北京中学 · 2025初三上数学期中考试试卷分析

引言

一份来自北京中学的初三期中数学调研卷，2025 年秋季学期考的，学生版、无答案。这份卷子风格特别鲜明——从第 6 题在网格里找旋转中心，一路转到第 28 题用旋转定义新概念压轴，堪称一份「旋转专题摸底卷」。

—— 卷见

时长 120 分钟，满分 100 分，28 道题：选择 16 分 + 填空 16 分 + 解答 68 分。三大板块齐活：一元二次方程、二次函数和旋转——正好是初三上学期前半段的全部新课内容。

这份卷子最值得说的是一条线：旋转。第 6 题网格里找旋转中心，第 8 题等边三角形里随意旋转取中点，第 12 题转 90° 求角度，第 19 题坐标系里转出对称图形，第 23 题旋转射线证线段和，第 27 题双射线旋转压轴，到第 28 题干脆拿旋转定义了一个新概念——从第一道几何题一路转到最后一问，全程在线。

另外三道题也值得点名：第 13 题回到《九章算术》里量立木和绳索，第 16 题给四把折扇排工序，第 24 题用刹车距离判断高速超速——背景一个比一个不像数学题，考的都是把实际题面翻译成数学模型的能力。

建议先限时 120 分钟做完，再往下拉看我挑的几道。

手机上看建议点开大图；若某页图偏小，长按可保存后放大看。

整卷三大板块里，旋转的戏份最重——但真正拉开差距的，是那几道「背景不像数学题」的题和两道压轴。下面这几道最能看出现在的出题口味：

第 7 题 · 表格里的二次函数（选择压轴）

y=ax²+bx+2（a≠0）只给 5 组 x、y 对应值，其中 x₁＜x₂＜1。问当 −5/2＜x＜0 时，直线 y=k 与这个二次函数图象有两个公共点，k 的取值范围是多少。破题点在表格里：m 在 x=−4 和 x=3 出现了两次，对称轴就藏在 m 的两次出现之间——把表格读干净，k 的范围自己会浮出来。这种题不靠硬算，靠把表格信息读透。

第 8 题 · 等边三角形里的「随意旋转」（选择几何压轴）

边长 a 的等边 △ABC 随意放进边长 b 的等边 △A₁B₁C₁ 平面内（a＜b），再把 △ABC 绕点 A 顺时针转 α，取 AA₁、BB₁、CC₁ 的中点得 △A′B′C′，四个说法判断真假：可能是直角三角形？一定是等边？可能与大三角形全等？(b−a)/2 ≤ A′B′ ≤ (b+a)/2？「随意」两个字决定了说法的真假——中点 + 旋转的组合拳，第一道几何压轴就来真的。

第 13 题 · 《九章算术》立木系绳（数学文化）

「今有立木，系其末，委地三尺，去本八尺，索长几何？」——木柱上端系着绳，绳从顶端滑下堆在地上还剩 3 尺，拉着绳索末端走到离木柱根部 8 尺处，绳恰好拉直用完。设绳长 x，勾股定理的方程直接立起来：古算题的翻译能力，是这两年期中期末的高频考法。

第 16 题 · 四把折扇的统筹题（全卷最「不像数学题」的题）

书画绘影社团做「至真」「至善」「至美」「至诚」四把折扇，小圆绘画、小方题字，两道工序的工时表全给了：(1)按「至真→至善→至美→至诚」的固定顺序做，总时长最少多少；(2)想用最短时间，顺序该怎么排。一道运筹学题混进了填空题——统筹优化进中学卷，值得单独拿出来练。

第 24 题 · 刹车距离判断超速（函数建模）

车速 0—30 千米/时对应的刹车距离表：(1)描点连线画出大致图象；(2)观察图象估函数类型，求出函数表达式；(3)高速事故现场刹车距离约 40 米、限速 100 千米/时——用你求出的表达式反推事发时的车速，判断是否超速。表格 → 图象 → 表达式 → 反推，函数建模的完整闭环，背景还是真实的安全问题。

第 25 题 · y=1/(x−2)² 函数探究（课本外的函数）

小静对函数 y=1/(x−2)² 的图象与性质做完整探究：自变量取值范围、表格描点画图象、归纳性质，最后一问 A(a,y₁)、B(5−a,y₂) 都在图象上且 y₁＜y₂，求 a 的取值范围。课本上没有的函数，考的就是现场学习能力——现学现画 + 数形结合，反比例型探究题的标准练法。

第 27 题 · 等边三角形双射线旋转（几何压轴）

射线 AB 绕 A 逆时针转 α、射线 CA 绕 C 顺时针转 60°−α，两线交于 D：(1)∠ADC 的度数——注意它是个定值，跟 α 无关，这就是第一问的题眼；(2)过 A 作 AE⊥BD 于 E，证 AD=2DE；(3)取 CD 中点 M，线段 AB 上是否存在定点 N，使得无论 α 取何值都有 MN=DN？一问比一问深，定点存在性是期末和中考的标配难度。

第 28 题 · 新定义「旋转最大值」（全卷压轴）

图形 P 绕点 M(a,b) 顺时针转 90° 得图形 Q，对 Q 上任意一点 (x,y)，存在实数 k 使 k|x−a|−|y−b|=0，k 的最大值就叫「旋转最大值」。翻译一下：转完之后，各点相对 M 的「水平距离 ÷ 竖直距离」的最大值。(1)画 B′C′ 再求值；(2)B、C 坐标里含参数 m，答案随 m 变；(3)四边形 EFGH 的旋转最大值不超过 √3，反求 t 的取值范围。新定义 + 含参 + 分类讨论——而且这个定义本身，还是旋转。

一句话总结这份卷子的特点：一个「转」字贯穿全卷——网格里找中心是转，等边三角形里取中点是转，压轴新定义还是转。把旋转这条主线吃透，这份卷子就赢了大半；再把刹车、折扇这些现实背景翻译成数学模型，就能冲满配。