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中英双语|高中物理:带电小球为什么不在最高点最慢?Why Isn't the Charged Ball Slowest at the Top?
一道高二物理经典题
中英双语｜带电小球做圆周运动：最慢点为什么不在最高点？
学高中物理，有时最容易出错的，不是计算，而是凭经验判断位置。
例如，竖直圆周运动中的小球，速度最小的位置一定是最高点吗？
如果小球还受到水平电场力，答案就要重新分析。
In a vertical circle, is the ball always slowest at the highest point? Not when another force, such as an electric force, also does work.
一、先看题目中的力
First, Identify the Forces
一根细线拉着带正电小球，在竖直平面内做圆周运动。小球质量为 m，圆周半径为 R。空间中有水平向右的匀强电场，电场强度 E＝3mg／4q。
小球受到三个力：
① 重力 mg，竖直向下；② 电场力 qE＝3mg／4，水平向右；③ 细线拉力 T，始终沿细线指向圆心。
A positively charged ball experiences gravity downward, an electric force to the right, and string tension toward the centre.
重力和电场力都是方向不变的恒力。由“3、4、5”直角三角形可知，它们的合力大小为：
F合＝√［（mg）²＋（3mg／4）²］＝5mg／4
合力指向右下方。
二、经过最高点 A 时，细线受力多大？
What Is the Tension in the String at the Highest Point A?
小球经过 A 点时，速度水平向左，大小为 v₀。此时圆心在小球正下方，所以向心方向竖直向下。
重力和细线拉力都沿向心方向；电场力水平向右，在这一瞬间没有径向分量。
因此：
mg＋T＝mv₀²／R
解得：
T＝mv₀²／R－mg
题目问“小球对细线的作用力”，它与“细线对小球的拉力”大小相等。所以第一问的答案是：
小球对细线的作用力大小＝mv₀²／R－mg
At point A, gravity and tension both point toward the centre. The electric force has no radial component at that instant.
注意：电场力没有写进这个向心力方程，并不意味着它没有作用。小球向左运动，电场力向右，它正在使小球减速。
三、最小速度为什么出现在左上方？
Why Is the Ball Slowest at the Upper-Left Point?
不少同学会凭印象说：“圆周最高点 A，速度一定最小。”
但这道题既有重力做功，也有电场力做功。只看高度，就漏掉了电场力。
把重力和电场力合起来看：合力指向右下方。那么，在圆周上与合力方向相反的左上方，有一个点 C。小球运动到 C 时，重力和电场力对应的总势能最大，动能最小，所以速度最小。
The slowest point C lies opposite the direction of the combined gravitational and electric force. It is above and to the left of the centre.
以圆心 O 为原点，向右、向上分别为坐标正方向。利用“3、4、5”关系：
A 点坐标为（0，R）；
C 点坐标为（－3R／5，4R／5）。
从 A 到 C，小球下降了 R／5，所以重力做正功：
W重＝mgR／5。
同时，小球向左移动了 3R／5，而电场力向右，所以电场力做负功：
W电＝－qE×3R／5 ＝－（3mg／4）×（3R／5） ＝－9mgR／20
两力做的总功为：
W合＝mgR／5－9mgR／20 ＝－mgR／4
细线拉力始终垂直于小球的瞬时运动方向，不做功。根据动能定理：
½mvC²－½mv₀²＝－mgR／4
整理得到：
vC²＝v₀²－gR／2
所以，小球做圆周运动时的最小速率为：
v最小＝√（v₀²－gR／2）
这里最值得理解的是：C 点虽然比 A 点低，重力做了正功，但电场力做的负功更多。小球的动能总体减少，因此 C 点比 A 点更慢。
Although C is lower than A, the electric force removes more kinetic energy than gravity adds.
【给学有余力的同学】
题目已说明细线拉着小球做圆周运动。细线只能拉、不能推，因此还要保证它没有松弛。
在 C 点，重力与电场力的合力指向圆心，细线拉力也指向圆心：
T＋5mg／4＝mvC²／R
由 T≥0，可得 vC²≥5gR／4。再代入 vC²＝v₀²－gR／2，得到：
v₀²≥7gR／4
这说明：“算出的速度有实数值”和“小球能够保持细线约束下的圆周运动”，是两项不同的检查。
四、在 A 点剪断细线后，何时电势能最大？
After the String Is Cut at A, When Is the Electric Potential Energy Greatest?
剪断细线后，拉力消失。小球只受到重力和电场力：
水平方向：电场力向右；竖直方向：重力向下。
小球最初水平向左运动。对带正电的小球来说，向左移动时，电场力做负功，电势能增加。
因此，小球到达轨迹的最左位置时，电势能最大。此刻它的水平速度恰好为零。
After the string is cut, electric potential energy reaches its maximum at the leftmost point, where the horizontal velocity becomes zero.
水平方向的加速度大小为：
aₓ＝qE／m＝3g／4
取向右为正方向，初速度为－v₀。由水平速度公式：
0＝－v₀＋（3g／4）t，
解得：
t＝4v₀／3g
竖直方向初速度为零。经过这段时间，竖直速度的大小为：
|vᵧ|＝gt＝4v₀／3
由于最左位置的水平速度为零，小球此时的速率就是竖直速度的大小：
v＝4v₀／3
【规范解题过程】
五、这道题给我们的三个提醒
Three Key Takeaways from This Problem
第一，求细线拉力，先找圆心方向，再列向心力方程。
第二，求最小速度，要看所有做功的力。遇到电场力时，不能机械套用“最高点最慢”。
第三，求电势能最大的位置，只看电场力做功。这一问对应的是“最左位置”，不是“最高位置”。
先辨方向，再选规律，最后检查运动条件。综合题也可以一步一步拆开。
——侨都学习方法笔记让优秀成为一种习惯
— Qiaodu Learning Methods NotesMake Excellence a Habit.
【文末练一练】
刚才的题目中，我们把重力和电场力合起来，找到了圆周运动的最慢点。
再看上面这道相似题：小球先在电场中静止，随后剪断细线，最后电场方向还发生了改变。同样是带电小球，你能根据不同阶段，选对分析方法吗？
先别急着计算。试着完成三步：
① 静止时，画出小球的受力图；
② 剪断细线后，分别分析水平和竖直方向的运动；
③ 电场改为竖直向上后，判断哪些力做功。
Try this related problem: start with a force diagram, then analyse the motion after the string is cut, and finally consider how changing the electric field affects the work done.
欢迎在评论区写下第（1）问的受力关系式，或说说第（3）问你准备怎样求最低点的速度。