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2024 年高考考前信息必刷卷 04（上海专用）
数 学
2023届上海首次新教材数学高考的平均分的统计数据，平均分为 106分，要比以往老教材高考要高6分
到10分，也就导致了2023届上海高考的分数整体上涨。录取位次提高。究其原因，主要原因就是新教
材的第一届，摸不准同学对于新教材难点内容的掌握情况，核心就是“导数”部分，“导数”题目最终
和“数列”二合一成了最后一道压轴题，比历届纯数列压轴题目难度有所降低。
类似情况还出现在2017年首次上海“新高考”中的物理和化学的赋分制等级考中，难度也比较低。后
续就逐渐增加难度了。
再结合2024届上海高考人数会继续小幅上涨，预计接近6万人，以及高考难度的“大小年”因此对于
2024届上海高考数学的难度，变数也比较大。预计难度有所提高。主要就是关注“导数”题型的难度变
化。
大题预估：立体几何+ 统计概率 + 圆锥曲线 + 导数综合 + 数列综合
【备注】其中导数综合和数列综合可以互相颠倒为最后的压轴题
一．填空题（共12小题）
1．（2024•浦东新区校级模拟）设 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 ．
2．（2024春•文安县校级月考）函数 的值域为 ．
3．（2023秋•闵行区校级期末）已知 ，则 ．
4．（2024•平罗县校级一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ．
5 ． （ 2024• 浦 东 新 区 校 级 模 拟 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若
，则 ．
6．（2023春•西安月考）在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，
则 的取值范围为 ．
7．（2022•苏州模拟）过点 ，且圆心与已知圆 相同的圆的一般方程为
．
8．（2024•嘉定区校级模拟）高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：
，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第 70百分位数的概率是 ．
9．（2024春•长宁区校级月考）盒子中有大小与质地相同的 8只红球和2只黑球，每次从中任取一个球，
不放回地连续取两次，则事件“取出的两只球一只是红球，一只是黑球”的概率是 ．
10．（2024•闵行区校级开学）在 中， ，则当 取最大值时， ．
11．（2022•南京模拟）在 的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则 的值为 ，
展开式中系数最大的项为 ．
12．（2024•徐汇区校级开学）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半
径的球面所形成的交线的长度为 ．
二．选择题（共4小题）
13．（2023•枣庄二模）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
14．（2024•浦东新区校级模拟）从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：
，所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是
A．甲乙两班同学身高的极差相等
B．甲乙两班同学身高的平均值相等
C．甲乙两班同学身高的中位数相等
D．乙班同学身高在 以上的人数较多
15．（2022•马鞍山模拟）函数 在区间 ， 上恰有两个最小值点，则 的取值
范围为
A． B． ， C． D．
16．（2023秋•温州期中）已知曲线 的方程为 ，则下列说法不正确的是
A．无论 取何值，曲线 都关于原点成中心对称
B．无论 取何值，曲线 关于直线 和 对称
C．存在唯一的实数 使得曲线 表示两条直线
D．当 时，曲线 上任意两点间的距离的最大值为三．解答题（共5小题）
17 ． （ 2024• 普 陀 区 校 级 开 学 ） 如 图 ， 在 底 面 为 菱 形 的 直 四 棱 柱 中 ，
， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成夹角的大小．
18．（2024•浦东新区校级模拟）乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．
在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利
的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲
运动员每局比赛获胜的概率为 ，每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响．
（1）若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为 ，求乙每局比赛获胜的概率；
（2）若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为 ，求 的分布列和数学期望
，并求当 为何值时， 最大．19．（2023•徐汇区二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与椭圆 交于 、 两点 点在 点的上方），与 轴交于点 ．
（1）当 时，点 为椭圆 上除顶点外任一点，求△ 的周长；
（2）当 且直线 过点 时，设 ， ，求证： 为定值，并求出该值；
（3）若椭圆 的离心率为 ，当 为何值时， 恒为定值；并求此时 面积的最大值．
20．（2024•普陀区校级开学）对三次函数 ， ，如果其存在三个实根 ， ，
，则有 ．称为三次方程根与系数关系．
（1）对三次函数 ，设 ，存在 ，满足 ．
证明：存在 ，使得 ；
（2）称 是 ， 上的广义正弦函数当且仅当 存在极值点 ， ，使得 ，
， ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 是 第 一 象 限 上 一 点 ， 设
．已知 在 上有两根 ．
证明： 在 上存在两个极值点的充要条件是 ；
求点 组成的点集，满足 是 ， 上的广义正弦函数．21．（2023•宝山区校级模拟）已知正项数列 ， 满足：对任意正整数 ，都有 ， ， 成等差
数列， ， ， 成等比数列，且 ， ．
（Ⅰ）求证：数列 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，如果对任意正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
