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2025 年高考数学二轮复习小题提升练15
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·湖北·模拟预测）在复平面内，若
，则
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（22-23 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁
式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面
积为
，屋顶的体积为
，算得侧面展开图的圆心角约为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·辽宁·二模）已知椭圆
与抛物线
在第一
象限的公共点为A，椭圆的左、右焦点分别为
，其中右焦点与抛物线的焦点重合，已
1
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知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·吉林白山·一模）2023 年12 月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家
杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后
杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为
两男1 女，则总的站排方法共有（ ）
A．300
B．432
C．600
D．864
6．（2023 高二下·浙江杭州·学业考试）若正数
满足
，则
的最小
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·江西吉安·一模）已知直线l1：
与l2：
相交于
点M，线段AB 是圆C：
的一条动弦，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高三上·浙江·阶段练习）若
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（
）
2
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A．若数列
为等比数列，且其前
项的和
，则
B．若数列
为等比数列，且
，则
C．若数列
为等比数列，
为前
项和，则
，
，
，…成等比数列
D．若数列
为等差数列，
，则
最小
10．（2024·甘肃定西·一模）已知函数
，则（ ）
A．当
有2 个零点时，
只有1 个零点
B．当
有3 个零点时，
只有1 个零点
C．当
有2 个零点时，
有2 个零点
D．当
有2 个零点时，
有4 个零点
11．（22-23 高二下·辽宁·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，其准线
与
轴交于点
，过
的直线与
在第一象限内自下而上依次交于
两点，过
作
于
，则（ ）
A．
的方程为
B．当
三点共线时，
C．
D．当
时，
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3 的三个盒子，其中1 号盒子内装有两个1
号球，一个2 号球和一个3 号球；2 号盒子内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒子内装
有三个1 号球，两个2 号球，若第一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入
3
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与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2 号球的条件下，
第二次抽到1 号球的概率为 ，第二次抽到3 号球的概率为
13．（2024·天津和平·二模）过点
作曲线
的切线，则切点的坐标为
．
14．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体
中，
，
，
M，N 分别为BC，
的中点，点P 在矩形
内运动（包括边界），若
平面
AMN，则
取最小值时，三棱锥
的体积为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
B
B
A
B
CD
BD
题号
11
答案
BC
1．D
【分析】根据复数的四则运算可得
，结合复数的几何意义运算求解.
【详解】因为
，可得
，
所以
对应的点为
，位于第四象限.
故选：D.
2．A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
4
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所以
.
故选：A
3．C
【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧
长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧
面展开图的圆心角.
【详解】底面圆的面积为
，得底面圆的半径为
，
所以底面圆周长为
，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为
，
屋顶的体积为
，由
得圆锥的高
，
所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径
，
得侧面展开图扇形的圆心角约为
.
故选：C.
4．B
【分析】结合图象，过点
作
垂直
交于点
，作
轴，交于点
,依据抛
物线的定义及勾股定理可求得相关线段的长度，进一步计算即可.
【详解】如图，依题可知，抛物线的准线方程为
，
过点
作
垂直
交于点
，
作
轴，交于点
,
则
，
设
，则
，
5
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则
，
，
，
所以
，
故选：B.
5．B
【分析】根据特殊原元素先排列，4 名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果.
【详解】杨教授站中间，只有1 种方法；
四名男生分成两组放在两边方法数
；
两名女生放在两边方法数
，
每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为
.
故选：B.
6．B
【分析】由
可得
原式化为
，利用二次函数的性质
求解即可.
【详解】由
可得
时等号成立，
所以
，
6
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所以
时，
的最小值是
，
故选：B
7．A
【分析】根据直线所过定点和
知
，由此得
轨迹是以
为圆心，
为半径的圆（不含点
），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得
，结合向量数量积的运算律求得
最小值.
【详解】由圆的方程知：圆心
，半径
；
由
得：
，
恒过定点
；
由
得：
，
恒过定点
；
由直线
方程可知：
，
，即
，
设
，则
，
，
，整理得：
，
即点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，又直线
斜率存在，
点轨迹不包含
；
若点
为弦
的中点，则
，位置关系如图：
7
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连接
，由
知：
，
则
，
（当
在
处取等号），
即
的最小值为
.
故选：A.
8．B
【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出
，从而求出
，再由
即可求出
，最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解.
【详解】一方面由题意
，且注意到
，
联立得
，解得
，
所以
，
8
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另一方面不妨设
，且
，
所以有
，解得
或
（舍去），即
，
由两角和的正切公式有
，
所以
.
故选：B.
9．CD
【分析】求出的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出
与
公差
的关系判断D.
【详解】对于A，由
，得
，数列
为等比数列，
则
，解得
，经验证符合题意，A 正确；
对于B，等比数列
中，由
，得
，则
，
B 正确；
对于C，等比数列
的公比
，
为偶数时，
，
，
，
，…不
成等比数列，C 错误；
9
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对于D，设等差数列
的公差为
，由
，得
，
整理得
，当
时，
没有最小值，D 错误.
故选： CD
10．BD
【分析】将问题转化为
与
的图象交点问题，结合图象，逐
一分析各选项中
的取值范围，从而得解.
【详解】令
，得
，
利用指数函数与二次函数的性质作出
的大致图象，如图所示，
由图可知，当
有2 个零点时，
或
，
此时
无零点或只有1 个零点，故A 错误；
当
有3 个零点时，
，此时
只有1 个零点，故B 正确；
当
有2 个零点时，
，此时
有4 个零点．故C 错误，D 正确.
故选：BD.
11．BC
【分析】根据准线与
轴的交点求出抛物线的解析式，通过分析即可得出正确选项.
【详解】由题意，
在
中，准线与
轴交于点
∴
，解得：
，
10
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∴抛物线的方程为
，A 项错误；
设
的方程为
，
联立
得
，
则
，即
，
由题意可知，
，
当
三点共线时，
，
则
，解得
，
则
，
代入
的方程可知，
，
根据抛物线的定义可知
，
∴
，B 项正确；
由定义可知，
，
∵
，
∴
，C 项正确；
当
时，
则
，
解得
（负值舍去），
，
11
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则
，
由
，则
，
∴
，①
假设
，则
，则
，
显然不符合①，所以D 项错误．
故选：BC．
12．
/0.5
【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2 号球的条件下，第二次抽到1 号球的概率；记
第一次抽到第i 号球的事件分别为
，记第二次在第i 号盒内抽到3 号球的事件
分别为
，第二次抽到3 号球为事件
，再利用全概率公式求解即可.
【详解】根据题意，在第一次抽到2 号球的条件下，第二次抽到1 号球的概率为
.
记第一次抽到第i 号球的事件分别为
，
则有
，
，
记第二次在第i 号盒内抽到3 号球的事件分别为
，
则
，
，
，
记第二次抽到3 号球为事件
，
.
12
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所以第二次抽到3 号球的概率为
.
故答案为：
；
.
13．
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将
代入求解即可.
【详解】设切点的坐标为
，由
，
，
所以过切点的切线方程为：
，
把
代入得：−2
t =−t ⋅2
t ln 2，即t ln2=1，
所以t = 1
ln 2，则切点坐标为：
即
.
故答案为：
14．
/
【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面
平面
，从而得到点
的轨迹，
进而求得
取得最小值时点
的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解.
【详解】取
的中点E，
的中点F，连接EF，
，
，
则易得
，
，
因为
平面
，
平面
，故
平面
，
13
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同理：
平面AMN，又
平面
，
所以平面
平面
，又
平面AMN，
所以
平面
，即点
在平面
与平面
的交线EF 上，
当
时，
取最小值．
易知
，故当
取最小值时，P 为EF 的中点，
此时
的面积
，
则
．
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到利用面面平行求得点
的轨迹，从而得解.
14
