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2025 年高考数学二轮复习小题提升练09
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
，或
D．
2．（2024·四川宜宾·一模）如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点
对应的复数分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川眉山·一模）曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·广东·模拟预测）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图
（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳
线，
表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件
“两卦的六根线中恰有三根阳
1
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线”，
“至少有一卦恰有两根阳线”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·新疆克孜勒苏·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不
积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.
我们可以把
看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是
；而把
看作是每天“退步”率都是1%，一年后是
；这样，一年后的1“进
步值”是“退步值”的
倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2 倍，大约
经过多少天?（参考数据：
，
）（ ）
A．19
B．35
C．45
D．55
6．（24-25 高二上·河南洛阳·阶段练习）设有一组圆
，若圆
上恰有两点到原点的距离为1，则
的取值范围是（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
，数列
满足
，且数列
是单调递增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
的三个顶点均在
上，
分别落在线段
上且
轴，若
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入
生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
根据表中的数据可得到经验回归方程为.
，则（ ）
A．y 与x 的样本相关系数
B．
C．表中维修费用的第60 百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为 10 年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38 万
元
3
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10．（24-25 高三上·山东菏泽·期中）如图，已知
中，
，
，
是
的中点，动点
在以
为直径的半圆弧上.则（ ）
A．
B．
最小值为-2
C．
在
上的投影向量为
D．若
的最大值为
11．（24-25 高二上·重庆·期中）如图，在正方体
中，点
在线段
上运
动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．异面直线AP 与
所成角的取值范围是
C．平面ADP 与平面ABCD 所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
4
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三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知向量
的夹角的余弦值为
，且
，则
.
13．（2024·湖南邵阳·三模）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・
费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三
个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小
于
时，使得
的点
即为费马点；当
有一个内角大
于或等于
时，最大内角的顶点为费马点.已知
，
，分别是
三个内角
，
，
的对边，且
，若点
为
的费马点，
，则实数的取
值范围为 .
14．（24-25 高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数
，若
，
，使得不
等式
成立，实数
的取值范围是 .
5
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
B
B
A
D
ABC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】求出集合
，集合
，再利用并集定义求出
．
【详解】因为集合
，集合
，
所以
．
故选：D．
2．A
【分析】根据复数的几何意义即可根据向量的模长求解.
【详解】由图可知：
,所以
,
故选：A
3．B
【分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.
【详解】由
，得
，
则
，所以曲线
在点
处的切线方程为
，
令
，得
；令
，得
，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为
.
故选：B.
4．C
【分析】根据条件概率计算公式求得正确答案.
【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，
两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，
所以
，
6
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所以
.
故选：C
5．B
【分析】
确定
得到
，计算得到答案.
【详解】设
天后当“进步”的值是“退步”的值的2 倍，则
，即
，
，
.
故选：B.
6．B
【分析】由题意将问题转换成圆
与圆
有两个交点即可求解.
【详解】圆
，其圆心为
，半径为
．
因为圆
上恰有两点到原点的距离为1，所以圆
与圆
有两个交点．
因为圆心距为
，所以
，解得
．
故选：B
7．A
【分析】由数列
是单调递增数列可知当
时，
单调递增，当
时，
单
调递增，且
，列出不等式，解不等式即可.
【详解】数列
是单调递增数列，
7
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可知当
，
时，
单调递增，即
或
，解得
；
当
时，
单调递增恒成立，
且
，即
；
解得
，
所以若数列
是单调递增数列，则
，
故选：A.
8．D
【分析】作出图象，由题意可知
，从而可得
，在
和
中，分别求得
，从而
可得
，即有
，
，过
作
于
，
可得
，
为
中点，即可得解.
【详解】如图所示：
由题意可知
，
设椭圆的半长轴为
，
8
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则
，
在
中，
，
在
中，
所以
，
整理得：
，即
解得：
或
，
当
时，
，不满足题意，故舍去；
当
时，
，满足题意，且
，
过
作
于
，
则
，
所以
,
所以
，
故
为
中点，
所以
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是在
和
中，分别求得
，建立等
量关系，求得
.
9．ABC
【分析】对A，根据相关系数的概念可判断，对B，计算出样本中心，代入方程计算出
，
9
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对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断.
【详解】根据题意可得，
，
，
所以样本中心点为
，
对于A，由表中数据可得
随着
增大而增大，
与
正相关，所以相关系数
,故A 正
确；
对于B，将样本中心点
代入回归方程
，可得
，故B 正确；
对于C，维修费用从小到大依次为
，第60 百分位数为
，故C 正
确；
对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10 年时，所需要支出的维修费用大
概是12.38 万元，故D 错误.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】由已知
是
的中点，易得
，可判断A；根据投影向量的定义
可判断C；以M 为原点，直线AC 为
轴建立直角坐标系，设
，则
，
写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D.
【详解】以M 为原点，直线AC 为
轴建立直角坐标系（如图），
设
，则
，在
中，
，
，
是
的中点，
所以
，
，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
对于A：因为
是
的中点，所以
，故A 正确；
对于B：
10
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因为
，所以
，当
时，
取得最小值
，
所以
最小值为
，故B 正确；
对于C：
在
上的投影向量为
，故C 错误；
对于D：因为
所以
，
则
，当
时，
取最大值
.故D 正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出
平面
，再根据三棱锥的体积
的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；
对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与
平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
【详解】对于A，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，因为点
在线段
上运动，
点
到平面
的距离为定值，又
的面积为定值，
故三棱锥
的体积为定值，故A 正确；
对于B，因为
，所以异面直线
与
所成的角即为
与
所成的角，
11
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当点
位于
点时，
与
所成的角为
，
当点
位于
的中点时，因为
平面
，
，
所以
，此时，
与
所成的角为
，
所以异面直线
与
所成角的取值范围是
，故B 正确；
对于C，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体
的棱长为1，
，
，
则
，
，设平面
的法向量
，
设平面
的法向量
，
，
则
，即
，
令
，则
，则得
，
面
与平面
所成夹角为
，
所以
，
因为
，
，所以
，
，
所以平面
与平面
所成夹角的余弦值取值范围是
，故C 错误；
对于D，则
，
，
，
，
，
12
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，
设平面
的法向量⃗n=(x , y , z)，则
，即
，
令
，则
，得
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为：
，
当
时，直线
与平面
所成角的正弦值取得最大值，
最大值为
，故D 正确.
故选：ACD.
12．2
【分析】根据平面向量的数量积定义及运算律求解即可.
【详解】由题意，向量
的夹角的余弦值为
，
因为
，
所以
，
解得
或
（舍去）.
13
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故答案为：2.
13．
【分析】根据题意，求得
,设
，
求得
，利用余弦定理得到
，
，
，由
，得到
，结合基本不等式，
即可求解.
【详解】因为
，则
，整理得
，
由正弦定理得
，
则
，且
，则
，所以
，可得
，
又由点
为
的费马点，可得
,
设
，
由
，可得
，
由余弦定理得
，
，
因为
，即
，
可得
，且
，则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
14
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又因为
，则
，解得
或
（舍去），
所以实数的取值范围为
.
故答案为：
.
14．
【分析】由题意将问题转化为
，成立，利用二次函数的性质求
解即可.
【详解】若对任意
，存在
，使得不等式
成立，
即只需满足
，
，对称轴
在
递减，在
递增，
，对称轴
，
①
即
时，
在[0,1]递增，
恒成立；
②
即
时，
在
递减，在
递增，
，所以
，故
；
15
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③
即
时，
在[0，1]递减，
，
所以
，解得
，综上
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函
数的性质最后进行总结，即可求出结果.
16
