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2025 年高考数学二轮复习小题提升练16
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·黑龙江·二模）已知集合
，
，定义集合：
，则集合
的非空子集的个数是（ ）个．
A．16
B．15
C．14
D．13
2．（23-24 高三上·山东枣庄·期末）若
是方程
的一个虚数根，则
（ ）
A．0
B．-1
C．
D．-1 或
3．（2024·湖北·一模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
4．（2023·广东广州·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·
商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三
层有6 个球，……．记各层球数构成数列
，且
为等差数列，则数列
的前
项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一上·浙江杭州·期末）已知
，
，且
，则
的最小
1
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值为（ ）
A．9
B．10
C．12
D．13
6．（23-24 高三上·山东德州·期末）在三棱锥
中，
是以
为斜边的等腰直
角三角形，
是边长为2 的正三角形，二面角
的大小为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·四川绵阳·二模）设
分别为椭圆
的左，右焦点，以
为圆心且过
的圆与x 轴交于另一点P，与y 轴交于点Q，线段
与C 交于点A．已知
与
的面积之比为
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16 个饺子，其
中有
个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且
.在小蒋吃到的前13
个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16 个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·山东淄博·一模）下列命题为真命题的是（ ）
2
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A．若样本数据
的方差为2，则数据
的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12 的第80 百分位数是11.5
C．用决定系数
比较两个模型的拟合效果时，若
越大，则相应模型的拟合效果越
好
D．以模型
去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设
，求得线
性回归方程为
，则c，k 的值分别是
和2
11．（23-24 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）经过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点，设
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
面积的最小值为8
C．以焦半径
为直径的圆与直线
相切
D．
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（2024·北京通州·二模）已知的数
（
），若
的最小正周
期为
，
的图象向左平移
个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2 倍
（纵坐标不变）得到函数
的图象，则
；若
在区间
上有
3 个零点，则
的一个取值为 ．
3
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13．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是
．
14．（2024·河南郑州·一模）
，不等式
恒成立，则正实
数
的最大值是 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
D
A
B
C
ACD
BCD
题号
11
答案
BC
1．B
【分析】先确定集合
有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【详解】根据题意，
，
则集合
的非空子集的个数是
.
故选：B
2．A
【分析】求出方程的虚数根，再代入计算即得.
【详解】方程
化为：
，依题意，
或
，
显然
，又
，即
，
所以
.
故选：A
3．B
【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.
【详解】由题意可知
，
所以
，
故选：B
4
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4．D
【分析】根据累加法求得
，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】
，
，
由于
为等差数列，所以
，
所以
，
也符合，
所以
，
所以数列
的前
项和为
.
故选：D
5．D
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
【详解】
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：D.
6．A
【分析】取
的中点
，所以
为二面角
的平面角，过点
作与平面
垂直的直线，则球心
在该直线上，设球的半径为
，在
中利用余弦定理可得
，从而可得外接球的表面积.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
，
5
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由题意，
，所以
，
所以
为二面角
的平面角，所以
，
因为
是以
为斜边的等腰直角三角形，且
，
所以
，
为
外接圆的圆心，
又
是边长为2 的等边三角形，所以
，
过点
作与平面
垂直的直线，则球心
在该直线上，
设球的半径为
，连接
，可得
，
在
中，
，
利用余弦定理可得
，
所以
，解得
，
所以外接球的表面积为
.
故选：A.
7．B
【分析】由题意可逐步计算出点A 坐标，由点A 在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，
借助等式即可计算离心率.
【详解】由题意可得F1(−c ,0)、
，
，
则以
为圆心且过
的圆的方程为
，
令
，则
，由对称性，不妨取点
在
轴上方，即
，
6
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则
，即
，
有
，则
，
又
，即有
，即
，
代入
，有
，即
，
即
在椭圆上，故
，
化简得
，由
，
即有
，
整理得
，即
，
有
或
，
由
，故舍去，即
，
则
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，
7
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b，c 的方程，利用
和
转化为关于的方程，通过解方程求得离心率．
8．C
【分析】记事件
：16 个饺子中有i 个香菇肉馅饺子，
，事件B：吃到的前13
个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求
，然后再由条件概率公式可得
.
【详解】记事件
：16 个饺子中有i 个香菇肉馅饺子，
，
事件B：吃到的前13 个饺子均为玉米肉馅饺子.
则
，
，
，
，
当
时，
，
由题知，
，
所以
，
又
，
所以
.
故选：C
9．ACD
【分析】由奇函数定义逐一判断即可.
【详解】对于A，
的定义域为全体实数，关于原点对称，且
，故A 满足题意；
8
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对于B，若
，则
，故B 不满足题意；
对于C，
的定义域为
，它关于原点对称，且
，故C 满足题意；
对于D，
的定义域为
，它关于原点对称，且
，故D 满足题意.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的
概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.
【详解】对A：若样本数据
的方差为2，则数据
的方差为
，故A 错误；
对B：
，则其第80 百分位数是
，故B 正确；
对C，根据决定系数的含义知
越大，则相应模型的拟合效果越好，故C 正确；
对D，以模型
去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设
，
则
，由题线性回归方程为
，则
，故
的值分别是
和2，故D 正确.
故选：BCD.
11．BC
【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线
为
，联立方程结合韦达定理可得
9
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，
，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断.
【详解】由题意可知：抛物线
的焦点
，准线为
，
显然直线
的斜率不为0，且可以不存在，此时直线
与抛物线必相交，
设直线
为
，
联立方程
，消去x 得
，
则
，
，
对于选项A：
，故A 错误；
对于选项B：
，
原点O(0,0)到直线
的距离
，
所以
面积
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
面积的最小值为8，故B 正确；
对于选项C：由题意可知：线段
的中点
，
则
到y 轴的距离为
，
所以以焦半径
为直径的圆与直线
相切，故C 正确；
对于选项D：因为
，
10
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即
，故D 错误；
故选：BC.
12．
或
6（答案不唯一）
【分析】由
的最小正周期为
，可求出
，再根据三角函数的平移
和伸缩变化可求出
；根据
，求出
，结合题意可
得
，解不等式即可得出答案.
【详解】因为
的最小正周期为
，所以
，解得：
，
所以
，
的图象向左平移
个单位长度后，
可得：
，
再把图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到函数
的图象，
所以
；
因为
，
，
在区间
上有3 个零点，
所以
，解得：
，
则
的一个取值可以为6.
11
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故答案为：
或
；6（答案不唯一）.
13．
【分析】先根据异面直线所成角的定义确定
为异面直线
与
所成的角或其补角；
再根据勾股定理求出
，余弦定理求出
.，进而得出
；最后在
中，利
用余弦定理即可求出
.
【详解】取
的中点
，连接
，如图所示：
因为
为
的中点，
为
的中点，
则根据三角形的中位线定理可得
，且
.
所以
为异面直线
与
所成的角或其补角．
因为在
中，
，
，
，
所以
，则
.
又
，所以
．
又在
中，
，
,
所以由余弦定理可得：
.
又因为在
中，
，
所以由余弦定理可得：
.
12
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则在
中，由余弦定理可得，
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
．
故答案为：
.
14．
【分析】对不等式变形可得
在
上恒成立，构造函数
并利用导数判断可得
在
上单调递增，即等价于
，因
此可得
对
恒成立，构造函数
并求得其最小值即可得
，可得结果.
【详解】将不等式
变形可得
，
即
，
构造函数
，可得
；
令
，则
；
所以当
时，
，即
在
上单调递减；
当当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，即
，所以函数
在
上单调递增，
利用单调性并根据
可得
，
13
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即可得
，即
对
恒成立，因此
即可；
令
，则
，
显然当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
因此正实数
的最大值是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形成
，根据
同构函数可令
，利用导数求得其单调性可转化为
对
恒
成立，求出函数
在
上的最小值即可得出结论.
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