3，
且∠ACB=30°。已知“BCD 为正三角形”，则BC=BD=CD=100 3，且∠BCD=∠CBD=
∠BDC=60°。则∠ACB+∠BCD=90°，连接AD，在直角△ACD 中，AD²=AC²+CD²，
代入数据，AD²=200²+（100 3）²=40000+30000=70000，7 不是完全平方数，结
果一定有7，对应C 项。如果真的要开根号，70000= 7 ∗10000=100* 7，对
应C 项。【选C】
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【注意】出现特殊比例，想到对应的特殊三角形。
3.（2024 国考）甲、乙两个联络站相距10 干米。一条道路与甲、乙联络站
连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为12 千米。现需紧邻该道路建一个
工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少干米？
A.20
B.22
C.24
D.26
【解析】3.根据题意画图分析，甲、乙相距10，道路与甲乙连线平行，与
甲乙距离12，现在要在道路上建立工作站，问工作站距离甲、乙的距离之和最
短为多少。过甲乙的中点，向道路做垂线，垂线与道路的交点分别连接甲、乙，
左边构成直角三角形，短直角边为5，长直角边为12，则斜边为13（常见勾股
数），右边同理，斜边也是13，故所求=13*2=26，对应D 项。【选D】
【注意】
1.几何问题出现勾股数中的比例，要敏感。
2.知识点：同一侧的两点到某条直线的距离之和最短。
（1）过其中一点A 做镜面对称点A’，连接镜面对称点A’与另一点B，与
直线形成交点O，A’B 就是最短距离。因为A 和A’关于直线对称，所以AO=A’
O，所求=AO+BO=A’B。
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（2）证明：随便找另一点O’，AO’+BO’=A’O’+B’O’。O’是与O 点不
同的另一点，则一定会构造出新的三角形A’O’B，三角形的基本性质是两边之
和大于第三边，则A’O’+B’O’＞A’B，所以反向证明出A’B 是最短距离。
3.本题通用做法：过甲做对称点甲’，连接乙，构成直角三角形甲甲’乙，
短直角边为10，长直角边为12+12=24，比例为5：12，则斜边为13 份，对应13*2=26，
对应D 项。
4.（2022 国考）甲地在丙地正西17 千米，乙地在丙地正北8 干米。张从甲
地、李从乙地同时出发，分别向正东和正南方向匀速行走。两人速度均为整数干
米/小时，且1 小时后两人的直线距离为13 干米，又经过3 小时后两人均经过了
丙地且直线距离为5 干米。已知李的速度是张的60%，则张经过丙地的时间比李：
A.早不到10 分钟
B.早10 分钟以上
C.晚不到10 分钟
D.晚10 分钟以上
【解析】4.根据题意画图分析，上北下南左西右东，丙是原点，甲在丙左边
6
17 千米，乙在丙上方8 千米，小张、小李分别在甲、乙往丙走，1 小时之后（走
的是整数），两人之间的直线距离为13 千米，出现斜边13，速度、时间都是整
数，故数据都是整数，则两条直角边是整数，说明两条直角边为5、12，已知小
李速度为3 千米/小时，小张速度为5 千米/小时，验证：已知“李的速度是张的
60%”，60%=3/5，符合题意。时间=路程/速度，小张时间=12/5=2.4 小时，小李
时间=5/3=1.6
+小时，2.4 小时比1.6 小时晚了10 分钟以上，对应D 项。【选D】
【注意】几何问题出现勾股数中的比例，要敏感，直接用勾股数破题。
5.（2025 国考）某厂区如图所示，其中ABCD 为矩形，ABEF 为直角梯形，AB
与DE 相交于G 点，其中阴影区域ADGF 为涉密区域。已知AD、AF、AB 长度分别
为240 米、150 米、100 米，问涉密区域的面积为多少万平方米？
A.1.2
B.1.3
C.1.4
D.1.5
【解析】5.给出矩形、直角梯形，已知AD=240，AF=150，AB=CD=100，求阴
7
影部分面积，包含左右两个区域。
方法一：设BG=x，则AG=100-x，△EGB 和△ADG 相似，对应边成比例，则
BG/AG=BE/AD，代入数据，x/（100-x）=BE/240→BE=240x/（100-x）。△AGF 面
积=1/2*AG*BE=（100-x）*[240x/（100-x）]/2=120x，△AGD 面积=1/2*AG*AD=
（100-x）*240/2=12000-120x，所求=12000-120x+120x=12000=1.2 万，对应A
项。
方法二：AB 与FE 平行，AG 是底边，F 是顶点，则将F 在EF 上移动到E 点，
△AEG 面积=△AFG，底边都是AG，高都是EB，阴影面积变为△AED 的面积，以
AD 为底边，AB 为高，所求=1/2*AD*AB=240*100/2=1.2 万，对应A 项。【选A】
【注意】拉窗帘：两个三角形，底（高）相同面积之比等于高（低）之比。
三角形底相同，面积之比=高之比；高相同，面积之比=底之比。比如在平行线
AD 和BC 之间，连接AC、BD，△ABD 和△ACD 的底都是AD，高都是BC 到AD 的距
离，所以面积相同。只要有两条平行线，顶点可以任意移动，保持面积不变。
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6.（2023 国考）在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将
其分割为三角形和梯形两块土地，且梯形土地的面积正好是三角形土地的2 倍。
问三角形和梯形土地的周长之比是多少？
A.1：2
B.5：7
C.（1+ 5）：（2+ 5）
D.（5+ 13：（7+ 13）
【解析】6.求三角形周长和梯形周长的比值。
方法一：设ED=x，BE=y，则AC=x+y，梯形面积=（上底+下底）*高/2=（x+x+y）
*CD/2，三角形面积=底*高/2=y*AB/2，已知“梯形土地的面积正好是三角形土地
的2 倍”，则（x+x+y）*CD/2=2*y*AB/2→2x+y=2y→y=2x，赋值x=1，y=2。正方
形边长为3，在直角△ABE 中，AE²=2²+3²=13，则AE= 13。三角形周长
=2+3+ 13=5+ 13，梯形周长=3+3+1+ 13=7+ 13，对应D 项。
方法二：结合选项，三角形周长=5+AE，梯形周长=7+AE，AE 通过勾股定理
求解，结果带有根号，只有D 项满足。
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方法三：过E 点做AC 的垂线，在上方矩形中，对角线平分矩形，则△ABE
的面积为1 份，下方三角形面积也是1 份，已知“梯形土地的面积正好是三角形
土地的2 倍”，则剩下矩形面积也是1 份，下方矩形和下方三角形有公共边，面
积是一半关系，说明矩形的宽是三角形另一条直角边的一半，假设公共边为a、
ED=x、BE=y，三角形面积=矩形面积，则x*a=a*y/2→x=y/2，赋值x=1，y=2。结
合选项，三角形周长=5+AE，梯形周长=7+AE，AE 通过勾股定理求解，结果带有
根号，只有D 项满足。【选D】
【注意】出现面积的比例关系，代入公式转化为边长的比例关系。
7.（2023 国考）一个三角形公园ABC 内的道路如下图中实线所示。已知
AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？
10
A.9
B.12
C.16
D.18
【解析】7.方法一：蝴蝶定理。△AFC 中，E、D 分别是AF、AC 的中点，则
ED 是△AFC 的中位线，故ED：FC=1：2，在梯形EDCF 中，上下左右四个三角形
的面积比例为1：4：2：2。已知AE=EF=FB，相当于以C 为顶点，高相同，底边
被三等分，则面积也是三等分，△CEF 的面积为2+4=6 份，则总面积为3*6=18
份，黑色部分面积为1 份，故结果为18 倍，对应D 项。
方法二：已知AE=EF=FB，相当于以C 为顶点，高相同，底边被三等分，则
面积也是三等分。已知D 是AC 的中点，则△ADE 和△CDE 面积相等。只要找到△
EOD 和△COD 的面积比例关系即可，二者有共同的顶点D，高相同，面积之比=底
之比，只要找到OE 和OC 的比例即可。ED 是△AFC 的中位线，则ED∥FC，在△
EOD 和△FOC 中，内错角相等，两个三角形相似，已知DE=FC/2，故OE：OC=1：2，
故△EOD 和△COD 的面积比例为1：2，△AED 的面积与△EDC 的面积相等，为3
份，则△AEC 的面积为1+2+3=6 份，故△ABC 的面积为6*3=18 份，结果为18 倍，
对应D 项。【选D】
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【注意】
1.两个三角形，底（高）相同面积之比等于高（低）之比。
2.蝴蝶定理：在梯形中，上底：下底=1：2（a：b），则上下左右四个三角形
的面积比例为1：4：2：2（a²：b²：ab：ab）。
8.（2025 联考）一个空的倒置的圆锥形容器，倒入1 瓶固定容量的水后，
水的高度恰好为容器高度的一半。若要使容器盛满水，则需要再倒入水的瓶数为：
A.5 瓶
B.7 瓶
C.8 瓶
D.10 瓶
【解析】8.截去圆锥的一部分，则新的圆锥与原来是相似的，如果边长之比
a：b，则体积之比为a³：b³。一瓶水倒入圆锥形容器，高度是整个容器高度的
一半，相似比为1：2，则体积比为1³：2³=1：8，问“需要再倒入多少”，原来
倒了1 瓶，一共需要8 瓶，所求=8-1=7 瓶，对应B 项。【选B】
【注意】相似思维：两图形相似，边长之比a：b，面积之比a²：b²，体积
之比a³：b³。比如两个正方形的边长分别为2、4，边长之比为2：4，面积之比
12
为2²：4²=4：16=1：4。比如两个正方体的棱长之比为a：b，则体积之比为a³：
b³。
9.（2025 国考）一个容器的下部分为高12 厘米的倒立圆锥体，上部分为圆
柱体，且圆锥和圆柱的底面半径相等。现匀速向容器中注入水，1 分钟后液面高
6 厘米，又过30 分钟后注满。问整个容器的高度为多少厘米？
A.22
B.22.5
C.23
D.23.5
【解析】9.圆锥高度为12，上面是圆柱。倒水一分钟，高度为6，正好是圆
锥高度的一半，体积为1：8，注入1 份需要1 分钟，则注入8 份为8 分钟。又
过了30 分钟，将整个容器倒满了，问整个容器的高度是多少。一共花了1+30=31
分钟，倒满圆锥需要8 分钟，则倒满圆柱需要23 分钟，通过时间比例得到体积
比例。圆柱体积=底面积*高，圆锥体积=1/3*底面积*高，底面积是相同的，圆锥
高度为12，列式：23/8=底面积*高÷（底面积/3*12），解得高=11.5，求整个容
器的高度，所求=11.5+12=23.5，对应D 项。【选D】
【注意】相似思维：两图形相似，边长之比a：b，面积之比a²：b²，体积
之比a³：b³。
10.（2021 国考）一个人工湖的湖面上有一个露出水面3 米的圆锥体人工景
观（底面朝下）。如人工湖水深减少20%，则该景观露出水面部分的体积将增加
61/64。问原来的人工湖水深为多少米？
13
A.3.5
B.3.75
C.4.25
D.4.5
【解析】10.圆锥尖朝上，漏出水面高度为3 米，水深降低20%，圆锥露出
水面的体积增加了61/64，则现在露出体积/原来露出体积=1+61/64=125/64=5³
/4³，则高度之比为5/4=现在高度/原来高度（3），求湖水的深度，高度差的1
份对应20%的水深，3 米对应4 份，故1 份对应3/4 米，对应20%的水深，故水
深=3/4÷20%=3/4*5=15/4=3.75，对应B 项。【选B】
【注意】相似思维：两图形相似，边长之比a：b，面积之比a²：b²，体积
之比a³：b³。
几何问题小结
考试必考，一般考2 道题左右，整体难度波动大
①常见特殊三角形的比例关系（1：3：2，1：1：2）
②常见勾股数（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
③面积比例的相关结论：两个三角形，底（高）相同面积之比等于高（低）
之比
④相似图形中，体积的比例关系：
两图形相似，边长之比a：b，面积之比a²：b²，体积之比a³：b³
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