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2025 年高考数学二轮复习小题提升练17
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24 高一上·四川达州·期中）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·江苏泰州·阶段练习）若复数z 满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（23-24 高二上·山西运城·期末）各项为正的等比数列
中，
，则
的前4 项和
（ ）
A．40
B．121
C．27
D．81
4．（2024·浙江台州·一模）已知非零向量
，
，满足
，
，若为
在
上
的投影向量，则向量
，
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·山东·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高三上·江苏宿迁·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，
1
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它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其
中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练
迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
，衰减速
度为18，且当训练迭代轮数为18 时，学习率衰减为
，则学习率衰减到
以下（不含
）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：
）
A．72
B．74
C．76
D．78
7．（2024·河南·一模）甲乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入
､
3 分．一局比赛后，若
决出胜负，则胜的一方得1 分，负的一方得
分；若平局，则双方各得0 分．若干局比赛
后，当一方累计得分为6 时比赛结束且该方最终获胜．令
表示在甲的累计得分为i 时，
最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·山东枣庄·一模）已知
为抛物线
的焦点，
的三个顶点都在
上，
为
的中点，且
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（2024·广东茂名·一模）在棱长为2 的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中点，则（ ）
A．直线
与
所成的角为60°
2
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B．过空间中一点有且仅有两条直线与
所成的角都是60°
C．过
，
，
三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为
D．过直线
的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
10．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c 满足
，且
，则下列结论中正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（22-23 高二下·吉林长春·期末）定义：对于定义在区间I 上的函数
和正数
，若存在正数M，使得不等式
对任意
恒成
立，则称函数
在区间I 上满足
阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数
在
上满足
阶李普希兹条件
B．若函数
在
上满足一阶李普希兹条件，则M 的最小值为
C．若函数
在
上满足
的一阶李普希兹条件，且方程
在
区间
上有解
，则
是方程
在区间
上的唯一解
D．若函数
在
上满足
的一阶李普希兹条件，且
，则对任意函
数
，
，恒有
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（2022·全国·模拟预测）设椭圆
的焦点为
，
，P 是椭圆上一
3
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点，且
，若
的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当
时，椭圆的
离心率为 ．
13．（2024·河北石家庄·二模）已知函数
在区间
上的值域均为
，则实数
的取值范围是 ．
14．（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱
中，所有棱长均为2，
，
为
的中点，点
在四边形
内（包括边界）运动，下列结论中
正确的是 （填序号）
①当点
在线段
上运动时，四面体
的体积为定值
②若
面
，则
的最小值为
③若
的外心为M，则
为定值2
④若
，则点
的轨迹长度为
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
B
B
B
C
B
ACD
AD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】先求得集合
或
，
，结合交集与补集的运算，即可
求解.
4
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【详解】由集合
或
，
所以
，可得
.
故选：
.
2．B
【分析】根据复数模的运算公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】令
，
为实数
由
，
所以
，
因此当
时，
取最小值
，
故选：B
3．A
【分析】先根据等比数列通项公式求出
，再根据前
项和公式求值即可.
【详解】设等比数列公比为
,
故选：A.
4．B
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角
公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由
，为
在
上的投影向量，
所以
，故
5
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故选：B
5．B
【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得
，
再利用二倍角公式可得
，再结合诱导公式，可求
.
【详解】由
，
所以
，
所以
.
故选：B
6．B
【分析】根据已知条件列方程，可得
，再由
，结合指对数关系和对数
函数的性质求解即可．
【详解】由于
，所以
，
依题意
，则
，
则
，
由
，
所以，即
，
所以所需的训练迭代轮数至少为74 次．
6
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故选：B
7．C
【分析】根据题意结合全概率公式分析可得
，进而可知
是公比为
的等比数列，利用累加法结合等比数列求和公式分析求解.
【详解】由题意可知：i 的取值集合为
，且
，
在甲累计得分为1 时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为
，
在甲累计得分为1 时，下局平局且最终甲获胜的概率为
，
在甲累计得分为1 时，下局甲败且最终甲获胜的概率为
，
根据全概率公式可得
，
整理得
，变形得
，
因为
，则
，
同理可得
，
所以
是公比为
的等比数列，
所以
，
各项求和得
，
则
，即
，解得
．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据题意利用全概率公式结合等比数列的定义可得
是公比
7
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为
的等比数列.
8．B
【分析】结合向量的线性运算可得
，结合焦半径公式与
即可得解.
【详解】设A(x1, y1)、B(x2, y2)、
，由
可得F (1,0)，
由
，
为
的中点，
则有
，即
，
即
，故
，
，
又
，故
，此时点
在原点.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助向量的线性运算，得到
，从而可
结合焦半径公式得到
.
9．ACD
【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可.
【详解】对于A，如图所示，连接
，
8
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因为
，
分别为棱
，
的中点，所以
，
由
可知，四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，
所以
与
所成的角即为
与
所成的角，即
或其补角，
因为
是等边三角形，所以
，
所以
与
所成的角为60°，故A 正确；
对于B，因为直线
，
所成角是90°，且两条直线相交于
，
所以过点
与两直线所成角为60°的直线有4 条，故B 错误；
对于C，易知平面
为过
，
，
三点的截面，该截面为梯形，
显然
，
所以截面图形的周长为
，故C 正确；
对于D，如图所示，分别取
，
的靠近
，
的三等分点
，
，
9
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连接
，
，
，
，易知
，
，
故点
，
，
，
，
共面，该截面图形为五边形，故D 正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【详解】
且
，则
，
，
则
，A 正确；
因为
，
，所以
，B 错误；
因为
，
，(a−b)−(b−c)=a+c−2b=−3b，
当
时，
，则
；当
时，
，则
，
当
时，
，则
，故C 错误；
因为(a−c)(b−c)−9
4 c
2=(a−c)(−a−2c)−9
4 c
2=−a
2−ac−1
4 c
2=−(a+ 1
2 c)
2
≤0，
当且仅当
时，等号成立，此时由
可得
，不符合
，
所以−(a+ 1
2 c)
2
=0不成立，故−(a+ 1
2 c)
2
<0，即(a−c)(b−c)< 9
4 c
2，D 正确.
故选：AD
11．ACD
【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB 选项，再利用反证法判断C 选项，通过
10
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分类讨论可判断D 选项.
【详解】A 选项：不妨设
，
，即
，故
，对
，均有
，A 选项正确；
B 选项：不妨设
，
在
单调递增，
，
，即
，即
对
，
恒成立，即
在
上单调递减，
对
恒成立，所以
对
恒成立，即
，即
的最小值为
，B
选项错误；
C 选项：假设方程
在区间
上有两个解
，，则
，这与
矛盾，故只有唯一解，C 选项正
确；
D 选项：不妨设
，当
时，
，当
时，
，故对
，
，故D 选项正确；
故选：ACD
12．
/0.6
11
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【分析】由正弦定理得到
，再根据三角形面积公式和余弦定理得到
，
从而根据
得到方程，求出离心率.
【详解】由题意得
，
由正弦定理得
，故
，
由椭圆定义可知，
，
故
，
又
，
由余弦定理得
，
即
，解得
，
故
，
解得
，
因为
，所以
，解得
.
12
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故答案为：
13．
【分析】当
时，
，当
时，
，在结合正弦
函数图像可得到
，求出
即可.
【详解】当
时，
，当
时，
.
因为函数
在区间
上的值域均为
，
而
，
，所以
.
又因为
，
,
所以
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
13
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14．①④
【分析】由题证得
面
，所以直线
上各点到平面
的距离相等，又
的面积为定值判断①；取
的中点分别为
，由面面平行的判定定理可得平面
面
，因为
面
，所以
平面
，当
时，AQ 有最
小值判断②；由三角形外心的性质和向量数量积的性质判断③；在
上取点
，
使得
，求出点Q 的轨迹为圆弧
判断④.
【详解】对于①，因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以直线
上各点到平面
的距离相等，又
的面积为定值，①正确；
对于②，取
的中点分别为
，连接
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，
，则
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
，
平面
，所以平面
平面
，
14
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因为
面
，所以
平面
，
当
时，AQ 有最小值，则易求出
，
则
，即
，所以
重合，
所以AQ 的最小值为
，②错误；
对于③，若
的外心为M，过
作
于点
，则
，
又
，则
，③错误；
对于④，在平面
A1B1C1D1内过
作
于点
，
因为
平面
A1B1C1D1，
平面
A1B1C1D1，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，
，
在
上取点
，使得
，
15
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则
，
，
所以，若
，则
在以
为圆心，2 为半径的圆弧
上运动，
又因为
所以
，则圆弧
等于
，④正确.
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，
再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.
16
