陪娃读完《数学家讲解小学数学》第一章:数字是怎么写出来的?

我们最近开始陪孩子精读《数学家讲解小学数学》这本书——它一共有四十二章。我们打算一章一章读，把每章的要点、孩子要掌握的目标、还有"今晚就能玩"的小方法，整理成摘要分享给各位家长。

这篇是第一章。这一章解决的，是最"基础"、却也最要紧的问题：数字，到底是怎么来的？

1.1 怎样记数（全章最重的考点）

阿拉伯数字记数法，其实只有两条例：第一，只听用 0 到 9 这几个符号；第二，靠把符号放在不同的位置，写出所有的数。

数到 9，十个符号就会用完了，怎么办？——在左边加一个位置，专门用来记下"这一轮符号已经用了多少遍"。所以 38 里的 3，就是已经数完了 3 整行，每行 10 个，一共 30；照这个思路一直往左加位置，百位、千位……就都有了。

书里还讲"跳着数"：每步跳 10，跳 10 步到 100；每步跳 100，跳 10 步到 1000。最后用数数来理解加法：4+5，就是 4 出发往后走 5 步。

这一节还专门让读者做一个小实验：只准用 0、1、2 三个符号，数出来的数会变成这样——

0、1、2、10、11、12、20、21、22、100……

注意。这里的 10 就是"三"，不是十。为什么要试这种数法？为的是看清楚：位值法的道理，跟用几个符号没有关系——几个符号，就满几进一。

麦麦要懂得：能自己说出"9 后面没有新符号了，所以要往左加一位"；能说出 38 里的 3 为什么是 30；能只用 0、1、2 三个符号接着往下数，数到 100。

1.2 位值制

同一个数字，放在不同的位置，代表的大小不一样，这就是它的"位值"。比如 728，就是从 700 出发，再走 20 步，再走 8 步，所以 728 = 700 + 20 + 8；这个式子叫展开式。

书里拿罗马数字做对照：罗马数字 XXXIII 里面，三个 X 无论放哪儿都是 10，整个数是 10+10+10+1+1+1；而我们的 111 就不一样了——三个 1 分别表示 100、10、1。同样是重复，一个"看位置"，一个"不看位置"。

麦麦要懂得：会写展开式，包括中间有 0 的数，比如 3065 = 3000 + 60 + 5；知道罗马数字的符号不看位置，并能说出它跟我们的记法哪里不一样。

1.3 符号语言的使用

这一节讲一个写习惯：用字母或符号，把一大串话"压缩"成一句，就像平时用简称。

作者认为，孩子最迟上到四年级，就该开始习惯用符号。而二年级的麦麦，只需要接受最入门的一步：方块或者字母也可以代表一个数，比如 □+5=12。

1.4 数轴

画一条直线，先写一个 0，再往右每隔相同距离标 1、2、3……这就是数轴。数数，就是在一条线上一步一步往右走。

从 0 到 1 这一段，叫"单位长度"；它一定下来，整条数轴就确定了。加法在数轴上看是一致的：把两段接成一段看总长，比如 4+7，就是 4 往右走 7 格，走到 11。

麦麦要懂得：会自己画数轴，格子要一样宽；能用"走格子"的办法，在数轴上表示加法。

1.5 比较大小（初步）

"大于"是什么意思？数数的时候排在后面；在数轴上，就是落在更靠右的位置。

两条实用结论：位数多的数一定更大，因为最大的三位数 999 数完，才轮到 1000；位数一样时，从左往右一位一位对比，第一个不同数字就决定谁大谁小。

麦麦要懂得：比较 7001 和 5897，不能只说"看起来大"，要会讲理由，比如"5897 在 5999 前面，5999 后面才是 6000，7001 还在 6000 后面，所以 7001 大"。

1.6 乘法和数

乘法就是"相同数相加"的缩写。书里约定：3×5 表示 3 个 5 相加，也就是 5+5+5。

接下来搭台阶：10 个 10 是 100，10 个 100 是 1000，所以 1000 = 10×10×10。这样，大数的展开式就能写成"几个 1000 + 几个 100 + ……"，更难得的是——每往左一格，位值都是右边一格的 10 倍；至于用"10 的几次方"来写，那是后面的事，二年级不用学。

麦麦要懂得：知道 3×5 就是 3 个 5；能说得出 3000 就是 3 个 1000；知道每往左移一位，数就会变成 10 倍。

1.7 关于 0

这一节只讲两件事：第一次，37×1000 为什么等于 37000？因为 37 个 1000，就是 30 个 1000 加 7 个 1000。

第二次，在数的左边加 0 不改变大小，075 就是 75；但中间的 0 是占位用的，绝对不能省。

麦麦要懂得：能说出 305 里的 0 为什么不能去掉——去掉就变成 35 了；也知道 075 和 75 是同一个数。

1.8 阿拉伯记数法的来历

这一节是历史故事。通常的说法是：印度人发明，阿拉伯人传过去。但作者提醒我们：中国最晚在公元 200 年用算筹记数，就已经是十进制位值制了——除了没有 0 到 9 这十个字的写法，其他和今天一模一样。

玛雅人也用过位值制，不过用了大约二十个符号，比较笨重；阿拉伯数字只用十个符号，正好对上我们的十根手指，所以流传得最广。

麦麦要记得：这一节当历史故事听就好，只需记住一句："中国古代的算筹，也是满十进一。"

本章"合格线"

什么时候算过了一个章？麦麦能用自己的话讲清楚"38 里的 3 为什么是 30"，并且能只用 0、1、2 三个符号数到 100 以后——就当我们拿到香蕉了。

今晚就能玩的两个小游戏

游戏一：三个符号数数。规定她只能写 0、1、2，拿小石子一颗一颗往上加。每加一颗，让她写下"现在是几"。数到第 3 颗，她一定会卡住——这时候先不要帮忙，让她自己想；想出"往左加一位"，就是成功。

游戏二：和罗马数字比一比。先一起写 23（XXIII）和 33（XXXII），再随口问：把 2 和 3 换个位置，我们的数字意思变了吗？把 X 往动一个位置，罗马数字的意思变了吗？被比较之后，孩子会自动"悟"到位值。

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