广东2025中考数学压轴真题解析和答案(23题)——“中外比点”竞风流,“黄金分割”把人愁

这道2025年中考压轴23题，唉，每次提起此题都是我的意难平，因为就是我女儿他们那届中考的真题啊。

去年7月1日下午5点后，她们数学刚考完，我们在网上就可以观摩到题目真容了，我当时还一阵窃喜，不知道走什么狗屎运，居然被我猜中一个压轴题。

应该是在6月25日左右（反正就是临考前一星期），我跟我女儿刚好分享了有关黄金分割点以及黄金三角形的知识点，重点讲了如何在一个含有30°为顶角，两个底角为75°的等腰三角形中，利用三角形相似做出黄金分割点和黄金三角形。

没想到考试真来这个知识点，而且还是最后的压轴大题，我还偷乐着说：“我们家娃这数学应该可以比别人多拿5-8分”。

哪知道，一考试完我女儿打电话跟我说：“老爸，最后那个题我后面两问我也没做出来”，我哭笑不得：“我不是前几天跟你讲过那个黄金三角形啊，你忘了吗”，她说：“我真的忘了！”。

我彻底无语了，空欢喜一场。后来，我冷静一想，也对啊，娃也不是神童，再加上黄金三角形，那也是一个冷门知识点，谁会想那么多就一定会考。

当然，中考真题包装了一个新定义，叫中外比点，所以把很多小孩给唬住了，就没想到是黄金分割点。所以说，广东2025的中考数学卷还真是水平高，上题刚刚考了证明勾股定理，已经搞得很多学生一头包，如今又搞个中外比点，这是不想让娃考高分的节奏啊，关键他还把尺规作图放在第二问，所以，大多数人基本就被卡住了，根本没法聚焦来思考第三问内容，因此，本题拿分率也是很低的。具体题目如下：

第一问，相对来讲不算太难，学生只要考到当时还没有完全懵圈，应该都能拿下。主要根据中外比点的定义利用比例式进行计算：

MN/MP=MP/NP，只需要把MP=MN-PN，替换一下就可解这个比例式，变型即为（MN-PN）²=MN*PN，（2-PN）²=2PN，4-4PN+PN²=2PN。

解得：PN1=3-√5，因为PN﹤MN=2，所以，PN2=3+√5（舍去），所以，PN=3-√5符合题意。

第二问，考查学生尺规作图，其实就是根据中外比点大线段/整体线段的比值=（√5-1)/2来进行尺规作图，如何根据给定一条直线段AB来把（√5-1)/2在图上表示出来，我们根据直角三角形三边关系为1：2：√5来进行构图。

首先，利用尺规做出线段AB的中垂线，然后再延长线段AB，再过B点作AB的垂线，并且在AB上方截取垂线等于1/2AB,这样连接这个斜边，1：2：√5的直角三角形就完成了，利用圆规再在斜边上方截取出1/2AB，则√5-1也完成了，然后在AB上截取√5-1，则这个截取点就是其中一个中外比点。这其实还是需要学生把直角三角形的基本性质用尺规给表达出来。

第三问，把一个矩形和一个反比例函数图像相交放在第一象限，然后形成的三角形根据给定条件为等腰直角三角形时，来证明3个交点是否是三条线段的中外比点。根据题意，符合题目要求的等腰三角形△ODE只有两种情况，所以我们分两种情况进行分类讨论：

①当∠OED=90°，则OD=ED。依据一线三垂直性质，则有RT△CEO≌RT△BDE，因此，BE=CO，BD=CE，设CE=BD=m，CO=BE=n，则CB=OA=m+n，AD=BA-BD=n-m。

因为，E、F、D均为过y=k/x的图像上的点，因此，

对于点A：k=x*y=CE*CO=m*n

对于点B：k=x*y=DA*OA=（n-m）*（m+n）=n²-m²

联立上述等式：m*n=n²-m²，即n²-m²-mn=0。

整理可得：（m/n）²+m/n-1=0，解得m/n=（√5-1)/2，即为CE/BE=m/n=（√5-1)/2，另有BE/BC=n/(n+m)=（√5-1)/2。

所以，CE/BE=BE/BC，因此，E点为线段CB的中外比点。

因为，AD/BD=(n-m)/m=（√5-1)/2，又有，BD/AB=m/n=（√5-1)/2，所以，AD/BD=BD/AB，因此，D点为线段AB的中外比点。

对于F点：过点F作FH⊥OA，设F（p，p/mn）（p﹥0），则有∠BAO=∠FHO=90°，所以，AB∥FH，则∠ABO=∠HFO，因此，RT△ABO≌RT△HFO。

所以，FH/AB=OH/OA，即(p/mn)/n=p/(n+m)，p²=m²+mn，又有m*n=n²-m²，因此，p²=n²，则有p=n，所以，F(n，m)。

OB/OF=OA/OH=(n+m)/n

OF/FB=OH/AH=n/m，OB/OF=OF/FB，即F点为线段OB的中外比点。

②当∠ODE=90°时，OD=DE。同理可证：E、F、D均为线段AB、BC、OB的中外比点。

综上所述，本题主要是概念新定义，黄金三角形和黄金分割点的知识点又结合反比例函数，而且尺规作图也是反常规，整体难度系数还是很高的，所以，学生普遍拿分低也就不奇怪了。

附上具体解析答案：