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教考衔接十八 教材命题点探源
基础卷（二）
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（2026·长郡模拟）已知
（i 为虚数单位)，则
( )
A.2
B.
C.4
D.8
【答案】B
【解析】由复数
，可得
，所以
.
故选B.
2．（2026·秦皇岛模拟）已知集合
，
，若
，则实数
( )
A.
B.1
C.2
D.
，1 或2
【答案】C
【解析】由
，得
，所以
或
解得
.故选C.
3．（2026·宜春1 月检测）按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100 的
分位数为( )
A.96
B.96.5
C.97
D.97.5
【答案】D
【解析】共10 个数，
，所以
分位数为第8 个，第9 个数据的平均数，即
，故选D.
4．（2026·长沙模拟）已知
，
均为等差数列，且
，
，
A．2028
B．2027
C．2026
D．2025
1
【解析】选A.由于
，
均为等差数列，则
为等差数列，因此
，
，
所以
的公差为1，故
.
5．（2026·常德阶段检测）在
中，
，
，
，则
( )
A.
B.
C.6
D.5
【答案】B
【解析】因为
，由正弦定理可得
，又
，所以
，
，
因为
，所以
，即
，解得
，故选B.
6. （2026·衡水模拟）已知某圆台上下底面半径分别为2.5 和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球
的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】圆台的轴截面为如图所示的等腰梯形
，过D，C 分别作
，
垂直于
，垂足为
E，F，
，
，
，所以圆台轴截面等腰梯形
的底角为
，高为
，将圆台补形为圆锥GO，易知圆锥GO 的轴截面是边长为
12 的正三角形GAB，设
的内切圆半径为r，则
，解得
，
即边长为12 的正三角形内切圆半径为
，
，故能放入最大球半径为
，其表面积为
2
.故选A.
7. （2026·长沙模拟）3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒
为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，
已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔
筒最细处的直径为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
【答案】C
【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以C 为笔筒对应双曲线的实轴端点，
以OC 所在直线为x 轴，过点O 且与OC 垂直的直线为y 轴，
建立平面直角坐标系，设A 与B 分别为上，下底面对应点.由题意可知
，
，
，
3
设
，则
，
设双曲线的方程为
，因为双曲线的离心率为
，
所以
，所以方程可化简为
，将A 和B 的坐标代入
式可得
，解得
，则笔筒最细处的直径为
.故选：C.
8．（2026·咸阳月考）设抛物线
的焦点为F，过点
且斜率为
的直线与C 交于M，
N 两点，则
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】D
【解析】根据题意，过点
且斜率为
的直线方程为
，与抛物线方程联立
，消元整理得：
，解得
，
，又
，所以
，
，从而可以求得
，故选D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·成都期末）设
是公比为正数的等比数列
的前n 项和，若
，
，则(
)
4
A.
B.
C.
为常数
D.
为等比数列
【答案】ACD
【解析】设
公比为q
，则
，解得
，故
，则
，
.对A，
，故A 正确；对B，
，故B 错误；对C，
，为常数，故C 正确；对D，
，
，
，故
为等比数列，故D 正确；故选ACD.
10．（2026·亳州期末）若双曲线
的渐近线方程为
，且
与直线
交于A，B 两点，则( )
A.
B.
C.
在A，B 两点处的切线倾斜角互补
D.
在A，B 两点处的切线夹角为
【答案】BCD
【解析】由双曲线的渐近线方程
，可得
，故A 错误；双曲线的方程为
，当
时，
，故
，
，故
，故B 正确；如图，设双曲线在点
处的切线方
5
程斜率为
，则切线方程为
，联立
，可得
，则
，得
，故切线方程为
，同理可得双
曲线在点
处的切线斜率为
，方程为
，故
在A，B 点处的切线倾斜角为
，故C、
D 正确.故选BCD.
11．（2026·自贡模拟）已知函数
，则( )
A.若
，
，则
有且仅有两个零点
B.若
，则0 为
的极值点
C.当a 为定值时，曲线
在
处的切线在y 轴上的截距为定值
D.若
，
，当且仅当
时，曲线
上存在关于直线
对称的两点
【答案】ACD
【解析】对于A，若
，
，则
，有且仅有
，
0 两个零点，故A 正确；
对于B，若
，则
，当
时，
，
没有极值点，故B 错误；
对于C，
，
，又
，故切线方程为
6
，在y 轴上的截距为
，为定值，C 正确；
对于D，曲线
上存在关于直线
对称的两点，即
有非零实根，即
，化简得
有非零实根，故
有非零实根，故
，得
，由于每步都为充要条件，故D
正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. （2026·台州模拟）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面
的能折叠的扇子，如图1.其展开几何图是如图2 的扇形
，其中
，
，
，
点E 在
上，则
的最小值是__________.
【答案】
【解析】如下图，
，
若F 为
中点，且
，则
，则
，要使其最小，只需
，
共线，
7
此时，由图知此时
.故答案为：
.
13. （2026·濮阳校考）已知函数
在
处有极大值，则
_________.
【答案】3
【解析】
，
，因为函数在
处取得
极大值，所以
，
，得
或
，且
，当
时，
，
在区间
和
单调递增，当
时，
，
在区间
单调递减，所以当
时函数取得极大值，即
，得
.
14．（2026·河南信阳期末）在各棱长均相等的正四面体
中，取棱
上一点T，使
，
连接
，
，三棱锥
的内切球的球心为M，三棱锥
的内切球的球心为N，则平面
与平面
的夹角的正弦值是__________.
【答案】
【解析】设三棱锥
的内切球分别与面
、面
相切于D，E 两点，易知
平分
，
8
平分
，易知
，
，取
中点为Q，则M 在
的平分线上，同理三棱
锥
的内切球球心N 在
的角平分线上，易知
面
，故
，同理
，于是
为平面
与平面
的夹角的平面角，设正四面体棱长为
，则
，
，
，所以
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2026·周口校考）（13 分）已知函数
．
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)若
且
，求
的值．
【答案】(1)
，单调递增区间为
(2)
【解析】(1)因为
9
，所以
的最小正周期
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
；
(2)由(1)可得
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
16．（2026·渭南模拟）（15 分）已知
，
是过点
的两条互相垂直的直线，且
与椭圆
相交于A，B 两点，
与椭圆
相交于C，D 两点.
(1)求直线
的斜率k 的取值范围；
(2)若线段
，
的中点分别为M，N，证明直线
经过一个定点，并求出此定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析；定点
10
【解析】(1)根据题意直线
，
的斜率均存在且不为0，
直线
，
分别为
，
，
联立
，得
，
由
，得
，则
或
，
同理
，则
，
所以k 的取值范围为
.
(2)证明：设
，
，
由(1)得
，
所以
，则
，
所以
，
则
，同理
，
则直线
的方程为
，
化简整理得
，
11
因此直线
经过一个定点
.
17．（2026·长沙一模）（15 分）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，侧棱
底面
，
，E 是PC 的中点，作
交PB 于点F.
（1）求证：
平面DEF；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）证明：因为
底面
，
底面ABCD，所以
，
因为四边形ABCD 是矩形，所以
，
因为
、
平面
，
，所以
平面PCD，
又
平面PCD，所以
，
因为
，E 是PC 的中点，所以
，
又PC，BC 是平面PBC 内的两条相交直线，所以
平面PBC，
又
平面PBC，所以
，
又
，且
，所以
平面DEF.
（2）以D 为原点，以DA，DC，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，
12
则
，
，
，
，则
，
，
由（1）知
平面DEF，所以
为平面DEF 的一个法向量，
设平面BDE 的法向量为
，
则由
得
取
，
则
，
设二面角
的平面角的大小为
，
则
，
所以二面角
的正弦值为
.
18．（2026·苏州校考）（17 分）已知某系统由一个电源和并联的A，B，C 三个元件组成，在电源电压
正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布
，且X 的累积分布函数为
，求
．
（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的
13
使用寿命，T 服从指数分布，其累积分布函数为
．
①设
，证明：
；
②若第n 天只有元件A 发生故障，求第
天系统正常运行的条件概率．
参考数据：若
，
，
，
．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【解析】(1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布
，可知
，
则
，
，
则
，
(2)①由题意知
，
因为
，所以
，
，
所以
成立.
②由①可得
，
14
所以第
天元件B，C 正常工作的概率均为
，
当第
天系统正常运行时，元件B，C 至少有一个在正常工作，其对立事件第
天系统不正常运行
时，元件B，C 都不正常工作.
则第
天系统正常运行概率为
.
19．（2026·青岛期末校考）（17 分）已知函数
(a 为实常数）．
(1)若
，求证：
在
上是增函数；
(2)当
时，求函数
在
上的最大值与最小值及相应的x 值；
(3)若存在
，使得
成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)当
时，函数
有最小值为
，当
时，函数
有最大值为
.
(3)
【解析】(1)证明：由题可知函数的定义域为
，
因为
，所以
，所以
，
令
，解得
，
所以
在
上是增函数.
(2)因为
，所以
，所以
，
令
，解得
，令
，解得
，
15
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
有最小值为
，
因为
，
，
所以当
时，函数
有最大值为
.
(3)由
得
，即
，
因为
，所以
，
，所以
，
且当
时
，所以
在
上恒成立，所以
，
即存在
时，
，
令
，
，
令
，
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
，
所以
时，
恒成立，
16
所以
，
所以实数a 的取值范围是
.
17
