求真中学月考压轴题,撞上了费马的千古难题

先问一个问题：三个村庄A、B、C要共用一座中继站，用三条直光缆连起来。站建在哪，光缆总长最短？

很多同学的第一反应是“重心”“外心”。可惜，在一般的三角形里，都不对。这个问题 17 世纪就由数学家费马提出，答案叫费马点。最近求真中学八上月考的压轴题，考的正是它。

这篇文章带你走一遍：由来 → 证明 → 应用 → 升级。读完，一类题一网打尽。

整道题的主线是一句话：用旋转把三条线段首尾相接，再拉直。

17 世纪，法国数学家费马（PierredeFermat）向意大利学者托里拆利提出挑战：平面上有三个点，找第四个点，使它到三点的距离之和最小。托里拆利解决了它，所以这个点也叫“费马—托里拆利点”。

有个很直观的物理模型：桌面钻三个孔，三根绳子穿过去，下端挂等重的重物，上端系成一个结。结停下的位置就是总绳长最短的点——此时三个拉力大小相等、合力为零，三根绳两两夹角正好120°。后面的证明会严格得到这一点。

因为△ABD、△ACE都是等边三角形，所以AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°。于是

∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC=∠BAE。

在△ADC与△ABE中，AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，所以△ADC≅△ABE（SAS），故CD=BE。

全等不止给出边相等，还给出角相等、面积相等，下一步要用。

旋转不改变图形形状，所以QB=Q′D；又AQ=AQ′，∠QAQ′=60°，△AQQ′是等边三角形，所以QA=QQ′。因此

QA+QB+QC=CQ+QQ′+Q′D≥CD。

填空：QA=QQ′，QB=Q′D，QA+QB+QC=CQ+QQ′+Q′D≥CD。

CD只由△ABC和等边△ABD决定，与Q的位置无关。只要有一点能取到等号，CD就是最小值。下面证明：探究一中的P就是这个点。

P点使等号成立

① 先证∠BPC=120°。设CD交AB于M。由全等得∠ADM=∠PBM，又∠AMD=∠PMB（对顶角），所以∠BPM=∠DAM=60°，即∠BPD=60°，故∠BPC=120°。

② 再证∠APB=∠APC=120°。由△ADC≅△ABE，面积相等且CD=BE，所以对应的高相等，即点A到直线CD、BE的距离（图中A向两条线作的垂线段）相等，由角平分线的判定，PA平分∠DPE。而∠DPE=∠BPC=120°，所以∠APD=60°，∠APB=60°+60°=120°，从而∠APC=360°−120°−120°=120°。

③ 最后证取等。把△APB绕A旋转60°得△AP′D，则△APP′是等边三角形，∠AP′D=∠APB=120°。由∠AP′D+∠AP′P=180°知D，P′，P共线；由∠APP′+∠APC=180°知P′，P，C共线。所以C，P，P′，D四点共线，等号成立。

PA+PB+PC的最小值就是CD（也等于BE）。

上面的证明顺便给出了费马点的特征：三条线段两两夹角都是120°（图 4）。这也给了两种找点的办法：

方法一　以三边向外作等边三角形，连接各新顶点与对面顶点，三线交点即P。方法二　在△ABC内取点P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。

但条件“内角都小于120°”不能丢。若某个内角≥120°，三个120°就放不下了，P会被挤到这个大角的顶点——这就是临界退化。

图 3 中仍把△AQB绕A旋转60°，B落到D。此时∠CAD=120°+60°=180°，C，A，D天然共线，CD=CA+AD=AC+AB。对任意点Q都有QA+QB+QC≥CD=AB+AC，而Q与A重合时恰好取等。

答案：最小值为AB+AC。

例 1

△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，P是内部一点，求PA+PB+PC的最小值。

易得BC=1，AC=√3。把△APB绕A旋转60°得△AP′B′，则PA+PB+PC=CP+PP′+P′B′≥CB′。因为∠CAB′=30°+60°=90°，AB′=2，所以CB′=√3+4=√7。

最小值为√7。

例 2

矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M为矩形内一点，E为BC上任意一点，求MA+MD+ME的最小值。

把△AMD绕A向外旋转60°得△AM′D′，则MA+MD+ME=D′M′+M′M+ME≥D′E，当D′E⊥BC时最短。△ADD′是边长 6 的等边三角形，D′到AD的距离为3√3，再加上AB=4。

最小值为4+3√3。

如果系数不全是 1，比如PA+PB+√2PC呢？思路不变，仍是旋转 + 放缩，只是旋转角要跟着系数变。

绕C把P旋转θ得P′，△PCP′是顶角为θ的等腰三角形：顶角90°时PP′=√2PC，顶角120°时PP′=√3PC。

例 3　单系数

边长为 4 的等边△ABC内有一点P，求AP+BP+√2PC的最小值。

绕C把△APC向外旋转90°得△A′P′C，PP′=√2PC，故AP+BP+√2PC=BP+PP′+P′A′≥BA′。作A′H⊥BC的延长线于H，∠A′CH=30°，CA′=4，所以A′H=2，CH=2√3，BH=4+2√3：

BA′=√(4+2√3)²+2²=√32+16√3=2√6+2√2。

最小值为2√6+2√2。

例 4　多系数（系数满足勾股数）

△ABC中，∠ACB=60°，BC=3，AC=4，P为内部一点，求√32PA+12PB+PC的最小值。

原式=12(√3PA+PB+2PC)。绕C把△APC放大√3倍并旋转90°得△A′P′C，则A′P′=√3PA，P′C=√3PC，PP′=2PC，所以√3PA+PB+2PC≥BA′。

CA′=4√3，∠A′CH=30°，A′H=2√3，CH=6，BH=9，BA′=√81+12=√93。

最小值为√932。

计算从来不难，难的是怎么作图。

下面是按解题步骤整理的规范写法，具体给分以学校的评分标准为准。

还记得开头的测试吗？答案是E. 都不是——一般的三角形里，费马点和重心、外心、内心、垂心都不重合，只有等边三角形里这几个点才碰巧合在一起。

课后练习：评论区留下你的答案

1.　△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=2，P为内部一点，求PA+PB+PC的最小值。

2.　△ABC中，∠ACB=60°，BC=3√3，AC=6，P为内部一点，求2PA+PB+√5PC的最小值。

参考答案：1.√6+√2；2.3√31。