文档文本内容
重难点专训04 三角函数及解三角形中的新定义问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题型一：n 倍角公式.............................................................................................................................................2
题型二：双曲正余弦函数....................................................................................................................................5
题型三：托勒密定理..........................................................................................................................................10
题型四：费马问题..............................................................................................................................................15
题型五：布洛卡点问题......................................................................................................................................19
题型六：勒洛三角形、拿破仑三角形..............................................................................................................26
题型七：定义新概念..........................................................................................................................................29
题型八：定义新运算..........................................................................................................................................34
题型九：定义新性质..........................................................................................................................................37
重难专题分层过关练..........................................................................................................................42
巩固过关...............................................................................................................................................................42
创新提升...............................................................................................................................................................50
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决三角函数及解三角形新定义问题
首先，精准拆解新定义内涵。仔细研读题干，明确新定义的构成要素，如是否涉及三角函数变形、三
角形边角关系的新规则（如自定义 “类正弦定理”等），标注关键限制条件（如定义域、特殊角范围），
避免因理解偏差导致解题失误。
其次，转化为熟悉模型。将新定义与已知知识关联：若含三角函数运算，转化为同角三角函数关系、
诱导公式或恒等变换形式；若涉及解三角形，对接正弦定理、余弦定理、面积公式，或构造辅助线转化为
特殊三角形（如直角、等腰三角形）。
最后，规范运算与验证。根据转化后的模型代入数据，结合新定义规则计算，利用三角函数值域、三
角形边角不等关系（如两边之和大于第三边）验证结果合理性，确保符合定义隐含条件。
题型一：n 倍角公式
典例1-1．由倍角公式
，可知
可以表示为
的二次多项式，对于
，我们
有
，可见
也可以表示为
的三次多项式.一般地，存在一个
次多项式
，使得
，这些
多项式
称为切比雪夫
多项式.（提示：
）如图，在等腰
中，已知
，
，且
的外接圆半径
，结合上述知识，可得
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】记
的中点为
，
，
，
，
，所以
即
，由
，∴
，
∴
，
故选：A
典例1-2．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①
；②
根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明：
(2)求值：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）若选①，证明如下：
.
若选②，证明如下：
.
（2）由题，
，因为
，则
，
所以由公式②及正弦的二倍角公式得
，
又因为
，所以
，所以
，
整理得
解得
或
，
又
，所以
.
变式1-1．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618 优选法”在生产和科研
实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比
，现给出三倍角公式
和二倍角角公式
，则t 与
的关系式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，即
，令
，
则
，
，
，
即
，
因为
，所以
，
即
，整理得
，
解得
，
因为
，所以
，
故
．
故选：B
变式1-2．中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各个领域应用广泛，0.618 就是黄金分割比的近似值，
这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如
等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式
广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知
，试证明此三倍角公式；
(2)若角
满足
，求
的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由
，得证；
（2）由（1）知
，可得
，
又
，
故
（3）由
，则
，
所以
，则
，
所以
，可得
（负值舍），
所以
.
题型二：双曲正余弦函数
典例2-1．在平面直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点为顶点，
轴的非负半轴为始边，若终边经
过点
，且
，定义
，称“
正余弦函数”，对于“正余弦函数
”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为
；②该函数为奇函数；
③该函数在
时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为
．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由题知，点
坐标为
，则
.
性质①：
，值域为
，正确.
性质②：
，
，所以
，错误.
性质③：当
时，
，
，非最值；
最值出现在
，即
，错误.
性质④：正弦函数
为周期函数，最小正周期为
，
故
为周期函数，最小正周期为
，正确.
综上，性质①④正确，共2 个.
故选：B.
典例2-2．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等人得出“悬
链线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似的，我
们可以定义双曲正弦函数
，它们与正、余弦函数有许多类似性质.
(1)判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）；
(2)（i） 证明
；
（ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出
证明；
(3)是否存在实数
，使得函数
在
上的最大值为
?若存在，求出
的值；若不
存在，说明理由.
【答案】(1)偶函数，在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)（i） 证明见解析；（ii）答案见解析.
(3)存在，
.
【详解】（1）双曲余弦函数
是偶函数，在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）（i）由题意得，
.
（ii） 结论：
.
证明：由题意得，
.
所以
成立.
（注：以下三个结论也成立）：
，
.
（3）令
，
因为
当且仅当
即
时取等号，
所以
.
因为
，
，
所以
，
所以函数
因为对数函数
在
上单调递减，
所以要使
在
上的最大值为
，则需
在
上有最小值.
二次函数
的对称轴为直线
当
，即
时，函数
在
上单调递增，
则
由
得
，符合题意.
当
，即
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
由
得
，此方程无实数解.
综上，实数
的值为
.
变式2-1．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691 年，莱布尼茨等得出“悬
链线”方程
，其中为参数．当
时，就是双曲余弦函数
，类似的我
们可以定义双曲正弦函数
．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：
；
(2)对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）
.
（2）依题意，
，不等式
，
函数
在
上单调递增，
，
令
，
显然函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
又
，
于是
，
，
因此
，
，
显然函数
在
上单调递减，
当
时，
，从而
，
所以实数
的取值范围是
.
（3）
，
.
依题意，
，
，
当
时，
，
，即
，
于是
，而
，因此
，
当
时，
，则
，
，
即
，而
，因此
，
于是
，
，
所以
.
【点睛】结论点睛：函数
的定义区间为
，①若
，总有
成立，则
；②
若
，总有
成立，则
；③若
，使得
成立，则
；④若
，使得
成立，则
.
变式2-2．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出“悬链
线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似的我们可以
定义双曲正弦函数
.它们与正，余弦函数有许多类似的性质.
(1)已知
，求
；
(2)类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论
（即求
或
）并证明；
(3)已知
，对任意的
和任意的
，都有
恒成立，
求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
，
，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以
．
（2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，
得双曲正弦函数
（或双曲余弦函数
；
证明如下：
；
．
（3）因为
，设
，则
，
当
时，
，所以
，
所以
，
可化为
，
由题意，只需
，对任意
恒成立即可，
即
或
，所以
或
恒成立；
，故
在
上的最小值是
，
当且仅当
即
时取得最小值；
因为
，所以由对勾函数性质知
在
上单调递减，
所以
在
上的最大值是7，当
取得最大值；
所以
的取值范围是
．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数
不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元
法等进行化简转化，如本题转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨
论求相应二次函数的最值后求得参数范围．
题型三：托勒密定理
典例3-1．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两
对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知
为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，
，
，则
面积的最大值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意
，则
，
所以
，即
，
设
，又
，由题意
，
所以
，故
，
又
，故
，则
，
所以
，
当且仅当
时取等号，故
面积的最大值为
.
故选：C
典例3-2．克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：
任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，
当且仅当对角互补时取等号．已知圆O 是凸四边形ABCD 的外接圆，其中
．
(1)若圆O 的半径为r，且
，
(ⅰ)求
的大小；
(ⅱ)求
的取值范围(用r 表示)．
(2)若
，求线段BD 长度的最大值．
【答案】(1)(ⅰ)
，(ⅱ)
(2)
【详解】（1）（i）因为
所以
又因为
，所以
，所以
，
（ii）因为
，所以
,
所以
，所以AC 是圆O 的直径，由（i）可得
，
设
，则
，
所以
又
，所以
.
（2）设
，
所以，由余弦定理得
,
在
中，
,
由余弦定理得
,代入整理得：
，解得
.
由托勒密定理可知
，代入得
.
设
，
（其中
），
设
，则
（其中
）
因为
在区间
上单调递增，
所以当
，即
时，BD 取得最大值
.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键是设
，然后借助余弦定理和托勒密定理，用
表示
出
，看上去很复杂，但是通过两次换元发现，可以简化成
，最后利用单调性求出最值.
变式3-1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指出：
圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形
的四个顶点在同一
个圆的圆周上，
，
是两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为
．
【答案】
【详解】设
的边长为
，因为
为正三角形，所以
.
因为
，所以由托勒密定理，得
，即
，即
．
因为四边形
的四个顶点在同一个圆的圆周上，所以
，又因为
，所
以
.
在
中，由余弦定理可得
，又
，
，则
，即
，又
，所以
.
因此
．
故答案为：
.
变式3-2．如图，半圆
的直径为
，
为直径延长线上的点，
，
为半圆上任意一点，以
为一边作等边三角形
.设
.
(1)问：
在什么位置时，四边形
的面积最大，并求出面积的最大值.
(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸
四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，
则当线段
的长取最大值时，求
.
(3)求
面积的最大值.
【答案】(1)
时，四边形
的面积取得最大值为
(2)
(3)
【详解】（1）在
中由余弦定理得
，
所以
，
，
于是四边形
的面积为
，
当
，即
时，四边形
的面积取得最大值为
.
（2）因为
，
且
为等边三角形，
，
，
所以
，所以
，
即
的最大值为
，取等号时
，
所以
，不妨设
，
则
，解得
，
所以
，所以
.
（3）设
，（
，所以
为锐角），
在
中，由正弦定理得，
，
，
当
，即
时，
的面积取得最大值为
.
题型四：费马问题
典例4-1．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内
求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的
三个内角均小于
时，使得
的点O 即为费马点；当
有一个内角大
于或等于
时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
分别是
三个
内角
的对边，且
，点P 为
的费马点，若
，
则
，
的最大值为 ．
【答案】
【详解】因为
，
所以
，
即
，
整理得：
，
所以由正弦定理可得
，所以
；
所以
三个内角
都小于
，
由费马点的定义可知：
，
设
，
则
，又
，
所以由平面向量基本定理有
．
由余弦定理可得：
，
，
，
因为
，所以
，
所以有
，
化简可得：
，将
代入上式，化简得
．
因为
，当且仅当
结合
解得
时等号成立，
设
，所以
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
，即
的最大值为
．
故答案为：
；
典例4-2．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601-1665）于1643 年提出了三角形中的“费马
点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当
的三个内角均小于
时，则使得
的点
即为费马点”.在
中，
是
的费
马点，则
的长度为 .
【答案】
【详解】由
，得
.故费马点
在
内，
且
.
取
的中点
，由
，得
是线段
的中垂线.
在
和
中，
，
，
两式相减，得
，
即
0，可见
，
所以
在
的中垂线
上.
又
在
内，所以
在线段
上.
.
在
中，
，
所以
.
故答案为：
变式4-1．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当
的三个内角均小于
时，
若其内部的点P 满足
，则称P 为
的费马点；当
有一个内角大于
或等于
时，最大内角的顶点为费马点．已知
的内角
所对的边分别为
，若
，
设P 为
的费马点，
，则实数的最小值为 ．
【答案】
/
【详解】
为
的费马点，则
，
设
，
，
，则
，
，
，且
；
，则
，
，所以
为直角三角形；
则在
中，
；
同理，
中，
；
中，
，即
，
即
，
化简得
，又
，
又
，
即
，
，
，
解得
或
（舍去）；
的最小值为
.
当且仅当
，即
时取到等号.
故答案为：
.
变式4-2．正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提
出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最
小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
中的三个内角均小于
时，使得
的点O 即为费马点；当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的
顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
的内角
所对的边分别为
，若
．
(1)求A；
(2)若
，求
的面积；
(3)设点P 为
的费马点，求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理得
，即
，
所以
，
又
，所以
.
（2）因为
，若
，
则
的面积为：
.
（3）易知
的三个角都小于
，由费马点定义可知：
，
设
，由
得：
，整理得
，
则
.
题型五：布洛卡点问题
典例5-1．（多选）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816 年首次发现，当
内一点
满足条
件：
时，则称点
为
的布洛卡点，角
为布洛卡角.如图，在
中，
角
所对的边分别为
，记
的面积为，点
是
的布洛卡点，布洛卡角为
，则
（ ）
A．当
时，
B．当
且
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ABC
【详解】A 选项，当
时，
是等腰三角形，
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，即
，故A 正确；
B 选项，当
时，由A 选项知
，
，
因为
，所以
，设
，则
，
因为
，所以
，所以
又因为
，所以
，
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
即
，所以
，
在
中，
，
由正弦定理得
，所以
，
由余弦定理得
，
所以
，联立
，解得
，
故B 正确；
C 选项，当
时，
，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
相加得
，
即
，C 正确；
D 选项，当
时，若
，
此时
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
所以
，D 错误.
故选：ABC.
典例5-2．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪提出，它通过等角条
件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实
用价值的点．其定义如下：设P 是
内一点，若
，则称点P 为△ABC 的布
洛卡点，角θ 为△ABC 的布洛卡角．如图，在△ABC 中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为
a，b，c，△ABC 的面积为S，点P 为△ABC 的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1)若
，且
，求A 和
；
(2)若
求
的值．
【答案】(1)
，
(2)3
【详解】（1）∵
，∴
，∵
，
，
∴
，
∴
，∴
，即
，又
，
由勾股定理得
，则
．
在
中，设
，则
，
由正弦定理可得
，
所以
，化简可得
．
综上，
，
．
（2）
，所以
．
在
，
，
中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得：
，
由上面可得
，
所以
，
先求
，
在
中，由正弦定理可得
，
所以
，
同理可得
，
，
所以
再求
．
在
中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
，
，
三式相加可得：
，
由（2）可知
，所以
；
所以
．
变式5-1．若
内一点P 满足
，则称点P 为
的布洛卡点，
为
的布洛卡角.在等腰
中，
，若布洛卡点P 满足
，记布洛卡角为
，则
，
.
【答案】
【详解】设
，则
，
，令
，
在
中，由余弦定理得，
，
同理，在
中有，
，
即
，整理得
，解得
，
，
易知
，所以
，所以
；
，
，
，
，
因为
为三角形内角，所以
，
故答案为：
；
变式5-2．将函数
的图象向左平移
个单位，再将其纵坐标不变，横坐标
变为原来的2 倍得到
的图象．
(1)设
，
，当
时，求
的值域；
(2)在
中，
，
，分别是角
，
，
所对的三条边且
．在
内一点
满足条件
，称
为
的布洛卡点，若
．
求证：
①
（
为
的面积）；
②若
，求
的周长
【答案】(1)
；
(2)①证明见解析；②
.
【详解】（1）
的图象向左平移
个单位得，
，
再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍得到
，
即
，
又因
，
，故
，
，
，
，
故
，
因
，
，
所以
，
设
，
，
，
，
，
因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
的值域为
；
（2）①
且
，
，又因为
，所以
，即
，
则
，
所以
，
在
，
，
中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得
，
即
，
故
；
②在
中，设
，
由正弦定理得
，所以
，
在
中，由上可知，
，
，
所以
，
由正弦定理，得
，所以
，
所以
，则
，整理，得
，
所以
，解得
．
又
，所以
，
则
，因此
为等边三角形，
在
中，由余弦定理得，
，
所以
，故
的周长为
．
题型六：勒洛三角形、拿破仑三角形
典例6-1．勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一
个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲
边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形
的边长为2，则勒洛三角形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图：
，以
为圆心的扇形面积是
，
的面积是
，
∴勒洛三角形的面积为3 个扇形面积减去2 个正三角形面积，
即
．
故选：B.
典例6-2．拿破仑是法国伟大的军事家､政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：
“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角
形的顶点”.在
中，以
为边向外构造的三个等边三角
它们的中心依次为
.若
，则
的面积为 .
【答案】
/
【详解】由
，而
，
所以
，
由题意
，故
，
所以
三点共线，则
，
故等边三角形
的面积
.
故答案为：
变式6-1．已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也
构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角
中，角
，
，
所
对的边分别为
，
，，且
，以
的边
，
，
分别向外作的三个等边三角形的中心
分别记为
，
，
，记
为
的外接圆半径.
(1)若
，求
的值；
(2)在（1）的条件下，求
边长的最大值；
(3)若
的面积为
，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在
中，由正弦定理
，得
，
又
是锐角三角形，所以
.
而
分别是以
为边的等边三角形的中心，
所以
，从而
.
（2）由（1）知
，
在
中，设
，
，
由余弦定理得
，即
，
故
，故
，同理
，
所以
.
而在
中由余弦定理有
，
.
当且仅当
时等号成立，从而
，
由题意可得
为等边三角形，故边长的最大值为
.
（3）由
的面积为
知
，
在
，
中分别由余弦定理有
①，
②.
联立①②，消去
，
可得
.
所以
面积
，
又
，
所以
.
从而得
面积的取值范围是
.
变式6-2．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边
三角形就是勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧
的长度为
，则该勒洛三角形的面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设等边
的边长为
，因为
的长度为
，可得
，解得
，
所以
，
则勒洛三角形的面积是
.
故选：D.
题型七：定义新概念
典例7-1．如图所示，在平面直角坐标系中，
的终边
与正方形
交于点
，我们定义
的类余弦值
，类正弦值
.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．
在区间
上单调递增
D．对任意的
【答案】D
【详解】对于AB，当
时，
，
，
AB 错误；
对于C，
，C 错误；
对于D，正方形
关于直线
对称，
和
的终边也关于直线
对称，
则
和
的终边和正方形
的交点也关于直线
对称，所以
，D 正确.
故选：D
典例7-2．人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机
分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样
本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点
，
，定义
之间的余弦
距离为
，其中
.
(1)若
，
，求
之间的余弦距离；
(2)已知
，
，
，
，若
，
，
①求
之间的余弦距离；
②求
的值．
【答案】(1)
；
(2)①
；②5
【详解】（1）由题意得
，
∴
之间余弦距离为
；
（2）①由题意得
∵
，∴
，∴
，
∵
，
∴
，∵
，∴
∴
，
之间的余弦距离为
.
②由①可得
，
，
∴
，∴
∴
变式7-1．（多选）定义：一个连续函数
在区间C 上，对于任意
，有
，且对于任意常数
，
和
在区间C 内的条件下，
在区间C
内的
和
上函数恒不存在单调性；若在一个区间内有k 段（连续的）满足这样条件的区间，
则称在这个区间内有k 个“绝对变值区间”.若函数
在区间
内存在5 个“绝对变
值区间”，则
的可能取值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于任意
，由
得
，所以函数
在
上单调递增.
因为
在区间
内存在5 个“绝对变值区间”，
所以
在区间
内存在5 个单调递增区间，
且单调递增区间左右扩展后，原函数在扩展区间上不保持单调递增.
当
时，
，
由
，得
，
当
时，可得
在
内的单调递增区间为
，
，
，
，
，共5 个，故A 正确.
当
时，
，
由
，得
，
当
时，可得
在
内的单调递增区间为
，
，
，
，共4 个，故B 不正确.
当
时，
，
由
，得
，
当
时，
在
内的单调递增区间为
，
，
，
，
，共5 个，故C 正确.
当
时，
，
由
，得
，
当
时，可得
在
内的单调递增区间为
，
，
，
，
，共5 个，故D 正确.
故选：ACD.
变式7-2．定义：非零向量
的“特征三角函数”为
，向量
称为函数
的“特征向量”.
(1)若
，求
的“特征向量”
的坐标；
(2)设向量
的“特征三角函数”为
，若关于x 的方程
在
上有两个不同的实根，
求k 的取值范围；
(3)设向量
的“特征三角函数”为
，若函数
的最小值不小于
，求a 的取
值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【详解】（1）由题意可得：
，
则
的“特征向量”
.
（2）由题意可得
，其中
（
）.
因为关于x 的方程
在
上有两个不同的实根，
所以关于x 的方程
在
上有两个不同的实根.
当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减.
因为
，
，
，
所以
，即
.
（3）由题意可得
.
设
，
则
，所以
（
）.
当
，即
时，
在
上单调递增，
则
，解得
，
因为
，所以
；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，解得
；
当
，即
时，
在
上单调递减，
则
，解得
，
因为
，所以
.
综上，a 的取值范围是
.
题型八：定义新运算
典例8-1．设
，定义运算
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得
当
时，即
则
，即
此时当
时，
有最小值为
当
时，即
则
，即
此时，
所以
的最小值为
故选：B
典例8-2．已知圆O 是单位圆，点P 在
上，过点
，
的切线与OP 于点T，S．设
，
定义：
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由图象可知，
，
则
，即
，
所以
.
故选：D.
变式8-1．定义运算：
，将函数
的图像向左平移
个单位，所得图
像对应的函数为偶函数，则
的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得：
，
将函数
的图像向左平移
个单位，所得
，
因为
为偶函数，
则
，解得
，
可得
，结合选项可知：B 正确，ACD 错误.
故选：B.
变式8-2．对于集合
和常数
，定义：
为
集合
相对于
的“正弦方差”．
(1)若集合
，
，求集合
相对于
的“正弦方差”；
(2)若集合
，写出一个
的值，使得集合
相对于任何常数
的“正弦方差”是一个常数，
求出这个常数，并说明理由；
(3)若集合
，相对于任何常数
的“正弦方差”是一个常数，求出
，
的值．
【答案】(1)
(2)
，常数为
(3)
或
，
【详解】（1）当集合
，
时，集合
相对
的“正弦方差”
.
（2）当
时，集合
，集合
相对
的“正弦方差”为
.
此时集合
相对于任何常数
的“正弦方差”为常数
.
（3）当集合
时，集合
相对
的“正弦方差”为
，
要使得上式对任何常数
是一个常数，则
，
故可得
，整理得
，则
或
，
，又
，
，
所以
或
，
，
即
或
，
.此时这个常数为
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“正弦方差”的定义的理解和利用三角恒等变换的运算能力.
题型九：定义新性质
典例9-1．定义域为
的函数
满足：对任意
，都有
，则称
具有性质
.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质
：
和
；
(2)函数
，判断是否存在实数
，
，使
具有性质
？若存在，
求出
，
的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）结论下，若方程
（
为常数）在区间
上恰有三个实数根
，
，
，求
的值.
【答案】(1)函数
不具有性质
；函数
具有性质
(2)存在，
，
(3)
【详解】（1）
，
，
故
，
则函数
不具有性质
；
，
，
故
，
则函数
具有性质
；
（2）若
具有性质
，则
，
则
，因为
，所以
，
则
，
由
得：
，
若
，则存在
，使得
，
而
，上式不成立，
故
，即
，因为
，
所以
，则
，
即
，则
，
验证：当
，
时，
，
则对任意
，
，
，
等式
成立，
故存在
，
，使函数
具有性质
；
（3）由（2）知，
，
，
令
，由题知，
在区间
上恰有三个实数根
，
，
，
由函数
的图象知：
，
，
则
，
故
，
化简得
，
则
.
【点睛】关键点点睛：本题前2 问的关键是理解函数具有“性质
”的定义，以及应用，第三问的关键是
利用换元转化为
的图象的应用问题.
变式9-1．已知非常数函数
的定义域为
，如果存在正数
，使得
，都有
恒成
立，则称函数
具有性质
．
(1)判断下列函数是否具有性质
？并说明理由；
①
；②
．
(2)若函数
具有性质
，求
的最小值；
【答案】(1)
不具有性质
，
具有性质
，理由见详解；
(2)
的最小值为
【详解】（1）
不具有性质
，
具有性质
，理由如下：
①假设
具有性质
，即存在正数
，使得
恒成立，
则
对
恒成立，
则
此时无解，故假设不成立，
所以
不具有性质
.
②取
，则
，
即
对
恒成立，
所以
具有性质
；
（2）因为函数
具有性质
，
所以存在正数
，使得
都有：
恒成立，
令
，则
对
恒成立，
若
，取
，则
，矛盾，
若
，取
，则
，
即
，矛盾，
所以
，
则当且仅当
时，
对
恒成立，
因为
，所以
，
所以当
时，函数
具有性质
，
所以
的最小值为
.
变式9-2．对于函数
，
，如果存在一组正常数
，
，…，
，（其中k 为正整数），满足
使得当x 取任意实数时，有
，则称函数
具有“性质
”.
(1)求证：函数
同时具有“性质
”和“性质
”；
(2)设函数
，其中b，c，d 是不全为0 的实数且存在
，使得
，证明：存在
，使得
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
，所以
具有“性质
”；
因为
，所以
具有“性质
”；
（2）①若
，此时取
即可；
②若
，采取反证法，若不存在
，使得
，则
恒成立，
因为
，
，
，
再由
恒成立，
故
，进而
，与
，，
是不全为0 矛盾；
故存在
，使得
．
③若
，由②中可知
，
因为
所以
，命题成立．
综上：原命题得证.
变式9-2．在平面直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点
为顶点，
轴的非负半轴为始边，若终边
经过点
，且
，定义：
，称“
”为“正余弦函数”，对于“正余弦
函数
”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为
； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线
对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为
；
⑤该函数的递增区间为
.
其中正确的是 ．（填上所有正确性质的序号）
【答案】①④⑤.
【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数
，然后根据三角函数的图象与
性质分别进行判断即可得到结论．
详解：①中，由三角函数的定义可知
，
所以
，所以是正确的；
②中，
，所以
，所以函数关于原点对称是错误的；
③中，当
时，
，所以图象关于
对称是错误的；
④中，
，所以函数为周期函数，且最小正周期为
，所以是正确的；
⑤中，因为
，令
，
得
，即函数的单调递增区间为
，所以是正确的，
综上所述，正确命题的序号为①④⑤．
点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的
新定义求出函数
的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，
着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
巩固过关
1．点
将一条线段
分为两段
和
，若
，则称点
为线段
的黄金分割点.
已知直线
与函数
的图象相交，
为相邻的三个交点，则（ ）
A．当
时，存在
使点
为线段
的黄金分割点
B．对于给定的常数
，不存在
使点
为线段
的黄金分割点
C．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
D．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
【答案】D
【详解】若
，则
，
即
点
为线段
的黄金分割点，
当
时，
，不存在
使点
为线段
的黄金分割点，故选项A，C 错误；
如下图，当
时，
，当
时，
，则
，
则存在一个
使得
，故选项
错；
对于选项D，若
与
相交于相邻的三点
，
其横坐标分别为
，则
，
将
变换成
后，点
分别对应到点
，
且满足
，
故
，即
对比值
无影响，故选项D 正确.
故选：D.
2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数
也被广泛应用于生活，生产的各个领域，
其中
表示不超过x 的最大整数，如：
，
.若函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
为偶数时，
，所以
；
当
为奇数时，
，所以
，
所以
的值域为
.
故选：C.
3．对集合
和常数
，把
定义为集合
相对于
的“正弦方差"，则集合
相对于
的“正弦方差”为（ ）
A．
B．
C．
D．与
有关的值
【答案】C
【详解】由题知，集合
相对于
的“正弦方差”为
把
，
，
，代入上式整理得，
.
故选：C.
4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920 左右给出了一个关于垂直高度为h
的日晷及其投影长度s 的公式：
，即等价于现在的
，我们称
为余切函
数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
图象的对称中心为
C．
的单调递减区间为
D．
与
的图象关于直线
对称
【答案】BCD
【详解】A 选项，因为
，
所以
，
由
有意义可得
，
，
所以
，
，
所以函数
的定义域为
，A 错误；
B 选项，因为
，
令
，
，可得
，
，
所以
图象的对称中心为
，B 正确；
C 选项，令
，
，
可得
，
，
所以
的单调递减区间为
，C 正确；
D 选项，设函数
的图象关于直线
对称的图象经过点
，
则点
关于直线
的对称点
在函数
的图象上，
所以
，所以
，
所以
与
的图象关于直线
对称，D 正确；
故选：BCD.
5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如
的正弦型函数之和来描述，其中频率最低
的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐
波．若对应于
的泛音是对应于
的基本音的一个谐波，则正整数
的所有可能取值之和为
【答案】12
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以
，
,
，两式相加得：
，
，
又
，且
，
，
的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入
式中能同时使
，
为整数的
值即为正解；
经检验：
的值为
和
；
所以正整数
的所有可能取值之和为
.
故答案为：
.
6．定义：余割
.已知
为正实数，且
对任意的实数
,
均
成立，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由已知可得
，
即
，
因为
，所以
，
则
，
因
，当且仅当
时等号成立，
此时
，故
.
故答案为：
.
7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60 等分，用圆的半径长的
作为单位来度量弦长.将圆心角
所对的弦长记为
.如图，在圆
中，
的圆心角所对的弦长恰好等
于圆
的半径，因此
的圆心角所对的弦长为60 个单位，即
.若
为圆心角，
，则
.
【答案】
【详解】设圆的半径为，
时圆心角
所对应的弦长为，
利用余弦定理可知
，即可得
又
的圆心角所对的弦长恰好等于圆
的半径，
的圆心角所对的弦长为60 个单位，
即与半径等长的弦长为60 个单位，所以
.
故答案为：
8．已知
为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的伴随向量，同时
称函数
为向量
的伴随函数．若函数
的伴随向量为
，
，
，若实数
，
，
使得
对任意实数
恒成立，则
的值为 ．
【答案】
【详解】由题意可得
，
所以
，
所以
，
又因为上式对任意实数
恒成立，所以
，
若
，由
，可得
，不满足
；
由
，可得
或
，
当
时，
，由
与
矛盾；
故
，则
，
由
与
，可得
，
综上可得，原式
．
故答案为：
．
9．定义非零向量
的“相伴函数”为
，向量
称为函数
的“相伴向量”（其中
为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构
成的集合为．
(1)设
，试求函数
的相伴向量
；
(2)记向量
的相伴函数为
，求当
且
时，
的值；
(3)已知点
满足：
，向量
的“相伴函数”
在
处取得最大值，求
的
取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，
所以，函数
的相伴向量
.
（2）向量
的相伴函数
，
令
，即
，
，
，
，
．
（3）
的“相伴函数”
，
因为
在
处取得最大值，
所以当
，即
时，
有最大值
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
令
，则
，
因为
均为
上的单调递减函数，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以，
，
所以
的取值范围为
．
10．若定义域为
的函数
满足对于任意的
，
恒成立，则称
为“线
性对称函数”.
(1)判断函数
，
是否为“线性对称函数”.
(2)若
是“线性对称函数”，证明：
.
(3)已知函数
，判断是否存在
，
，使得
是“线性对称函数”.
若存在，求出
，
的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在
，
，使函数
是“线性对称函数”.
【详解】（1）
，所以
，
，
所以
，故
为“线性对称函数”，
，
，
，
所以
，故
不是“线性对称函数”.
（2）证明：若
是“线性对称函数”，则
，
令
，则
，所以
.
（3）存在
使
是“线性对称函数”，理由如下：
由（2）可知
，故
，由于
，
所以
，故
，
若
，不妨设
，
由
，
，
，
只要
充分大时，
将大于1，
而
的值域为
，故等式
不可能成立，
所以必有
成立，即
，
因为
，所以
，所以
，
则
，此时
，
则
，而
，
即有
成立，
所以存在
，
，使函数
是“线性对称函数”.
创新提升
1．定义：函数
为向量
的“跟随函数”，向量
为函数
的“原向量”．
(1)设函数
，
的“原向量”分别为
，
，若
，
的夹角为锐角，
求实数的取值范围．
(2)已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，其中
，AD 平分∠BAC 并与BC 交于点D，向
量
的“跟随函数”为
，且
．
（ⅰ）若
，求AD 的长；
（ⅱ）求AD 长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
．
【详解】（1）因为
，
所以
．由
，得
．
因为
，
的夹角为锐角，所以
，且
，
不同向，
则
，解得
且
，
故实数的取值范围为
．
（2）因为向量
的“跟随函数”为
，
所以
．
又
，所以
，因为
，则
，
所以
，所以
．
又
，所以由正弦定理可得
，
则
，
．
（ⅰ）因为
，所以
．
由余弦定理得
，
即
，则
．
所以
，
．
由
，可得
，则
．
（ⅱ）由
，可得
，
则
．
因为
，所以
，
则
．
令
，则
，由
，得
，
则
．
由
，可得
，显然函数
在
上单调递增，
故
长度的取值范围为
．
2．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪提出，它通过等角条件联系
三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值
的点.其定义如下：设
是
内一点，若
，则称点
为
的布洛卡点，
角
为
的布洛卡角.如图，在
中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为
的面积为，点
为
的布洛卡点，其布洛卡角为
，请完成以下各题：
(1)若
，求
；
(2)已知
，
①若
，求
的值；
②若
，求S.
【答案】(1)
(2)①12；②
【详解】（1）在
中，
，所以
，
所以
，
在
中，
，所以
，
在
中，
，所以
，
所以
，故
.
（2）
因为
，所以
，即
，
①
，所以
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
三式相加得
，
整理得：
.
②又
又由①知
，
所以
，
故
，
整理得：
，
即
，
所以
，即
，
所以
.
3．对于集合
和常数
，定义：
为集合A
相对的
的“余弦方差”.
(1)若集合
，
，求集合A 相对
的“余弦方差”；
(2)判断集合
相对任何常数
的“余弦方差”是否为一个与
无关的定值，并说明理由；
(3)若集合
，
，
，相对任何常数
的“余弦方差”是一个与
无关的定值，
求出
.
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)
或
【详解】（1）因为集合
，
，
所以
；
（2）由“余弦方差”的定义得：
.
所以
是与
无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：
，
要使
是一个与
无关的定值，则
，
因为
，所以
与
的终边关于
轴对称或关于原点对称，
又
，所以
与
的终边只能关于
轴对称，
所以
，
因为
，
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
或
时，
相对任何常数
的“余弦方差”是一个与
无关的定值
