文档文本内容
1
目录
第一章数学思维.................................................... 4
一、倍数特性..................................................... 4
二、方程思维..................................................... 7
第二章工程问题................................................... 11
一、给定时间类.................................................. 11
二、效率制约类.................................................. 12
三、工程方程类.................................................. 13
四、工程统筹类.................................................. 14
第三章费用问题................................................... 16
一、基础公式类.................................................. 16
二、分段计费.................................................... 18
三、销量随价格变化.............................................. 19
第四章行程问题................................................... 20
一、基础行程问题................................................ 20
二、相遇追及问题................................................ 22
三、比例行程.................................................... 23
第五章几何问题................................................... 25
一、基础公式.................................................... 25
二、三角形性质.................................................. 26
三、最短距离.................................................... 30
四、等量最值.................................................... 30
五、等比例放缩.................................................. 31
第六章排列组合................................................... 32
一、分类分步原理................................................ 32
二、排列（A）与组合（C）........................................ 32
2
三、方法技巧.................................................... 34
四、平均分组.................................................... 36
第七章概率....................................................... 38
一、等可能性事件概率............................................ 38
二、独立事件概率................................................ 39
第八章、数列...................................................... 42
第九章最值构造................................................... 44
一、反向构造.................................................... 44
二、最不利构造.................................................. 44
三、穷举构造.................................................... 46
第十章容斥原理................................................... 48
一、两集合容斥问题.............................................. 48
二、三集合容斥问题.............................................. 49
第十一章年龄问题................................................. 51
第十二章溶液问题................................................. 53
一、蒸发稀释.................................................... 53
二、溶液混合.................................................... 53
三、反复操作.................................................... 54
第十三章周期问题................................................. 55
第一节、单周期问题.............................................. 55
第二节、多周期问题.............................................. 56
第三节
日期推断类.............................................. 56
参考答案.......................................................... 58
数量关系刷题一.................................................... 60
第一章数学思维................................................... 60
一、倍数特性.................................................... 60
二、方程法...................................................... 61
3
第二章工程问题................................................... 64
第三章费用问题................................................... 67
第四章行程问题................................................... 70
第五章几何问题................................................... 73
第六章排列组合................................................... 78
第七章概率问题................................................... 81
第八章数列问题................................................... 84
第九章最值问题................................................... 86
第十章容斥问题................................................... 88
第十一章年龄问题................................................. 90
第十二章溶液问题................................................. 92
第十三章周期问题................................................. 94
参考答案.......................................................... 96
数量关系刷题二.................................................... 96
第一章倍数特性................................................... 96
第二章方程法..................................................... 98
第三章工程问题.................................................. 101
第四章费用问题.................................................. 104
第五章行程问题.................................................. 107
第六章几何问题.................................................. 110
第七章排列组合.................................................. 114
第八章概率问题.................................................. 117
第九章最值问题.................................................. 120
第十章容斥问题.................................................. 122
参考答案....................................................................................................................125
4
数量关系
第一章数学思维
一、倍数特性
1.整除型
【基础知识】
如果A＝B×C（B、C 均为整数），那么，A 能被B 整除，A 能被C 整除。
【应用环境】
（1）y＝ax，y 能被a 整除；
（2）y＝ax±b，y∓b 能被a 整除。
【整除判定】
（1）口诀法：
2 和5：最右一位可以被2、5 整除
4 和25：最右两位可以被4、25 整除
8 和125：最右三位可以被8、125 整除
3 和9：各个位的数字和能被3、9 整除
（2）拆分法：
以7 为例，将待判定数字拆分出能被7 整除的部分，然后看剩余的部分是否能被7 整除。
如果剩余的部分可以被7 整除，待判定数字就可以被7 整除，反之则不能。
例：152÷7，152 拆成140＋12，因为12 不能被7 整除，则152 不能被7 整除。
（3）因式分解法：
判定能否被12、14 等较大的数整除时，可将其分解成互质的两个数。
(互质：两个数除了1 之外没有其他公约数）
例：能被12 整除等价于同时能被3、4 整除，能被14 整除等价于同时能被2、7 整除。
2.比例型
【应用环境】
题目中出现分数、小数、百分数、比例、倍数时。
【基础知识】
5
若
�
�=
�
�，且
�
�是最简分数（m、n 互质）
则x 是m 的倍数；y 是n 的倍数；x±y 是m±n 的倍数
补充：若
�±�
�±�=
�
�，则x±a 是m 的倍数；y±b 是n 的倍数
例1.（2024 广东）档案室需要整理300 份档案，要求每天整理的档案数量相同，且规定
了完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理10 份档案。则规定的期限为
（
）天。
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
例2. 万圣节即将到来，哥哥给艾丽一些钱让她去商店买节日小装饰品，艾丽来到商店，
南瓜灯18 元一个，小怪兽14 元一个，如果单买南瓜灯钱正好用完，如果单买小怪兽钱
也正好用完，那么，哥哥给艾丽的钱数为多少？
A.266 元
B.342 元
C.459 元
D.504 元
例3.（2023 广东）某社区计划组建多个社工团队，为此招募了一批社工。如果每支团队
由3 名社工组成，则剩余2 名社工；如果每支团队由4 名社工组成，同样剩余2 名社工，
则该社区可能招募了（
）名社工。
A. 32
B. 34
C. 36
D. 38
例4.（2024 广东）某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。按已有志愿者
的数量，如果每位志愿者服务10 位老人，则有5 位老人无人提供服务；如果增加2 位志
愿者，则每位志愿者最多服务8 位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有
（
）位独居老人。
A. 50
B. 55
C. 60
D. 65
例5.（2024 联考）大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四
6
个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50 人，其中选择智力服务领域、连锁加
盟领域和自媒体运营领域的分别占1/7，1/2 和1/3。那么该学院今年选择高科技领域创
业的大学毕业生有多少人?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
例6.（2022 国考）高校某专业70 多名毕业生中，有96%在毕业后去西部省区支援国家建
设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的20%，比任职大学生村官的毕
业生少2 人，比在西部地区参军入伍的毕业生多1 人，其余的毕业生选择去国有企业西
部边远岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作的毕业生有多少人？
A. 32
B. 29
C. 26
D. 23
例7.（2020 上海）甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一半，乙带
的钱是另外三个人的三分之一，丙带的钱是另外三个人的四分之一，丁带了91 元，他们
一共带了多少元？
A. 364
B. 380
C. 420
D. 495
例8.（2024 联考）某单位为解决职工暑期“带娃难”的问题，开设了暑托班。开班时男
孩与女孩的比例为3：4，后来有2 个男孩、1 个女孩退出暑托班，此时男孩与女孩的比
例为2：3。那么开班时女孩有多少人?
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
例9.（2024 浙江）某公司招聘员工，来应聘的男女人数比是18:17，最后被录取的有280
人，其中男女人数比是3:4，未被录取的男女人数比是6:5。同来应聘的共有多少人?
A.630
B.720
C.1050
D.1400
7
二、方程思维
【基础知识】
1.设未知量的技巧：
设小不设大，设中间量，设份数，求谁设谁。
2.列方程的技巧：
（1）看关键词：相等、共、是、比等。
（2）关系变化关系结构：原始关系加上变化等于新的关系。
（3）总分结构：总量等于各个分量之和。
（4）多过程结构：如果、如、每、若等。
3.解方程技巧：
（1）解常规方程：消元求解。
（2）解不定方程ax+by=m 的技巧：
①奇偶特性：当未知数的系数为一奇一偶时，考虑奇偶特性
（若m 较大时，优先考虑整除特性）；
②整除特性：当a 或b 与m 有公因子时，考虑整除特性；
③尾数法：当a 或b 是5 的倍数时，考虑尾数法；
④代入排除法：以上均无法解题时，考虑代入排除。
（3）解不定方程组技巧：
先消元，将不定方程组转化成不定方程，再分析不定方程的奇偶特性、整除特性、尾数
法或代入排除法。
例1.（2024 广东）某企业在展销会上销售甲、乙两种产品。已知甲产品的库存比乙产品
多100 件，展销会结束后，甲产品全部售完，乙产品售出库存的60%，两种产品共售出
1260 件，则甲、乙两种产品原有总库存（
）件。
A. 1450
B. 1500
C. 1550
D. 1600
例2.（2021 国考）社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品。已知前三天
共采买65 次，其中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数
的和少15 次，第四天采买次数比第一天的2 倍少5 次。问这4 天中，小张为独居老人采
8
买次数最多和最少的日子，单日采买次数相差多少次？
A.9
B.10
C.11
D.12
例3.（2023 北京）某个品牌的洗洁精分为大瓶、小瓶两种包装，5 大瓶洗洁精的总容量
与12 小瓶相同，8 大瓶洗洁精的总容量比20 小瓶少320 毫升，则一大瓶洗洁精的容量是
多少毫升？
A. 960
B. 1000
C. 1080
D. 1200
例4.（2024 国考）市政部门采购了一批灯带用于美化夜景，有30 灯珠/条的M 型和60
灯珠/条的N 型两种规格，单价分别是20 元/条和30 元/条。已知所采购M 型灯带的总灯
珠数量是N 型的2 倍，M 型灯带的总价比N 型多3 万元，问共采购灯带多少条？
A. 2400
B. 2700
C. 3000
D. 3300
例5.（2024 联考）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量
之比为5：2，如果从甲袋中称出2 公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：
3。问甲袋杂粮原来重量为：
A. 8 公斤
B. 10 公斤
C. 12 公斤
D. 15 公斤
例6.（2023 北京）某单位有甲、乙两个处室，甲处室有职工14 名，如从乙处室调动25%
的职工到甲处室，再从甲处室调动2 名职工到乙处室后，两个处室人数相同。则乙处室
原来有多少名职工？
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
例7.（2024 国考）甲，乙，丙三种农产品价格分别为30 元/包，24 元/包和20 元/包。
某日销售三种农产品共240 包，总销售额为6000 元，已知甲的销售量是乙的2 倍，问丙
9
销售了多少包？
A. 90
B. 75
C. 60
D. 45
例8.（2023 北京）28 名运动员在羽毛球馆打比赛，馆内共有10 块羽毛球场地，所有运
动员都要上场比赛，或者参加单打比赛，或者参加双打比赛。如果保证每名运动员都在
打比赛，且每块羽毛球场地上都有运动员在打比赛，则有多少名运动员参加双打比赛？
A. 20
B. 24
C. 12
D. 16
例9.（2023 联考）某医院因工作出现特殊情况需要从外科抽调医护人员支援呼吸科，如
果少去4 名护士，那么参与支援的护士与参与支援的医生人数一样多，如果少去2 名医
生，那么参与支援的护士人数是参与支援的医生人数的3 倍，则外科参与支援呼吸科的
医护人员总数是（
）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
例10.（2024 联考）某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都有
定量的自然损耗，如果提货方每天运走1.5 吨产品，则50 天运完；如果提货方每天运走
2 吨产品，则40 天运完。那么这批农副产品有多少吨?
A. 75
B. 80
C. 100
D. 110
例11.（2020 广东）某部门正在准备会议材料，共有153 份相同的文件，需要装到大小
两种文件袋里送至会场，大的每个能装24 份文件，小的每个能装15 份文件。如果要使
每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（
）个。
A.2
B.3
C.5
D.7
例12.（2023 联考）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干辆客车。其中，
一辆大型客车可容纳5 个小组，一辆中型客车可容纳3 个小组，大型客车比中型客车多
10
容纳16 个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各多少辆？
A. 3；5
B. 5；3
C. 4；3
D. 5；6
例13.(2024 联考) 商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15 元、9 元、4 元
和1 元。某日销售这四种商品共40 件，共盈利201 元。四种商品每种至少销售1 件，且
甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量为多少件？
A. 21
B. 27
C. 29
D. 31
例14.（2024 江苏）某超市为回馈消费者，将举办购物抽奖活动。每人只能抽奖一次，
奖金有三种：一等奖888 元，二等奖88 元，三等奖8 元。若前100 个中奖者的奖金总额
为2480 元，则其中获得三等奖的最少有：
A.95 人
B.89 人
C.79 人
D.69 人
11
第二章工程问题
一、给定时间类
【基础知识】
工作总量＝工作效率×工作时间。
【题目特征】
题干给出多个完成工程的时间。
【解题思路】
（1）赋总量：赋值工作总量为完成工程所需时间的最小公倍数。
（2）求效率：根据赋值的总量和题干给出的时间，求出各自效率。
（3）列方程：结合题干的问题列等式方程。
例：一项工程，甲单独做需要10 天，乙单独做需要15 天，问二人一起工作需要几天？
例1.(2021 广东)为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参与一
个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；如果由乙队单独施工，则
需要300 天。甲、乙两队共同施工60 天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，
则完成该项目共需（
）天。
A. 120
B. 150
C. 180
D. 210
例2.（2024 联考）有一批零件，如果甲车间单独完成需要50 小时，乙车间单独完成需
要30 小时，在甲车间单独完成若干小时后，由于要承担其他紧急任务，剩余的任务由乙
车间继续完成，这样一共用了42 小时。问乙车间完成的零件量占这批零件总量的：
A. 3/4
B. 3/5
C. 2/5
D. 1/3
例3.（2023 北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用了15
天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9 天。则乙工程队独立完成
整个工程需要多少天？
12
A. 10
B. 15
C. 16
D. 20
例4.（2021 四川）某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，分别需要12 小时、
10 小时和8 小时完成。现按“甲—乙—丙—甲······”的顺序让三个工程队轮班，每队
施工1 小时后换班，问该工程完成时，甲工程队的施工时间共计：
A. 2 小时54 分
B. 3 小时
C. 3 小时54 分
D. 4 小时
二、效率制约类
【题目特征】
题干给出效率的关系。
【解题思路】
（1）赋效率：赋值效率，使效率满足关系。
（2）求总量：根据赋值的效率以及题干给的时间，求出工作总量。
（3）列方程：结合题干的问题列等式方程。
【给效率的常见形式】
（1）效率比例。
例如：甲、乙效率比为2∶3，赋值甲效率为2，乙效率为3。
（2）效率相同。
例如：某项工程10 个人工作5 天可全部完工，赋值每人每天的工作效率为1，则10 个人
每天的工作效率为10。
（3）方程或不定方程（组）。
例：甲3 天的工作量等于乙5 天的工作量，赋值甲5、乙3。
一项工程，如果甲乙合作10 天可以完成；如果甲先工作8 天，乙再工作15 天也可完成。
则10（甲+乙）=8 甲+15 乙，即：2 甲=5 乙，甲：乙=5：2，赋值甲5、乙2。甲队工作效
率是乙队的3/2 倍，乙队3 天的工作量是丙队两天工作量的2/3。根据题意得：甲＝3/2
×乙，3 乙＝4/3×丙，解得甲∶乙∶丙＝6∶4∶9，赋值甲效率＝6，乙效率＝4，丙效率
＝9。
13
一项工程，甲的效率是乙的3 倍，若甲单独做需要8 天，问二人一起做需要几天？
例5.（2022 天津）甲、乙二人合作计划30 天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2 倍。
两人合作10 天后，甲的效率提升25%，乙的效率提升50%。又工作10 天后，乙因其他任
务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预计时间：
A. 早2 天
B. 晚2 天
C. 早4 天
D. 晚4 天
例6.(2021 广东)某茶园需要在一定时间内完成采摘。前4 天安排了20 名采茶工，完成
了五分之一的工作量。如果再用10 天完成全部采摘，至少还需要增加（
）名采
茶工。
A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
例7.（2024 联考）甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要12 天。现两工厂共同生产
8 天后，再由乙单独生产7 天，一共完成了订单总量的90%。若整个订单由乙单独生产，
那么需要多少天完成？
A. 20
B. 23
C. 26
D. 30
例8.（2019 国考）有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2 天的工作量与甲、丙共同工作
1 天的工作量相同。A 工程如由甲、乙组共同工作3 天，再由乙、丙共同工作7 天，正好
完成。如果三组共同完成，需要整7 天。B 工程如丙组单独完成正好需要10 天，问如由
甲、乙组共同完成，需要多少天？
A. 不到6 天
B. 6 天多
C. 7 天多
D. 超过8 天
三、工程方程类
【题目特征】
14
题干给出有具体单位的总量或效率，没办法用上述讲的赋值法进行解题，只能用普通方
程法进行解题。
【解题思路】
①设未知数；②列方程；③解方程。
例9.（2024 联考）某餐饮店接到一份粽子订单，张师傅与李师傅同时工作8 小时可完成。
现张师傅先独自包粽子3 小时，李师傅接着独自包了1 小时，还剩订单总数的11/16 没
完成。已知张师傅每小时比李师傅多包14 个粽子。问这份订单粽子的总数是多少个？
A. 224
B. 296
C. 320
D. 416
例10.（2021 四川）某工程队计划每天修路560 米，恰好可按期完成任务。如每天比计
划多修80 米，则可以提前2 天完成，且最后1 天只需修320 米。问如果要提前6 天完成，
每天要比计划多修多少米？
A.160
B.240
C.320
D.400
例11（2023 浙江）收割一片稻田，可选择甲、乙、丙3 台农机。用丙收割的用时比用甲
短4 小时，比用乙长2 小时。已知甲、乙的收割速度分别为5 亩/小时和9 亩/小时，那
么丙的收割速度在以下哪个范围内？
A. 小于6 亩/小时
B. 6~7 亩/小时
C. 7~8 亩/小时
D. 大于8 亩/小时
四、工程统筹类
【题目特征】
题干出现双人双工程，问完成两项工程所需时间最少或一定时间内完成工作量最多。
【解题思路】
高效率优先原则
例12.（2014 国考）甲、乙两个工程队共同完成A 和B 两个项目。已知甲队单独完成A
项目需13 天，单独完成B 项目需7 天；乙队单独完成A 项目需11 天，单独完成B 项目
15
需9 天。如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长
时间就可以完成任务？
A.1/12 天
B.1/9 天
C.1/7 天
D.1/6 天
例13.（2014 江苏）师徒两人生产一产品，每套产品由甲乙配件各1 个组成。师傅每天
生产150 个甲配件或75 个乙配件；徒弟每天生产60 个甲配件或24 个乙配件。师徒决
定合作生产，并进行合理分工，则他们工作15 天后最多能生产该种产品的套数为( )
A.900
B.950
C.1000
D.1050
例14.（2020 江苏）梳理甲、乙两个案件的资料，张警官单独完成，分别需要2 小时、8
小时；王警官单独完成需要1 小时、6 小时。若两人合作完成，需要的时间至少是
A. 3 小时
B. 4 小时
C. 5 小时
D. 6 小时
16
第三章费用问题
一、基础公式类
【基础公式】
利润＝售价－成本
利润率＝利润/成本
售价=成本×（1+利润率）
售价=定价×折扣
总价=单价×销量
总成本＝单个成本×销量
总售价＝单个售价×销量
总利润＝单个利润×销量＝总售价－总成本
【方法技巧】
（1）方程意识：当题干出现等式标志时，根据上述公式列方程计算；
（2）赋值意识：当题干中没有任何具体数据，只有比例（分数、百分数、倍数）的时候，
可以大胆赋值；若不求销量，销量均可赋值。
（3）列表分析意识：若题干描述的关系十分复杂，为方便理解题意、梳理买卖过程，可
列表分析：
注：最上面一行通常为费用问题公式中涉及的量，最左侧一列通常有两类变量：时间变
量和主体变量。
例1.（2024 广东）某家政公司承诺以低于市场价20％的价格为小区业主提供服务。如果
有业主向该公司支付了服务费4000 元，则与市场价相比优惠了（）元。
A.400
B.600
C.800
D.1000
例2.(2020 河北)某种蔬菜进价5 元/斤，售价10 元/斤，当天卖不完的蔬菜不再出售。
过去7 天里，菜商每天购进该种蔬菜100 斤，其中有4 天卖完，有2 天各剩余20 斤，有
1 天剩余10 斤，这7 天菜商共赚了多少元钱？
17
A. 2950
B. 3000
C. 3250
D. 3500
例3.（2023 北京）一件商品售价100 元/件时，卖出4 件的利润与售价80 元/件时卖6
件的利润相同。则这种商品的成本是多少元/件？
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
例4.（2023 联考）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70
元，如果按定价打九五折出售可获得利润100 元，这款小家电进货价格所在区间是：
A. 400-450 元
B. 450-500 元
C. 500-550 元
D. 550-600 元
例5.（2022 北京）商店销售某种商品，先按定价卖了300 件，打七五折卖了200 件，后
在此基础上再打八折卖完了剩下的100 件，总利润为总成本的2/3。单件成本相当于单件
定价的
A. 57%
B. 54%
C. 51%
D. 48%
例6.（2023 联考）某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，此时
利润率是多少？
A. 40%
B. 30%
C. 60%
D. 50%
例7.（2018 国考）企业花费600 万元升级生产线，升级后能耗费用降低了10%，人工成
本降低了30%。如每天的产量不变，预计在400 个工作日后收回成本。如果升级前人工成
本为能耗费用的3 倍，问升级后每天的人工成本比能耗费用高( )万元？
A. 1.2
B. 1.5
C. 1.8
D. 2.4
18
例8. (2024 辽宁) 某商家购进一批商品，每件成本为27 元，最初将商品定价为每件40
元，该商家经过百分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每次降
价的百分率至少是：
A. 20%
B. 15%
C. 10%
D. 5%
例9.（2024 江苏）某商店购进一款无线路由器，进价100 元/个，加价30%出售，半年后
将剩下的打7 折全部售出，共盈利7410 元。若成本利润率为19%，则打7 折售出的无线
路由器共有（）。
A.90 个
B.100 个
C.105 个
D.110 个
例10.（2022 国考）某地引进新的杂交水稻品种，今年每亩稻谷产量比上年增加了20%，
且由于口感改善，每斤稻谷的售价从1.5 元提升到1.65 元。以此计算，今年每亩稻谷的
销售收入比上年高660 元。问今年的稻谷亩产是多少斤？
A.2200
B.1980
C.1650
D.1375
二、分段计费
【题目特征】
当题干中表述为“超出部分按某个标准计算”时，考查分段计费，例如水电费、工资、
提成、出租车费等。
【解题思路】明确付费规则，找到分段节点，分区间计算，再加和。
例11.（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过15 分钟，不收费；
超过15 分钟但不超过60 分钟，按1 小时计，收费5 元；超过1 小时后，超过的部分按
每30 分钟4 元收费（不足30 分钟，按30 分钟计）。若李先生支付停车费17 元，则他停
车的时长可能为：
A. 2 小时
B. 2 小时15 分钟
C. 2 小时45 分钟
D. 3 小时
19
例12.（2021 河北）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过800 元
不纳税；（2）超过800 元但不超过4000 元的部分纳税10%；（3）超过4000 元的部分纳税
15%。已知张教授出版一部著作，纳税620 元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A. 9000
B. 8000
C. 7000
D. 6000
三、销量随价格变化
【题目特征】
价格改变，销量会随之变化。
【解题方法】
涉及二次函数求最值
若y=( �−�1)( �−�2)，则y 在x=
�1+�2
2
处取得最值。
若y＝ax²＋bx＋c，则y 在x＝-b/2a 处取得最值。
例13.（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售
期间某商家发现，进价为每个40 元的“冰墩墩”，当售价定为44 元时，每天可售出300
个，售价每上涨1 元，每天销量减少10 个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到
最大，则售价应为：
A. 51 元
B. 52 元
C. 54 元
D. 57 元
例14.（2020 江苏）某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件，
已知销售单价每降低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则
销售单价应降低的金额是：
A. 5 元
B. 6 元
C. 7 元
D. 8 元
20
第四章行程问题
一、基础行程问题
【基础知识】
1.基础公式：
路程＝速度×时间(s＝v·t)
2.平均速度：
等距离平均速度=
2�1�2
�1+�2
3.流水行船：
顺流速度＝静水船速＋水速；逆流速度＝静水船速－水速
4.火车过桥
（1）火车开始上桥到完全下桥：桥长＋车长＝火车速度×过桥时间
（2）火车完全上桥到开始下桥：桥长-车长＝火车速度×过桥时间
5.匀变速（热门考点）：
末速度公式：��= �0 + ��
平均速度公式：�ത=
�0+��
2
例1.（2018 国考）一辆汽车第一天行驶了5 个小时，第二天行驶了600 公里，第三天比
第一天少行驶200 公里，三天共行驶了18 个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的
平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？
A．800
B．900
C．1000
D．1100
例2. (2024 国考)甲和乙两辆车同时从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发时的速度比乙
车快20%，但乙车行驶1 小时后速度加快30 千米/小时继续匀速行驶，又用了3 小时与甲
车同时抵达，问A，B 两地相距多少千米？
A. 540
B. 510
C. 600
D. 570
例3.（2020 联考）小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达
21
学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，
从离家到赶回家中共用了1 个小时，假设小明当天平路骑行速度为9 千米/小时，上坡速
度为6 千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，那么小明的家距离学校多远？
A. 3.5 千米
B. 4.5 千米
C. 5.5 千米
D. 6.5 千米
例4.（2020 联考）一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6 天；逆流而行，从乙地到甲
地需要8 天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A. 24
B. 36
C. 48
D. 56
例5. (2023 辽宁)某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公共汽车
从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时间为
149 秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为：
A. 8 米；5 米/秒
B. 10 米；10 米/秒
C. 10 米；15 米/秒
D. 12 米；20 米/秒
例6.（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共20 千米，用时20 分钟，已知该车在匀加
速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的最大速度是多少千米
/小时？
A. 100
B. 108
C. 116
D. 120
例7.（2023 国考）一辆汽车从甲地开往乙地，先以40 千米／小时的速度匀速行驶一半
的路程，然后均匀加速；行驶完剩下路程的一半时，速度达到80 千米／小时；此后均匀
减速，到达乙地时的速度正好降为0。问其全程的平均速度在以下哪个范围内？
A. 不到44 千米/小时
B. 在44～45 千米/小时之间
C. 在45～46 千米/小时之间
D. 超过46 千米/小时
22
二、相遇追及问题
【基础知识】
直线相遇：同时相向运动
公式：S总= (v1 + v2)t
直线追及：同时同向运动
公式：S差= (v1 −v2)t
例8. (2020 河北)甲、乙两人在相距1200 米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出
发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为
40 米/分钟，乙为60 米/分钟，狗为80 米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距
100 米时狗跑了多少米？
A. 1100
B. 1000
C. 960
D. 880
例9. (2020 深圳)小王和小李从甲地去往相距15km 的乙地调研。两人同时出发且速度相
同。15min 后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，小李则继续前行；小王取
到文件后提速20%追赶小李，在小李到达乙地时刚好追上，假设小王取文件的时间忽略不
计，则小李的速度为（
）km/h。
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 6
【基础知识】
直线两端出发多次相遇：
公式：（2n −1）S = (v1 + v2)tn
直线同端出发多次相遇：
公式：2nS = (v1 + v2)tn
环线同一位置相向出发：
公式：nS = (v1 + v2)tn
环线同一位置同向出发：
23
公式：nS = (v1 −v2)tn
例10.（2021 广东）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3 公里。小王每小时
走2 公里；小李每小时跑4 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7 次相
遇时，距离出发点（
）公里。
A. 0
B. 1
C. 1.5
D. 2
例11. 环形跑道长400 米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发、围绕跑道分别慢走、
跑步和骑自行车，已知三人速度分别是1 米/秒、3 米/秒和6 米/秒。问小王第三次超越
老张时，小刘已经超越了小王多少次？
A．3
B．4
C．5
D．6
三、比例行程
路程＝速度×时间
（1）S 不变，速度v 和时间t 成反比例关系，即：v1：v2 = t2：t1
（2）t 不变，路程S 和速度v 成正比例关系，即：S1：S2 = v1：v2
（3）v 不变，路程S 和时间t 成正比例关系，即：S1：S2 = t1：t2
例12. (2023 广东)小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时20 千米，那么
将准时到达。如果骑车的速度为每小时24 千米，那么将提早5 分钟到达。则甲镇到乙镇
的距离为（
）千米。
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
例13. (2022 江苏)某人以每小时10 公里的速度从甲地骑车前往乙地，中午12:30 到达。
若以每小时15 公里的速度行驶，上午11:00 到达，则他出发的时间是：
A. 上午7:15
B. 上午7:30
C. 上午7:45
D. 上午8:00
24
例14. (2020 山东)甲、乙两人在一条400 米的环形跑道上从相距200 米的位置出发，同
向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了2000 米。问甲的速度是乙的多少倍？
A. 1.2
B. 1.5
C. 1.6
D. 2.0
例15.（2024 国考）甲、乙分别从一个环形跑道的A、B 两点同时出发，分别以顺时针、
逆时针匀速跑步，甲跑15 秒后与乙相遇，又跑了20 秒后到达B 点，又跑了45 秒后回到
A 点，问此时乙还要跑多久才能再次回到B 点？
A. 40 秒
B. 50 秒
C. 20 秒
D. 30 秒
25
第五章几何问题
一、基础公式
【基础知识】
(1)周长公式：
正方形：4a
长方形：2（a＋b）
圆形：2πr
扇形：n°π
r/180°
(2)面积公式：
正方形：a²
长方形：ab
圆形：πr²
三角形：ah/2
平行四边形：ah
梯形：(a＋b)h/2
扇形：n°πr²/360° 对角线垂直的四边形：对角线乘积/2
(3)表面积公式：
正方体：6a²
长方体：2ab＋2bc＋2ac
球：4πr²
圆柱：2πrh＋2πr²
圆锥：πr²+πrl
(4)体积公式：
正方体：a
3
长方体：abc
球：4πr³/3
圆柱：πr
2h
圆锥：πr
2h/3
例1.(2023 联考)如图所示，某地计划修建一个长50 米，宽40 米的长方形观光园。
现在需要在观光园中修建几条鹅卵石小道供游客行走，其中一条是长为50 米，宽为
2 米的水平直线型小路，另外两条修成斜线形，并且要求这两条斜线型小路任何地方
的水平方向宽度都是1 米，问修完小路后观光园剩下部分的面积是多少平方米？
A. 1862
B. 1880
C. 1950
D. 1960
例2.(2024 联考)一个白色圆柱体零件的底面半径是高的1.5 倍。现将其表面涂上黑
漆之后，沿下图所示虚线方向切割为4 个完全相同的部分。那么单个部分黑色面积
26
是白色面积的多少倍？（π取3.14）
A. 不到1.1 倍
B. 1.1~1.2 倍
C. 1.2~1.3 倍
D. 1.3 倍以上
例3.(2024 联考) 甲、乙两个圆柱容器底面积之比为3：4，分别盛有7 厘米高和10
厘米高的液体，现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容器内液体的高度相
等，问甲容器内液面上升至：
A. 9 厘米
B. 12 厘米
C. 15 厘米
D. 19 厘米
例4.(2023 广东)某工厂加工出一批正方体奶酪,抽检时质检员从奶酪中切下了一个
厚度为2 厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为144 立方厘米，则奶酪
原本的边长为（
）厘米。
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、三角形性质
【基础知识】
1.普通三角形：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2.直角三角形：
（1）勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。
27
常见勾股数：(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)、（7、24、25）。
（2）斜边中线定理：斜边上的中线等于斜边的一半（直径所对的圆周角是直角）。
3.特殊三角形的边角比例关系
4.三角形面积性质
（1）平行线间同底三角形面积相等。
S△AMN = S△BMN = S△CMN
2)共顶三角形面积比等于底边比
S△AOB：S△BOC = AB: BC
5.相似三角形
（1）判定：如果两个三角形的对应角都相等，那么这两个三角形就是相似的。
（2）性质：对应边（高）的比＝相似比；面积比＝相似比平方；体积比＝相似比立方。
（3）常见相似图：
因△OAB 与△OCD 相似，则：相似比＝
��
��=
��
��=
��
��，
S△OAB
S△OCD =相似比²
例5.(2024 联考) A、D 两地设有通信基站（如下图所示），发射信号范围分别是以A、
D 为圆心，AE 和DB 为半径的圆形区域，小林从B 地出发，沿与DB 垂直的BA 方向匀
速行进，步行速度为4 千米/小时，那么步行约多少分钟后小林的手机能够重新接收
28
到信号？（5≈2.23）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
例6.(2024 国考)某公园内的道路如下图所示，其中AB，BC 分别为正南北向和正东西
向道路，AB，AC 分别长100 米和200 米。且BCD 为正三角形，如要用直线道路连接
AD，则该道路的长度为多少米？
A. 150 3
B. 50( 3 + 1)
C. 100 7
D. 200 2
例7.(2022 联考)兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500 米位置。
兔子的速度是乌龟的5 倍，兔子和乌龟同时出发，兔子先向正东方跑了一会儿后意识
到自己方向错误，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达。问兔子意识
到自己的错误时已经跑了多少米？
A. 600
B. 1200
C. 2400
D. 3000
例8.（2017 联考）如右图所示，甲和乙在面积为54π平方米的半圆形游泳池内游泳，他
们分别从位置A 和B 同时出发，沿着直线同时游到位置C，若甲的速度是乙的2 倍，则原
来甲，乙相距：
29
A. 2 2米
B. 15 米
C. 9 3米
D. 18 米
例9. 文化广场举行放风筝比赛，老年组老王、老侯、老黄三位选手同场竞技，评委测量
各人放出的风筝线长分别为60 米、50 米、40 米，风筝线与地平面所成角分别为π/6、
π/4、π/3。假设风筝线是拉直的，则三位选手放风筝最高的是：
A. 老王
B. 老侯
C. 老黄
D. 不能确定
例10.（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC 区域
内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF 是中央工厂区，已知BD：DE：EC=1 :
2 : 3，F 为AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：
A. 7 倍
B. 6 倍
C. 5 倍
D. 4 倍
例11.(2023 国考)一个三角形公园ABC 内的道路如下图中实线所示。已知AE=EF=FB，
AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？
A. 9
B. 12
C. 16
D. 18
例12. (2024 广东)
甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到乙位于它
的北偏西30°方向，甲、乙相距6 千米；甲观测到丙位于它的正西方向，甲、丙相
距6 千米，则乙与丙之间的距离为（
）千米。
A. 3
B. 4
30
C. 5
D. 6
三、最短距离
【基础知识】
1.两点之间直线段最短、点线之间垂线段最短。
2.平面图形常常找对称，立体图形常常先转化成平面图形，再找最短距离。
例13.(2024 国考)甲、乙两个联络站相距10 千米。一条道路与甲、乙联络站连线相
平行，且与两联络站连线的垂直距离为12 千米。现需紧邻该道路建一个工作站，问
工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
四、等量最值
【基础知识】
1.平面图形中：
若周长一定，越接近于圆，面积越大（若有四边形约束条件，则为正方形）
若面积一定，越接近于圆，周长越小（若有四边形约束条件，则为正方形）
2.立体图形中：
若表面积一定，越接近于球，体积越大
若体积一定，越接近于球，表面积越小
例14.(2023 联考)某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水
池。为节约成本，侧面积最小为多少平方米？
A. 24
B. 36
C. 96
D. 132
例15. (2024 联考) 某公园绿化管理部门采购了100 片围栏，每片长1 米且不可弯折。
现拆分拟围成5 块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这
5 块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
31
A. 10
B. 12
C. 16
D. 25
五、等比例放缩
【基础知识】
等比例放缩性质：若一个几何图形尺度变为原来的m 倍，则长度变为原来的m 倍，面
积变为原来的m²倍，体积变为原来的m³倍。
注:当m>1 时,尺度在按比例放大;当m<1 时,尺度在按比例缩小。
例16. (2023 联考)某餐馆承诺25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每
张餐桌上都有一个装满后正好25 分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在
等待的过程中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再
过多久还未上菜，这位顾客将享受免单服务：
A. 不到3 分钟
B. 3—4 分钟之间
C. 4-5 分钟之间
D. 超过6 分钟
32
第六章排列组合
一、分类分步原理
【基础知识】
（1）分类-加法原理
完成一件事有n 类办法，第一类有m1种方法，第二类有m2种方法，……，第n 类有mn种
方法，那么共有N＝m1＋m2＋m3＋……＋mn种不同方法。
特征：每一种方法都能够直接达成目标。
（2）分步-乘法原理
完成一件事分成n 个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……，第n 步有mn
种方法，那么共有N＝m1×m2×……×mn种不同的方法。
特征：分步相接，完成每步，最后才能够达成目标。
练1：从甲地到乙地每天有直达班车4 班，从甲地到丙地每天有直达班车5 班，从丙地到
乙地每天有直达班车3 班，则从甲地到乙地共有多少种不同的乘车法？
A. 12
B. 19
C. 32
D. 60
二、排列（A）与组合（C）
【基础知识】
（1）排列：从n 个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，总
共的排法种数。“与顺序有关”，主体交换顺序有影响。
（2）组合：从n 个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑顺序，总共的取法种数。
“与顺序无关”，主体交换顺序无影响。
（3）计算：
排列：��
�= �× (�−1) × . . . × (�−�+ 1)
组合：��
�=
�×(�−1)×...×(�−�+1)
�×(�−1)×...×1
例1.(2024 联考)某单位从所有职工中选出若干人参加培训。如果选择4 人，可能的选
择方式正好是选择3 人时的10 倍。那么该单位有多少名职工？
A. 32
B. 33
33
C. 42
D. 43
例2.(2023 联考)在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路
径，要求各地参会代表一周内每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120 次电话，
这次参与培训交流的人数是：
A. 20
B. 18
C. 16
D. 15
例3.（2021 国考）某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满300 元者可获得
一个礼盒，其中装有6 种干货中的随机3 种各1 小袋，以及1 袋小米或红豆。问内容不
完全相同的礼盒共有多少种可能？
A.50
B.45
C.40
D.30
例4.(2023 广东)某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含2 种荤菜、2 种素菜。如果
餐馆共准备了6 种荤菜和4 种素菜,则最多有（
）种盒饭。
A. 42
B. 60
C. 72
D. 90
例5.(2024 广东) 某高校中文系计划从3 名男生和3 名女生中选派4 名学生参加暑期支
教活动。如果选派的女生不少于2 名，则选派方案共有（
）种。
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
例6.(2023 联考)冬奥会短道速滑比赛，有3 个国家的4 名运动员参加比赛，其中2 名中
国运动员，已知中国运动员始终处于领滑位置，则运动员的排序共有：
A. 12 种
B. 16 种
C. 18 种
D. 20 种
例7.(2023 联考)某教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业和
34
问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练
习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有？
A. 120 种
B. 72 种
C. 36 种
D. 24 种
三、方法技巧
1.捆绑法。
捆绑法：将需要相邻的元素视为一个整体（“捆绑”），与其他元素共同排列，再考虑该整
体内部的排列（先排整体，再排内部）。
关键字：相邻、挨着、在一起等。
例：5 个男生和3 个女生站成一排照相，3 个女生必须在一起，则一共有多少种照相方法？
例8.(2024 联考)某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3 个部门分别派出2、4、4 个选手
共计10 人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个部门的人
员，则这10 人不同的投篮顺序种数的范围是：
A. 小于1000
B. 1000~5000
C. 5001~10000
D. 10000 以上
2.插空法。
插空法：先安排无限制的元素，再在形成的“空位”中插入不相邻的元素，从而确保限
制条件被满足。
关键字：不相邻、不挨着、不在一起等。
例：5 个男生和3 个女生站成一排照相，3 个女生彼此均不相邻，则一共有多少种照相方
法？
例9.(2020 联考)某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、
考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连
35
续进行，该学员学习顺序的选择有：
A. 24 种
B. 72 种
C. 96 种
D. 120 种
3.隔板法。
隔板法：若n 个相同的元素分成m 个不同组，要求每组至少一个元素，方法数为��−1
�−1。
若n 个相同的元素分成m 个不同组，要求每组至少a 个元素，优先每个组分（a-1）个元
素，转化为每组至少一个元素，再套隔板法公式。
关键字：相同元素……至少……
例：将5 颗相同的糖果分发给3 个小朋友，要求每个小朋友至少拿到一块糖，则共有多
少种分发方式？
例：将10 颗相同的糖果分发给3 个小朋友，要求每个小朋友至少拿到2 块糖，则共有多
少种分发方式？
例10.(2020 联考)某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字路口至少有一名交通协
管员，现将8 个协管员名额分配到这4 个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：
A. 35 种
B. 70 种
C. 96 种
D. 114 种
例11.某领导要把20 项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有多少种
不同的分配方式？
A．28
B．36
C．54
D．78
4.错位排列。
错位排列：有n 个元素和n 个位置，如果要求每个元素的位置与元素本身的序号都不同，
则n 个元素对应的排列情况分别为：D1＝0 种，D2＝1 种，D3＝2 种，D4＝9 种，D5＝44 种，……
例12.(2015 山东)某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，
36
如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？
A. 120
B. 78
C. 44
D. 24
5.环形排列。
环形排列：主体围成一圈，求方式数，n 个不同元素的环排列方法有��−1
�−1。
例13. 5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同的方法？
A.120
B.24
C.64
D.30
6.枚举法。
找不到普遍规律，可以一一枚举
例14.(2022 联考)张师傅从事自行车、电动车、摩托车三种类型的车辆维修工作，每辆
维修工时费分别为3 元、6 元和9 元。若张师傅某时段维修工时费共收入15 元，那么该
时段张师傅维修车辆类型及相应数量的情况有：
A. 4 种
B. 5 种
C. 6 种
D. 7 种
四、平均分组
分组问题可以分为两大类，一类是不平均分组，一类是平均分组。需要注意的是，平均
分组要排重，排重方法是除以组数的全排列。
问题1：有四本书，分成一组三本、一组一本，有几种方法？
问题2：有四本书，平均分成两组，有几种方法？
问题3：有六本书，分成一组三本、一组两本、一组一本，有几种方法？
问题4：有六本书，平均分成三组，有几种方法？
问题5：有七本书，分成一组三本、两组两本，有几种方法？
问题6：有六本书，平均分成三组，然后送给三个同学，有几种不同的方法？
例15.(2015 山西)将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A. 120
B. 126
37
C. 240
D. 252
例16.（2018 浙江）某班共有8 名战士，现在从中挑出4 人平均分成两个战斗小组分别
参加射击和格斗考核，问共有多少种不同的方案？
A. 210
B. 420
C. 630
D. 840
例17. (2021 上海)安排4 名护士护理3 个病房，每个病房至少一名护士，每名护士固定
护理一个病房，则共有(
)种安排方法。
A. 24
B. 36
C. 48
D. 72
38
第七章概率
一、等可能性事件概率
【基础知识】
等可能性事件概率＝满足条件的情况数÷总的情况数
注：正难则反，满足概率＝1－不满足的概率
例如：掷骰子，出现1 点和6 点就是等可能的，概率均为1/6。
【常规思维】
例1.(2024 联考)某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45 名老人提供居家养老服
务。已知老人的年龄构成如下（设老人的年龄为x）：60≤x＜70 有17 人，70≤x＜80
有12 人，80≤x＜90 有11 人，90 岁及以上有5 人。现从该社区中随机抽取两名老人
了解居家养老服务情况，那么这两名老人恰好都在80 岁以上（含80 岁）的概率是：
A. 4/33
B. 11/45
C. 16/45
D. 1/3
例2.(2024 联考)中秋节前夕，小赵买了6 个外观相同的月饼，其中有3 个是蛋黄馅
的。回到家后，小赵从中任取3 个月饼，里面恰好有1 个是蛋黄馅的概率是：
A. 9/20
B. 1/2
C. 3/5
D. 11/20
例3.(2020 黑龙江)南部某战区一个10 人小分队里有6 人是特种兵，某次突击任务需
派出5 人参战，若抽到3 名或3 名以上特种兵可成功完成突击任务，那么成功完成突
击任务的概率有多大？
A. 3/5
B. 2/3
C. 29/42
D. 31/42
例4.（2024 山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、
葫芦画、锡雕、鲁班枕8 个展厅。因时间原因，一名参观者决定从8 个展厅中随机选取3
个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率是多少？
39
A. 5/14
B. 15/28
C. 9/14
D. 19/28
例5.(2020 浙江)某公司对10 个创新项目进行评选，选出最优秀的3 个项目投入运行。
小张随机预测3 个项目将会入选。问他至少猜对1 个入选项目的概率在以下哪个范围
内？
A. 不到50%
B. 50%～60%
C. 60%～70%
D. 超过70%
例6.(2023 浙江)某停车场有7 个连成一排的空车位。现有3 辆车随机停在这排车位
中，则任意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为：
A. 1/5
B. 2/7
C. 6/35
D. 9/35
例7.(2020 黑龙江)物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小区内的6 棵
树，每名工作人员至少修剪1 棵（只考虑修剪的棵数），问小王至少修剪3 棵的概率
为：
A. 3/10
B. 3/7
C. 1/4
D. 3/5
例8.(2022 青海)某调研小组共有5 人，需分配到3 个不同的厂区进行调研工作，那
么每个厂区至少分到一人的概率为：
A. 40/81
B. 20/27
C. 70/81
D. 50/81
二、独立事件概率
【基础知识】
分类概率＝各类概率的加和，PA = P1 + P2 + P3 + … + Pn
分步概率＝各步概率的乘积，PA = P1 × P2 × P3 × … × Pn
40
例如：两个路口遇到红绿灯各不影响，为独立事件。只有一个路口遇到红灯的概率=只在
第一个路口遇到红灯的概率+只在第二个路口遇到红灯的概率；连续两个路口均遇到红灯
的概率＝第一个路口遇到红灯的概率×第二个路口遇到红灯的概率。
例9.(2023 联考)如果3 个学生一起报名，且3 个学生都通过科目一考试，那么就可
以减免1 个学生的报名费。他们3 人不能通过科目一考试的概率分别为1/2、1/3、
1/4，则减免1 个学生报名费资格的概率为：
A. 3/4
B. 2/3
C. 1/3
D. 1/4
例10.(2023 联考)某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。先由两位
编辑进行初审，若两位编辑评审都通过，则予以采用；若两位编辑都未予通过，则不
予采用；若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复审，若复审通过，则予以采用，
否则不予采用。设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为0.4，复审的稿件能通过的
概率为0.2，各编辑独立评审，则每篇征文被采用的概率为：
A. 0.32
B. 0.256
C. 0.24
D. 0.208
例11.(2022 江苏)“双减”政策实施后，某小学下午5:30 放学，小李5:00 下班去接
孩子回家，当不堵车时，5:30 之前到校；当堵车时、5:30 之前到校的概率为0.6。
若5:00-5:30 堵车的概率为0.3，则小李5:30 之前到校的概率是：
A. 0.78
B. 0.80
C. 0.88
D. 0.91
例12.（2018 国考）某单位的会议室有5 排共40 个座位，每排座位数相同。小张和小李
随机入座，则他们坐在同一排的概率：
A. 不高于15%
B. 高于15%但低于20%
C. 正好为20%
D. 高于20%
41
例13.(2021 联考)两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个
大人不相邻的概率为：
A. 2/5
B. 3/5
C. 1/3
D. 2/3
例14.（2015 联考）甲、乙两名实力相当（设每一局两人中任意一人获胜的概率相同）
的棋手进行7 局4 胜制的比赛，前3 局赛完后，甲以2:1 领先于乙，那么甲获得最后胜
利的概率是多少？
A. 2/3
B. 3/4
C. 5/8
D. 11/16
42
第八章数列
【基础知识】
1.等差数列：从第二项开始，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数被称
为公差，通常用字母d 表示。
2.设等差数列的首项为�1，公差为d，��
是第n 项的值。
通项公式：��= �1 + (�−1)�；��= ��+ (�−�)�
求和公式：��= 平均数× n =
a1+an
2
× n = a中间项× n = na1 +
�(�−1)
2
�
备注：若数列为奇数项时，有中间项，求和通常用��= a中间项× n
若数列为偶数项时，无中间项，求和通常用��=
a1+an
2
× n
3.等比数列：从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数被称
为公比，通常用字母q 表示。
设等比数列的首项为�1，公比为q，��
是第n 项的值。
通项公式：��= a1��−1
例1.（2022 江苏）某金融机构向9 家“专精特新”企业共发放了4500 万元贷款，若这9
家企业获得的贷款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3 的企业获得420 万
元贷款，排第8 的企业获得的贷款额为：
A. 620 万元
B. 660 万元
C. 720 万元
D. 760 万元
例2. (2022 青海)某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发
现9 个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前
7 个团体的新创节目总数是70。那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是：
A. 72
B. 76
C. 78
D. 80
例3.（2021 上海）有若干个相同的小正方体木块，按图（1）、（2）、（3）的叠放规律摆
放，则到第七个图时，第七个图中小正方体木块总数应为（
）个。
43
A. 25
B. 66
C. 91
D. 120
例4.（2022 四川）商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每天这种电器的销
量都比前一天多1 台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其6 月共卖了多少台这种
电器？
A. 555
B. 600
C. 645
D. 690
例5.（2024 国考）甲乙两条生产线同一天开始生产某种产品，甲每天比前一天多生产m
件，乙每天比前一天少生产2m 件，第5 天两条生产线的当日产量相同，且前5 天乙的累
计产量是甲的2 倍。问第一天乙的产量是甲的多少倍？
A. 6
B. 7
C. 4
D. 5
例6.（2024 联考）因自然灾害产生泄漏，某河流出现A 物质污染。根据环保部门要求，
自然水源中A 物质的浓度不得高于x。经应急处置后，水中的A 物质浓度每24 小时下降
一半。自应急处置时开始，环保部门每24 小时对河流水质进行1 次检测，在216 小时后
首次检测到河流中A 物质浓度达标。问应急处置前A 物质可能的最高浓度在以下哪个范
围内？
A.不到300x
B.300x~600x
C.600x~1200x
D.超过1200x
44
第九章最值构造
一、反向构造
【题目特征】
都……至少……（至少……都……）
【解题方法】
方法一：反向思考做差，求和，再做差。
方法二：
①两个主体都最少：( A∩B ）最少＝A＋B－M
②三个主体都最少：( A∩B∩C )最少＝A＋B＋C－2M
③四个主体都最少：( A∩B∩C∩D )最少＝A＋B＋C＋D－3M
练：有100 人参加三门考试，90 人语文及格，90 人数学及格，90 人英语及格，则至少有
多少人三科都及格了？
例1.(2020 广东)某单位在网上办公系统传阅了15 份文件，甲阅读了9 份，乙阅读了12
份，丙阅读了10 份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有（
）份。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
例2.(2018 广东)某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在
接受调查的1000 人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人
使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000 人中，使用过全部四款手机
软件的至少有（）人。
A.120
B.250
C.380
D.430
二、最不利构造
【题目特征】
45
至少……保证……
【解题方法】
答案＝最不利情况＋1
注：要保证同种情况n 个相同，每种情况取(n-1)，不够(n-1)有多少取多少，最后在＋1。
练1：一个袋内有10 个球，其中红球4 个，绿球4 个，黄球2 个，问至少要拿出几个球
才能保证有红球？
练2：一个袋内有10 个球，其中红球4 个，绿球4 个，黄球2 个，问至少要拿出几个球
才能保证3 个球颜色相同？
例3.(2020 青海)某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季花、牡丹花三种花
卉各20 盆，每盆均用纸箱打包好装车运送至会展中心，再由工人搬运至布展区。问至少
要搬出多少盆花卉才能保证搬出的鲜花中一定有郁金香？
A. 20 盆
B. 21 盆
C. 40 盆
D. 41 盆
例4.（2022 河北）有200 人参加招聘会，其中法学70 人，经济学60 人，工业设计50
人，统计学20 人，至少有（）人找到工作才能保证一定有50 人的专业相同。
A.167
B.168
C.170
D.175
例5.(2024 辽宁) 某部门工会为丰富职工文化生活增进职工身心健康，组织开展了拔河、
羽毛球、乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若要保证至少
有5 名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有：
A. 40 名
B. 41 名
C. 50 名
D. 51 名
例6.(2020 深圳)某演唱会主办方为观众准备了白红橙黄绿蓝紫7 种颜色的荧光棒各若干
只，每名观众可在入口处任意选取2 只，若每种颜色的荧光棒都足够多，那么至少( )名
46
观众中，一定有两人选取的荧光棒颜色完全相同。
A. 14
B. 22
C. 28
D. 29
三、穷举构造
【题目特征】
最多/少……至多/少……；排名第……至多/少……
【解题方法】
（1）排序定位：将主体进行排序，并设所求主体为x。
（2）推测其他：若总和一定，要使其中一个数尽可能大，则其他数应尽可能小；要使其
中一个数尽可能小，则其他数应尽可能大，根据上述规则，推测其他主体。
（3）列方程求解：根据总数一定列方程。
注：①主体所对应的数据是否可以并列，若没有“互不相同”的要求，则主体可以并列。
②计算结果为非整数时，问最少向上取整，问最多向下取整。
练：将14 个苹果分给4 个小朋友，每个小朋友都至少分到一个苹果
（1）若每个小朋友拿到的苹果数各不相同。
问：拿到苹果数最多的小朋友至少拿几个？
问：拿到苹果数最少的小朋友至多拿几个？
（2）若每个小朋友拿到的苹果数可以相同。
问：拿到苹果数最多的小朋友至少拿几个？
例7.(2023 联考）小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要求任意两栋楼派发
的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1 倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数
量最少的那栋楼最少可派发口罩：
A.18 盒
B.15 盒
C.14 盒
D.12 盒
例8.(2024 联考)5 名战士参加射击比赛，共击中目标88 次。已知任意2 人击中的目标
47
数量均互不相同，那么射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标？
A. 39
B. 41
C. 58
D. 82
例9.(2022 上海)某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有5 位员工的平均分
为90 分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77 分，那么排第二名
的员工至少得（
）分。（员工分数取整数）
A. 90
B. 92
C. 94
D. 96
例10.(2021 上海)有一座13.2 万人口的城市，需要划分为11 个投票区，任何一个区的
人口不得超过其他区人口的10%，那么人口最少的地区可能有（
）人？
A. 9800
B. 10500
C. 10700
D. 11000
48
第十章容斥原理
一、两集合容斥问题
【基础知识】
A＋B－A∩B＝总数－都不满足的个数。
【常用方法】
1.公式法
2.画图法
识别：已知信息无法套公式，或所求公式里没有，一般会出现“只A”。
①从内向外标数据
②每个封闭区间都要标
练：语文及格的有5 个人，数学及格的有4 个人，都及格的有2 人，都不及格的有6 人，
则全班总共有多少人？
练：全班36 人，其中，语文及格与数学及格的人数比为4：3，两科都及格的人是只数学
及格的50%，不存在两科都不及格的人，则只语文及格有多少人？
例1. (2022 广东)某单位计划从全部80 名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须
同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有40 人具有基层经历，有46 人有计
算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有10 人。那么能够进入工作
组的员工有（
）人。
A. 16
B. 40
C. 46
D. 54
例2.(2024 江苏)某基层工会共有180 名会员，举行甲、乙两项工会活动，60%的会员参
加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有80 人，则只参加乙活动的
会员有（）
A.10 人
B.28 人
C.62 人
D.72 人
49
例3. (2023 国考)农科院在某村287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训，已
知参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的
养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多76 人。问共有多少人未参加任何一项培
训?
A. 21
B. 23
C. 25
D. 27
例4.(2021 四川)为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果发现，
适合种植A 作物的自然村占4/13。适合种植B 作物的自然村有25 个，同时适合种植两种
作物的自然村占总数的1/14，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个？
A.57
B.67
C.114
D.134
例5.（2019 江苏）某公司年终联欢，准备了52 张编号分别为1 至52 的奖券用于抽奖。
如果编号是2、3 的倍数的奖券可分别兑换2 份、3 份奖品，编号同时是2 和3 的倍数的
奖券只可兑换3 份奖品，其他编号的奖券只可兑换1 份奖品，则所有奖券可兑换的奖品
总数是？
A. 99 份
B. 100 份
C. 102 份
D. 104 份
二、三集合容斥问题
【基础知识】
(1)三集合核心公式。
标准型：A＋B＋C－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝总数-都不满足的个数
非标准型：A＋B＋C－只满足两个条件的－2×三个条件都满足的＝总数-都不满足的个数
列方程组：
|A∪B∪C|＝只满足一个条件＋只满足两个条件＋三个都满足
|A|+|B|+|C|＝只满足一个条件＋2×只满足两个条件＋3×三个都满足
【常用方法】
50
公式法、画图法。
例6. (2020 联考)某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的
有126 人，订阅C 期刊的有135 人，订阅A、B 期刊的有57 人，订阅A、C 期刊的有73
人，订阅3 种期刊的有31 人，此外，还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问
订阅B、C 期刊的有多少人？
A. 57
B. 64
C. 69
D. 78
例7.（2019 河北）某班参加学科竞赛人数40 人，其中参加数学竞赛的有22 人，参加物
理竞赛的有27 人，参加化学竞赛的有25 人，只参加两科竞赛的有24 人，参加三科竞赛
的有多少人？
A.2
B.3
C.5
D.7
例8. 某单位利用业余时间举行了3 次义务劳动，总计有112 人次参加，在参加义务劳动
的人中，只参加1 次，参加2 次和3 次全部参加的人数之比为5：4：1。问该单位共有多
少人参加了义务劳动？
A.70
B.72
C.77
D.80
例9. (2024 国考)某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；
会英语的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50 人，只会其中两种语言的有
100 人，只会其中一种语言的有150 人。问会法语的学生有多少人？
A. 100
B. 200
C. 50
D. 150
51
第十一章年龄问题
【基础知识】
（1）年龄＝当前年份－出生年份（一般默认出生年为0 岁）
（2）过N 年长N 岁，同增同减
（3）两个人的年龄差在任何时间节点都不发生改变
【解题思路】
（1）代入排除法
（2）列表分析法（适用于出现人物较多，出现时间段较多的题）
（3）结合常识：属相相同年龄差为12 的倍数、父母年龄相仿，一般父亲年龄大、父母
与孩子年龄差在20-30。
补充：
1.世纪与年代：20 世纪80 年代，198x 年；20 世纪90 年代，199x 年
2.年龄的平方数等于年份数：452=2025，年龄45，年份2025 年，则出生1980 年
例1. (2023 联考)美术培训班有3 名学员，他们的年龄满足以下条件：他们的年龄都是
正整数；2 号学员的年龄是1 号学员年龄的一半；3 号学员比2 号学员大7 岁；3 名学员
的年龄之和是不超过70 的素数，且该素数的各位数字之和为13，那么这3 位学员的年龄
分别是多少岁？
A. 12；6；13
B. 20；10；17
C. 24；12；19
D. 30；15；22
例2. (2018 联考)一家三口，妈妈比儿子大26 岁，爸爸比儿子大33 岁。1995 年，一家
三口的年龄之和为62。那么，2018 年儿子、妈妈和爸爸的年龄分别是：
A. 23，51，57
B. 24，50，57
C. 25，51，57
D. 26，52，58
例3. (2021 联考)2020 年老张的年龄是小王年龄的4 倍，2021 年老李的年龄是小王年龄
的3 倍，已知老张比老李大12 岁，问哪一年三人的年龄之和第一次超过140 岁？
A. 2020
B. 2023
C. 2026
D. 2029
52
例4. (2024 国考)甲、乙、丙三人的年龄之比为3∶4∶5。8 年之后，甲、乙的年龄之和
是丙的1.5 倍，且这一年甲、乙、丙、丁四人的平均年龄为43 岁。问再过15 年，甲、
乙、丙、丁中有几人将超过60 岁?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
例5. (2023 联考)一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子年龄的8 倍，
而10 年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子年龄的5 倍。今年爸爸、妈妈的年龄在各种可能
组合中乘积最大，问今年妈妈的年龄可能是多少岁？
A. 39
B. 40
C. 50
D. 51
例6. (2022 天津)有一个20 世纪八九十年代出生的人，在21 世纪，恰好有一年，他年
龄的平方数等于那一年的年份。这个人是哪年出生的?
A. 1995 年
B. 1990 年
C. 1985 年
D. 1980 年
53
第十二章溶液问题
【基础知识】
溶液浓度＝溶质质量÷溶液质量
溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量
一、蒸发稀释
【题目特征】
题干中出现溶液和水混合或者是蒸发溶液中的水。
【解题思路】
以溶质量不变，溶液量变化为核心，常采用赋值法、公式法。
例1. 一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10％；再蒸发掉同样多的水后，
溶液的浓度变为12％；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?( )
A.14％
B.17％
C.16％
D.15％
例2. (2020 联考)甲烧杯装有浓度为6%的酒精200 克，乙烧杯装有浓度为10.5%的酒精
100 克。现向两个烧杯各加入x 克水后，两个烧杯中酒精浓度相同。问x 的值为：
A. 350
B. 400
C. 550
D. 600
例3. (2022 江苏)某种杀虫剂每桶5 公斤，浓度为40%，使用时需将浓度稀释到5%，每
亩地喷洒60 公斤。若某农户家中有4 亩地，则至少需要该杀虫剂
A. 3 桶
B. 4 桶
C. 5 桶
D. 6 桶
二、溶液混合
【题目特征】
题干一般给出两种或多种不同浓度的溶液，经过混合得到新浓度的溶液。
【解题思路】
54
根据混合前后总溶质不变列等式。常采用公式法、十字交叉法。
例4.(2020 广东)A、B 两个烧杯中装有质量相等的盐溶液，A 烧杯中盐溶液的浓度为30%，
B 烧杯中的盐溶液浓度为20%，现将A、B 两个烧杯的溶液完全混合，那么混合后溶液中
溶质与溶剂之比为（
）。
A. 1:3
B. 1:4
C. 1:5
D. 1:6
例5.(2021 河北)现有一杯浓度为20%的糖水200 克，加入6 克糖，再加入24 克水后，此
时的糖水与原来相比:
A. 不如原来甜
B. 比原来甜
C. 一样甜
D. 无法确定
例6.（2023 江苏）浓度分别为68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为240 克。若将
它们全部混合，则可得浓度为74%的酒精溶液；若只将浓度为72%和78%的酒精溶液混合，
则可得浓度为76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为72%的酒精溶液质量为（）。
A.30 克
B.40 克
C.48 克
D.60 克
三、反复操作
【题目特征】
题干一般给出多种不同浓度的溶液，并进行多次混合。
【解题思路】
（1）以溶液量不变为核心，采用赋值法、公式法
（2）根据浓度成比例变化，进行连乘。
例7.(2024 联考) 现有一容器，装有100 克浓度为75%的盐水，从中倒出40 克盐水后，
再加入40 克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：
A. 16.20%
B. 9%
C. 1.62%
D. 0.90%
55
第十三章周期问题
第一节、单周期问题
【题目特征】
给出周期，求具体的某一类（天、个）
【解题思路】
（1）确定周期，找准起点和终点
（2）计算：总个数÷循环数＝周期......余数
注：“第”与“过”的区别
问“第”，余n，从周期起点依次数n 个
问“过”，余n，从周期起点下一项依次数n 个
例1.(2019 河北）某新建高速公路中间隔离带绿化时，顺次种植2 株蜀桧、3 株刺柏、5
株小叶女贞、3 株大叶黄杨，按此循环，第2019 株树木是什么？
A.蜀桧
B.刺柏
C.小叶女贞
D.大叶黄杨
例2.(2020 四川)某支部的每名党员均以5 天为周期，在每个周期的最后1 天提交1 篇学
习心得。某年的1 月1 日是周日，在1 月1 日—5 日的5 天内，支部分别收到2 篇、3 篇、
3 篇、1 篇和1 篇学习心得。问当年前12 周（每周从周日开始计算）内，支部共收到多
少篇学习心得？
A. 170
B. 169
C. 120
D. 119
例3.五名工人按甲-乙-丙-丁-戊的顺序轮流值夜班，每人值班1 天休息4 天。某日乙值
夜班，问再过789 天该谁值班？
A.甲
B.乙
C.丙
D.戊
56
第二节、多周期问题
【题目特征】
给多个周期，起点在一起，终点在一起
【解题思路】
大周期是两个小周期的最小公倍数
注意：每n 天，周期为n；每隔n 天，周期为n+1
例4.（2022 河北）两个信号灯分别以30 秒和36 秒的固定间隔闪亮一次，若他们10 点
第一次同时闪亮，则第七次同时闪亮的时间为（）。
A.10：15
B.10：16
C.10：18
D.10：21
例5.（2019 广东）某物业公司规定，小区大门每2 天清洁一次，消防设施每3 天检查一
次，绿化植物每5 天养护一次，如果上述3 项工作刚好都在本周四完成了，那么下一次3
项工作刚好同一天完成是在?
A. 星期一
B. 星期二
C. 星期六
D. 星期日
例6.（2019 河北）甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2 天去一
次，乙每隔4 天去一次，丙每7 天去一次。4 月10 日三人相遇，下一次相遇是哪天？
A.5 月28 日
B.6 月5 日
C.7 月24 日
D.7 月25 日
第三节
日期推断类
【基础知识】
（1）平年与闰年
普通年（不能被100 整除）：能被4 整除的是闰年
世纪年（能被100 整除）：能被400 整除的是闰年
（2）大月与小月
57
大月：1、3、5、7、8、10、12 月，每月31 天
小月：4、6、9、11 月，每月30 天
特殊2 月，平年28 天，闰年29 天
【基本推论】
（1）日期+7，星期不变
（2）任意连续的7n 天内，一定有n 个星期一、n 个星期二……n 个星期日
（3）每过一个平年，星期+1
每过一个闰年，星期+2
每过一个大月，星期+3
每过一个小月，星期+2
每过一个闰二月，星期+1
每过一个平2 月，星期不变
例7.(2024 广东) 只有在星期六，小王才会去图书馆。如果某年3 月小王一共有5 天去
过图书馆，则当年4 月1 日可能是（
）。
A. 星期二
B. 星期三
C. 星期五
D. 星期六
例8.（2023 深圳）博物馆员工周二至周六上班，周日、周一休息。某月有31 天，员工
小王工作了22 天，则该月的4 号是周几？
A. 周一
B. 周二
C. 周一或周四
D. 周四或周日
例9.(2022 联考)2021 年7 月1 日是中国共产党建党100 周年的纪念日，这一天是星期四，
那么建党110 周年纪念日是：
A. 星期一
B. 星期二
C. 星期三
D. 星期四
58
参考答案
第一章数学思维
一、倍数特性
例1-例5：ADDBA
例6-例9：CCDC
二、方程思维
例1-例5：CCACB
例6-例10：CADDC
例11-例14：ABDC
第二章工程问题
例1-例5：DCDCA
例6-例10：ADCAB
例11-例14：CDDB
第三章费用问题
例1-例5：DBBBC
例6-例10：DCCDC
例11-例14：BDDC
第四章行程问题
例1-例5：BABCB
例6-例10：DADCD
例11-例15：BBDBA
第五章几何问题
例1-例5：ABDBC
例6-例10：CBDBB
例11-例16：DDDCCB
第六章排列组合
例1-例5：DCCDC
例6-例10：ACCBA
例11-例17：DCBBBBB
第七章概率
例1-例5：AADCD
例6-例10：BADDB
例11-例14：CBBD
第八章数列
例1-例6：AACBCB
例1-例5：BADBB
例6-例10：DCABD
第十章容斥原理
例1-例5：ACACD
例6-例9：BCAB
第十一章年龄问题
例1-例6：DBDCAD
第十二章溶液问题
59
例1-例5：DDDAC
例6-例7：DA
第十三章周期问题
例1-例5：BBACC
例6-例9：CACB
60
数量关系刷题一
第一章数学方法
一、倍数特性
1. （2019 联考）林华全家是阅读爱好者，家里有各种书籍，版本也多。已知他家有五分
之三的书是中文版的，六分之一是英文版的，八分之一是中英文互译版的，还有多于11
本但少于17 本是其他版本的，问他家有多少本英文版书?
A. 72 本
B. 20 本
C. 15 本
D. 13 本
2.（2018 江西）某高校今年共招收新生6060 人，比去年增长1%，其中本科新生比去年
减少5%，研究生新生比去年增加13%，那么，该高校今年本科新生有多少人？
A. 4200
B. 4120
C. 3900
D. 3800
3. (2024 联考)
某中学举办教职工趣味运动会，需要准备一些球类道具，必须同时满足
每2 人合用一个毽球，每3 人合用一个乒乓球，每4 人合用一个排球，这样工作人员一
共准备了26 个球类道具。问参加本次运动会的教职工最多有：
A. 12 人
B. 20 人
C. 24 人
D. 26 人
4. (2022 浙江)某镇卫生院50 多名医生被平均分配到13 个基层诊所参与工作，其中男医
生比女医生多4 人。工作结束后，25％的男医生和一部分女医生继续到邻镇4 个医疗点
支援工作，这批人员中任意6 人必有男医生，且保证必有一个医疗点的女医生多于1 人。
那么该卫生院到邻镇支援工作的医生共有：
A. 12 人
B. 14 人
C. 16 人
D. 18 人
61
5.(2021 北京)为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企业扩大招聘规模，计
划在年内招聘高校毕业生240 名，但实际招聘的高校毕业生数量多于计划招聘的数量。
已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到7 个部门培训，并在培训结束后将他们平均
分配到9 个分公司工作。问该企业实际招聘的高校毕业生至少比计划招聘数多多少人？
A.6
B.12
C.14
D.28
二、方程法
1. (2023 北京)
张、王、李三人总共有120 本书，张、王的书分别是李的2 倍和5 倍，
则王有多少本书？
A. 65
B. 70
C. 75
D. 80
2. (2023 广东)甲、乙两个仓库共存有340 吨粮食。如果甲仓库存放的粮食是乙仓库的2
倍多10 吨，则甲仓库存有粮食（
）吨。
A. 110
B. 120
C. 230
D. 240
3. (2023 联考)某公司自主研发生产的A、B、C 三种型号氢燃料电池，解决了该公司今年
生产轿车所需电池数量的10%（按一辆车配一块电池计算）。其中A 型号氢燃料电池的产
量是B 型号的2 倍，C 型号的产量比A、B 两种型号的产量之和还多400 块。预计该公司
今年的轿车总产量是42.4 万辆，那么B 型号氢燃料电池的产量是：
A. 3500 块
B. 7000 块
C. 14000 块
D. 21400 块
62
4. (2022 上海)某快递员一天可派件150 件，每件派件费1 元。安装快递柜后部分快递可
放入快递柜中，派件效率提高，一天可派件180 件，然而每件快递需向快递柜所属公司
缴纳0.2 元。为维持收入不变，这180 件快递中有（
）件快递须派送上门。
A. 25
B. 30
C. 36
D. 40
5. (2023 深圳) 作曲人阿伟不久前创作了一首歌，甲、乙两个音乐平台均获得其使用权，
甲平台根据该歌曲播放数乘以0.01 元给予收益；乙平台除给予10 万元基础收益外，另
计每次播放收益0.006 元，现从甲平台获得的收益比乙平台多10000 元，且此时该歌曲
在甲平台的播放量比在乙平台高500 万次，那么该歌曲在甲平台的播放量为（
）
万次。
A. 1800
B. 2000
C. 2200
D. 2400
6. (2022 天津)某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志愿服务队。其中，20
至30 岁（不含30 岁）的人数占总人数的68%,
30 岁及以上的人数是不到20 岁人数的7
倍。已知30 岁以下的人数比30 岁及以上的人数多66 人，问这支服务队共多少人?
A. 90
B. 120
C. 150
D. 180
7. (2023 联考)浮雕银杯是我国古代常见的一种盛酒容器，有大银杯和小银杯之分。已知
5 个大银杯加1 个小银杯，可以盛酒3 斛（斛，是古代的一种容量单位），5 个小银杯加1
个大银杯，可以盛酒2 斛，则1 斛酒至多可以倒满小银杯的数量为：
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
63
8. (2024 国考)某企业招聘笔试参考人员均来自甲、乙、丙三所高校。笔试结束后，在进
入面试的100 人中，来自甲高校人员占比从笔试时的50%下降至当前的40%，乙高校人员
占比下降了15 个百分点，丙高校的有50 人。问笔试时来自甲、乙、丙三所高校的人员
比例是多少?
A. 2∶1∶1
B. 2∶3∶2
C. 3∶1∶2
D. 3∶2∶1
9. (2022 浙江)某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2 人并重新分配，使得四
个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10 人，第二小组人数减少1 人，
第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人数最多的小组与人数最少的小组
之间相差：
A. 15 人
B. 21 人
C. 24 人
D. 32 人
10. (2022 江苏)某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人10 万元、5
万元、1 万元给予奖励。若共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有：
A. 14 人
B. 19 人
C. 20 人
D. 21 人
64
第二章工程问题
1. (2020 江苏)一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50 天和80 天。若甲、乙工程
队合作20 天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12 天完成，则丙工程队单独完成此
项工程所需的时间是（）
A. 40 天
B. 45 天
C. 50 天
D. 60 天
2. (2019 北京)录入员小张和小李需要合作完成一项录入任务，这项任务小李一人需要8
小时，小张一人需要10 小时。两人在共同工作了3 个小时后，小李因故回了趟家，期间
小张一直在工作，小李返回后两个人又用了1 个小时就完成了任务。在完成这项任务的
过程中，小张比小李多工作了几个小时？
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
3. (2019 国考)一项工程，由甲、乙两队合做10 天可以完成，甲、丙两队合做15 天可以
完成，三队合做8 天可以完成。则乙和丙合做的效率是甲单独做效率的多少倍？
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 3
4.（2024 联考）一项工程，甲单独做完要8 天的时间，甲、乙一起做了4 天完成了工程
的75%，剩余工程由乙独自完成还需要多少天？
A.4 天
B.8 天
C.12 天
D.16 天
65
5. (2019 河北)甲、乙两队单独完成某项工程分别需要10 天、17 天。甲队与乙队按天轮
流做这项工程，甲队先做，最后是哪队第几天完工？
A. 甲队第11 天
B. 甲队第13 天
C. 乙队第12 天
D. 乙队第14 天
6. (2018 四川)甲工程队与乙工程队的效率之比为4：5，一项工程由甲工程队先单独做6
天，再由乙工程队单独做8 天，最后由甲、乙两个工程队合作4 天刚好完成，如果这项
工程由甲工程队或乙工程队单独完成，则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多多少
天？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7. (2019 吉林)一项工程按计划将用20 天完成，为提高效率，从第三天开始，每天都比
前一天多完成1 倍，则完成这个工程至少需要的时间是：
A. 5 天
B. 6 天
C. 7 天
D. 8 天
8. (2020 联考)某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先后投产了A 和B 两条生
产线，A 和B 的工作效率之比是2:
3，计划8 天可完成订单生产任务。两天后公司又投
产了生产线C，A 和C 的工作效率之比为2:
1。问该批口罩订单任务将提前几天完成?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. (2022 江苏)师徒二人用15 天合作生产1000 个零件，前5 天师傅的效率是徒弟的2 倍，
66
中间5 天师傅休息，徒弟每天比原来多生产5 个零件，最后5 天两人又一起工作，师傅
的效率不变，徒弟的效率比中间5 天提高了50%，徒弟这15 天生产的零件个数是：
A. 450
B. 500
C. 550
D. 600
10. (2020 江苏)某装配式建筑企业接到一个生产1033 套楼板的订单。甲班组生产5 天后，
乙班组再生产4 天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产23 套，则甲班组生产
楼板的套数是：
A. 625 套
B. 645 套
C. 535 套
D. 515 套
67
第三章费用问题
1. (2023 国考)商店销售某种商品，打八折销售时卖2 件的利润与按定价销售时卖1 件的
利润相同，相当于降价120 元/件销售时卖3 件的利润。问该商品的定价为多少元/件？
A. 360
B. 450
C. 540
D. 720
2. (2022 北京)某种商品如果每件降价30 元，单价比打八折销售时贵10 元，则这种商品
的定价是多少元/件？
A. 200
B. 250
C. 300
D. 350
3.（2023 国考）已知A、B 两种设备定价相同，C 设备单价为8000 元/台。现A、B 两种
设备分别打六折、七折促销、购买1 台B 设备的费用比购买A、C 设备各1 台的总费用高
2 万元。问促销期间1000 万元预算最多可以购买多少台A 设备？
A. 35
B. 51
C. 59
D. 77
4. (2021 四川)果农陈伯将收获的水果全部卖出，出售价格为苹果5 元/公斤，冬枣6 元/
公斤，甜橘7 元/公斤，已知苹果和冬枣的产量之比为4：3，苹果和甜橘的产量之比为5：
2，出售冬枣的收入比甜橘多3400 元，问他销售水果的总收入为多少元？
A. 22800
B. 23400
C. 24000
D. 24600
5. (2020 山东)某集团旗下有量贩式超市和便民小超市两种门店，集团统一采购的A 商品
在量贩式超市和便民小超市的单件售价分别为12 元和13.5 元。4 月A 商品在两家门店分
别售出了600 件和400 件，共获利5000 元，问该商品进价为多少元？
A. 7.2
B. 7.6
C. 8.0
D. 8.4
68
6. (2022 国考)某件商品的定价为成本的1.5 倍，如果在降价30 元/件的基础上再打八折，
则销售5 件这件商品的利润比原价销售1 件时多130 元。问用以下哪种折扣销售时，1.5
万元能买到的件数正好比原价销售时多4 件？
A. 先降价50 元/件再打八折
B. 先打九折再降价50 元/件
C. 降价150 元/件
D. 打八五折
7. (2020 北京)某网店的甲商品定价为300 元，乙商品定价为500 元。小张以七折购买了
甲商品，购买乙商品时参加了每满199 元减50 元的活动。小赵购买甲商品时在9 折基础
上又参加了每满100 元减10 元活动，则小赵通过以下哪种促销活动购买乙商品，其购买
甲、乙两件商品总花销与小张一样？
A. 减50 元后打八折
B. 直接打七折
C. 打九折后减120 元
D. 直接减120 元
8. (2020 联考)某地居民生活使用天然气每月标准立方数的基本价格为4 元/立方，若每
月使用天然气超过标准立方数，超出部分按其基本价格的80%收费。某用户2 月份使用天
然气100 立方，共交天然气费380 元，则该市每月使用天然气标准立方数为多少立方？
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
9. (2020 河北)某市出租车价格为：2 公里以内8 元，超过2 公里不足5 公里的部分，每
公里2 元；超过5 公里不足8 公里的部分，每公里3 元；8 公里以上的部分，每公里4 元；
不足1 公里按1 公里计算。某位乘客乘坐出租车花了20 元，该出租车最多行驶了多少公
里？
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
10.（2018 黑龙江）某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4 元出售，可卖出20 万
株，若苗木单价每提高0.4 元，就会少卖10000 株。问在最佳定价的情况下，该公司最
大收入是多少万元？
A．60
B．80
69
C．90
D．100
70
第四章行程问题
1. (2023 深圳)
黑脸琵鹭飞行速度较快，为55 公里/小时，白琵鹭飞行速度为45 公里/
小时，黑、白两群琵鹭从距离深圳湾湿地3120 公里的黑龙江出发南飞越冬，若不考虑途
中停歇，白琵鹭先到达湿地需比黑脸琵鹭至少早起飞（
）小时。
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
2. （2024 广东）小李从山脚开始登顶，匀速走了1 小时后到达一个凉亭，并在凉亭休息
了半小时。继续走500 米后，恰好完成登顶路程的一半。从山顶沿原路匀速返回时，他
走了1 小时又到了这个凉亭，继续走半小时回到了山脚。则登顶路程为（
）米。
A. 2000
B. 3000
C. 3600
D. 4000
3. (2021 广东)上午7 点，A、B 市干部同时乘车前往省城参观学习，汽车时速均为每小
时80 公里。但由于突发状况，B 市干部在路上停留了2 个小时。最终，A 市干部于当天
上午9 点到达省城；B 市干部于当天下午3 点到达。则如果从A 市出发，途经省城到达B
市，总路程为（
）公里。
A. 720
B. 640
C. 320
D. 280
4. (2021 北京)小张开车经高速公路从甲地前往乙地。该高速公路限速为120 千米/小时。
返程时发现有1/3 的路段正在维修，且维修路段限速降为60 千米/小时。已知小张全程
均按最高限速行驶，且返程用时比去程用时多30 分钟，则甲、乙两地距离为多少千米？
A. 150
B. 160
71
C. 180
D. 200
5. (2024 深圳) 小朗和小峰每晚都会绕着体育场跑步。某晚，小朗、小峰分别从体育场
的一号门、三号门同时出发匀速跑步，6 分钟后，两人迎面相遇，相遇后，两人继续匀速
前进。小峰又跑了5 分钟到达一号门并由此进入体育场，横穿体育场从三号门跑出，沿
与小朗相同的方向继续跑。已知小朗跑到三号门时，小峰距三号门还有180 米，小峰又
经过6 分钟追上了小朗。则小朗的跑步速度为（
）千米/小时。
A. 6
B. 7.2
C. 9
D. 10.8
6.（2019 广东）甲乙两人相距50 千米，同时出发相向而行，甲的前进速度为6 千米/小
时，乙的前进速度为8 千米/小时。在途中，甲休息了1 小时再继续前进。则甲、乙在出
发（）小时后相遇。
A.2
B.3
C.3.5
D.4
7. (2023 吉林)为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B 两地新修建了
一条高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从A、B 两地相向开出，甲车每小
时行驶74 千米，乙车每小时行驶65 千米，两车在距中点18 千米处相遇。这条连通A、B
两地的高速公路全长是
A. 139 千米
B. 256 千米
C. 278 千米
D. 556 千米
8.（2019 联考）某隧道长1500 米，有一列长150 米的火车通过这条隧道，从车头进入隧
道到完全通过隧道花费的时间为50 秒，整列火车完全在隧道中的时间是：
72
A.43.2 秒
B.40.9 秒
C.38.3 秒
D.37.5 秒
9.（2019 联考）甲从邮局出发去图书馆，乙从图书馆出发去邮局。两人12 点同时出发，
相向而行。12 点40 分两人相遇并继续以原速度前行。13 点12 分甲到达图书馆后立刻返
回邮局。假定两人速度不变，甲返回邮局时，乙已到邮局多长时间了?
A. 40 分钟
B. 50 分钟
C. 54 分钟
D. 64 分钟
10. (2018 黑龙江)甲乙两车早上分别同时从A、B 两地出发，驶向对方所在城市，在分别
到达对方城市并各自花费一小时卸货后，立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为60
千米/小时,乙车的速度为40 千米/小时。两地之间相距480 千米。两车第二次相遇距离
两车早上出发经过了多少个小时？
A. 13.4
B. 14.4
C. 15.4
D. 16.4
73
第五章几何问题
1. (2023 联考)某产业展洽会主办方将一块正方形场地设计成七个展区（如下图所示）。
按面积大小分类，共有几类展区？
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
2.（2019 江苏）平行四边形ABCD 如右图所示，E 为AB 上的一点，F、G 分别是AC 和DE、
DB 的交点。若AB=3AE，则四边形BEFG 与ABCD 的面积之比是：
A.2︰7
B.3︰13
C.4︰19
D.5︰24
3. (2024 四川)
正方形水池ABCD 的边长为80 米。E 点在AB 边正中的正北30 米处，F
点在C 点东偏南45°方向，F 点到C 点距离为40 2米。甲从E 点出发前往F 点，问他的
最短行进距离比途经D 点的最短行进距离短多少米？
74
A. 30
B. 50
C. 40 2
D. 80
4. (2022 联考)一个高为10 厘米，底面半径为5 厘米的圆锥体塑料零件置于水中，底面
朝上且水面平行，其浮出水面部分的高为2 厘米。那么当该零件底面朝下且与水面平行
置于水中时，浮出水面部分的高度在以下哪个范围内？
（零件始终不接触水底）
A. 不到6 厘米
B. 6～7 厘米之间
C. 7～8 厘米之间
D. 超过8 厘米
5. (2022 上海)有一个花坛的形状是一个直角扇形，由三个半径分别为1、2、3 米的圆弧
构成现用两条线段将此扇形圆心角平均分割成三部分。（如图）设计者在阴影部分和空白
部分分别种上不同的花卉，那么阴影部分花卉的种植面积为多少平方米？
A. π/3
B. π/2
75
C. Π
D. 2π
6. (2022 浙江)商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰
三角形）的遮阳伞，第一次伞撑开到图1 所示的位置，伞柄与伞骨成角∠CPQ 为30°，
继续撑开到如图2 所示的位置，伞柄与伞骨成角∠�'��'变为60°，那么第二次伞撑开后
形成的正方形�'�'�'�'是第一次撑开后正方形ABCD 面积的：
A. 3/2 倍
B.
3倍
C. 2 倍
D. 3 倍
7.(2021 国考)在一块下图所示的梯形土地中种植某种产量为1.2 千克/平方米的作物。已
知该梯形的高为100 米，ABC、BCD 和CDE 为正三角形，且∠BAF 和∠DEG 的角度都是90
度，问该土地的总产量为多少吨?
A.72/ 3
B.84/ 3
C.108/ 6
D.126/ 6
8.(2020 广东)如图三角形中，A、B 分别为两条边的中点，则图中阴影部分面积为三角形
总面积的（
）。
76
A.1/3
B.1/4
C.2/7
D.3/8
9.(2019 辽宁)如图，已知一个四边形中边AD 长为3cm，边BC 长7cm；∠DAB＝135°，∠
ABC=∠ADC=90°那么这个四边形的面积是（）cm²。
A.49/4
B.21
C.70 2
D.20
10.(2019 江苏)某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为四个功能区，
如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26 亩、18 亩和13 亩，若保
留休闲区的12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是：
A.36 亩
B.26 亩
C.24 亩
D.23 亩
77
第六章排列组合
1. (2022 广东)甲、乙、丙3 个单位订阅同一种报刊。已知3 个单位一共订了12 份，其
中，每个单位订阅数量不少于3 份，但不超过5 份，则这3 个单位的报刊订阅数量有（
）
种组合。
A. 2
B. 6
C. 7
D. 9
2. (2022 联考)滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、单板滑
雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6 个分项，短道速滑、速度滑冰和
花样滑冰是滑冰大项中的3 个分项。小林打算去现场观看比赛，共选择6 个项目，并且
每个大项不少于1 个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的观赛方式有：
A. 83 种
B. 84 种
C. 92 种
D. 102 种
3. (2020 广东)某单位的两个部门计划订阅报纸。每个部门需要在指定的5 种报纸中选择
其中的3 种，且这两个部门在选择时应做好沟通，做到5 种报纸都有部门订阅，则订阅
报纸的方案共有（
）种。
A. 20
B. 30
C. 60
D. 100
4. (2023 联考)在一个3×3 的表格（如下图所示）中，分别填入5 个数字0 和4 个数字
1，若要求灰色方格中不能同时填入数字1，问有多少种填法：
78
A. 98
B. 100
C. 120
D. 126
5. (2023 联考)像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一样，如果将一个
数的数字倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例如11，22，343，565，
1881，20102 等，在所有三位数中回文数共有
A. 81 个
B. 90 个
C. 99 个
D. 100 个
6. (2023 联考)某高校学生会选拔乡村支教志愿者，初试合格者中，语文类5 名，数学类
6 名，文体类4 名，从中选取9 名志愿者，但每类至少要选2 名。问就9 名志愿者科目类
别构成而言，共有几种选拔方式？
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7. (2024 联考)
安排A、B、C、D 共4 个研发团队参与甲、乙、丙3 个课题的研究，要
求每个课题至少有1 个团队参与，每个团队必须且只能参与1 个课题，如甲课题参与的
团队数超过1 个，则A、B 都不参与甲课题，问共有多少种不同的安排方式？
A. 24
B. 26
C. 36
D. 42
79
8.（2019 四川）某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5 个主题，每
个主题有2 位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不
同的发言次序？
A.120
B.240
C.1200
D.3840
9. (2023 北京)
某车库有10 个并排的车位，有3 辆不同的车要停进这10 个车位之中，
而且彼此不能相邻，则有多少种不同的停放方法？
A. 336
B. 246
C. 156
D. 66
10. (2022 上海)小李进行健身运动，计划运动时间不少于1 小时且不多于2 小时，有以
下备选项目：30 分钟自行车、30 分钟划船、40 分钟慢跑、1 小时羽毛球、1.5 小时步行，
每个项目限选一次且最多可以选择三项，那么小李的运动计划共有________种。
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
80
第七章概率问题
1. (2022 联考)一个桶中有红球、白球共30 只，这些球除颜色外都相同，将桶中的球搅
拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了60
次，发现有20 次摸到红球，问这个桶中大约有多少只红球？
A. 8
B. 10
C. 12
D. 20
2. (2022 广东)某单位计划从行政部的2 名员工和人事部的3 名员工中，随机选择2 人去
参加在职培训，则选出的2 人都来自人事部的概率是（
）。
A. 10%
B. 20%
C. 30%
D. 40%
3. (2021 四川)甲、乙、丙、丁四个车间生产相同的产品，生产效率之比为4:3:2:1，产
品不合格率分别为2%、3%、4%、5%。质检人员从这4 个车间某小时内生产的所有产品中
随机抽取1 件，发现该产品不合格，该产品是乙车间生产的概率为:
A. 30%
B. 40%
C. 50%
D. 60%
4. (2022 联考)清朝乾隆皇帝曾出上联“客上天然居，居然天上客”，纪昀以“人过大佛
寺，寺佛大过人”对出下联，这副对联既可以顺读也可以逆读，被称作回文联。数学中
也有类似回文数，如212、37473 等，则三位数中回文数是奇数的概率为：
A. 2/9
B. 1/3
C. 4/9
D. 5/9
81
5. (2022 国考)某企业将5 台不同的笔记本电脑和5 台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所
小学,每所学校分配5 台电脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得
的平板电脑数量均不超过3 台的概率为：
A. 125/126
B. 125/252
C. 25/63
D. 50/63
6.(2024 联考)一盒中有10 支晶体管，其中有2 支次品，8 支正品。现从中连取两次，每
次取1 支，取后不放回，则至少取到1 支次品的概率是：
A. 28/45
B. 17/45
C. 16/45
D. 1/45
7. (2022 广东)某街道对辖内6 个社区的垃圾分类情况进行考核评估。结果显示，有2 个
社区的垃圾分类考核不通过。如果从6 个社区中随机抽取3 个进行现场检查，则抽取的
社区中既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
A. 1/5
B. 1/2
C. 2/3
D. 4/5
8. (2023 国考)某单位有甲和乙2 个办公室，分别有职工5 人和4 人。每周从这9 名职工
中随机抽取1 人下沉社区担任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问7 月前2 周
的志愿者均来自甲办公室的概率在以下哪个范围内？
A. 不到25%
B. 25%～35%之间
C. 35%～45%之间
D. 超过45%
9. (2020 黑龙江)植树节期间，某单位购进一批树苗，在林场工人的指导下组织员工植树
82
造林。假设植树的成活率为80%，那么，该单位职工小张种植3 棵树苗，至少成活2 棵的
概率是：
A. 27/125
B. 48/125
C. 64/125
D. 112/125
10. (2020 江苏)小张下班回家乘地铁18：45 之前到家的概率为0.8，乘公交为0.7。已
知小张下班回家要么乘地铁，要么乘公交，且选择乘地铁的概率为0.6，则他下班回家
18：45 之前到家的概率是：
A. 0.73
B. 0.74
C. 0.75
D. 0.76
83
第八章数列问题
1.（2024 江苏）已知某家族4 位成员的年龄总和为142 岁，且他们的年龄恰好成等差数
列，若其中一位的年龄为47 岁，则这4 人中最年长者的年龄为（）。
A.65 岁
B.70 岁
C.83 岁
D.90 岁
2. (2020 河北)三个自然数成等差数列，公差为20，其和为4095。这三个数中最大的是：
A. 1345
B. 1365
C. 1385
D. 1405
3.（2022 浙江）某市举行庆典活动，将依次升空105 架无人机，升空方式如下：每架无
人机间距均相等，第一次升空n 架，第二次升空n-1 架，以此类推，最终在夜空中组成
一个近似等边三角形背景的灯光秀，那么第10 次升空的无人机数量是：
A. 3 架
B. 5 架
C. 8 架
D. 10 架
4. (2020 联考)红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前7 名的三科（语文、
数学、英语）平均成绩构成公差为1 的等差数列；第7、8、9 名的平均成绩既构成等差
数列，又构成等比数列。张龙位列第10，与第9 名相差1 分；张龙的英语成绩为121 分，
但老师登记为112 分。问张龙本应排在第几名?
A. 4
B. 5
C. 7
D. 8
5.（2023 国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7 天，从第二天开始每
84
一天都比前一天多生产200 件。已知工厂第三周的产量是第一周的2 倍，问第几天其日
产量第一次达到1 万件？
A.37
B.38
C.39
D.40
85
第九章最值问题
1. (2022 江苏)某机构对全运会收视情况进行调查，在1000 名受访者中，观看过乒乓球
比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000 名受访者中，
乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A. 310 人
B. 440 人
C. 620 人
D. 690 人
2. (2023 山东) 一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个梨，若每次从
袋子里随机取出1 个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10 个相同种类的水果？
A. 10
B. 35
C. 33
D. 32
3. (2024 深圳) 某早餐店推出“10 元2 件”套餐，顾客花费10 元即可在白粥、豆浆、
油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6 个品类中任选2 件，既可以选相同的，也可以选不同的。
则至少售出（
）份该套餐时，一定有2 份套餐的搭配完全一致。
A. 15
B. 16
C. 21
D. 22
4.(2018 四川)企业今年从全国6 所知名大学招聘了500 名应届生，从其中任意2 所大学
招聘的应届生数量均不相同。其中从A 大学招聘的应届生数量最少且正好为B 大学的一
半。从B 大学招聘的应届生数量为6 所大学中最多的。则该企业今年从A 大学至少招聘
了多少名应届生？
A.48
B.47
C.46
D.45
86
5. (2021 国考)某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已知每人申请金额都是
1000 元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，且任
意2 户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A. 1.5
B. 1.6
C. 1.7
D. 1.8
87
第十章容斥问题
1. (2020 联考)学校有300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同
时参加。如果80%的学生参加地理兴趣小组，50%的学生参加生物兴趣小组。问同时参加
地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？
A. 240
B. 150
C. 90
D. 60
2.（2019 江苏）市电视台向150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其
中108 人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观
众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是
A. 17
B. 22
C. 29
D. 38
3. (2022 天津)某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物
理及格的人数比化学及格的人数多10 人，且化学及格的人数占全班的60%。已知全班人
数不超过70 人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人?
A. 25
B. 26
C. 27
D. 28
4.（2014 国考）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周
六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的为只报名
参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：
A. 20%
B. 30%
C. 40%
D. 50%
5.（2018 联考）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象
88
中有180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学习，100 人利用移动设备进
行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50 人，同时使用两种方式学习的有20 人，
不存在三种方式学习都不用的人，那么，这次共发放了多少份问卷？
A.370
B.380
C.390
D.400
89
第十一章年龄问题
1. (2016 联考)已知赵先生的年龄是钱先生的年龄的2 倍，钱先生比孙先生小7 岁，三位
先生的年龄之和是小于70 的素数，且素数的各位数字之和为13，那么，赵、钱、孙三位
先生的年龄分别为
A. 30 岁，15 岁，22 岁
B. 36 岁，18 岁，13 岁
C. 28 岁，14 岁，25 岁
D. 14 岁，7 岁，46 岁
2. (2019 北京)2018 年父亲年龄是女儿年龄的6 倍，是母亲年龄的1.2 倍。已知女儿出
生当年（按0 岁计算）母亲24 岁，则哪一年父母年龄之和是女儿的4 倍？
A. 2036
B. 2039
C. 2042
D. 2045
3. (2024 国考) 2023 年王的年龄比张的年龄的2 倍小2 岁，2025 年张的年龄是李的年龄
的1.5 倍，2030 年张和李的年龄之和与王年龄相同。问3 人的年龄之和在哪一年第一次
超过120 岁？
A. 2037 年
B. 2036 年
C. 2035 年
D. 2034 年
4. (2022 浙江)2020 年时，李某的年龄是自己工龄的4 倍，且正好是张某年龄的2/3。到
2024 年时，张某的年龄正好是自己工龄的2 倍。已知张某参加工作时李某10 岁，那么李
某参加工作时的年龄是多少？
A. 18 岁
B. 21 岁
C. 24 岁
D. 27 岁
90
5.（2024 浙江）小张和小王的年龄之和为45 岁。5 年之后小李的年龄比小张的3 倍少16
岁。已知小张的年龄比小王小，那么再过5 年，3 人的平均年龄最大可能为多少岁？
A.45
B.48
C.50
D.54
91
第十二章溶液问题
1.（2017 天津）一份溶液，加入一定量的水后，浓度降到3%，再加入同样多的水后，浓
度降为2%，该溶液未加水时浓度是：
A.
6%
B.
4%
C.
5%
D.
4.5%
2. (2020 广东)现有浓度为4%的食盐水250 克，若向该食盐水添加10 克食盐，再蒸发掉
160 克水，则新获得的食盐水的浓度为：
A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%
3. (2022 深圳)实验室有甲、乙、丙3 瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员
将3 瓶溶液全部倒入一瓶中，得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的
1.5 倍，则丙溶液重量为甲溶液的（
）倍。
A. 4.5
B. 5.5
C. 6.5
D. 7.5
4. (2022 联考)将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸
发水份后溶液浓度变为36%且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器
内溶液浓度变为多少？
A. 24%
B. 28%
C. 30%
D. 32%
5.（2019 上海）一碗芝麻粉，第一次吃了半碗，然后用水加满搅匀；第二次喝了1/3 碗，
92
用水加满搅匀；第三次喝了1/6 碗，用水加满搅匀；最后一次全吃完。则最后一次吃下
的芝麻糊中芝麻粉含量是。
A.
1/6
B.
5/6
C.
1/18
D.
5/18
93
第十三章周期问题
1. (2023 广东)某单位共有8 名安保队员，并根据序号每天安排2 名队员轮流值班：第一
天由队员1、2 负责值班；第二天由队员3、4 负责值班······以此类推。如果队员3 今
天负责了值班，则他将在（
）天后再次负责值班。
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
2.（2021 黑龙江）甲乙丙三个志愿者共同照顾李奶奶，甲每4 天去一次，乙每5 天去一
次，丙每6 天去一次。如果他们三个于5 月5 日在李奶奶家同时见面，则他们三人下次
在李奶奶家同时见面的时间是：
A.7 月4 日
B.7 月5 日
C.9 月1 日
D.9 月2 日
3. (2023 上海) 某班有48 位同学，教室里有6 排，每排8 个座位。若在每个周一早上班
里同学按照如下要求换座位：①第一排同学换到最后一排，其他每排同学向前换一排；
②最左边一列的同学换到最右边一列，其他每列同学向左换一列。那么坐在第一排最左
边的同学经过（
）后首次回到第一排最左边。
A. 12 周
B. 24 周
C. 36 周
D. 48 周
4. (2024 国考)小张每周二、周五和周日固定参加骑行社团活动。某年9 月和10 月，小
张分别参加了13 次和14 次活动。问当年他最后一次参加活动是在哪一天？
A. 12 月31 日
B. 12 月30 日
94
C. 12 月29 日
D. 12 月28 日
5.（2021 广东）一条长20 厘米的纸带，先从左端开始涂上4 厘米红色，之后每间隔4 厘
米再涂4 厘米红色；再从右端开始涂上5 厘米绿色，之后每间隔5 厘米再涂5 厘米绿色，
则红绿色重叠的部分共有（）段。
A.4
B.3
C.2
D.1
95
参考答案
1.数学方法：倍数特性：BDCAB
方程法：CCBBB
CBACB
2.工程问题：DACAB
CBABA
3.费用问题：BACDB
BADAC
4.行程问题：CBBCC
DDBCC
5.几何问题：DDDCC
DBADC
6.排列组合：CABCB
DBDAB
7.概率问题：BCADD
BDBDD
8.数列问题：BCBBD
9.最值问题：ACDBB
10.容斥问题：CCCCD
11.年龄问题：ABDCA
12.溶液问题：ACDBD
13.周期问题：AABAC
96
数量关系刷题二
第一章倍数特性
1.(2023 北京)某单位3 个部门共有员工50 人，拥有中级工程师职称的人员比重为40%。
其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为45％和32%，则丙部门拥有
中级工程师职称的人员比重为：
A.60%
B.52%
C.44%
D.36%
2.(2020 新疆)某新型建材生产车间计划生产480 个建材，当生产任务完成一半时，暂时
停止生产，对器械进行维修清理，用时20 分钟。恢复生产后工作效率提高了三分之一，
结果完成任务时间比原计划提前了40 分钟，问对器械进行维修清理后每小时生产多少个
建材？
A.80
B.87
C.94
D.102
3.（2024 江苏）某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以上居民占1/12，
女性占7/16。若该居民楼30 岁及以上居民比30 岁以下居民多20 人，则30 岁以下居民
比50 岁及以上居民多：
A.30 人
B.27 人
C.23 人
D.20 人
4. (2023 联考)某高校今年共有231 名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录取人
数比上年度减少1/6，而考试录取人数比上年度增加31/150，总体录取人数比上年度高
97
10％，那么，这所高校今年推荐录取的研究生人数为：
A. 40 人
B. 45 人
C. 50 人
D. 55 人
5.（2024 国考）甲、乙、丙三个研发团队共有研发人员300 多人，其中甲的人数比乙多
26%。现丙调3 人去乙后，两个团队人数相同。问此时甲至少调多少人去丙后，才能保证
丙的人数是甲的2 倍以上？
A.
49
B.
35
C.
50
D.
40
98
第二章方程法
1. (2023 北京) 某公司去年的营业额比前年高20%，今年的营业额比去年高360 万元，
比前年高600 万元。这3 年的营业额一共是多少万元？
A. 4200
B. 4440
C. 4680
D. 4920
2. (2022 北京)某测试共有100 道题，答对一道题得3 分，不答或答错一道题扣2 分，小
张测试成绩为285 分，则他一共答对了多少道题？
A. 85
B. 90
C. 95
D. 97
3. (2024 国考)甲、乙、丙和丁四个汽车租赁公司可用汽车数量比为5:4:3:2，现甲公司
调度4 辆汽车到丙公司，丁公司调度1 辆汽车到乙公司后，丁公司可用汽车数量正好是
丙公司的60%。问此时甲公司的可用汽车数量比乙公司（）
A. 少22 辆
B. 多22 辆
C. 少12 辆
D. 多12 辆
4. (2023 联考)小林因病入院需挂瓶输液，上午9 点开始输液，输液袋上标有“容量300
毫升，每毫升15 滴”等药液信息。输液开始时，药液滴速为75 滴/分钟。输液5 分钟后
小林感觉身体不适，护士帮忙调整了药液滴速（调整时间不计），又继续输液10 分钟，
药液还剩235 毫升，那么输液结束的时间是：
A. 10 点26 分
B. 10 点18 分
C. 10 点14 分
D. 10 点10 分
99
5. (2023 联考)为了保护生态环境，某单位需要购买一批污水处理设备，总的预算不超过
120 万元。现有甲、乙两种类型设备可供选择，如果购买2 台甲型设备和3 台乙型设备，
将超出预算10 万元；若购买3 台甲型设备和2 台乙型设备，将结余10 万元。若该单位
最终购买5 台污水处理设备，问共有几种购买方案？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. (2022 青海)为了解决环卫、市政、绿化等户外作业人员吃饭难、休息难的问题。某城
市设置了若干个城管驿站。如果每个城管驿站服务80 人，那么有1080 名户外作业人员
无法得到服务；如果每个城管驿站服务100 人，那么就有四个驿站空置。若要满足全部
需求，则每个城管驿站至少要服务多少人？
A. 93
B. 94
C. 95
D. 96
7. (2024 联考) 某羽毛球俱乐部推出充值会员优惠活动，具体为月卡会员费用打八折，
年卡会员费用打七折，充值总时长1 年的月卡比1 年的年卡所需费用，打折前后分别多
88 元和100 元，问打折后充值18 个月的会员最少需要：
A. 不到340 元
B. 340-400 元之间
C. 400-460 元之间
D. 460 元以上
8. (2023 广东)某单位去年报名参加志愿活动的党员与非党员之比为1∶3。今年的报名
总人数提高了20%，党员与非党员之比为1∶2，党员人数比去年多了6 人。则今年该单
位报名参加志愿活动的党员共有（
）人。
A. 16
B. 24
C. 32
D. 48
100
9. (2021 四川)某工厂原有甲工种的人数是乙工种人数的2 倍，由于公司扩大产能，又招
聘了甲、乙两个工种的工人，且新招聘的甲工种人数是新招聘的乙工种人数的0.5 倍，
招聘后工厂中甲工种的人数是乙工种人数的1.5 倍，问新招聘的乙工种人数是原乙工种
人数的：
A. 1/3
B. 1/2
C. 2/3
D. 3/2
10. (2023 上海)
足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值主
裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30 秒，每次
换人增加20 秒，其他情况每次增加10 秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时
的时长为4 分30 秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共
计有10 次，那么下半场两队总共换了（
）人。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
101
第三章工程问题
1. (2020 山东)甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12 天，其中甲单独完成需要20
天。现8 月15 日开始施工，由甲工程队先单独做5 天，然后甲、乙两个工程队合作3 天，
剩下的由乙工程队单独完成，问工程完成的日期是：
A. 9 月5 日
B. 9 月6 日
C. 9 月7 日
D. 9 月8 日
2. (2023 国考)一项工作甲独立完成需要3 小时，乙独立完成的用时比其与甲合作完成多
4 小时，且乙和丙合作完成需要4 小时。问丙独立完成需要多少小时？
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
3. (2024 四川)
在一块玉米地中使用甲、乙两台自动播种机进行播种。如只使用甲播种
机需要12 小时，只使用乙播种机需要20 小时，计划同时使用两台播种机完成播种任务。
两台播种机共同播种3 小时后，乙播种机出现故障用时2 小时维修，修好后的效率降低
了20%，之后两台播种机共同工作直到任务完成。问实际播种时间比原计划多多长时间？
A. 不到1 小时
B. 1 小时-1 小时20 分之间
C. 1 小时20 分-1 小时40 分之间
D. 1 小时40 分以上
4. (2020 四川)某企业生产一批产品，计划在42 天内完成。先由甲、乙车间共同生产，
12 天后甲车间完成总任务的10%，乙车间完成总任务的15%。乙车间因设备整修，此后只
能以80%的效率工作。为按时完成任务，丙车间此时新加入工作。问其产能至少应是甲车
间的：
102
A. 100%
B. 80%
C. 60%
D. 50%
5. (2021 北京)农场使用甲、乙两款收割机各1 台收割一片麦田。已知甲的效率比乙高
25%，如安排甲先工作3 小时后乙加入，则再工作18 小时就可以完成收割任务。问如果
增加1 台效率比甲高40%的丙，3 台收割机同时开始工作，完成收割任务的用时在以下哪
个范围内？
A. 8 小时以内
B. 8—10 小时之间
C. 10—12 小时之间
D. 12 小时以上
6. (2020 广东)某单位甲、乙、丙三人负责整理一项档案，他们工作5 天完成了1/4，之
后甲和乙因其他工作被调离，两天后才返回，期间丙继续整理档案。已知甲、乙、丙三
人的工作效率之比为4∶3∶2，则完成这项工作共需要花费（
）天。
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
7. (2021 江苏)某机关甲、乙、丙三个部门参加植树造林活动，各部门植树的数量相同。
甲部门花10 天完成任务后，支援乙、丙两个部门各2 天，最终乙部门植树12 天完成，
丙部门15
天完成。若丙部门每天植树的数量比乙部门少4 棵，则甲部门每天植树的数
量是：
A. 30 棵
B. 40 棵
C. 50 棵
D. 60 棵
8. (2022 联考)甲、乙、丙三个工程队接到A、B 两个工程的施工任务。若由甲单独完成
103
B 工程需要30 天；若甲乙两队合作施工，则完成A 工程需要30 天，完成B 工程需要20
天；乙丙合作完成A 工程则需要24 天。现在三个工程队合作完成A、B 两个工程，多少
天可以完工？（不足1 天按1 天计算）
A. 24
B. 25
C. 26
D. 27
9. (2023 上海)
某超市设有10 个人工收银台。周末10 个收银台全开，顾客结账平均排
队20 分钟。为提高效率，超市撤了4 个人工收银台，并改造为6 个自助收银台。若自助
收银的效率是人工收银效率的90%。改造后，周末当人工收银台和自助收银台全开，预计
顾客结账平均排队耗时约为（
）。
A. 12 分钟
B. 14 分钟
C. 16 分钟
D. 18 分钟
10. (2022 江苏)出版社安排甲、乙、丙三人校对一本书，甲完成总任务的1/8 后，剩下
的分配给乙和丙。若乙的工作效率是丙的3/4，且两人完成工作所用时间相同，则乙的工
作量是总任务的：
A. 3/8
B. 21/32
C. 7/16
D. 1/2
104
第四章费用问题
1.（2023 北京）某种农作物原来亩产为600 千克，改进种植技术后，亩产增加100 千克，
且由于品质改善，每千克的售价提高1 元，每亩产值比之前增加1100 元。则原来每亩产
值是多少元?
A. 1800
B. 2100
C. 2400
D. 2700
2. (2021 浙江)超市采购一批食用油，其中玉米油每桶进价比花生油低20％，若花生油
利润定为进价的24％，玉米油利润定为进价的30％，则花生油比玉米油每桶售价高10
元。问玉米油每桶比花生油进价低多少元？
A. 10
B. 15
C. 24
D. 25
3. (2023 浙江)某商品上月售价为进价的1.4 倍，销售m 件。本月该商品进价下降20%，
售价不变，销售利润为上月的1.8 倍。那么本月的销量为多少件?
A. 1.3m
B. 1.25m
C. 1.2m
D. 1.15m
4. (2020 广东)某书店以每本30 元的价格购进一批书籍，按照每本50 元的价格出售。售
出3/4 后，某单位以每本40 元的价格将剩余书籍全部买下。经核算，书店出售这批书籍
共赚得420 元，则这批书籍总共有（
）本。
A. 16
B. 20
C. 24
D. 25
5. (2021 江苏)为促进旅游业复苏，今年8 月1 日起至年底，某景区门票价格在原定价的
基础上，工作日执行两折票价，双休日及法定节假日执行五折票价。预计门票打折后，
每天的游客人数均比原来翻一番，已知打折前该景区双休日平均每天的游客人数是工作
日的5 倍，则打折后，该景区一周（该周无法定节假日）的门票收入是打折前的：
105
A. 0.5 倍
B. 0.6 倍
C. 0.7 倍
D. 0.8 倍
6. (2024 国考)某地为工业企业提供相当于营业额2%的税收优惠，当地的A 工厂原本预
计当年会产生相当于营业额0.8%的亏损，在享受优惠政策后预计可以盈利300 万元。问
A 工厂当年的预计营业额为多少亿元?
A. 4
B. 3.6
C. 3
D. 2.5
7. (2023 深圳)
有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a：b 相混合制成一种拼配豆，已知
甲咖啡豆每公斤60 元，乙咖啡豆每公斤80 元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，
乙咖啡豆单价下降15%，以致该拼配咖啡豆的成本上调了5%，则a：b 为（
）。
A. 1：1
B. 5：3
C. 8：3
D. 2：1
8. (2022 联考)某城市燃气收费标准如下，一档：每户年度用气0~360 立方米（含360 立
方米），收费2.5 元/立方米；二档：每户年度用气360~600 立方米（含600 立方米），收
费3 元/立方米；三档：每户年度用气600 立方米以上，收费3.5 元/立方米。已知某用
户今年燃气费平均每立方米3 元，那么今年该用户二、三档燃气费平均每立方米多少元？
A. 3.1
B. 3.2
C. 3.3
D. 3.44
9.（2020 国考）某个项目由甲、乙两人共同投资，约定总利润10 万元以内的部分甲得
80%，10 万元～20 万元的部分甲得60%，20 万元以上的部分乙得60%。最终乙分得的利润
是甲的1.2 倍。问如果总利润减半，甲分得的利润比乙：
A.少1 万元
B.少2 万元
C.多1 万元
D.多2 万元
10.（2024 山东）某线上店铺将进货单价为8 元的商品按每件10 元出售，每天可销售100
件。该店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价每提高1 元，每天销售量就要减少
106
10 件，为保证每天至少获利350 元，问该商品售价应为多少？
A.不到13 元
B.13~15 元之间
C.15~17 元之间
D.17 元以上
107
第五章行程问题
1. (2019 广东)甲乙两人绕着周长为600 米的环形跑道跑步，他们从相同的起点同时同向
起跑。已知甲的速度为每秒4 米，乙的速度为每秒3 米，则当甲第一次回到起点时，乙
距离起点还有（）米。
A. 100
B. 150
C. 200
D. 250
2. (2022 四川) 从甲地到乙地全程为9 千米。其中前1/6 为下坡路；剩下路程中，前2/3
为平路，后1/3 为上坡路。小张从甲地到乙地，下坡路转平路、平路转上坡路时各休息5
分钟，下坡路、平路和上坡路的用时之比为1：4：5（休息时间不计）。已知他走上坡路
的速度为2 千米/小时，则其全程用时为：
A. 2 小时
B. 2 小时30 分钟
C. 2 小时40 分钟
D. 3 小时
3. (2024 联考)c 地为a、b 两地直线道路上的一点，甲、乙两人9：00 分别自a、b 两地
同时出发匀速相向而行，甲的速度是乙的1.5 倍，甲9：40 到达c 地休息10 分钟后继续
向b 地前进；乙全程不休息，在10：40 到达c 地，问甲、乙相遇的时间为：
A. 10：00
B. 10：10
C. 10：20
D. 10：30
4. (2024 联考)某校园围墙外的道路是一条边长为300 米的正方形（如下图所示），甲乙
两人分别从正方形的两个对角沿逆时针方向同时步行出发，两人速度比为9∶7。那么甲、
乙两人第一次处于同一条边是在哪一条边上？
108
A. AB
B. BC
C. CD
D. DA
5. (2023 深圳) 老杨、老朱和小张三人开展社区巡防工作，巡防路线固定，三人同时同
向出发，老杨开车，老朱骑自行车，小张走路。已知老杨每20 分钟追上小张一次，每40
分钟追上老朱一次，则老朱每（
）分钟追上小张一次。
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
6. (2023 国考)甲和乙两人8:00 同时从A 地出发前往B 地，其中乙全程匀速，甲出发时
的速度是乙的一半，但全程均匀加速。已知10:00 甲追上乙，11:00 甲到达B 地。问乙什
么时间到达B 地?
A. 12：15
B. 12：00
C. 11：45
D. 11：30
7. (2023 广东)某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞走到达
终点。一位选手在上午7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳和竞走的
速度分别为每小时2 千米、3 千米和6 千米。如果蛙跳和竞走的路程相同，则所有项目的
总路程是（
）。
A. 无法计算
B. 6 千米
C. 8 千米
D. 12 千米
109
8. (2022 北京)甲和乙同时出发，在长360 米的环形道路上沿同一方向各自匀速散步。甲
出发2 圈后第一次追上乙，又走了4 圈半第二次追上乙。则甲出发后走了多少米第一次
到达乙的出发点？
A. 160
B. 200
C. 240
D. 280
9. (2020 国考)一条圆形跑道长500 米，甲、乙两人从不同起点同时出发，均沿顺时针方
向匀速跑步。已知甲跑了600 米后第一次追上乙，此后甲加速20%继续前进，又跑了1200
米后第二次追上乙。问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点？
A. 100
B. 120
C. 150
D. 180
10.（2024 吉林）A、B 两地相距100 米，甲、乙两人分别从AB 两地同时出发，匀速相向
而行，相遇后，甲原路返回A 地，乙继续向A 前行，当甲、乙均到A 地结束。已知乙的
用时是甲的三倍，那么甲的速度是乙的：
A.2 倍
B.3 倍
C.4 倍
D.5 倍
110
第六章几何问题
1. (2023 深圳)
有一个圆柱体花瓶，装有5cm 深的水，花瓶的内底面直径为12cm，现
在往花瓶中放入一个玻璃球，当球掉入水底时，水面恰好与玻璃球相切，则玻璃球的半
径为（
）cm。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2. (2022 北京)一个圆形水库的半径为1 千米。一艘船从水库边的A 点出发，直线行驶1
千米后到达水库边的B 点，又从B 点出发直线行驶2 千米后到达水库边的C 点。则C 点
与A 点的直线距离最短可能为多少千米？
A. 不到1 千米
B. 1—1.3 千米之间
C. 1.3—1.6 千米之间
D. 超过1.6 千米
3. (2024 国考)设计师将一个正方形的大厅分给如下图所示的几个区域，已知所有的三角
形都是等腰直角三角形，梯形都是等腰梯形，且所有三角形和梯形面积均相等。在三角
形的区域铺设地砖，在中间的正方形区域铺设木地板。问地砖和木地板的面积比是多少？
A. 2:3
B. 4:3
C. 8:9
D. 16:9
111
4. (2022 浙江)A、B 两个乡镇分布于山谷两侧,山谷间有一条宽为2km 的河道（如下图所
示）。当地政府决定在两个乡镇间修建一条跨河公路促进旅游发展。由于架桥费用高昂，
所以要求跨河公路中的桥梁路段长度最短。那么根据图中数据，从A 镇前往B 镇的最短
距离为:
A. 17km
B. 15km
C. 19km
D. 20km
5. (2023 联考)某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水池。经
测算，蓄水池底部造价为260 元/平方米，侧面造价为180 元/平方米。那么该水池的最
低总造价为：
A. 11440 元
B. 25920 元
C. 26640 元
D. 31680 元
6. (2022 浙江)某商场为庆祝开业三周年，制作了一个长方形大蛋糕，并切成四块，如图
所示。假设这个蛋糕可供350 人享用，左下角那块蛋糕平均可供50 人享用，右上角那块
蛋糕平均可供70 人，则中间最大块蛋糕平均可供多少人享用？
A. 150
B. 155
C. 175
D. 180
112
7. (2022 江苏)如图所示，某主题公园将一块正方形的地面按七巧板图案设计，其中平行
四边形1 个、正方形1 个、等腰直角三角形5 个，并用油漆将七块区域刷成不同的颜色。
若每种颜色的油漆单价相同，平行四边形区域的油漆费用为200 元，则整块地面的油漆
费用为：
A. 1200 元
B. 1600 元
C. 2000 元
D. 2400 元
8. (2023 联考)边长为10 厘米的正方形ABCD 如下图所示，E 为正方形中某一点，已知AE
长8 厘米，BE 长6 厘米，问三角形ADE 的面积为多少平方厘米？
A. 24
B. 32
C. 44
D. 48
9. (2024 联考)
莱洛三角形是以等边三角形三个顶点为圆心，边长为半径，在顶点的对
边画弧所得的封闭图形，这种形状的钻头可钻出四角为圆弧的正方形的孔洞（如左下图
所示）。现将某莱洛三角形钻头所钻孔洞近似为正方形，测得该正方形孔洞截面积为25cm
113
²（如右下图所示），则该钻头的截面积为：
A.
B.
C.
D.
10. (2024 联考)气象学中，24 小时内降落在某面积上的雨水深度叫做日降雨量（不考虑
渗漏、蒸发、流失等损耗，单位：mm），将日降雨量记为w，其等级划分如下：小雨（0.1
≤w＜10），中雨（10≤w＜25），大雨（25≤w＜50），暴雨（50≤w＜100）。某地某日用一
个圆锥形容器接了24 小时的雨水（如下图所示），则该地日降雨量等级是：
A. 小雨
B. 中雨
C. 大雨
D. 暴雨
114
第七章排列组合
1.（2024 山东）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分队赴西部地区开展对口支援工
作。该医院现有6 名男医生和3 名女医生报名，现从9 人中抽取一组男女医生都有的3
人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63
B.70
C.73
D.60
2. (2023 联考)世界非物质文化遗产高峰论坛召开记者会，共有10 家国内媒体和4 家国
外媒体参加。组委会从中选出3 家媒体回答他们的问题，要求这3 家媒体中既有国内媒
体又有国外媒体，且国内外媒体交叉提问，则不同的提问方式有：
A. 240 种
B. 360 种
C. 480 种
D. 1440 种
3.（2024 江苏）某公司派出5 名人力资源专员去2 个一线城市和2 个二线城市参加秋季
招聘会。若每名专员只去其中1 个城市，每个一线城市至少派1 名专员，每个二线城市
只派1 名专员，则不同的派出方法共有（）。
A.60 种
B.72 种
C.120 种
D.144 种
4. (2024 联考) 为弘扬耕读文化，某校打造多样化“校外+校内”耕读文化教育基地，有
种植、绘画、编织、美食四个主题基地供同学们选学。假设每位学生选择1 个主题基地
参与学习，那么甲、乙、丙、丁4 名学生中至少有3 名学生选择不同主题基地的方法有
多少种？
115
A. 24
B. 60
C. 144
D. 168
5. (2023 联考)712934856 是一个包含1 至9 每个数字恰好一次的九位数，它具有以下特
征：数字1 至6 在其中是从小到大排列的，但是数字1 至7 不是从小到大排列的。则符
合这种特征的九位数共有多少个？
A. 12
B. 336
C. 432
D. 504
6. (2023 联考)如图所示，一面墙被分成A、B、C、D 四块，现有4 种不同的颜色，要求
在每一块里涂上一种颜色且相邻的两块颜色不相同（可以使用少于4 种颜色），问有几种
不同的涂法？
A. 84
B. 64
C. 36
D. 24
7. (2024 国考)公司有六个编号依次为1-6 的研发团队，现安排这6 个团队参与甲，乙两
个科研课题，要求每个团队参与一个课题。每个课题最少安排2 个团队，每个课题安排
一个团队负责，且负责团队不能是该课题所有参与团队中编号最小的团队。问，有多少
种不同的安排方式？
A. 300
B. 340
C. 150
D. 170
116
8. (2020 联考)某美术馆计划展出12 幅不同的画，其中有3 幅油画、4 幅国画、5 幅水彩
画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少
种不同的陈列方式？
A. 不到1 万种
B. 1 万—2 万种之间
C. 2 万—3 万种之间
D. 超过3 万种
9. (2023 联考)某空军基地举行飞行训练，有8 架歼击机、3 架预警直升机、2 架反潜直
升机参与训练，每架飞机编号不同。训练时，需派出3 架歼击机、2 架预警直升机、1 架
反潜直升机进行起降飞行。若每次只能起飞1 架飞机，其中3 架歼击机必须相邻起飞，2
架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的起飞方式有多少种？
A. 504
B. 4032
C. 8064
D. 24192
10. (2024 深圳)
有如下图所示的飞镖盘，当飞镖落到数字标示的扇形区域，可得相应
分数，否则记0 分，每个区域可落有多支飞镖。若一次性射出三支飞镖，恰好得到30 分，
则共有（
）种得分组合。
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
117
第八章概率问题
1. (2023 联考)抛掷两颗质地均匀的骰子，记录向上的面出现的数字，那么这两个数字之
和等于8 的概率是：
A. 5/36
B. 1/6
C. 1/12
D. 5/24
2. (2023 四川)某次投篮训练中，小王一共投篮45 次，前25 次命中率为64%，前20 次
和后20 次的命中率相同，中间5 次全部投中，则他最终命中的次数是：
A. 23
B. 25
C. 27
D. 29
3. (2023 联考)某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三个车间的产量分
别占总产量的5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率依次为4%、3%、2%。任取
一件产品，取到次品为乙车间制造的概率是
A. 15%
B. 45%
C. 75%
D. 85%
4. (2023 国考)某次招标活动中，甲、乙、丙、丁、戊和己6 家投标企业依次对自己的设
计进行讲解。已知甲和乙均不能安排在第一个或最后一个，丙只能安排在第三个或第四
个，如在满足以上条件的次序中随机选择一个，则丁和戊的讲解次序相邻的概率为：
A. 2/9
B. 1/5
C. 2/7
D. 1/4
118
5. (2024 国考)甲、乙等36 人分为6 个小组参加某项活动，要求任意2 组人数不同，每
个组都不少于3 人，且任何一组人数不得超过另一组的3 倍。问甲和乙至少有1 人分到
人数第二多的小组的概率为（
）
A. 35%
B. 40%
C. 25%
D. 30%
6. (2023 联考)某种商品有小、中、大三种包装规格，每箱分别装有10 件、20 件和30
件这种商品。如果订货量为10 的整数倍，则商家在所有总件数等同于订货件数的整箱组
合中随机选择一种发货。已知某笔订单订购了70 件这种商品，则该商家发出的货物中包
含至少1 箱大包装的概率为：
A. 62.5%
B. 50%
C. 37.5%
D. 25%
7. (2020 山东)在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了
银行卡密码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不
同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是：
A. 3/20
B. 1/5
C. 1/9
D. 2/9
8. (2021 上海)小李抽盲盒，这类盲盒一共有8 款，小李只要其中的1 款，他一次买了两
个盲盒，则抽中他想要的那款的概率是（）。
A. 1/64
B. 7/32
C. 15/64
D. 1/4
119
9. (2020 北京)某单位的一个科室从10 名职工中随机挑选2 人去听报告，要求女职工人
数不得少于1 人。已知该科室女职工比男职工多2 人，小张和小刘都是该科室的女性职
工，则她们同时被选上的概率在以下哪个范围内？
A. 3%到5%之间
B. 小于2%
C. 2%到3%之间
D. 大于5%
10. (2022 江苏)小王和小李进行七局四胜的乒乓球比赛，两人水平相当，每局胜对方的
概率都是1/2。若前三局过后小王获胜的概率是11/16，则她前三局的胜负情况是
A. 胜3 局
B. 胜2 局、负1 局
C. 负3 局
D. 胜1 局、负2 局
120
第九章最值问题
1.（2019 国考）有100 名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、差四
个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2 倍。今年考核结果为良及以下的人员占
比比去年低15 个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人？
A. 55
B. 65
C. 75
D. 85
2. (2023 浙江)某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个不同的数字，
每个数字均出现4 次，且分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天限
抽1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，才能保证至少有3 人领取的礼品相同?
A. 41
B. 42
C. 61
D. 62
3. (2024 四川)
某单位每名党员每周六都被随机安排到甲、乙、丙三个社区中的一个开
展志愿服务（同一个社区可以连续前往）。已知任意连续的3 个周六中，都能保证至少3
名党员的志愿服务行程完全相同。问该单位至少有多少名党员？
A. 55
B. 52
C. 24
D. 21
4. (2021 广东)某街道服务中心的80 名职工通过相互投票选出6 名年度优秀职工，每人
都只投一票，最终A、B、C、D、E、F 这6 人当选。已知A 票数最多，共获得20 张选票；
B、C 两人的票数相同，并列第2；D、E 两人票数也相同，并列第3；F 获得10 张选票，
排在第4。那么B、C 获得的选票最多为（
）张。
A. 11
B. 12
121
C. 13
D. 14
5. (2020 联考)从某物流园区开出6 辆货车，这6 辆货车的平均装货量为62 吨，已知每
辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71 吨，最轻的装载了54 吨。问这6
辆货车中装货第三重的卡车至少装载了多少吨?
A. 59
B. 60
C. 61
D. 62
122
第十章容斥问题
1.（2021 浙江）某社区为受灾地区捐款捐物，有80%的人员参加了此项活动，30%的人员
捐了物品，70%的人员捐了款，则该社区既捐物品又捐款的人员占该社区人员的比例为多
少？
A.15%
B.20%
C.21%
D.25%
2. (2023 浙江)某班级对70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个
科目均不及格。已知有2/3 的学生英语及格，数学及格的学生比英语多10 人，那两科均
及格的学生有多少人？
A. 31
B. 37
C. 41
D. 44
3. (2020 深圳)某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香肠以研
究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3 倍，
而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒
数量的（
）。
A. 1/5
B. 3/10
C. 2/13
D. 4/15
4. (2020 深圳)某翻译团队中，每名译员都擅长英语、日语、俄语中的至少一门语言。经
统计，擅长英语的有17 人，擅长日语的有21 人，擅长俄语的有23 人；擅长英语和日语
的有7 人，擅长英语和俄语的有6 人，擅长日语和俄语的有6 人；擅长三门语言的仅占
总人数的十五分之一，则仅擅长英语的译员有（
）人。
123
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5. (2024 深圳)
某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进行调
查，共725 名学生参与调查，可选其中0 至3 项。结果显示，选择司法机关、律所、企
业的学生分别有360 人、380 人、237 人，3 项都选的学生有60 人，3 项都不选的学生有
8 人，则仅选择其中1 项的学生有（
）人。
A. 517
B. 516
C. 515
D. 514
124
参考答案
1.倍数特性：AAACC
2.方程法：
BDDCC
CBABA
3.工程问题：BDBBC
CADDA
4.费用问题：CACCD
DCCCB
5.行程问题：BCBDB
CBADD
6.几何问题：ADCBC
BBBAB
7.排列组合：ACCDC
ADDDC
8.概率问题：ACCAB
BACCB
9.最值问题：BAADB
10.容斥问题：BDCDA
