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高考数学满分,被机构数学老师秒成“渣”?
高考数学满分,被机构数学老师秒成“渣”?在《高考数学130分，西电入学测试2分 (续)》一文中，我用了分类加法这一朴素思想求解下面这道题。 已知集合A={1, 2, 3, 4}, B={5, 6, 7}, 设函数f: A->B, 则函数f单调不增的概率为________。 有人留言说这题可以秒杀。这倒也没啥，毕竟我被“秒”也不是头一次了。可没想到，这一次竟连带被质疑起了高考分数。 
我当然知道这题可以不用加法原理做，但为啥我还要用分类加法来做呢？ 除了这种方法写起来简单，大部分公号读者都能懂之外，也因为我猜这应该是出题老师的初衷——杀鸡也可以不用牛刀。 如果出题老师不想让大家用朴素的加法原理做，那完全可以把题目条件修改成A={1,2,3,4, ... , 40}, B={41, 42, ...，70}。 正因为条件是A={1,2,3,4}, B={5,6,7}，所以即便不会技巧性更强的做法，也可以用朴素的方法解出来。 从原点出发，从最朴素和原始的做法开始，这是我一贯的风格，但也因此经常被一线机构数学老师秒成“渣”。 比如《搞定平面几何》一书中，不知瓜豆为何物的我，通过徒手精确作图观察出了动点的轨迹，然后反推出与瓜豆同款的辅助线作法。这题的解法被转发到机构数学老师群后，果然很快被一众机构老师秒成“渣”。 
当然，如果把最开始的题目改成A={1,2,3,4, ... , 40}, B={41, 42, 43, ..., 70}，加法原理就不好使了，这时候需要考虑其它方法。 所用的技巧倒也算是经典做法，我这里给出两种思路，都是我在排列组合与概率论课程里讲的做法，不过也都算不得秒杀。 在我的数学词典里，没有”秒杀”的存在。 方法一： 第一种方法，也是《哈佛概率论公开课》这本书第7章重点讲的。 将7，6，5（蓝色的）看成是分隔1，2，3，4（灰色的）的分隔物。每一种分隔方式，都对应了一个单调不增的函数: 即每个蓝色块左边至另一个蓝色块之间所有灰色块数字自变量，其函数值是右边蓝色块数字。最左边的蓝色块，其左边的所有灰色块数字的函数值就是该蓝色块数字。 比如，下图对应的函数是： f(1)=f(2)=7, f(3)=6, f(4)=5 
下图对应的函数则是： f(1)=7， f(2)=f(3)=f(4)=6 
但需要注意，1，2，3，4只能排在前六个位置，最后一个位置必须是5。像下面这样的排列是不符合要求的，因为自变量4没有对应的函数值。 
因此，问题就转化为在前面6个位置中，选出4个，用于放置1，2，3，4。剩下两个位置放7和6，最后第7个位置放5。一共有C(6,4)=C(6,2)=15种。 方法二： 方法二是我自己比较喜欢用的做法。 假设1, 2, 3, 4这4个自变量中，函数值为7, 6, 5的分别有x1, x2, x3个，则有： x1+x2+x3=4，其中x1, x2, x3≥0 设x1'=x1+1, x2'=x2+2, x3'= x3+1 从而x1'+x2'+x3'=7, 且x1',x2',x3'≥1 这里，x1+x2+x3=4的解与x1'+x2'+x3'=7的解一一对应。 对此，可以用如下图所示的插板法。将7写成7个1，然后在6个间隔中插入两块板，将7个1分成三部分，分别对应x1'=2，x2'=4，x3'=1。从而，x1=1，x2=3，x3=0，这就对应了函数f(1)=7, f(2)=f(3)=f(4)=6。 
6个间隔插入两块板共有C(6, 2)=15种方法。 最后，由于所有的函数有3^4=81个，因此概率就是15/81=5/27。 排列组合与概率论课程适合小学六年级以上的孩子学习，目前已经更新到第12课： 排列组合与概率论，我最擅长的新课上线！ （全文完） 作者简介：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《趣话数学》、《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》。
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