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思想02 融合数形结合思维以直观阐释数学关系
目录
01 考情透视·目标导航...................................................................................................2
02 知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................5
04 真题研析·精准预测.................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................8
题型一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
8
题型二：解不等式、求参数范围、最值问题
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题型三：解决以几何图形为背景的代数问题
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题型四：解决数学文化、情境问题
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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
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1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，
把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形
数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
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1．（2024 年北京高考数学真题）已知
是平面直角坐标系中的
点集.设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2024 年北京高考数学真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
3．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
与
在
上有两个不同的
交点，则
的取值范围为 ．
4．（2024 年天津高考数学真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为实数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为
．
5．（2024 年北京高考数学真题）设函数
，直线是曲线
在点
处的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
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(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有几个？
（参考数据：
，
，
）
6．（2024 年北京高考数学真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
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题型一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【典例1-1】已知函数
与
有恰有四个交点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】如图所示，直线
与曲线
相切于
两点，其中
．若
当
时，
，则函数
在
上的极大值点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】函数
有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】若函数
的图象与
的图象恰好有四个交点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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1．（多选题）函数
，关于
的方程
，则下列正确的是（ ）
A．S={1, 2, 3, 4, 5}
B．函数
的单调减区间为
，
C．当
时，则方程有4 个不相等的实数根
D．若方程有3 个不相等的实数根，则
的取值范围是
2．若函数
的图象与直线
有4 个交点，则实数a 的取值范围是 ．
题型二：解不等式、求参数范围、最值问题
【典例2-1】已知函数
，若不等式
的解集为
，且
，
且
，则函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【典例2-2】设
，若关于
的不等式
的解集中的整数解个数恰为3 个，则满足条
件的实数
所在区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式2-1】已知函数
和
的图象与直线
交点的横坐标分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知函数
，若满足
的整数解恰有3 个，则实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．不等式
的解集为 .
2．若关于
的不等式
的解集为
(
)，且
中只有一个整数，则实数
的取值
范围是 ．
题型三：解决以几何图形为背景的代数问题
【典例3-1】已知抛物线C：
的焦点为F，过点
作直线l；
的垂线，垂
足为B，点P 是抛物线C 上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．14
D．
【典例3-2】正四面体的棱长为，点
，
是它内切球球面上的两点，
为正四面体表面上的动点，当
线段
最长时，
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
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【变式3-1】已知点
为三棱柱
的棱
上一点，经过顶点
及点
的平面将三棱柱分成
体积相等的两部分，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式3-2】（多选题）在平面直角坐标系中，已知点
和曲线
上不同两点
，记
，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点
和直线
上不同两点
，则
的最小值为0
B．若点
和椭圆
上不同两点
，则
的最大值为0
C．若点
和圆
上不同两点
，
，则
的最大值为
D．若点
和双曲线
右支上不同两点
，则
的最小值为
1．（多选题）已知曲线
：
，若直线
与
的交点的可能个数的集合记为
，则
（ ）
A．
关于
轴对称
B．
C．
D．“
”的充要条件是“
”
2．已知空间单位向量
，
，
，
，
，则
的最大值是
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．
题型四：解决数学文化、情境问题
【典例4-1】对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不
同的证法，如后汉时期的赵爽､三国时期的刘徽､清代的梅文鼎､华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构
造的图形，其中
为直角三角形，分别以
为边长作3 个正方形，通过出入相补证明两个较
小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若
，以
中点为圆心作圆，
使得三个正方形的所有顶点只有2 个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为 .
【典例4-2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许
多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大
小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形
的边长为 4，中心为
，四
个半圆的圆心均在正方形
各边的中点 (如右图). 若点
位于半圆弧
的中点，
的
值为 ; 若点
在四个半圆的圆弧上运动，则
的取值范围是
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【变式4-1】
年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用
粒子
轰击
厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望
粒子能够通过金箔，就
像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分
粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的
粒子遵
循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果
粒子的路径经过点
，则该粒子路
径的顶点距双曲线的中心 cm.
【变式4-2】在2024 年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以
分的成绩夺得金牌，这
是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它
可看作由抛物线
绕其顶点分别逆时针旋转
后所得三条曲线与
围成的（如
图阴影区域），
为
与其中两条曲线的交点．若
，下面四个结论：
①开口向上的抛物线的方程为
；
②
；
③直线
截第一象限花瓣的弦长的最大值为
；
④阴影区域的面积大于
，
上述结论中所有正确的序号是 ．
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1．《九章算术》第五章“商功”问题十七：今有羡除【注】，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无
深，袤七尺.问积几何？大意是：今有墓道（如图②，平面
平面
），下宽（
长）6 尺，
上宽（
长）1 丈（1 丈
尺），深（
与
距离）3 尺，末端宽（
长）8 尺，无深，长（
与
距离）7 尺.它的体积是 立方尺.
【注】羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为三角形的五面体.
2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面
都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半
径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体
的棱长为
，则勒洛四面体的体积
的取值范围是
.
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