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2025 年高考数学二轮复习小题基础练08
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·全国·模拟预测）设集合
，集合
，则
或
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江西景德镇·一模）人们把蜂房誉为自然界最奇异的建筑，蜂房是由许许多多的
正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙.人们一直疑问，蜜蜂为什么不
让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都
是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积
最大、周长最小的平面图形.1943 年，匈牙利数学家陶斯（Laszlo Fejes Toth）证明了，在
所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.1999 年，黑尔斯证明了周边是曲线
时，无论曲线是向外凸还是向内凹，由正六边形组成的图形周长都是最小的.如图是一个边
长为2 的正六边形ABCDEF，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
4．（2024·江西新余·模拟预测）已知连续型随机变量
与离散型随机变量
满足
1
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，
，若
与
的方差相同且
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．（2024·浙江金华·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·河南·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．（2024·福建泉州·模拟预测）《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱
台）体积近似计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，
将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高
相乘，再取其六分之一，现有“刍童”
，其上、下底面均为正方形，若
，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为
，则按《九章算术》的注释，
该“刍童”的体积为（ ）
A．8
B．24
C．
D．112
8．（2023·河南开封·一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不
动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对
于满足一定条件的连续函数
，存在点
，使得
，那么我们称该函数为“不
2
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动点”函数．若函数
为“不动点”函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点
是正方体的顶点或所在棱的中点，
则下列各图中满足
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·湖南永州·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点(2,1)对称
B．
是以4 为周期的周期函数
C．
D．存在函数h(x)，使得对
，都有
11．（2021·福建三明·三模）瑞士著名数学家欧拉在1765 年证明了定理“三角形的外心、
3
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重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后
人称这条直线为“欧拉线”.直线与
轴及双曲线
的两条渐近线的
三个不同交点构成集合
，且
恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为
1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（2024·江西景德镇·一模）已知公比不为1 的等比数列
，
且
，
，
成
等差，则
.
13．（2024·浙江·一模）已知椭圆
：
，过左焦点
作直线与圆
：
相切于点
，与椭圆
在第一象限的交点为
，且
，则椭圆离心率
为 .
14．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．
一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，
在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来
近似描述这一天港口的水深
与时间
之间的关系，该函数的表达式为
．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要有2.25 米
的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为
小时（保留整数）．
时刻
水深m
时刻
水深m
时刻
水深m
0：00
5.0
9：18
2.5
18：36
5.0
3：06
7.5
12：24
5.0
21：42
2.5
4
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6：12
5.0
15：30
7.5
24：00
4.0
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
B
C
C
B
ACD
AC
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】化简两集合，再研究集合间的运算即可.
【详解】解：因为
，
所以
，所以
或
，
故选：A．
2．C
【分析】根据复数的运算法则计算．
【详解】因为
，所以
，所以
．
故选：C．
3．A
【分析】根据题意，由数量积的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
是边长为
的正六边形，所以
，
，
，
则
.
故选：A
4．A
【分析】由正态分布和二项分布的性质可得结果.
【详解】
，
，
，
，由对称性：
，
故
.
故选：A.
5
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5．B
【分析】根据两角和的正切公式可得
的值，再将弦化切，即可求解.
【详解】由
得
，即
，解得
，
所以
，
故选：B.
6．C
【分析】先化简得出
，再应用基本不等式常值代换计算即可.
【详解】因为
，所以
,
又因为
，
当且仅当
时取最小值9，
所以
的最小值为5.
故选：C.
7．C
【分析】先画出图形，连接
，
交于点
，连接
，
交于点
，连接
，过
作
，如图，根据题意结合图形得到
是“刍童”
其中一
条侧棱与与底面所成角的平面角，从而求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求
得结果．
【详解】连接
，
交于点
，连接
，
交于点
，连接
，过
作
，如图，
6
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.
因为“刍童”
上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值
均相等，所以
底面
，又
，所以
底面
，
所以
是“刍童”
其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则
，
因为
，所以
，
易知四边形
是等腰梯形，则
，
所以在
中，
，则
，即“刍童”
的高为
，
则该刍童的体积
.
故选:C.
8．B
【分析】根据题意列出关于
和
的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.
【详解】由题意得若函数
为不动点函数则满足
，即
，即
设
，
设
7
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所以
在
单调递减，且
所以
在
上单调递增，
，所以
在
上单调递减，
所以
当
则
当
则
所以
的图像为：
要想
成立，则
与
有交点，所以
故选：B
9．ACD
【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.
【详解】对A：如图：
连接
，因为
为正方体棱的中点，所以
，又
，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
.故A 正确；
对B：如图：
8
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因为
是正方体棱的中点，所以
，
，
，
所以
，
同理：
，
.
所以
5 点共面，所以
平面
不成立.故B 错误；
对C：如图：
因为
是正方体棱的中点，所以
，
，所以
.
平面
，
平面
，所以
平面
.故C 正确；
对D：如图：
因为
为正方体棱的中点，连接
交
于
，连接
，
则
为
的中位线，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
.故D 正确.
故选：ACD
9
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10．AC
【分析】根据函数的奇偶性结合已知得出对称中心判断A,计算得出周期判断B,应用周期性
求函数值判断C,反证法判断D.
【详解】对于A，根据题意由
可得
；又
为奇函
数，
联立
，两式相加可得
，因此
的图象关于点
对称，即A 正确；
对于B，由A 选项可知
，又
为偶函数，所以
，
可得
，
即
，所以
，即
是以8 为周期的周期函数，可知B 错
误；
对于C，易知
，由
可得
，又
，所以
；
所以
，即C 正确；
对于D，假设存在
，使得对
，都有
，由
可得
，
可得
；因此
，又
，
即
的函数值不唯一，构不成函数关系，假设不成立，即D 错误.
故选：AC.
10
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11．ABD
【分析】设
，分别与两条渐近线和
轴联立求出
的坐标，求出
、
、
，再分类讨论重心、垂心和外心，并根据重心到外心的距离是重心到垂心距
离的一半列式求出
的关系，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】设
，
由
，得
，得
，
由
，得
，得
，
由
，得
，得
，
，
，
，
若
为重心、
为外心、
为垂心，则
，
所以
，化简得
，此时双曲线的离心率
，
11
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若
为重心、
为垂心、
为外心，则
，
所以
，化简得
不成立；
若
为重心、
为垂心、
为外心，则
，
所以
，化简得
，此时双曲线的离心率
，
若
为重心，
为垂心、
为外心，则
，
，化简得
，此时双曲线的离心率
；
若
为重心、
为垂心、
为外心，则
，
所以
，化简得
或
，
此时双曲线的离心率
或
，
若
为重心，
为垂心、
为外心，则
，
所以
，化简得
或
都不成立.
综上所述：
或
或
或
.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是得到
的等量关系，求出三个交点坐标
12
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后，分类讨论重心、垂心和外心，根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半可得所
要的等量关系..
12．
【分析】由等差中项求得等比数列公比，再结合等比数列通项公式即可求解.
【详解】由题知：∵
成等差，∴
，又
是公比不为1 的等比数列，
∴
，∴
，
．
故答案为：
．
13．
【分析】由题意利用直线与圆相切可得
，再由余弦定理计算得出
，利用椭圆定义即可得出离心率.
【详解】设椭圆右焦点为
，连接
，如下图所示：
由圆
：
可知圆心
，半径
；
显然
，且
，
因此可得
，所以
，可得
；
即可得
，又易知
；
由余弦定理可得
，
13
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解得
，
再由椭圆定义可得
，即
，
因此离心率
.
故答案为：
14．
4
【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出
，再由
最值计算出A 和b，最后由最大值处的数据计算出
，即可得到函数的表达式；第二空先
判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.
【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.
设该函数表达式为
，
由表中数据可知，一个周期为12 小时24 分，即744 分钟，
所以
，
，
，
则该函数的表达式为：
.
由题可知，水深为
米以上时安全，
令
，
解得
，
即安全时间为
分钟，约4 小时.
故答案为：
；4.
14
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